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2013年高考数学选填压轴题(理科)含答案


高考理科数学选填压轴题训
题型一:集合与新定义 (2013 福建理 10)设 S, T 是 R 的两个非空子集, 如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f(x)满足: (1)T={f(x)|x∈S};(2)对任意 x1,x2∈S,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2),那么称这两个 集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( A.A=N*,B=N B

.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8 或 0<x≤10} C.A={x|0<x<1},B=R D.A=Z,B=Q (2013 广东理 8)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,?,n},令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈ ).D

X,且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S
中,则下列选项正确的是( ).B B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w) ? S,(x,y,w) ? S A.(y,z,w)∈S,(x,y,w) ? S C.(y,z,w) ? S,(x,y,w)∈S

提示:特殊值法,令 x=1,y=2,z=3,w=4 即得。 题型二:平面向量 ? ? ? ( 2013 北京理 13 )向量 a , b , c 在正方形网格中的位置如图所示,若
? ? ? ? c ? ? a ? ?b ? ? , ? ? R ? ,则 ? ?

b c a

.4

(2013 湖南理 6)已知 a,b 是单位向量,a·b=0,若向量 c 满足|c-a-b| =1,则|c|的取值范围是( A.[ 2 ? 1 , 2 ? 1 ] C.[1, 2 ? 1 ] ).A B.[ 2 ? 1 , 2 ? 2 ] D.[1, 2 ? 2 ]
2

解析:由题意,不妨令 a=(0,1),b=(1,0),c=(x,y),由|c-a-b|=1 得(x-1) +(y
2 2 2 -1) =1,|c|= x ? y 可看做(x,y)到原点的距离,而点(x,y)在以(1,1)为圆心,以 1

为半径的圆上.如图所示,当点(x,y)在位置 P 时到原点的距离最近,在位置 P′时最远, 而 PO= 2 ? 1 ,P′O= 2 ? 1 ,故选 A.

(2013 重庆理 10)在平面上, | OB1 |=| OB2 |=1,AP = AB1 + AB2 .若| OP AB1 ⊥ AB2 ,

????

???? ?

????

???? ?

??? ?

????

???? ?

??? ?

|<

??? ? 1 ,则| OA |的取值范围是( 2
? 5? 0, ? ? 2 ? ? A. ?

).D

? 5 7? ? ? 2 , 2 ? ? B. ?

? 5 ? , 2 ? ? ? 2 ? C. ?

? 7 ? , 2 ? ? ? 2 ? ? D.

解析:因为 AB1 ⊥ AB2 ,所以可以 A 为原点,分别以 AB1 , AB2 所在直线为 x 轴,y 轴建 立平面直角坐标系.设 B1(a,0),B2(0,b),O(x,y), 则 AP = AB1 + AB2 =(a,b),即 P(a,b). 由| OB1 |=| OB2 |=1,得(x-a) +y =x +(y-b) =1.
2 2 2 2

????

???? ?

????

???? ?

??? ?

????

???? ?

????
??? ?

???? ?

所以(x-a) =1-y ≥0,(y-b) =1-x ≥0.

2

2

2

2

1 1 2 2 ,得(x-a) +(y-b) < , 2 4 1 2 2 即 0≤1-x +1-y < . 4 7 7 2 2 所以 <x +y ≤2,即 ? x2 ? y 2 ? 2 . 4 2 ??? ? ? 7 ? 所以| OA |的取值范围是 ? ? 2 , 2 ? ,故选 D. ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? (2013 山东理 15)已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120°, 且| AB |=3, | AC |=2, 若 AP = ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? λ AB + AC ,且 AP ⊥ BC ,则实数 λ 的值为__________.7/12
由| OP |< (2013 天津理 12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若

??? ? ??? ? AC?BE ? 1 , 则 AB 的长为

.1/2

(2013 浙江理 17)设 e1 , e2 为单位向量,非零向量 b ? xe1 ? ye2 , x, y ? R ,若 e1 , e2 的夹角 为

?? ?? ?

?

? ?

?? ?

?? ?? ?

? |x| ,则 ? 的最大值等于________。2 6 |b|

?2 ? 2 ?? ?? ? 2 ?2 2 3 2 ? 解:由已知得到: b ?| b | ? ( xe1 ? ye2 ) ?| b | ? x ? y ? 2 xy ? 2

| x |2 x2 1 ,设 ? ? ?2 2 2 2 x ? y ? 3xy y 3y b 1? 2 ? x x
y 1 x2 t ? ? (t 2 ? 3t ? 1)min ? ? ? 2 的最大值为 4,所以答案是 2。 x 4 |b|
(2013 安徽理 9)在平面直角坐标系中, o 是坐标原点,两定点 A, B 满足

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? OA? OB ? 2, 则点集 P ? {OP | ? OA ? ? OB, ? ? ? ? 1, ? , ? ? R} 所表示的
区域的面积是( (A) 2 2 (C) 4 2 【解析】考察三点共线向量知识: )D (B) 2 3 (D) 4 3

若A, B, C三点共线 , P是线外一点则 PA ? ? PB ? ? PC, 其中? ? ? ? 1 .
在本题中, OA ? OB ?| OA | ? | OB | ? cos ? ? 4 cos ? ? 2 ? ? ? 建立直角坐标系,设 A(2,0), B(1 3).则当? ? 0, ? ? 0,? ? ? ? 1时,P在三角形 OAB内(含边界).

