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汕头市金山中学2012-2013高一上学期期末考试数学

时间:2013-03-24


汕头市金山中学 2012-2013 高一上学期期末考试 数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的 1.已知 sin ? ? tan ? < 0 ,那么角 ? 是( ) A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 2.如果函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? A.1 B.2 B.第二

或第三象限角 D.第一或第四象限角

? ?

? ?? ? ?? ? 0? 的最小正周期为 2 ,则 ? 的值为( 6?
C.4 D.8 )

)

3.下列函数中既是奇函数,又在区间 (0, ??) 上单调递增的是( A. y ? sin x 4.要得到 y ? sin? 2 x ? B. y ? ? x 2 C. y ? x lg 2

D. y ? ? x 3 )

? ?

??

? 的图像,只需将 y ? sin 2 x 的图像( 3?
B.向右平移

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 3
A.向左平移

? 个单位长度 6 ? D.向右平移 个单位长度 3


?21? x ( x ? 1) f ( x) ? ? 5.设函数 ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是( ?1 ? log 2 x ( x ? 1)
A. [-1,2] B. [0,2] C. [1,+ ? ) D. [0,+ ? )

6.设函数 y ? x3 与 y ? ? ? A. (0,1)

?1? ? 2?

x?2

的图象的交点为 ?x0 , y0 ?,则 x0 所在的区间是( C. (2,3) D. (3,4)



B. (1,2)

7.已知两个非零向量 a 与 b ,定义 a ? b ? a b sin ? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角.若

a = ? ?3, 4? , b = ? 0,2? ,则 a ? b 的值为(
A. 8 B. 6

) D. ?8

C. ?6

8. O 是 ?ABC 所在的平面内的一点,且满足( OB - OC )( OB + OC -2 OA )=0,则 ·

?ABC 的形状一定为(
A.正三角形

) B.直角三角形
1

C.等腰三角形

D.斜三角形

9.已知函数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? b2 ? b ? 1 (a ? R, b ? R) ,对任意实数 x 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成 立,若当 x ? ? ?1,1? 时, f ( x) ? 0 恒成立,则 b 的取值范围是( A. b ? ? 1 或 b ? 2 B. b ? 2 C. ?1 ? b ? 0 ) D.不能确定

10. 若函数 f (x) 满足 f ( x) ? 1 ?

1 ,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 (?1,1] f ( x ? 1)
) D. [ 0, )

上, g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( A. [ 0, )

1 2

B. [ , ??)

1 2

C. (0, ]

1 2

1 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分
2 11.若函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? 1 是偶函数,则实数 a 的值为

?

?

. .

12.已知集合 A ? {x | y ? log 2 ( x ? 1)}, B ? { y | y ? ( ) , x ? 0}, 则A ? B 等于
x

13.已知 cos(

?
2

1 2

?? ) ?

4 ,则 cos 2? ? 5



14.已知函数 f ( x) ? tan ? 3x ?

? ?

?? ??? ? ,则 f ? ? 的值为 4? ?9?



15.规定符号“ ? ”表示一种两个正实数之间的运算,即 a * b = ab ? a ? b , a, b 是正实 数,已知 1 ? k =3,则函数 f ( x) ? k ? x 的值域是 .

16.在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数 y ? f (x) 的图像恰 好经过 k 个格点,则称函数 y ? f (x) 为 k 阶格点函数.已知函数:① y ? 2 sin x ;②

y ? cos( x ? ) ;③ y ? ex ?1 ;④ y ? x2 .其中为一阶格点函数的序号为 6
把你认为正确论断的序号都填上)

?

(注:

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17 . (本 小题 满分 12 分) 已知 向量 a = ? ? cosx , sin ? , b = cos x, 3 cos x , 函数 x

?

?

f ( x) ? a? . b
(1) x ? R 时,求 f ( x ) 的最小正周期; (2)设 x ? ?0,

? ?? 时,求 f ( x ) 的值域. ? 2? ?

2

18. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? )在 x ? 取得最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?
3



? . 2

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

19. (本小题满分 14 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一 般情况下,大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的 函数。当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密 度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流 速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/ 每小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时).

3

20.(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知向量 a ? (?1,2) , 又点 A(8, 0), B(n, t ), C (k sin ? , t )(0 ? ? ?

?

?
2

).

(1)若 AB ? a ,且 | AB |? 5 | OA | ,求向量 OB ; (2)若向量 AC 与向量 a 共线,当 k ? 4 时,且 t sin ? 取最大值为 4 时,求 OA? OC .

?

??? ?
?

??? ?

??? ?

??? ?

2 2 21.(本小题满分16分)已知 f ( x) ? x ? 1 ? x ? kx ,

(1)若 k ? 2 ,求方程 f ( x) ? 0 的解; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 在 (0,2) 上有两个解 x1 , x 2 ,求 k 的取值范围, 并证明:

1 1 ? ? 4. x1 x 2

4

参考答案
一、选择题(共 50 分) 1.B 2.C 3.C 4.A 5.D 二、填空题(共 30 分) 11. 0 12. ?1,??? 13. ? 6.B 7.B 8.C 9.A 10.C

7 25
2

14. ?2 ? 3

15. (1,??)

16.①③

17.(12 分)解: (1)∵ f ( x) ? ? cos x ? 3 sin x cos x ? sin(2 x ?

?
6

)?

1 -----6 分 2

? f (x) 的最小正周期为 ? .-----7 分

(2)∵ x ? ?0,

? ? 5? ? ?? ,?? ? 2 x ? ? ,-----9 分 6 6 6 ? 2? ?

