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高中数学必修5自主学习导学案:1.2 正弦定理和余弦定理应用举例


1.2 正弦定理和余弦定理应用举例(学生版)
【知识梳理】 (1)正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等. a b c ? ? ? 2 R ,其中 R 为该三角形外接圆的半径. 即: sin A sin B sin C
(2)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即: c 2 ? a 2 ?

b2 ? 2ab cos C , a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos C .

1 1 1 1 ah ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A . 2 2 2 2 1 1 证明:过点 C 作 CD⊥AB 于 D,此时有 CD ? b sin A , S ?ABC ? c ? CD ? bc sin A , 2 2 1 1 1 同理可得 S ?ABC ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A . 2 2 2
(3)面积公式: S ?ABC ?

2.正弦定理和余弦定理的应用 考点 1:三角形面积公式的应用 【例 1】在△ABC 中,已知 A=30° ,a=8,b=8 3,求△ABC 的面积.

3 练习 1.已知△ABC 的面积为 ,且 b=2,c= 3,则( ) 2 A.A=30° B.A=60° C.A=30° 或 150° D.A=60° 或 120° 2.在△ABC 中,AB=2,BC=5,△ABC 的面积为 4,则 cos∠ABC 等于( ) 3 3 3 2 A. B.± C.- D.± 5 5 5 5 3.在△ABC 中,已知 b=1,c=3,A=60 ,则 S△ABC=
0

。 )

4.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于( A. 12 B.

21 2

C. 28

D. 6 3

考点 2:判断三角形的形状 【例 2】 (1)已知△ABC 的三边的长度分别为 5、7、8,试判断△ABC 的形状. (2)已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab 且 2cosAsinB=sinC,试判断此三角形的形状.

练习 1.在 ?ABC 中, b cos A ? a cos B ,则 ?ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2 2 2 2.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tanB= 3ac,则角 B 的值为( π π π 5π π 2π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3 3.在 ?ABC 中, a , b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 2a cos B ? c ,则 ?ABC 的形状( A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 )

)

4.设 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边长,求实数 a 的取值范围.

【反思】 本题实质上是求 2a+1,a,2a-1 能构成钝角三角形的充要条件,除了要保证三边长均为正数 外,还应满足“两边之和大于第三边”. 5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bcosC=(2a-c)cosB. (1)求角 B 的大小;(2)若 b2=ac,试确定△ABC 的形状.

考点 3:测量距离 类型 1:设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。
【例 3】测量者在 A 的同测,在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 10 3 ,∠BAC=45o, ∠ACB= 75o,求 A、B 两点间的距离.

类型 2:A、B 两点都在河的对岸(不可到达) ,设计一种测量两点间的距离的方法。 【例 4】 如图,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离,在岸边定一基线 CD,现已测出 CD=a 和∠ACD=60° , ∠BCD=30° ,∠BDC=105° ,∠ADC=60° ,试求 AB 的长.

练习 1 .隔河可以看到对岸两目标 A 、 B , 但不能到达,现在岸边取相距 3km 的 C 、 D 两点,测得 ,求两目标 ?ACB ? 75? , ?BCD ? 45? , ?ADC ? 30? , ?ADB ? 45? ( A 、 B 、 C 、 D 在同一平面内)

A 、 B 间的距离.

练习 2.如图某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A 、 B ,观察对 岸的点 C ,测得 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 45 ,且 AB ? 100 米.
? ?

(1)求 sin 75 ; (2)求该河段的宽度.

?

考点 4:测量高度 【例 5】 如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? ? 60? ,在塔底 C 处测得 A 处的俯角 ? ? 45? . 已知铁塔 BC 部分的高为 10 m,求出山高 CD

练习 1:如图,为了测量河对岸的塔高 AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底 B 在同一水平面内的两个 测点 C 和 D,测得 CD=200 米,在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45° 和 30° ,且∠CBD=30° ,求塔 高 AB.

练习 2.如图,为了测量河对岸电视塔 CD 的高度,小王在点 A 处测得塔顶 D 仰角为 30°, 塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15°角,小王向前走了 1200m 到达 M 处,测得塔底 C 与 M 的连线 同河岸成 60°角,则电视塔 CD 的高度为 .