?
3

.

根据对称性,所求区域 的面积S ? 4 ? 三角形OAB的面积 ? 4 3
题型三:线性规划
?2 x ? y ? 1 ? 0, ? ( 2013 北京理 8 )设关于 x , y 的不等式组 ? x ? m ? 0 , 表示的平面区域内存在点 ?y ? m ? 0 ?

P ? x0 ,y0 ? ,满足 x0 ? 2 y0 ? 2 ,求得 m 的取值范围是(
4? ? A. ? ?? , ? 3? ? 2? 1? ? ? B. ? ?? , ? C. ? ?? ,? ? 3? 3? ? ?

)C

5? ? D. ? ?? ,? ? 3? ?

? x ? 4 y ? 4, ? (2013 广东理 13)给定区域 D: ? x ? y ? 4, 令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0) ? x ? 0. ?
是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点}, 则 T 中的点共确定__________条不同的直线. 6

? x ? 0, ? ( 2013 广 西 理 15 ) 记 不 等 式 组 ? x ? 3 y ? 4, 所 表 示 的 平 面 区 域 为 D. 若 直 线 ?3 x ? y ? 4, ?

y ? a? x ?1? 与 D 有公共点,则 的取值范围是 a
题型四:基本不等式

.[1/2,4]

(2013 山东理 12)设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0,则当

2

2

xy 取得最大值时, z

2 1 2 ? ? 的最大值为( x y z

).B

A.0

B.1

9 C. 4
时,

D.3
1 |a| ? 取得最小值. -2 2|a| b

(2013 天津理 14) 设 a + b = 2, b>0, 则当 a =

题型五:三角函数与三角形 (2013 广西理 12)已知函数 f ? x ? =cos x sin 2x, 下列结论中不正确的是( )C

(A) y ? f ? x ?的图像关于?? ,0?中心对称 (B) y ? f ? x ?的图像关于x ? (C) f ? x ?的最大值为

?
2

对称

3 2

(D) f ? x ?既是奇函数,又是周期函数

(2013 全国一理 15) 设当 x=θ 时, 函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值, 则 cosθ =__ ? (2013 全国Ⅱ理 15)设 θ 为第二象限角, 若 tan ? ? ? (2013 重庆理 9)4cos 50°-tan 40°=( ).C

2 5 5

? ?

10 π? 1 则 sin θ +cos θ =__. ? ?? , 5 4? 2

A. 2

2? 3 2 B.

C. 3

D. 2 2 ?1

4sin40?cos40? ? sin40? cos40? 2sin 80? ? sin 40? 2sin100? ? sin 40? ? = cos 40? cos 40? 2sin(60? ? 40?) ? sin40? = cos40? 3 1 2? cos40? ? 2 ? sin40? ? sin40? 2 2 ? 3. = cos40?
解析:4cos 50°-tan 40°= (2013 浙江理 7)设 ?ABC, P 0B ? 0 是边 AB 上一定点,满足 P 点 P ,恒有 PB ? PC ? P 。则( 0 B ? PC 0 A.

1 AB ,且对于边 AB 上任一 4

??? ? ??? ?

???? ? ?????

)D C. AB ? AC D. AC ? BC

?ABC ? 900

0 B. ?BAC ? 90

解:利用特殊值法可以解决,如 CP ? AB 或 PB ? PA 即可求出答案。
0 ( 2013 浙江理 16 ) ?ABC 中, ?C ? 90 , M 是 BC 的中点,若 sin ?BAM ?

1 ,则 3

sin ?BAC ? ________。

6 3
3

(2013 辽宁理 9)已知点 O(0,0), A(0, b), B(a, a ). 若△OAB 为直角三角形, 则必有(

). C

b ? a3 ?
A.b=a3 B.

1 a

1? ? (b ? a3 ) ? b ? a3 ? ? ? 0 a? ? C. ??? ? ??? ? 解析:若 B 为直角,则 OB ? AB ? 0 ,

b ? a3 ? b ? a3 ?
D.

1 ?0 a

即 a +a (a -b)=0,

2

3

3

1 ; a ??? ? ??? ? 3 3 若 A 为直角,则 OA ? AB ? 0 ,即 b(a -b)=0,得 b=a ; 1 3 3 若 O 为直角,则不可能.故 b-a =0 或 b-a - =0,故选 C. a
3 又 a≠0,故 b ? a ?

