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《1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》 教案

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1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
适用学科 适用区域 数学 新课标 1. 2. 知 识 点 3. 4. 5. 教学目标 逻辑联结词“且”“或”“非”的含义 含有逻辑联结词的命题真假的判断 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题 含有一个量词的命题的否定 适用年级 课时时长(分钟) 高三 60

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 教学重点 教学难点 全称命题、特称命题的否定及判断 全称命题、特称命题的否定及判断

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教学过程
一、课堂导入 正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流,还是从事各项工作,都需要正 确的运用逻辑用语表达自己的思维。常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具;在学习数学过程中需要准确 全面地理解概念,正确地进行表述、判断和推理,这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用,所以逻辑用语在数学中也具 有很重要的作用。而要正确的使用逻辑用语首要的就是准确的使用逻辑联结词. 在数学中,有时会使用一些联结词,如“且”“或”“非”。在生活用语中,我们也使用这些联结词,但表达的含义和用 法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。 为叙述简便, 今后常用小写字母 p、q、r、s、……,来表示命题。 (注意与上节学习命题的条件 p 与结论 q 的区别)

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二、复习预习 1、四种命题的相互关系 2、充分条件与必要条件及其判断方法

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三、知识讲解 考点 1 命题 p∧q、p∨q、非 p 的真假判定

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

p∧q 真 假 假 假

p∨q 真 真 真 假

非p 假 假 真 真

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考点 2 全称量词和存在量词 (1)全称量词有:所有的,任意一个,任给,用符号“?”表示;存在量词有:存在一个,至少有一个,有些,用符号“?” 表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”用符号简记为:?x∈M,p(x). (3)含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在 M 中元素 x0,使 p(x0)成立”用符号简记为:?x0∈M,p(x0).

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考点 3

含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 命题的否定 ?x0∈M,非 p(x0) ?x∈M,非 p(x)

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三、例题精析 【例题 1】 【题干】(2013· 长春名校联考)命题 p:若 a· b>0,则 a 与 b 的夹角为锐角;命题 q:若函数 f(x)在(-∞,0]及(0,+ ∞)上都是减函数,则 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确的是( A.“p 或 q”是真命题 C.非 p 为假命题 B.“p 或 q”是假命题 D.非 q 为假命题 )

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【答案】B 【解析】∵当 a· b>0 时,a 与 b 的夹角为锐角或零度角, ∴命题 p 是假命题;命题 q 是假命题, ?-x+1,x≤0, 例如 f(x)=? ?-x+2,x>0, 综上可知,“p 或 q”是假命题

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【例题 2】 【题干】下列命题中是假命题的是(

)

A.存在 α,β∈R,使 tan(α+β)=tan α+tan β B.对任意 x>0,有 lg2x+lg x+1>0 C.△ABC 中,A>B 的充要条件是 sin A>sin B D.对任意 φ∈R,函数 y=sin(2x+φ)都不是偶函数

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【答案】

选D

【解析】对于 A,当 α=β=0 时,tan(α+β)=0=tan α+tan β,因此选项 A 是真命题;对于 B,注意到 lg2x+lg x+1 1? 3 3 ? =?lg x+2?2+4≥4>0,因此选项 B 是真命题;对于 C,在△ABC 中,A>B?a>b?2Rsin A>2Rsin B?sin A>sin B(其中 R ? ? π 是△ABC 的外接圆半径),因此选项 C 是真命题;对于 D,注意到当 φ=2时,y=sin(2x+φ)=cos 2x 是偶函数,因此选项 D 是假命题.

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【例题 3】 【题干】命题“能被 5 整除的数,末位是 0”的否定是________.

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【解析】有些可以被 5 整除的数,末位不是 0 【解析】省略了全称量词“任何一个”,否定为:有些可以被 5 整除的数,末位不是 0.

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【例题 4】 ?1 ? 【题干】已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)=x2-2cx+1 在?2,+∞?上为增函数, ? ? 若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 c 的取值范围.