3.在地面上一点 D 测得一电视塔尖的仰角为 45 ? ,再向塔底方向前进 100 m,又测得塔尖的 仰角为 60 ? ,则此电视塔高约为( ) A.237 m B.227 m C.247 m D.257 m 4. 为测某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 测得塔基 B 的俯角为 45°,则塔 AB 的高度为多少 m?

考点 5:测量角度
【例 6】如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/ 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行, 若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 ? 的方向追赶渔船乙, 刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值. 北 C
?

西

?
B

60

?

A





考点 6 三角形中的恒等式证明问题 a2-b2 sin?A-B? 【例 7】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,证明: 2 = . c sinC

a-c· cosB sinB 练习 1.在△ABC 中,求证: = . b-c· cosA sinA

cos B b 2.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- . cos C 2a+c (1)求角 B 的大小;(2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

3.在△ABC 中,求证: c(a cos B ? b cos A) ? a ? b .
2 2

4.在△ABC 中,求证: a ? b cos C ? c cos B, b ? c cos A ? a cos C, c ? a cos B ? b cos A .

1.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30 和 60 ,则塔高为(

?

?



A.

200 3 m 3

B.

400 3 m 3

C.

400 m 3

D.

200 m 3

2.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,则它的顶角的余弦值为( ) 7 7 8 8 A.- B. C.- D. 8 8 7 7 3. 如图, 在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为 60° , 塔基的俯角为 45° , 则这座塔的高度是( 3 A.20?1+ ? m B.20(1+ 3) m C.10( 6+ 2) m D.20( 6+ 2) m 3? ?

)

4.海上有 A,B 两个小岛相距 10 n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B,C 之间的距离为( ) 10 6 A.10 3 n mile B. n mile C.5 2 n mile D.5 6 n mile 3 5.如图, 要测量湖中一灯塔的高 CD(水上部分), 可在岸边一建筑物 AB 上进行有关的测量. 已知 AB=20 米, π π 且测出∠CAD= ,∠ACB= ,则灯塔 CD 的高度为( ) 3 4 A.20(3- 3)米 B.20( 6- 2)米 C.10 2米 D.20( 3+ 2)米 6.一艘轮船从 A 出发,沿南偏东 70° 的方向航行 40 海里后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 35° 的方向 航行了 40 2海里到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到 C,此船航行的方向和路程(海里)分别为( ) A.北偏东 80° ,20( 6+ 2) B.北偏东 65° ,20( 3+ 2) C.北偏东 65° ,20( 6+ 2) D.北偏东 80° ,20( 3+ 2) 7.一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15° 方向上,与灯塔 S 相距 20 n mile,随后货轮按北偏 西 30° 的方向航行 3 h 后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( ) 10? 6+ 2? 10? 6- 2? A. n mile/h B. n mile/h 3 3 10? 6+ 3? 10? 6- 3? C. n mile/h D. n mile/h 3 3 cosA b 4 8.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 是( ) cosB a 3 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 9.△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠B=30° ,则△ABC 的面积等于( ) 3 3 3 3 3 A. B. C. 或 3 D. 或 2 4 2 2 4 10.在△ABC 中,A=60° ,AB=1,AC=2,则 S△ABC 的值为( B ) 1 3 A. B. C. 3 D.2 3 2 2 11.已知 △ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________. 12.如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN= 60° ,C 点的仰角∠CAB=45° 以及∠MAC=75° ;从 C 点测得∠MCA=60° .已知山高 BC=100 m,则山 高 MN=___________m.

13.某海岛周围 38 海里有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东 60° 方向,航行 30 海里后,测得 此岛在东北方向,若不改变航向,则此船________触礁的危险.(填“有”或“没有”) 14. 已知△ABC 的三个内角 A, B, C 满足 2B=A+C, 且 AB=1, BC=4, 则 BC 边上的中线 AD 的长为________.

15.如图,为了解某海域海底构造,对海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量.已知 AB=50 m,BC =120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE=200 m,于 C 处测得水深 CF=110 m,求∠DEF 的余弦值.

16.一只船以 20 海里/时的速度向正东航行,它在 A 点时测得灯塔 P 在船的北偏东 60° 方向,2 小时后船到达 B 点时测得灯塔 P 在船的北偏东 45° 方向,求: (1)船在 B 点时与灯塔 P 的距离; (2)已知以 P 点为圆心,55 海里为半径的圆形水域内有暗礁,那么此船继续向正东航行,有无触礁的危 险?