(2013 湖北理 14) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数 1, 3, 6,10, ? ,第 n 个三角形数为
n(n ? 1) 1 2 1 ? n ? n . 记第 n 个 k 边形数为 N (n, k ) (k ? 3) , 2 2 2

以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 五边形数
1 1 N (n,3) ? n2 ? n , 2 2 3 1 N (n,5) ? n2 ? n , 2 2

正方形数 六边形数

N (n, 4) ? n2 , N (n,6) ? 2n2 ? n ,

?????????

可以推测 N (n, k ) 的表达式,由此计算 N (10, 24) ? _____. 1000

题型六:概率统计 (2013 四川理 8)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得 到 lga-lgb 的不同值的个数是( A.9 B.10 )C C.18 D.20

(2013 重庆理 13)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个 抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数 是__________(用数字作答).590 (2013 湖北理 9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样 大小的小正方体. 经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为

X ,则 X 的均值 E ( X ) ? (
A.
126 125

)B B.
6 5

C.

168 125

D.

7 5

(2013 辽宁理 16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级, 把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本 数据互不相同,则样本数据中的最大值为__________.11 (2013 四川理 9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮 相互独立,且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( 1 A. 4 1 B. 2 3 C. 4 7 D. 8 )C

题型七:数列 (2013安徽理14)如图,互不-相同的点 A 1 , A2 ?, X n ,? 和

B1 , B2 ?, Bn ,? 分别在角O的两条边上,所有 An Bn 相互平行,
且所有梯形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积均相等。设 OAn ? an . 若

a1 ? 1, a2 ? 2, 则数列 ?an ? 的通项公式是______。an ? 3n ? 2
【解析】

设?A1 B1O的面积为S 0,梯形An Bn Bn?1 An?1的面积为S ?
? S ? 3S0 , ( a1 2 1 ) ? a2 4

S0 a ? ( 1 )2 . S0 ? S a2

S 0 ? nS a a a 1 ? 3n 3n ? 2 ? ( n?1 ) 2 ? ? ( n?1 ) 2 .由上面2种情况得 ? ( n )2. S 0 ? (n ? 1)S an? 2 4 ? 3n an?2 3n ? 1 an?1 ?( a a1 2 a2 2 a3 2 a a 1 4 7 3n ? 2 1 1 ) ( ) ( ) ?( n ) 2 ? ( 1 ) 2 ? ? ? ? ? ? ( 1 )2 ? a2 a3 a 4 an?1 an?1 4 7 10 3n ? 1 3n ? 1 an?1 3n ? 1

? an?1 ? 3n ? 1, 且a1 ? 1 ? an ? 3n ? 2, n ? N *
(2013 福建理 9)已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+?+am(n-1)+m,cn =am(n-1)+1·am(n-1)+2·?·am(n-1)+m(m,n∈N ),则以下结论一定正确的是( A.数列{bn}为等差数列,公差为 q B.数列{bn}为等比数列,公比为 q
m *

).C

2m

C.数列{cn}为等比数列,公比为 q m

2

D.数列{cn}为等比数列,公比为 q m

m

(2013 广东理 12)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=__________.20

1 n (2013 湖南理 15)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan- 2 ,n∈N*,则

1 100 ( ) ?1 1 2 (1)a3=__________;(2)S1+S2+?+S100=__________.(1) ? (2) 16 3
(2013 全国Ⅱ理 16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为 __________.-49 解析:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 S10= 10a1+

10 ? 9 d =10a1+45d=0,① 2

15 ?14 d =15a1+105d=25.② 2 2 联立①②,得 a1=-3, d ? , 3 n(n ? 1) 2 1 2 10 ? ? n ? n. 所以 Sn= ?3n ? 2 3 3 3 1 3 10 2 20 n , f '(n) ? n 2 ? n . 令 f(n)=nSn,则 f (n) ? n ? 3 3 3 20 令 f′(n)=0,得 n=0 或 n ? . 3 20 20 20 当n ? 时,f′(n)>0, 0<n < 时,f′(n)<0,所以当 n ? 时,f(n)取最小值,而 3 3 3
S15= 15a1 ? n∈N+,则 f(6)=-48,f(7)=-49,所以当 n=7 时,f(n)取最小值-49.
(2013 全国一理 12)设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,? 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= A、{Sn}为递减数列

cn+an
2

,cn+1=

bn+an
2

,则(

)B

B、{Sn}为递增数列

C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 提示:特殊三角形法,如边为 3,4,5 的直角三角形,极限思想。 【解析】B

b1 ? 2a1 ? c1 ? 0且b1 ? c1 ?2a1 ? c1 ? c1 ?a1 ? c1 ?b1 ? a1 ? 2a1 ? c1 ? a1 ? a1 ? c1 ? 0?b1 ? a1 ? c1
又b1 ? c1 ? a1 ? 2a1 ? c1 ? c1 ? a1 ? 2c1 ? a1 ? c1 ? 由题意,bn ?1 ? cn ?1 ? a1 2

