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2014高考数学(文科


高考数学易忘公式及结论
集合 ? ? 包含关系 集合 { a1 , a 2 , ? , a n } 的子集个数共有 2
n n

A? B ? A ? A? B ? B ? A ? B

个;真子集有 2 –1 个;
n

n

非空子集有 2 –1 个;非空的真子集有

2 –2 个. 二次函数,二次方程 ? 方 程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上 有 且 只 有 一 个 实 根 , 与
f ( k 1 ) f ( k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件

? 闭区间上函数的最值 只能在 f ? ( x ) ? 0 处及区间的两端点处取 得。 二次函数 f ( x ) ? ax 是
a ? 0 ? . ? 2 ? b ? 4 ac ? 0
2

? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件

简易逻辑 ? 真值表 p q 真 真 真 假 假 真 假 假 ?

非p 假 假 真 真

p或q 真 真 真 假

p且q 真 假 假 假

常见结论的否定形式 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有 x , 存在某 x , 成立 不成立 对任何 x , 不成立 存在某 x , 成立

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个
p 或q
p 且q

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个
?p 且?q
?p 或?q

?

?

P :否定一个含有量词( ? 或 ? )的命题,不但要改变量词( ? 改为

? ),还要对量词后面的命题加以否定,但作用范围不变。 ? 函数的单调性 (1)设 x1 ? x 2 ? ?a , b ?, x1 ? x 2 那么

1

( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? 0 ? f ( x ) 在 ?a , b ?

上是增函数;
( x1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ?
? 0 ? f ( x ) 在 ?a , b ?

上是减函数. (2)设函数 y ? f ( x ) 在某个区间内可导,如果 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增 函数;如果 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数.
? f ( a ? m x ) ? f (b ? m x ) ? f (a ? b ? m x) ? f (m x) .

? 两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? f ( ? x ) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴) 对称. (2)函数 f ( mx ? a ) 与函数 y ? f ( b ? m x ) 的图象关于直线 x ? 对称. (3)函数 y ? f ( x ) 和 y ? f ?
?1

a?b 2m

( x ) 的图象关于直线 y=x 对称.

若 将 函数 y ? f ( x ) 的 图 象 右移 a 、 上 移 b 个 单 位, 得 到函 数
y ? f ( x ? a ) ? b 的图象;若将曲线 f ( x , y ) ? 0 的图象右移 a 、

? ?

上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a , y ? b ) ? 0 的图象. 指数式与对数式的互化式
b
.

lo g a N ? b ? a ? N ( a ? 0, a ? 1, N ? 0)

对数的换底公式
lo g m N lo g m a

lo g a N ?

.

推论 lo g a b ?
n
m

n m

lo g a b .

? 对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) lo g a ( M N ) ? lo g a M ? lo g a N ;(2) lo g a (3) log a M ?
n

M N

? lo g a M ? lo g a N ;

? n log a M ( n ? R ) .
m

设 函 数 f ( x ) ? log

( ax

2

? bx ? c )( a ? 0 ) , 记 ? ? b ? 4 ac . 若
2

f ( x ) 的定义域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f ( x ) 的值域为 R ,则

a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验.

数列 ? ?
* d 等差数列的通项公式 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ?; n ? a1 ? d ( n ? N )

其前 n 项和公式为
2

sn ?

n ( a1 ? a n ) 2

? n a1 ?

n ( n ? 1) 2

d .
n ?1

?

等比数列的通项公式 a n ? a 1 q

? ;

a1 q

? q (n ? N )
n *

其前 n 项的和公式为
? a 1 (1 ? q n ) ? a1 ? a n q ,q ? 1 ,q ? 1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1

?

分期付款(按揭贷款)
a b (1 ? b )
n n

每次还款 x ? ?

(1 ? b ) ? 1

元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ).

数列的通项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ? s1 , an ? ? ? s n ? s n ?1 , n ? 2

三角函数 ? 常见三角不等式 ? ( 1 ) 若 x ? ( 0 , ) 则 s i nx ? x ? ,
2

t a n .(2) 若 x ? (0, x

?
2

) ,则

1? s i n? x cx ? os . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .

?

同角三角函数的基本关系式 sin ? 2 2 sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? = , tan ? ? cot? ? 1 . cos ? ? 和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;
tan (? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
2 2

.

a sin ? ? b cos ? =

a ? b sin (? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a , b )

的象限决定, tan ? ? ? 二倍角公式

b a

). .
2 2

sin 2? ? sin ? cos ?
cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? . tan 2? ?
2 2

2 tan ? 1 ? tan ?
2

?

三角函数的周期公式
3

函数 y ? sin (? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) 的周期 T ? 函数 y ? tan(? x ? ? ) 的周期 T ? ? ? ?
S ? 1 2

2?

?



? ?
?

.
c sin C ? 2R .

正弦定理 余弦定理 面积定理
a b sin C ? 1 2

a sin A
2

?
2

b sin B
2

a ? b ? c ? 2 bc cos A ;

b c sin A ?

1 2

ca sin B

向量. ? a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . ? a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ,则 a·b= ( x1 x 2 ? y1 y 2 ) . ? 向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) , b ? 0, a∥b(b ? 0) ? x 1y 2 ? x 2y1 ? 0 且 则 a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 . ? 线段的定比分公式 设 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) , P ( x , y ) 是线段 P1 P2 的分点, ? 是实数,且
x1 ? ? x 2 ? ???? ???? ??? ? OP ? ?OP ?x ? 1? ? ? 1 2 ? OP ? ? 1? ? y1 ? ? y 2 ?y ? ? 1? ? ? ??? ? ???? ???? 1 ? O P ? t O P1 ? (1 ? t ) O P2 ( t ? ). 1? ?

???? ???? P1 P ? ? P P2 ,则

? 三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A ( x 1 , y 1 ) 、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x 3 ,y 3 ) ,则△ ABC 的重心的坐标是 G (
x1 ? x 2 ? x 3 3 , y1 ? y 2 ? y 3 3 ).

? 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ? A B C 所在平面上一点,角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c ,则 (1) O 为 ? A B C 的外心(中垂线) ? O A ? O B ? O C . (2) O 为 ? A B C 的重心(中线) ? O A ? O B ? O C ? 0 .
??? ??? ? ? ??? ???? ?
??? 2 ? ??? 2 ? ???? 2

??? ?

??? ?

????

?

(3) O 为 ? A B C 的垂心(高) ? O A ? O B ? O B ? O C ? O C ? O A .
4

???? ??? ?

(4) O 为 ? A B C 的内心(角平分线) ? a O A ? bO B ? cO C ? 0 . 不等式 ? 常用不等式: (1) a , b ? R ? a ? b ? 2 ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

??? ?

??? ?

????

?

(2) a , b ? R ?

?

a?b 2

?

a b (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2 2 2 2

(3)柯西不等式 ( a 1 b1 ? a 2 b 2 ) ? ( a 1 ? a 2 )( b1 ? b 2 ) ,(当且仅当
a i ? ? b i 时取“=”号).

(4) a ? b ? a ? b ? a ? b . 直线方程 ? 两条直线的平行和垂直 ① l1 || l 2 ? k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ; ② l1 ? l 2 ? k 1 k 2 ? ? 1 . 两 直 线 垂 直 的 充 要 条 件 是
l1 ? l 2 ? A1 A2? B1 ? 2 B0 A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 ; 即 :

?
d ?

点到直线的距离
| A x0 ? B y0 ? C | A ?B
2 2

(点 P ( x 0 , y 0 ) ,直线 l : A x ? B y ? C ? 0 ).

圆 ? ? 椭圆 ? 椭圆 数)
? 1( a ? b ? 0 ) 上一点,则三角形 2 b ? P F1 F 2 2 ; 特别地,若 P F1 ? P F 2 , 此三角 P F1 F2 的面积 S= b ? tan 2 a
2
2

直线的参数方程 ? 圆的参数方程 ?

? x ? x 0 ? t cos ? ? y ? y 0 ? t sin ?