17.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出呼叫信号,如图,我海军护航舰在 A 处获悉后,立即测出 该货船在方位角为 45° ,距离为 10 海里的 C 处,并测得货船正沿方位角为 105° 的方向,以 10 海里/小时的速 度向前行驶,我海军护航舰立即以 10 3海里/小时的速度前去营救,求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.

18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3acosB. (1)求角 B 的大小;(2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值.

19. 如图,在树丛中为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离,观察者找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A, B;找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C. 并测量得到 图中的一些数据,此外, ?CDA ? ?CEB ? 60? . (1)求 ?ABC 的面积; (2)求 A、B 两点之间的距离.

1.2 正弦定理和余弦定理应用举例(教师版)
【知识梳理】 (1)正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等. a b c ? ? ? 2 R ,其中 R 为该三角形外接圆的半径. 即: sin A sin B sin C
(2)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即: c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C , a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos C .

1 1 1 1 ah ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A . 2 2 2 2 1 1 证明:过点 C 作 CD⊥AB 于 D,此时有 CD ? b sin A , S ?ABC ? c ? CD ? bc sin A , 2 2 1 1 1 同理可得 S ?ABC ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A . 2 2 2
(3)面积公式: S ?ABC ?

2.正弦定理和余弦定理的应用 考点 1:三角形面积公式的应用 【例 1】在△ABC 中,已知 A=30° ,a=8,b=8 3,求△ABC 的面积. a b b 8 3 3 解析:由 = ,得 sinB= sinA,∴sinB= · sin30° = . sinA sinB a 8 2 又∵8 3· sin30° <8<8 3,即 bsinA<a<b,∴三角形的解有两种情况. 3 ∵sinB= ,∴B=60° 或 120° ,∴C=90° 或 30° . 2 1 1 1 ∴S△ABC= ab· sinC= ×8×8 3×sin90° =32 3或 S△ABC= ×8×8 3×sin30° =16 3, 2 2 2 ∴△ABC 的面积为 32 3或 16 3. 3 练习 1.已知△ABC 的面积为 ,且 b=2,c= 3,则( D ) 2 A.A=30° B.A=60° C.A=30° 或 150° D.A=60° 或 120° 2.在△ABC 中,AB=2,BC=5,△ABC 的面积为 4,则 cos∠ABC 等于( B ) 3 3 3 2 A. B.± C.- D.± 5 5 5 5 1 1 4 3 解析:由 S= AB· BC· sin∠ABC,得 4= ×2×5×sin∠ABC,∴sin∠ABC= ,从而 cos∠ABC=± .答案:B 2 2 5 5 3.在△ABC 中,已知 b=1,c=3,A=60 ,则 S△ABC=
0

3 3 4



4.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于( D ) A. 12 B.

21 2

C. 28

D. 6 3

考点 2:判断三角形的形状 【例 2】 (1)已知△ABC 的三边的长度分别为 5、7、8,试判断△ABC 的形状. (2)已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab 且 2cosAsinB=sinC,试判断此三角形的形状. 解析: (1)长度为 8 的边对应的角度最大,由 5 ? 7 ? 8 ? 10 ? 0 ,所以最大角为锐角,故△ABC 为锐 角三角形。
2 2 2

sinC c sinC (2)解析:解法一:(利用边的关系判断)由正弦定理,得 = . ∵2cosAsinB=sinC,∴cosA= = sinB b 2sinB b2+c2-a2 b2+c2-a2 c c .∵cosA= ,∴ = ,∴a=b.∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 2b 2bc 2bc 2b 2 2 ∴(a+b) -c =3ab. 又∵a=b,∴4b2-c2=3b2,∴b2=c2,∴b=c,∴△ABC 为等边三角形. 解法二:(利用角的关系判断)∵A+B+C=180° ,∴sinC=sin(A+B). ∵2cosAsinB=sinC,∴2cosAsinB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sinAcosB-cosAsinB=0,∴sin(A-B)=0. ∵0° <A<180° ,0° <B<180° ,∴-180° <A-B<180° ,∴A-B=0,即 A=B. 2 2 ∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴(a+b) -c =3ab,∴a2+b2-c2=ab. a2+b2-c2 1 ∵cosC= = ,∴C=60° ,∴△ABC 为等边三角形. 2ab 2 练习 1.在 ?ABC 中, b cos A ? a cos B ,则 ?ABC 是( C ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2 2 2 2.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tanB= 3ac,则角 B 的值为( D ) π π π 5π π 2π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3 2 2 2 a +c -b 3 3 3 π 2π 解析:∵(a2+c2-b2)tanB= 3ac,∴ tanB= ,即 cosBtanB= ,sinB= ,∴B= 或 . 2ac 2 2 2 3 3 3.在 ?ABC 中, a , b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 2a cos B ? c ,则 ?ABC 的形状( C ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