bn ? cn 1 ? a1 ? bn ?1 ? cn ?1 ? 2a1 ? (bn ? cn ? 2a1 ) 2 2

?bn ? cn ? 2an ? 0?bn ? cn ? 2an ? 2a1 ?bn ? cn ? 2a1
cn ? bn 2a ? b ? b ? bn ?1 ? (2a1 ? bn ?1 ) ? 1 n n ? a1 ? bn 2 2 1 1 ? bn ?1 ? a1 ? (a1 ? bn ) ? bn ? a1 ? (b1 ? a1 )(? ) n ?1 2 2 1 1 ? bn ? a1 ? (b1 ? a1 )(? ) n ?1 , cn ? 2a1 ? bn ? a1 ? (b1 ? a1 )(? ) n ?1 2 2 又由题意,bn ?1 ? cn ?1 ?

? Sn 2 ?

3a1 3a1 1 ? ? 3a 1 ? ? 3a ( ? a1 ) ? 1 ? a1 ? (b1 ? a1 )(? )n?1 ? ? 1 ? a1 ? (b1 ? a1 )(? )n?1 ? 2 2 2 ?? 2 2 ? ? 2

? ?a 2 ? 3 ?a 2 1 ? a12 ? 1 ? ( )n?1 (b1 ? a1 )2 ? 单调递增(可证 ? 1 ? (b1 ? a1 ) 2 ? ? 0) 4 ? 4 4 ? ? 4 ?
题型八:立体几何

(2013 安徽理 15)如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段

CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的
截面记为 S。 则下列命题正确的是_____ (写出所有正 确命题的编号) 。①②③⑤ ①当 0 ? CQ ? ②当 CQ ?

1 时,S 为四边形 2

1 时,S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ ? 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1 R1 ? 4 3 3 ④当 ? CQ ? 1 时,S 为六边形 4
⑤当 CQ ? 1 时,S 的面积为

D1 A1 D A P B E B1

C1

6 2

C

(2013 北京理 14)如图, 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 为 BC 的

中点,点 P 在线段 D1 E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为



2 5 5

(2013 广西理 16)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径,

3 OK ? ,且圆O与圆K 所在的平面所成角为60?, 则球 O 的表面积等于 2
视图的面积不可能等于( ).C

. 16?

(2013 湖南理 7)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形, 则该正方体的正

A.1

B. 2

2 ?1 C. 2

2 ?1 D. 2

(2013 辽宁理 10)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上. 若 AB=3, AC=4,

AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的半径为(

).C

3 17 A. 2

B. 2 10

13 C. 2

D. 3 10

(2013 浙江理 10)在空间中,过点 A 作平面 ? 的垂线,垂足为 B ,记 B ? f? ( A) 。设 ? , ? 是两个不同的平面, 对空间任意一点 P , Q1 ? f ? [ f? ( P)],Q2 ? f? [ f ? ( P)] ,恒有 PQ1 ? PQ2 , 则( )A B. 平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 45
0

A.平面 ? 与平面 ? 垂直

C. 平面 ? 与平面 ? 平行

D.平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 60

0

PC ? ? 于 C , 解: 设 f? ( P) ? C, f ? ( P) ? D, 所以 Q1 ? f ? (C), Q2 ? f? ( D) , 由已知得到:
PD ? ? 于 D , CQ1 ? ? 于 Q1 , DQ2 ? ? 于 Q2 ,且 PQ1 ? PQ2 恒成立,即 Q1 与 Q2 重

合,即当 ? ? ? 时满足;如图 2 所示: 题型九:平面几何

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b (2013 福建理 14)椭圆 Γ : a (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2C.若
直线 y= 3 (x+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 __________. 3 ? 1 (2013 广东理 7)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 程是( ).B

3 ,则 C 的方 2

x2 y 2 ? ?1 5 A. 4

x2 y 2 ? ?1 5 B. 4
2

x2 y 2 ? ?1 5 C. 2

x2 y 2 ? ?1 5 D. 2

(2013 广西理 11)已知抛物线 C : y ? 8x与点M ? ?2,2? , 过C的焦点,

??? ? ???? 且斜率为k的直线与C交于 A, B两点,若MA?MB ? 0, 则k ? (
(A)

)D

1 2

(B)

2 2

(C) 2

(D) 2

x2 y 2 ? 2 =1 2 b (2013 辽宁理 15)已知椭圆 C: a (a>b>0)的左焦点为 F, C 与过原点的直线相交
于 A, B 两点, 连接 AF, BF.若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF=