. (t 为参数)

? x ? a ? r cos ? ? y ? b ? r sin ?

. ( ? 为参数)

x a

2 2

?

y b

2 2

? x ? a cos ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的参数方程是 ? .( ? 为参 ? y ? b sin ?

?

焦点三角形:P 为椭圆

x

2

?

y

2

形面积为 b ; ? 在椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 上存在点 P, P F1 ? P F 2 的条件是 使

5

c≥b,即椭圆的离心率 e 的范围是 [ 双曲线 ? 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)
x a
2 2

2 2

,1) ;

?

y b

2 2

? 1 ? 渐近线方程:
b a x ?

x a

2 2

?
x a ?

y b

2 2

?0? y??

b a

x.

(2) 若 渐 近 线 方 程 为 y ? ?
x a
2 2

y b

? 0 ? 双曲线可设为

?

y b

2 2

? ?. x a
2 2

(3) 若 双 曲 线 与

?

y

2 2

? 1 有公共渐近线,可设为

x a

2 2

?

y b

2 2

? ?

b ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).

? 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即 b 值) 抛物线 ? 焦点与准线
抛 物 线 y ? a x ( a ? 0 ), 焦 点 是 (
2

a 4

, 0 ), 准 线 x ? ?

a 4

;

a a 2 抛 物 线 x ? a y ( a ? 0 ), 焦 点 是 ( 0 , ), 准 线 y ? ? ; 4 4

?

焦半径公式 抛 物 线 y ? 2 p x( p? 0 ), C ( x 0 , y 0 ) 为 抛 物 线 上 一 点 , 焦 半 径
2

C F ? x0 ?

p 2

.
2

?

过 抛 物 线 y ? 2 px ( p>0) 的 焦 点 F 的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于
A ( x1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ), 则 有 y 1 y 2 ? ? p , x1 x 2 ? 4 p ,
2 2

? ?
x1 a
2

2 1 x1 ? x ? 即 k O A2. K O Bp= -/ 4 ,(即为OA ? 点 OB ? ? 4 。 Ok 原 K) 4 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 A B ?

(1 ? k )( x 2 ? x1 ) ? | x1 ? x 2 | 1 ? tan ? ? | y1 ? y 2
2 2 2

比如在椭圆中:
y1 b ?
2

A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 中 点 M ( x 0 , y 0 ), 则 有 :
2 2

?

2 2

? 1(1) ? 1( 2 ) y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? x1 ? x 2 y1 ? y 2 ? (? b a
2 2

x2 a

y2 b

2

2

(1) ? ( 2 ) ?

) ?

x0 y0

? (?

b a

2 2

)

6

(1)-(2) k ?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

x0 y0

? (?

b a

2 2

)

?

立体几何 直线 l 的方向向量为 a,直线 l 与平面所成的角为 ? ,平面的法向 量为 u,直线 l 与平面法向量的夹角为 ? ,则
sin ? ? cos ? ? a ?u a ?u

? ?

???? ?? ? ? | CD ?n | ? d ? ( l1 , l 2 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C 、 D 分别是 l1 , l 2 |n| ??? ?? ? ? ? | AB ? n | ? .点 B 到平面 ? 的距离 d ? ( n 为平面 ? 的法向量, |n|
A B 是经过面 ? 的一条斜线, A ? ? ).

二面角的两个面的法向量的夹角(或其补角)就是二面角的平 面角的大小。 异面直线间的距离

上任一点, d 为 l1 , l 2 间的距离). ?

?

面积射影定理 S ?
'

S

'

co s ?

.(平面多边形及其射影的面积分别

是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). ? ? ? 球的半径是 R,则其体积 V ?
4 3

? R ,其表面积 S ? 4? R .
3
2

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 为
6 4 a. 6 12 a ,外接球的半径

?

柱体、锥体的体积

1 V 柱 体 ? Sh( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). Sh 3 1 V 锥 体 ? S h ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3

组合数公式
C
m n

=

An

m m

=

n ( n ? 1) ? ( n ? m ? 1) 1? 2 ?? ? m

=

n!

Am

m ! ( n ? m )! ?