4.设 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边长,求实数 a 的取值范围. 2a+1>0, ? ? 【正解】 ∵2a+1,a,2a-1 为三角形的三边长,∴?a>0, ? ?2a-1>0,
2

1 解得 a> ,此时 2a+1 最大. 2

∵2a+1, a,2a-1 表示三角形的三边长, 还需 a+(2a-1)>2a+1, 解得 a>2.设最长边所对角为 θ, 则 cosθ 2 2 a +?2a-1? -?2a+1? a?a-8? 1 = = <0,解得 <a<8.∴a 的取值范围是 2<a<8. 2 2a?2a-1? 2a?2a-1? 【反思】 本题实质上是求 2a+1,a,2a-1 能构成钝角三角形的充要条件,除了要保证三边长均为正数 外,还应满足“两边之和大于第三边”. 5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bcosC=(2a-c)cosB. (1)求角 B 的大小;(2)若 b2=ac,试确定△ABC 的形状. 解析:(1)由已知及正弦定理,得 sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB,即 sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB, ∴sin(B+C)=2sinAcosB. 1 ∵sin(B+C)=sinA≠0,∴2cosB=1,即 cosB= ,又∵0<B<180° ,∴B=60° . 2 2 2 2 (2)根据余弦定理,得 b =a +c -2accosB. 又 b2=ac,则 ac=a2+c2-2accos60° ,即 a2+c2-2ac=0,∴(a-c)2=0,即 a=c. 从而 b= ac=a=c,故△ABC 为正三角形.

考点 3:测量距离 类型 1:设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。
【例 3】测量者在 A 的同测,在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 10 3 ,∠BAC=45o, ∠ACB= 75o,求 A、B 两点间的距离. 分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形,

AB AC = sin C sin B

解析:∠ B = 180 o - ∠ BAC - ∠ ACB = 60o 由正弦定理

AB AC AB 55 = = 得, , AB ? 5( 2 ? 6) ? sin C sin B sin 75 sin 60?

类型 2:A、B 两点都在河的对岸(不可到达) ,设计一种测量两点间的距离的方法。 【例 4】 如图,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离,在岸边定一基线 CD,现已测出 CD=a 和∠ACD=60° , ∠BCD=30° ,∠BDC=105° ,∠ADC=60° ,试求 AB 的长.

分析:在△BCD 中,求出 BC,在△ABC 中,求出 AB. 解析: 在△ACD 中, 已知 CD=a, ∠ACD=60° , ∠ADC=60° , ∴AC=a. ∵∠BCD=30° , ∠BDC=105° , asin105° 3+1 ∴∠CBD=45° . 在△BCD 中,由正弦定理可得 BC= = a. sin45° 2 在△ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又∵∠ACB=30° , 2 ∴利用余弦定理可以求得 A,B 两点之间的距离,∴AB= AC2+BC2-2AC· BC· cos30° = a. 2 点评:(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模型.(2)利用 正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解.

练习 1 .隔河可以看到对岸两目标 A 、 B , 但不能到达,现在岸边取相距 3km 的 C 、 D 两点,测得

?ACB ? 75? , ?BCD ? 45? , ?ADC ? 30? , ?ADB ? 45? ( A 、 B 、 C 、 D 在同一平面内) ,求两目标
A 、 B 间的距离.
解析:如图在 ?ACD 中,

? ?ACD ? ?ACB ? ?BCD ? 75? ? 45? ? 120?
??CAD ? 30? ? AC ? CD ? 3 ,
由余弦定理知: AD ? AC2 ? CD2 ? 2 AC ? CD ? cos120? ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? (? 1 ) ? 3 , 2 在 ?BCD 中, ?CBD ? 1800 ? ?BCD ? ?CDB ? 180? ? 45? ? (30? ? 45? ) ? 60?
BD CD 由正弦定理知: sin ?BCD ? sin ?CBD

CD ? sin ?BCD ? BD ? ? sin ?CBD

3? 3 2

2 2 ? 2

2 ? 5 在 ?ABD 中,由余弦定理知 AB ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD ? cos45? ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2

2

答:两目标 A 、 B 间的距离为 5km . 练习 2.如图某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A 、 B ,观察对

岸的点 C ,测得 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 45 ,且 AB ? 100 米.
? ?

