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数学模型A卷参考答案 2


《数学模型》A 卷参考答案及评分标准
一、简答题(每题 5 分,共 20 分) 1、什么是数学建模?(5 分) 答:对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,作出一些必要的简化假设, 运用适当的数学工具,得到的一个数学结构的过程。 2、什么是马尔萨斯人口指数增长模型?(5 分) 答:马尔萨斯人口指数增长模型是马尔萨斯调查多年人口资料,得出人口增长

指数不变的的假设,建立的 人口指数增长模型,表达式如下:
dx dt

? r ? x , x(0) ? x0

3、数学模型有哪些主要特点?(5 分) 答:模型的逼真性和可行性、模型的渐进性、模型的强健性、模型的可转移性、模型的非预制性、模型的 条理性、模型的技艺性、模型的局限性。 4、数学模型按其表现特性有几种分法?(5 分) 答:确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、离散模型和连续模型、线性模型和非线性模型。 二、某学校共 200 名学生,分 A、B,C 三个系,各有 103,63,34 人,现组织一个校学生会共 21 个代表 席位,请试用较公平的方法为三个系分配学生会代表席位。 (20 分) 解:先按照比例计算结果将整数部分的 19 席分配完毕有:

n1 ? 10, n2 ? 6, n3 ? 3 然后用 Q 值法分配第 20 席和 21 席。 (5 分)
63 34 Q ? 103 ? 96.4, Q2 ? 6 ?7 ? 94.5, Q3 ? 3?4 ? 96.3, Q1 最大,于是这一席位应分给甲系。 第 20 席:计算 1 10?11 (10 分)
2 2 2

第 21 席:计算

103 63 34 Q3 最大,于是这一席位应分给丙系。 Q1 ? 11 ?12 ? 40.4, Q2 ? 6?7 ? 94.5, Q3 ? 3?4 ? 96.3,
2 2 2

这样 21 个席位的分配结果是三系分别占有:11,6,4 席。 (5 分)

三、融雪时间(20 分) 一个顶角为 900 的锥体状雪堆,其体积融化的速率与锥面面积 S 成正比, 其比例系数为 k ( k ? 0) .假设雪 在融化过程中始终保持锥状.已知高为 h0 的雪堆在开始融化的 1 小时内,融化了其体积的
37 .试求雪堆全部 64

融化需要的时间。 答:如图.假设雪在融化过程中始终为顶角为 900 的圆锥体.其高为 h (t ) ,底面半径为 r (t ) .( h (t ) 、 r (t ) 均为时 间 t 的函数).于是 h(t ) ? r (t ) .在时刻 t 时,圆锥体积、锥面面积分别为:
1 1 V (t ) ? ?r 2h ? ?h3 (t ) 3 3

S (t ) ? ?rl ? ?h(t ) h 2 (t ) ? h 2 (t ) ?

2?h 2 (t ) (1)

由假设条件,体积变化的微分方程模型为:

? dV (t ) ? ?ks(t ) ? ? dt ? ?V (0) ? 1 ?h 3 0 或h?0 ? ? h 0 ? 3 ?
再由(1)得: ? dt
? dh(t ) ? ? 2k ? ?h(0) ? h0 ?

45o (2) r

(10 分)

解得: h(t ) ? h0 ? 2kt

1 ? V (t ) ? ? (h0 ? 2 kt)3 3

又由已知条件 而
1 3 V (0) ? ?h0 , 3

V (1) ? (1 ?

37 )V (0) . 64

1 V (1) ? ? (h0 ? 2 k )3 3

?

1 27 1 3 ? (h0 ? 2 k )3 ? ? ?h0 3 64 3

?

h0 ? 4 2k

故 h(t ) ? 4 2k ?

2kt .

雪堆全部融化 ? h(t ) ? 0
? 4 2 k ? 2 kt ? 0

得 t ? 4 (小时) (10 分)

四、某工厂厂长有权根据产品和销售情况制定某商品的价格。在产销平衡的前提下,设该商品售量(产量) 为 x,成本为 q,售价为 p,总收入与总支出为售量的线性函数。求该商品在利润最大时的最优价格。 (20 分) 解:依题意有: 总收入为: I ? p ? x ,总支出为: C ? q ? x (5 分) 由总收入与总支出为售量的线性函数,则有:

x ? a ? b ? p,

a, b ? 0 (5 分)

利润 U 可以表示为: U ( p) ? I ( p) ? C ( p) ? p ? x ? q ? x (5 分) 代入上式数据有: U ( p) ? ( p ? q) ? (a ? b ? p) 要使利润最大,最优价格 p * 可以由 dU 得到,即有: dp | p ? p* ? 0

(a ? b ? p*) ? ( p * ?q) ? b ? 0
于是有最优价格为:
a p* ? q 2 ? 2b (5 分)

五、刹车距离(20 分) 一辆汽车在司机猛踩刹车制动后 6 秒钟内停下,在这一刹车过程中,每一秒的速度值被记录了下来. 如下表: 刹车踩下后的时间(秒) 速度(米/秒) 0 30 1 21 2 15 3 10 4 6 5 3 6 0

试建立汽车刹车踩下后运行距离的数学模型, 并估算出刹车踩下后汽车最少滑过的距离和最多滑过的距离. 解:刹车踩下后汽车的运动是一个变速直线运动,设速度函数为 v ? v(t ) . 现对区间 ?0,6? 进行分割: 0 ? t 0 ? t1 ? t 2 ? ? ? t n . 近似代替,求和取极限,并由定积分定义,得

s ? s?6? ? s?0? ? lim
1? i ? n

max{?ti }

? v(? )?t ? ? v?t ?dt
i ?1 i i

n

6

0

故所求数学模型为: s ? v?t ?dt (10 分)

?
0

6

现考虑区间 ?0,6? 的 6 等分,并且 ?t i =1.由实际意义知, v(t ) 是区间 [0, 6] 内单调减函数.在每个子区

间 t i ?1, t i 上取右端点 t i 、左端点 t i ?1 分别得到最小值 v?t i ? 和最大值 v?t i ?1 ? .再由定积分定义知:

?

?

s ? ? v?t ?dt ? ? ? v?t ?dt ? ? v?t i ??t i
0 i ?1 ti ?1 i ?1

6

6

ti

6

? ? v?t i ? ? 21 ? 15 ? 10 ? 6 ? 3 ? 0 ? 55?米?
i ?1

6

s ? ? v?t ?dt ? ? ? v?t ?dt ? ? v?t i ?1 ??t i
6 ti i ?1 ti ?1 i ?1

6

6

? ? v?t i ?1 ? ? 30 ? 21 ? 15 ? 10 ? 6 ? 3 ? 85?米?
i ?1

6

即: S min ? 55 (米) , S max ? 85 (米). (10 分)


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