1 ? 1 ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ---10 分 即 ?1 ? f ( x) ? ---11 分 2 6 2

? 1? ? f ( x) 的值域为 ??1, ? -------12 分 ? 2?
18.(12 分)解: (1)∵函数 f ( x ) 的最大值为 3,∴ A ? 1 ? 3, 即 A ? 2 ----2 分 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为

? ,∴最小正周期为 T ? ? ∴ ? ? 2 ----4 分 2

∵ f ( x) 过 点 (

?

2? 2? ? , 3 , 即 2 s i n ( ? ? ? ) ? 1 3 ? ? ? ? 2 k? ( k ? Z ) 解 得 ) 即 3 3 2 3

??

?
6

? 2k? (k? Z,又∵ ? ? ? ∴ ? ? )

?
6

------7 分

故函数 f ( x ) 的解析式为 y ? 2sin(2 x ? (2)∵ f ( ) ? 2sin(? ?

?
6

) ? 1 --------8 分

?

?

2

? 1 ) ? 1 ? 2 即 sin(? ? ) ? ---9 分 6 6 2
?
6 ?

∵0 ?? ?

?
2

,∴ ?

?
6

?? ?

?
3

----10 分 ∴ ? ?

?
6

?

?
6

,故 ? ?

?
3

----12 分

19.(14 分)解: (1)由题意:当 0 ? x ? 20时, v( x) ? 60 ;---2 分 当 20 ? x ? 200时, 设v( x) ? ax ? b -----3 分

5

1 ? ?a ? ? 3 , ?200a ? b ? 0, ? 解得 ? 再由已知得 ? --------5 分 200 ?20a ? b ? 60, ?b ? . ? 3 ?

0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v( x) 的表达式为 v( x) ? ? 1 ----7 分 ? 3 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? 0 ? x ? 20, ?60 x, ? (2)依题意并由(1)可得 f ( x) ? ? 1 ----9 分 ? 3 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ?
当 0 ? x ? 20时, f ( x) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60×20=1200;----11 分 当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ?

1 1 200 x(200 ? x) ? ? x 2 ? x , 对称轴 x ? 100 ??20,200? 3 3 3 10000 ? 3333 -------13 分 3

当 x ? 100时, f ( x) 在区间[20,200]上取得最大值

答: 即当车流密度为 100 辆/千米时, 车流量可以达到最大, 最大值约为 3333 辆/小时。 ---14 分 20. (16 分)解: (1)∵ AB ? (n ? 8, t ) , AB ? a ,∴ 8 ? n ? 2t ? 0 -----2 分 又∵ | AB |? 5 | OA | ,∴ (n ? 8) 2 ? t 2 ? 5t 2 ? 5 ? 64,得 t ? ?8 ----6 分

?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ?OB ? (24,8) 或 OB ? (?8, ?8) -------8 分 ??? ? ? ??? ? (2) AC ? (k sin ? ? 8, t ) , ? AC 与 a 向量共线, ? t ? ?2k sin ? ? 16 -----10 分
∵ t sin ? ? (?2k sin ? ? 16) sin ? ? ?2k (sin ? ? ∵ k ? 4 ∴1 ? 由

4 2 32 ) ? k k

4 4 32 ? 0 ,∴当 sin ? ? 时, t sin ? 取最大值为 ,----12 分 k k k

32 1 ? ?????? ? 4 ,得 k ? 8 ,此时 sin ? ? ,即? ? ,? OC ? (4,8) ,----14 分 k 2 6

即 OA ? OC ? (8,0) ? (4,8) ? 32.---16 分 21.(16分)解: (1)当k=2时, f ( x) ?| x ?1| ? x ? 2x ? 0 -------1分
2 2
2 2 ①当 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 1 或 x ? ?1 时,方程化为 2 x ? 2 x ? 1 ? 0

解得 x ?

?1? 3 ?1? 3 ?1? 3 ? 1 ,舍去, 所以 x ? ,因为 0 ? -----3分 2 2 2
1 ------5分 2

2 ②当 x ? 1 ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 1 时,方程化为 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?

6

1 ?1? 3 由①②得当k=2时,方程 f ( x) ? 0 的解为 x ? 或 x ? ? .----6分

2

2

?2 x 2 ? kx ? 1 f ( x) ? ? ?kx ? 1 ⑵不妨设0< x1 < x2 <2,因为

| x |? 1 | x |? 1 -

所以 f (x) 在(0,1]是单调函数,故 f ( x) ? 0 在(0,1]上至多一个解-------7分 若1< x1 < x2 <2,则 x1 x 2 ? ? 由 f ( x1 ) ? 0 得 k ? ? 由 f ( x2 ) ? 0 得 k ? 故当 ?

1 <0,故不符题意,因此0< x1 ≤1< x2 <2.----9分 2

1 ,所以 k ? ?1 ; x1

7 1 ? 2 x2 ,所以 ? ? k ? ?1 ;-----11分 2 x2

7 ? k ? ?1 时,方程 f ( x) ? 0 在(0,2)上有两个解. ----12分 2

因为0< x1 ≤1< x2 <2,所以 k ? ? 消去k 得: 2 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 0
2

1 2 , 2 x2 ? kx2 ? 1 ? 0 x1 1 1 ? ? 2 x 2 -----14分 x1 x 2



因为x2<2,所以

1 1 ? ? 4 .-----16分 x1 x 2

7


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