4 , 则 C 的离心率 e=_______.5/7 5

(2013 全国一理 10)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆

x2 y2 a b

于 A、B 两点。若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 A、 + =1 45 36

(

)D D、 + =1 18 9

x2

y2

B、 + =1 36 27
2

x2

y2

C、 + =1 27 18 ).C
2

x2

y2

x2

y2

(2013 全国Ⅱ理 11)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( A.y =4x 或 y =8x C.y =4x 或 y =16x
2 2 2 2 2

B.y =2x 或 y =8x D.y =2x 或 y =16x
2 2

(2013 山东理 11)抛物线 C1:y=

x2 1 2 x (p>0)的焦点与双曲线 C2: ? y 2 ? 1的右焦点的 3 2p
).D

连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=(

3 A. 16

3 B. 8

2 3 C. 3

4 3 D. 3

(2013 浙江理 9)如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别 4

是 C1 , C2 在第二、四象限的公共点。若四边形 AF 1 BF 2 为矩形,则 C2 的离心率是( )D
y A F1 O B (第 9 题图) F2 x

A.

2

B.

3
2

C.

3 2

D.

6 2

(2013 浙江理 15)设 F 为抛物线 C : y ? 4x 的焦点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于 两点 A, B ,点 Q 为线段 AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________。 ?1 解 : 由 已 知 得 到 : F (1, 0) , 设 l : y?

k ( ? x 1, ) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由

? y ? k ( x ? 1) 2(2 ? k 2 ) 2 2 2 2 ? k x ? 2 x ( k ? 2) ? k =0 ? x ? x ? ,所以 ? 2 1 2 k2 ? y ? 4x
x1 ? x2 2 ? k 2 x1 ? x2 2 2 ? k2 2 ? , k ( ? 1) ? ? Q ( , ) ,由已知得到 2 2 k k2 k2 k

| QF |2 ? 4 ? (

2 ? k2 2 2 1 1 2 ? 1) ? ( ) ? 4 ? ? ? 0 ? k ? ?1 ,所以答案是 ?1 k k2 k4 k2

(2013 湖南理 8)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 为边 AB 上异于 A,B 的一点, 光线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到点 P.若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP 等于( A.2 ).D B.1

8 C. 3

4 D. 3

解析:以 A 为原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴建立直角坐标系如图所示.

则 A(0,0),B(4,0),C(0,4). 设△ABC 的重心为 D,则 D 点坐标为 ?

?4 4? , ?. ?3 3?

设 P 点坐标为(m,0),则 P 点关于 y 轴的对称点 P1 为(-m,0),因为直线 BC 方程为 x+y-4 =0,所以 P 点关于 BC 的对称点 P2 为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2 均在 QR 所在直 线上, ∴ kP1D ? kP2 D ,

4 ?4?m 即 , ?3 4 4 ?m ?4 3 3 4 解得,m= 或 m=0. 3
当 m=0 时,P 点与 A 点重合,故舍去. ∴m=

4 3

4 . 3
).B

(2013 全国Ⅱ理 12)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分 割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是(

A.(0,1)

? 2 1? 1 ? , ? ? ? 2 2? ? ? B.

? 2 1? 1 ? , ? ? ? 2 3? ? C.

?1 1 ? , ? ? 3 2? ? D.

(2013 四川理 15)设 P1,P2,?,Pn 为平面 α 内的 n 个点,在平面 α 内的所有点中,若点

P 到点 P1,P2,?,Pn 的距离之和最小,则称点 P 为点 P1,P2,?,Pn 的一个“中位点”.例
如,线段 AB 上的任意点都是端点 A、B 的中位点.现有下列命题: ①若三个点 A,B,C 共线,C 在线段 AB 上,则 C 是 A,B,C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;

③若四个点 A,B,C,D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) ①④ 题型十:函数与导数 (2013 安徽理 8)函数 y =f (x) 的图像如图所示,在区间

?a,b? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数 x1,x2 ...,xn , 使得
f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) = = , 则 n 的取值范围是( x1 x2 xn
(A) ?3,4? (C) (B) ?2,3,4? (D) ?2,3?
2

)B

?3,4,5?

? ?-x +2x (2013 全国一理 11)已知函数 f(x)=? ?ln(x+1) ?

x≤0 x>0

,若| f(x)|≥ax,则 a 的取值

范围是(

)D B、 (-∞,1] C、[-2,1] )2 (D) 4 D、[-2,0]

A、 (-∞,0]

(2013 天津理 7) 函数 f ( x) ? 2x | log0.5 x | ?1 的零点个数为( (A) 1 (B) 2 (C) 3

(2013 安徽理 10)若函数 f (x)=x3 +ax 2 +bx+c 有极值点 x1 , x2 ,且 f (x1 )=x1 ,则关于 x 的 方程 3(f (x)) +2af (x)+b=0 的不同实根个数是( (A)3 (C)5 【解析】 使用代值法。
2 3 设 f ' ( x) ? 3( x ? 1)( x ? 2) ? 3x ? 3x ? 6 ? f ( x) ? x ?

