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高二数学导数及其应用单元测试题

时间:2017-07-30


鄂州市第二中学高二数学《导数及其应用》单元测试
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分, 共 50 分)
1.设函数 f(x)在 x 0 处可导,则 lim B. f ' ( ? x 0 )
f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

?x? 0

等于

r />
C



A. f ' ( x 0 )

C.- f ' ( x 0 )

D.- f ' ( ? x 0 )

2.若函数 f(x)的导数为 f′(x)=-sinx,则函数图像在点(4,f(4) )处的切 线的倾斜角为( C A.90°
3

) C.锐角 D.钝角

B.0°

3.函数 y=x -3x 在[-1,2]上的最小值为 ( B )

A、2 B、-2 C、0 D、-4 2 4.设函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? x ? ? x ? 2 x ? f ? ? 1 ? ,则 f ? ? 0 ? 等于 (B ) A、 0 B、 ? 4 C、 ? 2 D、 2 3 2 5.已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为( D ) A、-1<a<2 B、-3<a<6 C、a<-1 或 a>2 D、a<-3 或 a>6 3 2 2 6、设函数 f(x)=kx +3(k-1)x ? k +1 在区间(0,4)上是减函数,则 k 的取值范围 是 ( D ) A、 k ?
1 3

B、 0 ? k ?

1 3

C、 0 ? k ?

1 3

D、 k ?

1 3

7、设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下图所示,则导函数 y=f ?(x) 可能为 (D )
y y x y x y y

O A

O B

O C

x

O D

x

O

x

8、对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,且 f ' (1) ? 0 若满足(x-1) f ?( x )>0,则必有 ( C ) A、f(0)+f(2)?2f(1) B、f(0)+f(2)?2f(1) C、f(0)+f(2)>2f(1) D、f(0)+f(2)?2f(1) 9、已知二次函数 f ( x ) ? a x 2 ? b x ? c 的导数为 f ? ( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,有
f ( x ) ≥ 0 ,则

f (1) f ?( 0 )

的最小值为(C )
5 2 3 2

A. 3

B.

C. 2

D.

10、f( x )是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g( x )=af( x )+b, 则下 列关于函数 g( x )的叙述正确的是(B ) A.若 a<0,则函数 g( x )的图象关于原点对称. B.若 a=-1,-2<b<0,则方程 g( x )=0 有大于 2 的实根.

C.若 a≠0,b=2,则方程 g( x )=0 有两个实根. D.若 a≥1,b<2,则方程 g( x )=0 有三个实根. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.求 f ? x ? ? sin 3
1 x

的导数

y? ? ?

3 x
2

sin

2

1

1 cos x x

12.曲线 S:y=3x-x3 的过点 A(2,-2)的切线的方程是 y=-9x+16 或 y=-2



13. 设 P 为曲线 C: y ? x 2 ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围 为 ? 0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为 4
? ? ? ??
? 1? , ?- 1 - ? 2? ?

.

14. 设函数 f ( x ) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数, 则曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 5 的切线的斜率为 0 15. 已知直线 x+2y-4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,P 是抛物线的弧 上求一点 P,当△PAB 面积最大时,P 点坐标为 P(4,-



4) . 三、解答题(共 6 小题, ,共 75 分)

16、 (本题满分 12 分)对于三次函数 f ( x ) ? a x 3 ? b x 2 ? cx ? d ( a ? 0 ) ,定义:
设 f ?? ( x ) 是函数 y ? f ( x ) 的导函数 y ? f ? ( x ) 的导数,若 f ?? ( x ) ? 0 有实数解 x 0 ,则 称点 ( x 0 , f ( x 0 )) 为函数 y ? f ( x ) 的 “拐点” 现已知 f ( x ) ? x ? 3 x ? 2 x ? 2 ,请解答 。
3 2

下列问题: (1)求函数 f ( x ) 的“拐点”A 的坐标; (2)求证 f ( x ) 的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关 “拐点”的一个结论(此结论不要求证明).

16、[解析](1) f ?( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? 2 ,
3

f ?? ( x ) ? 6 x ? 6 .令 f ?? ( x ) ? 6 x ? 6 ? 0 得

x ? 1 , f (1) ? 1 ? 3 ? 2 ? 2 ? ? 2 .? 拐点 A (1, ? 2 )
3 2 ( 2) 设 P ( x 0 , y 0 ) 是 y ? f ( x ) 图 象 上 任 意 一 点 , 则 y 0 ? x 0 ? 3 x 0 ? 2 x 0 ? 2 , 因 为

P ( x 0 , y 0 ) 关于 A (1, ? 2 ) 的对称点为 P ? (2 ? x 0 , ? 4 ? y 0 ) ,把 P ? 代入 y ? f ( x ) 得
3 2 左边 ? ? 4 ? y 0 ? ? x 0 ? 3 x 0 ? 2 x 0 ? 2 ,

3 2 3 2 右边 ? ( 2 ? x 0 ) ? 3( 2 ? x 0 ) ? 2 ( 2 ? x 0 ) ? 2 ? ? x 0 ? 3 x 0 ? 2 x 0 ? 2