(1)求 sin 75 ; (2)求该河段的宽度. 【解析】 (1) sin 75? ? sin(30? ? 45? ) ? sin 30 cos 45 ? cos30 sin 45
? ? ? ?

?

1 2 3 2 6? 2 . ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4
(2)∵ ?CAB ? 75? , ?CBA ? 45? ,∴ ?ACB ? 60? .
C D



AB sin 75? AB BC ? ,∴ BC ? . sin ?ACB sin ?CAB sin 60?
B

A 如图过点 B 作 BD 垂直于对岸,垂足为 D ,则 BD 的长就是该河段的宽度.

在 Rt ?BDC 中, ?BCD ? ?CBA ? 45 , sin ?BCD ?
?

BD , BC

AB sin 75? 50 (3 ? 3) 50 (3 ? 3) ? sin 45? ? ∴ BD ? BC sin 45 ? .∴该河段的宽度 米. ? sin 60 3 3
?

考点 4:测量高度 【例 5】 如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? ? 60? ,在塔底 C 处测得 A 处的俯角 ? ? 45? . 已知铁塔 BC 部分的高为 10 m,求出山高 CD
解:

CD ? 5 3 ? 5

变式探究 2 如图,为了测量河对岸的塔高 AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 和 D, 测得 CD=200 米, 在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45° 和 30° , 且∠CBD=30° , 求塔高 AB.

解析:在 Rt△ABC 中,∠ACB=45° ,若设 AB=h,则 BC=h;在 Rt△ABD 中,∠ADB=30° ,则 BD= 3 h. 3 在△BCD 中, 由余弦定理可得 CD2=BC2+BD2-2· BC· BD· cos∠CBD, 即 2002=h2+( 3h)2-2· h· 3h· , 2

所以 h2=2002,解得 h=200(h=-200 舍去),即塔高 AB=200 米. 练习 1.如图,为了测量河对岸电视塔 CD 的高度,小王在点 A 处测得塔顶 D 仰角为 30°, 塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15°角,小王向前走了 1200m 到达 M 处,测得塔底 C 与 M 的连线 同河岸成 60°角,则电视塔 CD 的高度为

600 2



2.在地面上一点 D 测得一电视塔尖的仰角为 45 ? ,再向塔底方向前进 100 m,又测得塔尖的 仰角为 60 ? ,则此电视塔高约为( A ) A.237 m B.227 m C.247 m D.257 m 3. 为测某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 测得塔基 B 的俯角为 45°,则塔 AB 的高度为多少 m?

答案: AB ? 20 ?

2 3 3

考点 5:测量角度
【例 6】如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/ 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行, 若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 ? 的方向追赶渔船乙, 刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值. 答案: (1)14海里/小时; (2) sin ? ? 北 C
?

3 3 14
西

?
B

60?

A



南 考点 6 三角形中的恒等式证明问题 a2-b2 sin?A-B? 【例 7】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,证明: 2 = . c sinC 2 2 2 2 2 2 解析:由余弦定理,a =b +c -2bccosA,b =c +a -2cacosB, a2-b2 acosB-bcosA 两式相减,得 a2-b2=b2-a2-2bccosA+2cacosB,∴ 2 = . c c 2 2 a -b sinAcosB-sinBcosA sin?A-B? a sinA b sinB 由正弦定理,知 = , = . ∴ 2 = = . c sinC c sinC c sinC sinC a-c· cosB sinB 练习 1.在△ABC 中,求证: = . b-c· cosA sinA c?a2+c2-b2? a- 2ac a2-c2+b2 2b b 2RsinB sinB 证明:证法一:化角为边,左边= = · 2 2 2= = = =右边. 2a c?b2+c2-a2? b -c +a a 2RsinA sinA b- 2bc sinA-sinC· cosB sin?B+C?-sinC· cosB sinBcosC sinB 证法二:化边为角,左边= = = = =右边. sinB-sinC· cosA sin?A+C?-sinC· cosA sinAcosC sinA