2

)A

(B)4 (D)6

3 2 x ? 6x ? c . 2

9 令f ' ( x) ? 0 ? x1 ? 1, x 2 ? ?2 ? f ( x1 ) ? x1 ? c ? , 2

? f ( x)在(??,?2)上单调递增,在 (?2, 1)上单调递减,在 (1 , ? ?)上单调递增,极小值为 1 f ( x) ? x2 解得有一个根,共 3个根. .由f ' ( f ( x)) ? 0 ? f ( x) ? x1解得有二个根,
(2013 福建理 8)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正 确的是( ).D

A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 (2013 四川理 14)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x -4x,那么,不等 式 f(x+2)<5 的解集是________.(-7,3) (2013 全国Ⅱ理 10)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结论中错误的是( A. ? x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形
3 2 2

).C

C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 (2013 浙江理 8) 已知 e 为自然对数的底数, 设函数 f ( x) ? (e x ?1)(x ?1) k (k ? 1,2) , 则( C A.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 B.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 C.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 D.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 (2013全国一理16)若函数f(x)=(1-x )(x +ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的 最大值是______.16 【解析】由 f ( x ) 图像关于直线 x =-2 对称,则 0= f (?1) ? f (?3) = [1 ? (?3)2 ][(?3)2 ? 3a ? b] , 0= f (1) ? f (?5) = [1 ? (?5)2 ][(?5)2 ? 5a ? b] ,解得 a =8, b =15, ∴ f ( x ) = (1 ? x2 )( x2 ? 8x ? 15) ,
2 2 3 2 ∴ f ?( x ) = ?2x( x ? 8x ? 15) ? (1 ? x )(2x ? 8) = ?4( x ? 6 x ? 7 x ? 2)
2 2



= ?4( x ? 2)( x ? 2 ? 5)( x ? 2 ? 5) 当 x ∈(-∞, ?2 ? 5 )∪(-2, ?2 ? 5 )时, f ?( x ) >0, 当 x ∈( ?2 ? 5 ,-2)∪( ?2 ? 5 ,+∞)时, f ?( x ) <0,

∴ f ( x) 在 (-∞, 单调递增, 在 ( ?2 ? 5 , -2) 单调递减, 在 (-2, ?2 ? 5 ) ?2 ? 5 ) 单调递增, 在 ( ?2 ? 5 , +∞) 单调递减, 故当 x = ?2 ? 5 和 x = ?2 ? 5 时取极大值,

f (?2 ? 5) = f (?2 ? 5) =16.
(2013 辽宁理 11)已知函数 f(x)=x -2(a+2)x+a , g(x)=-x +2(a-2)x-a +8.设 H1(x) =max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,
2 2 2 2

q}表示 p,q 中的较小值).记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A-B=(
A.16 B.-16
2 2

).B

C.a -2a-16

2

D.a +2a-16

2

解析:∵f(x)-g(x)=2x -4ax+2a -8 =2[x-(a-2)][x-(a+2)],

? f ( x), x ? (??, a ? 2], ? ∴ H1 ? x ?= ? g ( x), x ? (a ? 2, a ? 2], ? f ( x), x ? (a ? 2, ??], ?

? g ( x), x ? (??, a ? 2], ? H 2 ? x ?= ? f ( x), x ? (a ? 2, a ? 2], ? g ( x), x ? (a ? 2, ??], ?
可求得 H1(x)的最小值 A=f(a+2)=-4a-4,H2(x)的最大值 B=g(a-2)=-4a+12, ∴A-B=-16.故选 B. (2013 天津理 8) 已知函数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) . 设关于 x 的不等式 f ( x ? a) ? f ( x) 的解集
? 1 1? 为 A, 若 ? ? , ? ? A , 则实数 a 的取值范围是( ? 2 2?

)A

?1? 5 ? (A) ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ?1? 5 ? ? 1? 3 ? (C) ? ? 2 ,0 ? ??? ? 0, 2 ? ? ? ? ? ?

?1? 3 ? (B) ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ? 1? 5 ? (D) ? ? ? ??, 2 ? ? ?

(2013 湖北理 10)已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 ( )D
1 2 1 2

A. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? C. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

B. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? D. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

解析: f ' ( x) ? ln x ? 1 ? 2ax ,由 f ( x) ? x(ln x ? ax) 由两个极值点,得 f ' ( x) ? 0 有两个 不等的实数解,即 ln x ? 2ax ? 1 有两个实数解,从而直线 y ? 2ax ? 1 与曲线 y ? ln x 有两

个交点. 过点(0,-1)作 y ? ln x 的切线,设切点为(x0,y0) ,则切线的斜率 k ? 切线方程为 y ?

