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2014年全国高中数学联赛试题B卷

时间:2014-09-14


2014 年全国高中数学联赛试题 B 卷 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 若函数 的折线,则 (0,0),(1,1)和(2,3) f ( x) 的图像是由依次连接点

f ?1 (2) =
2.在如下图所示的正方体 ABCD-AB C  D 中,二 面角 A
' '' ''

D' A' D A B B'

C'

? BD ? C ' 等于

C

3.对于实数 R 的任意子集 U,我们在 R 上定义函数 fU ( x) ? ?

?1, x ?U ,如果 A,B 是 ?0, x ?U

实数 R 的两个子集,则 f A ( x) ? f B ( x) ? 1,的充分必要条件是 4.若果三角形 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的余切值 cot A,cot B,cot C 依次成等差数 列,则角 B 的最大值是 5. 实 数 列

?an ?

满 足 条 件 :

a1 ?

2 ?1 2



a2 ? 2 ? 1



an?1 ? an?1 ?

n ? 2(n ≥ 2) ,则通项公式 an = an ? an?1

x2 y2 6. F 的两个焦点, P 为椭圆上的一点, 如果 ?PFF (a>b>0) ,F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1 1 1 2 a b
的面积为 1, tan ?PF 1 F2 =

1 , tan ?PF2 F1 ? ?2 ,则 a= 2

.

7.将一副扑克牌中的大小王去掉,在剩下的 52 张牌中随机地抽取 5 张,其中至少有两张牌 上的数字(或者字母 J,Q,K,A)相同的概率是 (要求计算出这个概率的数值, 精确到 0.001). 8.设 g ( x)

? x(1 ? x) ,是定义在区间 [0,1]上的函数,则函数 y ? xg ( x) 的图像与 x

轴所围成图形的面积是 . 二、解答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9. ( 16 分 ) 设 数 列

?an ?

的 前

n

项 和

Sn

组 成 的 数 列 满 足

Sn ? Sn?1 ? Sn?2 ? 6n 2 ? 9n ? 7(n ≥ 1) . 已知 a1 ? 1, a2 ? 5 ,求数列 an 的通项
公式. 10.(20 分)设 x1 , x2 , x3 是多项式方程 x
3

-10x+11=0 的三个根.

之中,求这三个根的整数部分; (-5,5) a) 已知 x1 , x2 , x3 都落在区间

b) 证明 arctan x1 ? arctan x2 ? arctan x3 ?
11.(20

?
4

.

x2 ? y 2 =1, A(-2,0),B(0, 分)如下图,椭圆 ? : 是椭圆 ? 上的两 -1) 4

点,直线 l1 : x ? ?2, l2

: y ? ?1,P(x0 ,y0)(x0 >0,y0 ? 0)是 ? 上的一个动点,

l3 是过点 P 且与 ? 相切的直线,C、D、E 分别是直线 l1 与 l2 , l2 与 l3 , l1 与 l3 的交点,求
证三条直线 AD , BE 和 CP 共点。


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