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第十一篇第8讲二项分布与正态分布


第8讲 二项分布与正态分布
【2014年高考会这样考】 1.考查相互独立事件的概率.

2.考查n次独立重复试验的模型及二项分布.
3.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲 线所表示的意义.

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考点梳


1.相互独立事件

(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称 A、B是相互独立事件 ___________________. P(B) (2)若A与B相互独立,则P(B|A)= _____,
P(A)· P(B) P(AB)=P(B|A)· P(A)= ___________.
A与B (3)若A与B相互独立,则_______, _______与_______, A 与B A与 B

与 也都相互独立.
A与B相互独立 (4)若P(AB)=P(A)P(B),则_______________.
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2.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间 两种 相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有____ 结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生 一样 的概率都是______的. (2)二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为k,在每次 试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验 - Ck pk(1-p)n k n 中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)= ____________

(k=0,1,2,…,n) _________________,此时称随机变量X服从二项分布,记
作X~B(n,p),并称p为成功概率.
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3.正态分布 (1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数 a, b(a<b), 随机变量 X 满足 P(a<X≤b)

N(μ,σ2) =?bφμ,σ(x)dx, 则称 X 的分布为正态分布, 记作________. ? ?
?a

(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6; ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4; ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.

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?x-μ? 1 (3)正态曲线 φμ,σ(x)= e- ,x∈R 有以下性质: 2σ2 2πσ
2

①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; 1 ③曲线在 x=μ 处达到峰值 ; σ 2π

④曲线与x轴围成的图形的面积为1; ⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移; ⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高 ”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示 总体的分布越分散.
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【助学· 微博】 一个原则 3σ原则 (1)服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之 间的值,简称为3σ原则. (2)正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此 区间以外取值的概率只有0.002 6,通常认为这种情况在一次 试验中几乎不可能发生. 四个条件

二项分布事件发生满足的四个条件
(1)每次试验中,事件发生的概率都相同;(2)各次试验中的事 件相互独立;(3)每次试验结果只有发生、不发生两种情形;

(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.
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考点自测

1.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,

乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中
至少有一人被录取的概率为 A.0.12 解析 答案 B.0.42 C.0.46 D.0.88 ( ).

由题意知,甲、乙都不被录取的概率为(1-0.6)(1

-0.7)=0.12.∴至少有一人被录取的概率为1-0.12=0.88.
D

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1 2.小王通过英语听力测试的概率是 ,他连续测试 3 次,那么 3 其中恰有 1 次获得通过的概率是 4 A. 9 2 B. 9 4 C. 27
? ? ? ?3? ?

( 2 D. 27

).

解析

所求概率

1 3-1 4 1 ?1?1 ? 1- ? = . P=C3· · 3? 9

?

答案

A

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3.(2013· 深圳调研)两个实习生每人加工一个零件.加工为 2 3 一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为一等品 3 4 相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( 1 A. 2
解析

).

5 B. 12

1 C. 4

1 D. 6

记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A,则

2 1 1 3 5 P(A)=P(A1)+P(A2)= × + × = . 3 4 3 4 12

答案

B
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4.(2013· 白山联考)设随机变量X~N(1,52),且P(X≤0)=P(X≥ a-2),则实数a的值为 ). A.4 解析 答案 B.6 C.8 D.10 (

由题意可知随机变量X的正态曲线关于x=1对称,

则P(X≤0)=P(X≥2),所以a-2=2,a=4. A

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5.(2012· 新课标全国)某一部件由三个
电子元件按如图所示方式连接而 成,元件1或元件2正常工作,且元 件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用 寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元 件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1 000小时的概率为________.

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解析

设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件

1 分别记为 A,B,C,显然 P(A)=P(B)=P(C)= ,∴该 2 - - 部件的使用寿命超过 1 000 小时的事件为(A B + A B+ AB)C,∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率
?1 1 1 1 1 1? 1 3 P=?2×2+2×2+2×2?× = . ? ? 2 8

答案

3 8

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考向一

独立事件的概率

【例 1】?甲、乙两个篮球运动员互不影 响地在同一位置投球,命中率分别为 1 与 p, 且乙投球 2 次均未命中的概率 2 1 为 . 16

(1)求乙投球的命中率p; (2)求甲投球2次,至少命中1次的概率; (3)若甲、乙两人各投球2次,求共命中2次的概率.
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[审题视点] (1)利用列方程求p;(2)可用直接法也可用间接 法;(3)要分类讨论甲、乙各命中的次数.
解 (1)方法一 设“甲投一次球命中”为事件 A,“乙投

一次球命中”为事件 B. 1 由题意得(1-P(B)) =(1-p) = , 16
2 2

3 5 解得 p= 或 p= (舍去), 4 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4
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方法二