.

?

二项式定理

7

(a ? b)
r

n

? Cna
0 n?r r

n

? Cna
1

n ?1

b ? Cn a
2

n?2

b ? ? ? Cna
2 r

n?r

b ? ? ? Cnb
r n

n

二项展开式的通项公式
T r ?1 ? C n a b ( r ? 0, 2 ? , n ) . 1,

概率 ?

n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

.

? 离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) Pi ? 0 ( i ? 1, 2, ? ) ; (2) P1 ? P2 ? ? ? 1 . ? 数学期望
E ? ? x1 P1 ? x 2 P2 ? ? ? x n Pn ? ?

? 数学期望的性质 (1) E ( a? ? b ) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B ( n , p ) ,则 E ? ? np . ? 方差
D ? ? ? x1 ? E ?

?

2

? p1 ? ? x 2 ? E ?

?

2

? p2 ? ? ? ? xn ? E?

?

2

? pn ? ?

? ?

标准差

?? =

D? .
2

方差的性质 (1) D ? a? ? b ? ? a D ? ;

(2)若 ? ~ B ( n , p ) ,则 D ? ? np (1 ? p ) . ? 正态分布密度函数
f

?x? ?

1 2? 6

?

?x?? ?
26
2

2

e

, x ? ? ? ? , ? ? ? ,式中的实数μ , ? ( ? >0)

是参数,分别表示个体的平均数与标准差. ? ? 标准正态分布密度函数 f ? x ? ?
1 2? 6
? x
2

e

2

, x ? ? ?? , ?? ? .

对于 N ( ? , ? 2 ) , P ( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0 . 6826 . P ( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0 . 9544 , P ( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0 . 9974

?

回归直线方程

n ? ? ? xi ? x ? ? y i ? y ? ? ? b ? i ?1 n ? ? ? a ? b x ,其中 y 2 ? ? ? xi ? x ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

?

n

xi y i ? n x y xi ? n x
2 2

i ?1 n

?

.

i ?1

点 P ( x , y ) 在回归直线上。

8

不能期望回归方程得到 y 的预报值就是预报变量 y 的精确值。 ? 相关系数 |r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近 于 0, 相关程度越小。 ? 0 . 75 时认为两变量有很强的线性关系。 |r| ?
P(? P(?

列联表独立性分析 ?
2 2

2

?

n ( n 11 n 22 ? n 12 n 21 ) n 1? n 2 ? n ?1 n ? 2

2

? 6 . 635 ) ? 0 . 01 (99%的把握) ? 3 . 841 ) ? 0 . 05 (95%的把握)

导数 ?

几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数).
' n ?1

(2) ( x n ) ? nx

(n ? Q ) .

(3) (sin x ) ? ? cos x . (5) (ln x ) ? ?
1 x

(4) (cos x ) ? ? ? sin x .

;(log a ) ? ?
x

1 x

log

e a

.

x x x x (6) ( e ) ? ? e ; ( a ) ? ? a ln a .

?

导数的运算法则(1) ( u ? v ) ? u ? v . (2) ( u v ) ? u v ? u v .
' ' ' ' ' '
' '

u ' u v ? uv (v ? 0) . (3) ( ) ? 2 v v

?

.复合函数的求导法则
' ' ' '

设函数 u ? ? ( x ) 在点 x 处有导数 u x ? ? ( x ) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处 的对应点 U 处有导数 y u ? f ( u ) ,则复合函数 y ? f (? ( x )) 在点 x 处有导 数,且 y x ? y u ? u x ,或写作 f x (? ( x )) ? f ( u )? ( x ) .
' ' ' ' ' '

?

.判别 f ( x 0 ) 是极大(小)值的方法

当函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续时, (1) 如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x ) ? 0 ,右侧 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x 0 ) 是极大值; (2) 如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x ) ? 0 ,右侧 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x 0 ) 是极小值. 复数 ? ? 复数的相等 a ? bi ? c ? di ? a ? c , b ? d .( a , b , c , d ? R ) .复数 z ? a ? b i 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a ? b .
2 2

9


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