cos B b 2.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- . cos C 2a+c (1)求角 B 的大小;(2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 解 a2+c2-b2 a2+b2-c2 (1)由余弦定理知:cos B= ,cos C= . 2ac 2ab a2+c2-b2 cos B b 2ab b =- 得: ·2 ,整理得:a2+c2-b2=-ac. 2 2=- cos C 2 ac 2a+c a +b -c 2a+c 2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3

将上式代入

a2+c2-b2 -ac 1 ∴cos B= = =- . 2ac 2ac 2

2π (2)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A,A= ,则 a2=(b+c)2-bc,又 a=2 3,b+c=4, 3 1 有 12=42-bc,则 bc=4,故 S△ABC= bcsin A= 3. 2

3.在△ABC 中,求证: c(a cos B ? b cos A) ? a ? b .
2 2

解析:根据余弦定理的推论, cos A ? 所以,左边 ? c(a cos B ? b cos A)
? c(a ?

b2 ? c 2 ? a 2 c2 ? a 2 ? b2 , cos B ? 2bc 2ca

2 c 2 ? a 2? b 2 b ? c ?2a 2 ?b? ) 2ca 2bc 2 c 2 ? a 2? b 2 b ? c ?2a 2 1 ? c( ? ) ? (2a 2 ? 2b 2 ) ? 右边 2c 2c 2

4.在△ABC 中,求证: a ? b cos C ? c cos B, b ? c cos A ? a cos C, c ? a cos B ? b cos A .

解:右边 ? b cos C ? c cos B ? b ?

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? b 2 2a 2 ? c? ? ? ? ? a ? 左边 2ab 2ac 2a 2a 2a

1.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30 和 60 ,则塔高为( C )

?

?

A.

200 3 m 3

B.

400 3 m 3
?

C.

400 m 3
?

D.

200 m 3
?

【答案】C

【解析】如图, ?DAC ? 60 , ?OAC ? 60 , ?DAB ? 30 ,

AO ? 200 , 在 ?AOC 中, ∴ OC ?
因此塔高 BD ? 200 ?

200 3 3 200 200 3 200 3 , , 在 ?ABD 中, , BD ? ? ? AD ? OC ? 3 3 3 3 3

200 400 ? . 3 3

2.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,则它的顶角的余弦值为( B ) 7 7 8 8 A.- B. C.- D. 8 8 7 7

4a2+4a2-a2 7 解析:设等腰三角形的底边长为 a,顶角为 θ,则腰长为 2a,由余弦定理得,cosθ= = . 8a2 8 答案:B 3. 如图, 在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为 60° , 塔基的俯角为 45° , 则这座塔的高度是( ) 3 A.20?1+ ? m B.20(1+ 3) m C.10( 6+ 2) m D.20( 6+ 2) m 3? ?