设“甲投一次球命中”为事件 A,“乙投一次球命

中”为事件 B. 1 由题意得:P( B )P( B )= , 16 1 1 于是 P( B )= 或 P( B )=- (舍去). 4 4 3 故 p=1-P( B )= . 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4 (2)方法一 1 1 由题设知,P(A)= ,P( A )= . 2 2

3 故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 1-P( A · )= . A 4
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方法二

1 1 由题设知,P(A)= ,P( A )= . 2 2

故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 3 1 C2P(A)P( A )+P(A)P(A)= . 4 1 1 (3)由题设和(1)知,P(A)= ,P( A )= , 2 2 3 1 P(B)= ,P( B )= . 4 4 甲、 乙两人各投球 2 次, 共命中 2 次有三种情况: 甲、 乙两人各中一次;甲中 2 次,乙 2 次均不中;甲 2 次 均不中,乙中 2 次.
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概率分别为

C1P(A)P( A )C1P(B)P( B )= 2 2

3 , 16

1 P(A)P(A)P( B )P( B )= , 64 9 P( A )P( A )P(B)P(B)= . 64 所以甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次的概率为 3 1 9 11 + + = . 16 64 64 32

(1)相互独立事件是指两个试验中,两事件发生
的概率互不影响;相互互斥事件是指同一次试验中,两个 事件不会同时发生; (2)求用“至少”表述的事件的概率时,先求其对立事件的 概率往往比较简单.
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【训练1】 (2012· 全国)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双 方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球 2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设 在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛 中,甲先发球. (1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率; (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望. 解 记Ai表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i 分,i=0,1,2;A表示事件:第3次发球,甲得1分; B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2.
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- (1)B=A0· A+A1· , A P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16, P(A1)=2×0.6×0.4=0.48, - - P(B)=P(A0· A+A1· )=P(A0· A A)+P(A1· ) A - =P(A0)P(A)+P(A1)P( A )

=0.16×0.4+0.48×(1-0.4) =0.352. (2)P(A2)=0.62=0.36.ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)=P(A2· A)=P(A2)P(A)=0.36×0.4=0.144, P(ξ=2)=P(B)=0.352,
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- - P(ξ=3)=P(A0· )=P(A0)P( A )=0.16×0.6=0.096, A

P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)-P(ξ=3) =1-0.144-0.352-0.096 =0.408. 所以ξ的分布列为:

ξ
P

0

1

2

3

0.144 0.408 0.352 0.096

E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3) =0.408+2×0.352+3×0.096=1.400.

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考向二

独立重复试验与二项分布

【例 2】?张先生家住 H 小区,他工作在 C 科技园区,从家 开车到公司上班路上有 L1,L2 两条路线,如图所示,L1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率 1 均为 ;L2 路线上有 B1,B2 两个路口,各路口遇到红灯的 2 3 3 概率依次为 , . 4 5

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(1)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率; (2)若走L2路线,求遇到红灯次数X的数学期望; (3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从 上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.

[审题视点] (1)可看作三次独立重复试验恰好发生零次和一次
的概率之和;(2)计算出X的各取值对应的概率,由分布列计 算其数学期望,(3)由两条路线遇到的红灯次数的数学期望大 小判断最好路线.

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(1)设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则
? ? ?2? ? ? ?2?

1 1 1 1 0 ? ?3+C1× ×? ?2= . P(A)=C3× 3 2 2 1 所以走 L1 路线,最多遇到 1 次红灯的概率为 . 2 (2)依题意,知 X 的可能取值为 0,1,2.
? 3? ? 3 ? 1 P(X=0)=?1-4?×?1-5?= , ? ? ? ? 10

3 ? 3? ? 3? 3 9 P(X=1)= ×?1-5?+?1-4?× = , 4 ? ? ? ? 5 20 3 3 9 P(X=2)= × = . 4 5 20
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随机变量X的分布列如下表所示:
X P 0 1 10 1 9 20 2 9 20

1 9 9 27 E(X)= ×0+ ×1+ ×2= . 10 20 20 20 (3)设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y,随机变量 Y 服
? 1? 从二项分布,Y~B?3,2?,所以 ? ?

1 3 E(Y)=3× = . 2 2

因为 E(X)<E(Y),所以选择 L2 路线上班最好.
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二项分布模型也称为n次独立重复试验模型, 这个概率模型在本质上是某个随机事件在n次重复发生的 过程中,每次发生的概率都相同,其发生的次数就服从二

项分布,在n次试验中,事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率
为Pn(k)=Cpkqn-k,k=0,1,2,…,n.它恰好是(q+p)n的二 项展开式中的第k+1项.若X~B(n,p),则E(X)=np,

D(X)=np(1-p).