1 , x0

x 1 x ? 1 . 切点在切线上,则 y0 ? 0 ? 1 ? 0 ,又切点在曲线 y ? ln x 上, x0 x0

则 ln x0 ? 0 ? x0 ? 1 ,即切点为(1,0) ,切线方程为 y ? x ? 1 . 再由直线 y ? 2ax ? 1 与 曲线 y ? ln x 有两个交点.,知直线 y ? 2ax ? 1 位于两直线 y ? 0 和 y ? x ? 1 之间,如图所 示,其斜率 2a 满足:0<2a<1,解得 0<a<

1 . .则这函数的两个极点 x1 , x2 满足 2

1 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,所以 f ( x1 ) ? f (1) ? f ( x2 ) ,而 f (1) ? ? a ? (? ,0) ,即 2 1 f ( x1 ) ? ?a ? f ( x2 ) ,所以 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? . 2
(2013 四川理 10)设函数 f(x)= e +x-a(a∈R,e 为自然对数的底数),若曲线 y=sin x 上存在点(x0,y0)使得 f(f(y0))=y0,则 a 的取值范围是( A.[1,e] C.[1,e+1] B.[e -1,1] D.[e -1,e+1]
- -1 -1

x

)A

解析 由于 f(x)= ex+x-a(a∈R)在其定义域上为单调递增函数, 所以其反函数 f 1(x)存在, 由于 y0∈[-1,1],且 f(f(y0))=y0,∴f 1(f(f(y0)))=f 1(y0),即 f(y0)=f 1(y0),∴y=f(x)与 y=f
- - - -

1

(x)的交点在 y=x 上.即 ex+x-a=x 在 x∈[-1,1]上有解,即 ex+x-a=x 在[0,1]上有

解.∴a=ex+x-x2,x∈[0,1],a′=ex-2x+1,当 0<x<1 时,a′=ex-2x+1>e0-2×1+ 1=0,∴a=ex+x-x2 在[0,1]上递增,当 x=0 时,a 最小=1;当 x=1 时,a 最大=e,故 a 的取 值范围是[1,e],

ex e2 (2013 辽宁理 12)设函数 f(x)满足 x f′(x)+2xf(x)= ,f(2)= ,则 x>0 时, x 8
2

f(x)(

).D B.有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值

A.有极大值,无极小值 C.既有极大值又有极小值 解析:令 F(x)=x f(x), 则 F′(x)=x f′(x)+2xf(x)=
2 2

ex , x

F(2)=4·f(2)=
2

e2 . 2

ex 由 x f′(x)+2xf(x)= , x x e ex ? 2x2 f ? x? 2 得 x f′(x)= -2xf(x)= , x x

∴f′(x)=

ex ? 2F ? x? . x3
x x

令 φ (x)=e -2F(x), 则 φ ′(x)=e -2F′(x)= e ?
x

2e x e x ( x ? 2) ? . x x

∴φ (x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 2 ∴φ (x)的最小值为 φ (2)=e -2F(2)=0. ∴φ (x)≥0. 又 x>0,∴f′(x)≥0. ∴f(x)在(0,+∞)单调递增. ∴f(x)既无极大值也无极小值. (2013 湖南理 16)设函数 f(x)=a +b -c ,其中 c>a>0,c>b>0. (1)记集合 M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a=b},则(a,b,
x x x

c)∈M 所对应的 f(x)的零点的取值集合为__________; {x | 0 ? x ? 1}
(2)若 a,b,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是__________.(写出所有正确结论 的序号) ①②③ ① ? x∈(-∞,1),f(x)>0; ② ? x∈R,使 a ,b ,c 不能构成一个三角形的三条边长;
x x x

③若△ABC 为钝角三角形,则 ? x∈(1,2),使 f(x)=0. (2013 山东理 16)定义“正对数”:ln x= ? ①若 a>0,b>0,则 ln (a )=bln a; ②若 a>0,b>0,则 ln (ab)=ln a+ln b; ③若 a>0,b>0,则 ln ?
+ + + + + + +

?0, 0 ? x ? 1, 现有四个命题: ?ln x, x ? 1,

b



?a? + + ? ≥ln a-ln b; ?b?
+ +

④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln 2. 其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号) ① ③ ④

补充
1.设 p:f(x)=x +2x +mx+1 在 R 上单调递增;q:m≥ 的( )B B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3 2

8x 对任意 x>0 恒成立,则 p 是 q x2+4

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

2.对于复数 a,b,c,d,若集合 S={a,b,c,d}具有性质“对任意 x,y∈S,必有 xy∈S”,则当

?a ? 1 ? 2 ?b ? 1 时,b+c+d 等于( ?c 2 ? b ?
A.1 B.-1

)B

C.0

D.i

3.已知复数 z=x+yi 且|z-2|= 3, 则

y 的最大值是________;最小值是________. 3, ? 3 x

? y?x ? 4.设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? m x 下,目标函数 z ? x ? my 的最大值小于 2,则 m 的取值范 ?x ? y ? 1 ?
围为( A. 1,1 ? 2 )A

?