解析:如图,过点 A 作 AE⊥CD 交 CD 于点 E. 由已知可得∠DAE=60° ,∠EAC=45° ,AB=20,AE= CE=20,DE=20 3.∴CD=20 3+20=20( 3+1).答案:B 4.海上有 A,B 两个小岛相距 10 n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B,C 之间的距离为( ) 10 6 A.10 3 n mile B. n mile C.5 2 n mile D.5 6 n mile 3 3 10× 2 AB BC AB· sinA 解析:在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,∴C=45° .∵ = ,∴BC= = =5 6. sinC sinA sinC 2 2 答案:D 5.如图, 要测量湖中一灯塔的高 CD(水上部分), 可在岸边一建筑物 AB 上进行有关的测量. 已知 AB=20 米, π π 且测出∠CAD= ,∠ACB= ,则灯塔 CD 的高度为( ) 3 4 A.20(3- 3)米 B.20( 6- 2)米 C.10 2米 D.20( 3+ 2)米 AB 解析:在 Rt△ABC 中,AC= =20 2(米). sin∠ACB AC· sin∠CAD CD AC 在△ACD 中,由正弦定理可知 = ,从而 CD= . sin∠CAD sin∠ADC sin∠ADC π π? 6+ 2 π π 5π 5π 又∠ADC=π-∠CAD-∠ACD=π- - = ,sin∠ADC=sin =sin? ?4+6?= 4 , 3 4 12 12 3 20 2× 2 所以 CD= =20(3- 3)(米).答案:A 6+ 2 4 6.一艘轮船从 A 出发,沿南偏东 70° 的方向航行 40 海里后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 35° 的方向 航行了 40 2海里到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到 C,此船航行的方向和路程(海里)分别为( ) A.北偏东 80° ,20( 6+ 2) B.北偏东 65° ,20( 3+ 2) C.北偏东 65° ,20( 6+ 2) D.北偏东 80° ,20( 3+ 2) 解析:由题可知∠ABC=105° ,在△ABC 中,AB=40,BC=40 2, 2 2 2 +45° ) = 3 200 + 1 所以 AC = AB + BC - 2AB· BC· cos ∠ ABC = 402 + (40 2) 2 - 2×40×40 2cos (60° 600 3,所以 AC=20( 6+ 2). BC AC AC· sinABC 2 = ?sin∠BAC= = ,所以∠BAC=45° ,所以下次航行直接从 A 出发到 C, BC 2 sin∠BAC sinABC 航向为北偏东 65° ,故选 C. 答案:C 7.一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15° 方向上,与灯塔 S 相距 20 n mile,随后货轮按北偏 西 30° 的方向航行 3 h 后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( )

10? 6+ 2? 10? 6- 2? A. n mile/h B. n mile/h 3 3 10? 6+ 3? 10? 6- 3? C. n mile/h D. n mile/h 3 3 解析:如图,在△MNS 中,MS=20,∠NMS=45° ,∠SNM=105° ,∠MSN=30° .

MS MN 在△MNS 中,由正弦定理,得 = . sin∠MNS sin∠MSN 10? 6- 2? ∴货轮的速度为 n mile/h. 3 答案:B

20sin30° 10 ∴MN= = =10( 6- 2). sin105° 6+ 2 4

cosA b 4 8.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 是( ) cosB a 3 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 b sinB cosA 解析:根据正弦定理 = = ,因此 sinBcosB=sinAcosA,即 sin2B=sin2A,所以 B=A 或 2B+2A a sinA cosB b 4 π =π,由于 = ,所以 2B+2A=π 成立,即 B+A= .答案:A a 3 2 9.△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠B=30° ,则△ABC 的面积等于( ) 3 3 3 3 3 A. B. C. 或 3 D. 或 2 4 2 2 4 1 3 3 解析: = ,∴sinC= .∵0° <∠C<180° ,∴∠C=60° 或 120° .(1)当∠C=60° 时,∠A=90° , sin30° sinC 2 3 ∴BC=2.此时 S△ABC= . 2 1 3 (2)当∠C=120° 时,∠A=30° ,此时 S△ABC= × 3×1×sin30° = .答案:D 2 4 10.在△ABC 中,A=60° ,AB=1,AC=2,则 S△ABC 的值为( B ) 1 3 A. B. C. 3 D.2 3 2 2 1 3 解析:S△ABC= AB· AC· sinA= . 2 2 答案:B 11.已知 △ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于___

7 3 ______. 3

12.如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN= 60° ,C 点的仰角∠CAB=45° 以及∠MAC=75° ;从 C 点测得∠MCA=60° .已知山高 BC=100 m,则山 高 MN=___________m. 解析:利用三角函数的定义及正弦定理求解.根据图示,AC=100 2 m. AC AM 在△MAC 中,∠CMA=180° -75° -60° =45° .由正弦定理得 = ?AM=100 3 m. sin45° sin60° MN 3 在△AMN 中, =sin60° ,∴MN=100 3× =150(m).答案:150 AM 2

13.某海岛周围 38 海里有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东 60° 方向,航行 30 海里后,测得 此岛在东北方向,若不改变航向,则此船________触礁的危险.(填“有”或“没有”) 解析:如图,在△ABC 中,AB=30,∠BAC=30° ,∠ABC=135° ,∴∠ACB=15° .