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【答案】C 【解析】∵函数 y=cx 在 R 上单调递减,∴0<c<1. 即 p:0<c<1,∵c>0 且 c≠1,∴非 p:c>1. 1 1 ?1 ? 又∵f(x)=x2-2cx+1 在?2,+∞?上为增函数,∴c≤2.即 q:0<c≤2, ? ? ∵c>0 且 c≠1, 1 ∴非 q:c>2且 c≠1. 又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, ∴p 真 q 假或 p 假 q 真.
? ? ? 1 ? 1 ①当 p 真,q 假时,{c|0<c<1}∩?c|c>2且c≠1?=?c|2<c<1?. ? ? ? ? ? 1? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩?c|0<c≤2?=?. ? ? ? 1 ? 综上所述,实数 c 的取值范围是?c|2<c<1?. ? ?

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四、课堂运用 【基础】 1.(2013· 长沙模拟)设 p、q 是两个命题,则“复合命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假”的充要条件是( A.p、q 中至少有一个为真 C.p、q 中有且只有一个为真 B.p、q 中至少有一个为假 D.p 为真,q 为假

)

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解析:选 C

∵p 或 q 为真?p、q 中至少有一个为真;p 且 q 为假?p、q 中至少有一个为假,

∴“命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假”?p 与 q 一真一假. 而由 C 选项?“命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假”.

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5 2.(2013· 揭阳模拟)已知命题 p:?x0∈R,cos x0=4;命题 q:?x∈R,x2-x+1>0,则下列结论正确的是( A.命题 p∧q 是真命题 B.命题 p∧非 q 是真命题 C.命题非 p∧q 是真命题 D.命题非 p∨非 q 是假命题

)

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解析:选 C

命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,

∴p∧q 是假命题,p∧非 q 是假命题, 非 p∧q 是真命题,非 q∨非 p 是真命题.

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1 3.已知命题 p:抛物线 y=2x2 的准线方程为 y=-2;命题 q:若函数 f(x+1)为偶函数,则 f(x)关于 x=1 对称.则 下列命题是真命题的是( A.p∧q C.(非 p)∧(非 q) ) B.p∨(非 q) D.p∨q

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1 1 解析:选 D 抛物线 y=2x2,即 x2= y 的准线方程是 y=- ;当函数 f(x+1)为偶函数时,函数 f(x+1)的图象关于 2 8 直线 x=0 对称,函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称(注:将函数 f(x)的图象向左平移一个单位长度可得到函数 f(x+1)的 图象),因此命题 p 是假命题,q 是真命题,p∧q、p∨(非 q)、(非 p)∧(非 q)都是假命题,p∨q 是真命题.

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【巩固】 4.命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是____________.

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解析:全称命题的否定为特称命题,所以该命题的否定为:?x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3. 答案:?x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3

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5.若命题“?x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________.

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?a<0, 解析:当 a=0 时,不等式显然成立;当 a≠0 时,由题意知? 得-8≤a<0.综上,-8≤a≤0. 2 ?Δ=a +8a≤0, 答案:[-8,0]

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【拔高】 6.已知命题 p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数, p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数. 则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(非 p1)∨p2 和 q4:p1∧(非 p2)中,真命题是( A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4 )

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解析:选 C

p1 是真命题,则非 p1 为假命题;p2 是假命题,则非 p2 为真命题.所以 q1:p1∨p2 是真命题,q2:p1∧

p2 是假命题,q3:(非 p1)∨p2 为假命题,q4:p1∧(非 p2)为真命题.即真命题是 q1,q4.

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7.已知命题 p:?x∈[1,2],x2-a≥0,命题 q:?x0∈R,x2 0+2ax0+2-a=0,若“p 且 q”为真命题,求实数 a 的取值 范围.

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解:由“p 且 q”为真命题,则 p,q 都是真命题. p:x2≥a 在[1,2]上恒成立,只需 a≤(x2)min=1, 所以命题 p:a≤1; q:设 f(x)=x2+2ax+2-a,存在 x0∈R 使 f(x0)=0, 只需 Δ=4a2-4(2-a)≥0, 即 a2+a-2≥0?a≥1 或 a≤-2, 所以命题 q:a≥1 或 a≤-2. ?a≤1, 由? 得 a=1 或 a≤-2 ?a≥1或a≤-2 故实数 a 的取值范围是 a=1 或 a≤-2.

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课程小结
1.逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来 解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题. 2.正确区别命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p,则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命 题的否定”即“非 p”,只是否定命题 p 的结论. 命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真, 而原命题与否命题的真假无必然联系.

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