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9.基本初等函数



一.要点精讲
1.指数与对数运算 (1)指数概念及运算 (2)对数概念及运算

基本初等函数

1)以 10 为底的对数称常用对数, log10 N 记作 lg N ; 2)以无理数 e(e ? 2.71828 ?) 为底的对数称自然对数, loge N ,记作 ln N ; ②基本性质:1)真数 N 为正数(负数和

零无对数) ;2) loga 1 ? 0 ; 3) loga a ? 1 ;4)对数恒等式: a ③运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则 1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;2) log a
loga N

?N。

M ? log a M ? log a N ; N

3) loga M n ? n loga M (n ?R) 。4)换底公式: loga N ? 5) loga b ? logb a ? 1 ;6) log a m b ?
n

logm N logm a

n log a b 。 m

2.指数函数与对数函数 (1)指数函数:①定义:函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 称指数函数, 1)函数的定义域为 R;2)函数的值域为 (0,??) 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数。 ②函数图像: ③函数值的变化特征: (2)对数函数: ①定义:函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 称对数函数, 1)函数的定义域为 (0,??) ;2)函数的值域为 R; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数; 4)对数函数 y ? loga x 与指数函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数。
x

②函数图像: ③函数值的变化特征:

二.典例解析
题型一:指数函数、对数函数的计算

例题 1.已知函数 f ( x ) ? ?

?log 2 x, x ? 0, ?2 ,
x

x ? 0.

若 f (a) ?

1 ,则 a ? ( ) 2

A. ? 1 B. 2 C. ?1 或 2 题型二:指数函数与对数函数性质 例题 2.下列函数中是奇函数的有几个(

D.1 或 ? 2 )

ax ?1 ①y? x a ?1
A. 1 B. 2

②y?

lg(1 ? x 2 ) x ?3 ?3
D. 4

③y?

x x

④ y ? log a

1? x 1? x

C. 3

三.基础练习
1.函数 y ? 3x 与 y ? 3? x 的图象关于下列那种图形对称( A. x 轴 B. y 轴 C.直线 y ? x )

D.原点中心对称 )

2.若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a,2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值为(

A.

2 4

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2
) D. a ? 2, b ? 2

3.若函数 y ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图象过两点 (?1, 0) 和 (0,1) ,则( A. a ? 2, b ? 2 4.函数 y ? lg x ( ) B. a ? 2, b ? 2 C. a ? 2, b ? 1

A.是偶函数,在区间 (??, 0) 上单调递增 C.是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递增

B.是偶函数,在区间 (??, 0) 上单调递减 D.是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递减 )

5.设函数 f ( x) ? f ( ) lg x ? 1 ,则 f (10) 的值为( A. 1
x

1 x

B. ? 1
?x

C. 10

D. )

1 10
C 关于

6.函数 y ? 2 与 y ? ?2 的图像(

y ? x 轴对称 A 关于直线

B 关于 x 轴对称

y 轴对称

D 关于原点对称

7. 函数 y ? A.(3,+∞)

log 1 x ? 2 的定义域是( )
2

8. 函数 y ? lg?x ? 1? 的定义域是 9. 已知函数 f ( x) ? ?

B.[3, +∞)

C. (0, 4] .

D.[4, +∞)

?log2 x ( x ? 0) ?3
x

( x ? 0)

,那么 f [ f ( )] 的值为

1 4


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