AB 30 15 由正弦定理,得 BC= · sin∠BAC= · sin30° = =15( 6+ 2). sin15° sin∠ACB 6- 2 4 过点 C 作 CD 垂直 AB,交 AB 的延长线于点 D. 2 在 Rt△BDC 中,CD= BC=15( 3+1)>38. 2 所以没有触礁的危险. 答案:没有 14. 已知△ABC 的三个内角 A, B, C 满足 2B=A+C, 且 AB=1, BC=4, 则 BC 边上的中线 AD 的长为________. 解析:∵2B=A+C,∴A+B+C=3B=180° ,∴B=60° ,∵BC=4,∴BD=2,∴在△ABD 中,AD= 2 2 2 2 AB +BD -2AB· BDcos60° = 1 +2 -2×1×2cos60° = 3. 答案: 3 15.如图,为了解某海域海底构造,对海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量.已知 AB=50 m,BC =120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE=200 m,于 C 处测得水深 CF=110 m,求∠DEF 的余弦值.

解:作 DM∥AC 交 BE 于点 N,交 CF 于点 M,作 FH∥AC 交 BE 于点 H. 由题中所给数据,得 DF= MF2+DM2= 302+1702=10 298, DE= DN2+EN2= 502+1202=130, EF= EH2+FH2= 902+1202=150. DE2+EF2-DF2 1302+1502-102×298 16 在△DEF 中,由余弦定理,得 cos∠DEF= = = . 65 2×DE×EF 2×130×150

16.一只船以 20 海里/时的速度向正东航行,它在 A 点时测得灯塔 P 在船的北偏东 60° 方向,2 小时后船到达 B 点时测得灯塔 P 在船的北偏东 45° 方向,求: (1)船在 B 点时与灯塔 P 的距离; (2)已知以 P 点为圆心,55 海里为半径的圆形水域内有暗礁,那么此船继续向正东航行,有无触礁的危 险?

解: 如图,在△ABP 中,依题意,知 AB=20×2=40,∠PAB=30° ,∠ABP=135° ,所以∠APB=15° .由正弦 BP AB 定理得 = ,解得 BP=20( 6+ 2). sin30° sin15° 2 (2)过 P 点作 PD⊥AB,D 为垂足,在 Rt△BPD 中,PD= BP=20 3+20<55. 2 故船在 B 点时与灯塔相距 20( 6+ 2)海里,继续航行有触礁的危险. 17.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出呼叫信号,如图,我海军护航舰在 A 处获悉后,立即测出 该货船在方位角为 45° ,距离为 10 海里的 C 处,并测得货船正沿方位角为 105° 的方向,以 10 海里/小时的速 度向前行驶,我海军护航舰立即以 10 3海里/小时的速度前去营救,求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.

解:设所需时间为 t 小时, 则 AB=10 3t,CB=10t,∠ACB=120° , 在△ABC 中,根据余弦定理,则有 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos120° , 可得(10 3t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120° , 1 整理得 2t2-t-1=0,解得 t=1 或 t=- (舍去). 2 舰艇需 1 小时靠近货船. 此时 AB=10 3,BC=10,又 AC=10,所以∠CAB=30° ,所以护航舰航行的方位角为 75° . 18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3acosB. (1)求角 B 的大小;(2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. a b 解:(1)由 bsinA= 3acosB 及正弦定理 = ,得 sinB= 3cosB, sinA sinB π 所以 tanB= 3,所以 B= . 3 a c (2)由 sinC=2sinA 及 = ,得 c=2a. sinA sinC 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,得 9=a2+c2-ac, 所以 a= 3,c=2 3. 19. 如图,在树丛中为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离,观察者找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A, B;找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C. 并测量得到 图中的一些数据,此外, ?CDA ? ?CEB ? 60? . (1)求 ?ABC 的面积; (2)求 A、B 两点之间的距离. 19.解: (1) Rt ?ACD 中, AC ? 16?tan 60? ? 16 3 .
Rt ?BCE 中,

BC ? 1 6 ? t a n ?6 ?0

1. 6 3

?ABC 的面积为

1 S?ABC ? ?1 6 3 ? 1 6 ?3 2

) .2 s? in ? 3 0 (m 129

(2) ?ABC 中,

AB ? (16 3) 2 ? (16 3) 2 ? 2 ? 16 3 ? 16 3 ? cos 30?

= 16 3 ? 1 ? 1 ? 2 ?

3 4?2 3 = 16 3 ? 2 ? 3 = 16 3 ? = 24 2 ? 8 6 . 2 2


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