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【训练 2】 一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立 1 的,并且概率都是 . 3

(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列;

(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的分布
列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验,则遇到红灯的概率

? 1? 1 为 ,且每次试验结果是相互独立的,故 X~B?6,3?. 3 ? ?

所以 X 的分布列为

k?1?k ?2?6-k P(X=k)=C6 · ,k=0,1,2,3,4,5,6.

? ? ? ? ?3? ?3?

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(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数,显然
Y是随机变量,其取值为0,1,2,3,4,5,6. 其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红 灯,但在第k+1个路口遇上红灯,故各概率应按独立事件 同时发生计算.
?2?k 1 P(Y=k)=?3? ·(k=0,1,2,3,4,5), ? ? 3

而{Y=6}表示一路没有遇上红灯.故其概率为 P(Y=6)
?2?6 =?3? ,因此 ? ?

Y 的分布列为:

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Y 0 1 P 3

1

2

3

4

5

6

2 4 8 16 32 64 9 27 81 243 729 729

(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1 或 X=2 或?或 X=6}, 所以其概率为 P(X≥1)= ?P(X=k)=1-P(X=0)
k= 1 6

?2?6 665 =1-?3? = . 729 ? ?

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考向三

正态分布

【例 3】?设 X~N(μ,σ2),且总体密度曲线对应的函数表达式 x2-2x+1 为 f(x)= e- ,x∈R. 4 2 π 1 (1)求 μ,σ 的值; (2)求 P(|X-1|< 2)及 P(1- 2<X<1+2 2)的值.

[审题视点] 由已知函数对照正态曲线的结构特征求出μ和σ 的值,然后利用μ、σ求出相应的概率. x2-2x+1 1 1 解 (1) 由 于 f(x) = e- = e- 4 2 π 2π· 2
?x-1?2 根据一般正态分布的函数表达形式, 可知 μ=1, 2, 2×? 2? σ= 2.
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(2)由(1)可知, μ=1, σ= 2, X~N(1,2), 故 所以 P(|X-1|< 2) 1 =P(1- 2<X<1+ 2)=0.682 6,所以 P(X<1- 2)= ×(1 2 -0.682 6)=0.158 7. 又因为 P(1-2 2<X<1+2 2)=0.954 4,所以 P(X<1+2 2) 1 1 =1- [1-P(1-2 2<X<1+2 2)]=1- ×(1-0.954 4)= 2 2 0.977 2,所以 P(1- 2<X<1+2 2)=P(X<1+2 2)-P(X<1 - 2)=0.977 2-0.158 7=0.818 5.

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求服从正态分布的随机变量在某个区间取值 的概率,只需借助正态曲线的性质,把所求问题转化为 已知概率的三个区间上.要熟记正态变量的取值位于区 间(μ-σ,μ+σ)、(μ-2σ,μ+2σ)、(μ-3σ,μ+3σ)上

的概率的值.

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【训练3】 随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),已知P(ξ<0) =0.3,则P(ξ<2)=________. 解析 答案 由题意可知,正态分布的图象关于直线x=1对称,

所以P(ξ>2)=P(ξ<0)=0.3,P(ξ<2)=1-0.3=0.7. 0.7

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方法优化19——利用正态曲线的性质求概率
【命题研究】 对正态分布的考查已在近几年的新课程高 考中出现,主要考查利用正态曲线的对称性求概

率.题型为选择题或填空题,难度不大,属容易题.
【真题探究】? (2011· 湖北)已知随机变量ξ服从正态分布 N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)= A.0.6 C.0.3 B.0.4 D.0.2
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(

).

[教你审题] 由ξ服从正态分布N(2,σ2)可得出正态曲线关于 直线x=2对称,于是得到P(ξ<0)与P(ξ<4)的关系,进而求 出解.
[一般解法] ∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ>4)=0.2,因为随机变量 ξ 服从正态分布 N(2, 2)所以正态曲线关于直线 x=2 对称, σ P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2,∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)= 1 0.6,∴P(0<ξ<2)= P(0<ξ<4)=0.3. 2

答案

C

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[优美解法]画出正态曲线如图,结合 图象知:P(ξ<0)=P(ξ>4)=1-P(ξ<4) 1 =1-0.8=0.2, P(0<ξ<2)= P(0<ξ<4) 2 1 1 = [1-P(ξ<0)-P(ξ>4)]= (1-0.2 2 2 -0.2)=0.3.

[备考] 解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性,把待

求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分
结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思 想的运用.
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【试一试】 (2013· 厦门质检)已知随机变量ξ服从正态分布N(0, σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)= A.0.477 解析 B.0.954 C.0.628 ( D.0.977 ).

画出正态曲线如图所示,结合

图象知:P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-

P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954.
答案 B

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