?

B. 1 ? 2 ,??

?

?

C. ?1,3?

D. ?3,???

5.若直线 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 和函数 f ( x) ? a x?1 ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过同一

1 1 x?1 函数 f ( x) 的解析式是________. f ( x) ? (2 2 ? 2) ? 1 ? 取最小值时, a b ? ? ? ? 6.在△ABC 中, ? A=90°,AB=1,AC=2,设点 P,Q 满足 AP = ? AB , AQ =(1- ? ) AC , ? ? R。
个定点, 则当 若 BQ

?

?
? CP

=-2,则 ? =(
1 3

)B
2 3

(A)

(B)

C)

4 3

(D)2

7.如图 4,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P, AP ? 3 且 AP?AC =

??? ? ??? ?

.18

8.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是_ ___. 2
9.已知函数 f(x)=2ax -bx+1,若 a 是从区间[0,2]上任取的一个数,b 是从区间[0,2]上 任取的一个数,则此函数在[1,+∞)上递增的概率为________.7/8 10.设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是公差为 则 [ f (a3 )]2 ? a1a5 ? ( A. 0 B. )D C.
2

? 的等差数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? , 8

1 2 ? 16

1 2 ? 8

D.

13 2 ? 16

11.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何体 如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( H A B I C G 侧视 D F 图1 E F 图2 A B C D E B E A. B. B E )A B E

B

E

C.

D.

12.已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆

M 与圆 N 的公共弦, AB ? 4 .若 OM ? ON ? 3 ,则两圆圆心的距
离 MN ? .3
2 2

O B N

M E A

13.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若

MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是(
? 3 ? 0? ?? , A. ? 4 ?

)A

? 2 ? 0? ?? , D. ? 3 ? ??? ? ??? ? 14.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小
值为( )D (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

? 3 3? 3? ? , ? ?? ?? , ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? 3 3 ? 4 ? ? ? B. C.

(A) ?4 ? 2

15.已知 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线交 椭圆 C 于 A,B 两点,若△ABF2 为钝角三角形,则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围为( A.(0, 2-1) B.(0, 3-1) C.( 2-1,1) D.( 3-1,1) )A

x2 y2 a b

16.已知点 P 是双曲线 2- 2=1 上除顶点外的任意一点,F1、F2 分别为左、右焦点,c 为半 焦距,△PF1F2 的内切圆与 F1F2 切于点 M,则|F1M|·|F2M|=________. b
2

x2 y2 a b

2

(x+1) +sinx 17.设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=____2 x2+1 18.已知函数 f ( x ) ? ? ( )C B (?1, 2) C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

? x 2 ? 4 x, ?4 x ? x ,
2

x?0 x?0

若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是
2

A (??, ?1) ? (2, ??)

1 x 19.当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是 ( 2 A.(0, 2 ) 2 B.( 2 ,1) 2

)B D.( 2,2)

C.(1, 2)

20.函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x
y

).A y 1

y 1 O 1 x 1

y 1 x O D 1 x

O1

x

O 1

A

B

C

21.若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是( )A B. f ? x ? ? ( x ?1)2 D. f ? x ? ? In ? x ?

A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? ex ?1

? ?

1? ? 2?

?| lgx |, ? 22.已知函数 f(x)= ? 1 ? x?6 ? ? 2
abc 的取值范围是( A.(1,10) )C B.(5,6)

0 ? x≤10, x ? 10.
若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则

C.(10,12)

D.(20,24)

23.设曲线 y ? x n?1 (n ? N * ) 在点 (1, 1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 an ? lg xn , 则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为 . -2

24.设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x ) ,且函数 y ? (1 ? x) f ?( x) 的图像如题(8)图所 示,则下列结论中一定成立的是( )D ( )

A.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2)

D.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 25.已知 x 是函数 f(x)=2 + ( )B (B)f( x 1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x 1 )>0,f( x 2 )>0
x

1 的一个零点.若 x 1 ∈(1, x 0 ) , x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) ,则 1? x

(A)f( x 1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x 1 )>0,f( x 2 )<0

26.函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解 集为( )B B. ( ? 1 ,+ ? ) C. ( ? ? , ? 1 ) D. ( ? ? ,+ ? )

A. ( ? 1,1)

27.已知 f(x)=x?-6x?+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(a)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是( A.①③ )C C.②③ D.②④

B.①④

28.设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f ?( x ) 是 f(x)的导函数,当

x ??0, ? ? 时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π ) 且 x≠
y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为( A.2 B .4

? ? 时 , ( x ? ) f ?( x) ? 0 ,则函数 2 2
D. 8

)B C.5


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2013年高考数学压轴题训练及详细的解析

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2012高考压轴题理科数学含答案(上)

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2013湖南理科数学高考试题(含解析与答案)

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