? 右边=右边? P ? ( 2 ? x 0 , ? 4 ? y 0 ) 在 y ? f ( x ) 图象上? y ? f ( x ) 关于 A 对称

猜想:所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。

17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 是 ( 0 , ?? ) 上的可导函数, xf ?( x ) ? f ( x ) 在 x ? 0 若 时恒成立. (1)求证:函数 g ( x ) ?
f (x) x

在 ( 0 , ?? ) 上是增函数;

(2)求证:当 x 1 ? 0 , x 2 ? 0 时,有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) . 17. (1)由 g ( x ) ?
f (x) x

得 g ?( x ) ?

xf ? ( x ) ? f ( x ) x
2

, 因为 xf ?( x ) ? f ( x ) , f (x) x

所以 g ?( x ) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,所以函数 g ( x ) ? (2)由(1)知函数 g ( x ) ?
f ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 ? f ( x1 ) x1 x1 x1 ? x 2

在 ( 0 , ?? ) 上是增函数.

f (x) x

在 ( 0 , ?? ) 上是增函数,所以当 x 1 ? 0 , x 2 ? 0 时,
? f (x2 ) x2 x2 x1 ? x 2 f ( x1 ? x 2 )



,

f ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

成立,

从而 f ( x 1 ) ?

f ( x 1 ? x 2 ), f ( x 2 ) ?

两式相加得 f ( x 1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 18. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x ? 1 都有 f ( x ) ? a x ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

18. 解析: f ( x ) 的定义域为( 0, + ? ) , ????1 分
f ( x ) 的导数 f ? ( x ) ? 1 ? ln x .

??????3 分
1 e
?1 ?e ? ?

令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ?
? ? 1? e?

1 e

;令 f ?( x ) ? 0 ,解得 0 ? x ?

. ??????5 分

从而 f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? , + ? ? 单调递增. 所以,当 x ?
1 e

时, f ( x ) 取得最小值 ?

1

.

e (Ⅱ)解法一:令 g ( x ) ? f ( x ) ? ( ax ? 1) ,则

?????????? 6 分

????????8 分 ① 若 a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ? ( x ) ? 1 ? a ? ln x ? 1 ? a ? 0 , 故 g ( x ) 在 (1, + ? ) 上为增函数, 所以, x ? 1 时, g ( x ) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 f ( x ) ? a x ? 1 .???????? 10 分 ② 若 a ? 1 ,方程 g ?( x ) ? 0 的根为 x 0 ? e a ?1 ,

g ? ( x ) ? f ? ( x ) ? a ? 1 ? a ? ln x ,

此时,若 x ? (1, x 0 ) ,则 g ?( x ) ? 0 ,故 g ( x ) 在该区间为减函数. 所以 x ? (1, x 0 ) 时, g ( x ) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 , 即 f ( x ) ? a x ? 1 ,与题设 f ( x ) ? a x ? 1 相矛盾. ????????13 分 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ( ? ? , . ??????????????14 分 1] 解法二:依题意,得 f ( x ) ? a x ? 1 在 [1, ? ) 上恒成立, ? 即不等式 a ? ln x ? 令 g ( x ) ? ln x ?
1 x 1 x

对于 x ? [1, ? ) 恒成立 . ? 则 g ?( x )?
1 x ? x 1
2

????????8 分
1 ? ?. ?



?

1 ? ? ? 1 x? x

????????10 分

当 x ? 1 时,因为 g ? ( x ) ?

1? 1? ?1 ? ? ? 0 , x? x?

? 故 g ( x ) 是 (1, ? ) 上的增函数, 所以 g ( x ) 的最小值是 g (1) ? 1 , ?????? 13 分 1] 所以 a 的取值范围是 ( ? ? , . ????????????????14 分 www.ks5u.com

19、 (本题满分 12 分)请您设计一个帐篷。它下部 的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱 长为 3m 的正六棱锥(如右图所示) 。试问当帐篷的 O 到底面中心 o 1 的距离为多少时, 顶点 帐篷的体积 最大? 【注: V
柱体

? S底 ? h,

V锥 体 ?

1 3

S底 ? h



w.ks5u.com
2 2 19、解:设正六棱锥的高为 x m,则正六棱锥底面边长为 3 ? x (单位:m) 。 ??????2 分

于是底面正六边形的面积为(单位:m2) S ? 6 ? : 帐篷的体积为(单位:m3) :
V (x) ? 3 3 2 (9 ? x )
2

3 4

?( 9 ? x ) ?
2 2

3 3 2

(9 ? x ) 。
2

??????4 分
3 3 ?1 ? 2 3 2 x ?1 ? (9 ? x )(3 ? x ) ? ( ? x ? 3 x ? 9 x ? 2 7 ) (1 ? x ? 3) ?3 ? 2 2 ? ?

??????8 分 求导数,得 V ? ( x ) ? ?
3 3 2 ( x ? 2 x ? 3) ;
2

令 V ?( x ) ? 0 解得 x=-3(不合题意,舍去),x=1。 ??????10 分 当 0<x<1 时, V ?( x ) ? 0 ,V(x)为增函数;当 1<x<3 时, V ?( x ) ? 0 ,V(x)为减函数。 所以当 x=1 时,V(x)最大。即当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大。 ????12 分 w.ks5u.com

20. (本题满分 13 分)已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x=±1 处取得极值.
3 2

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (Ⅲ)若过点 A(1,m) (m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围. 20. 解: (I)f′(x)=3ax +2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0, 即?
?3a ? 2b ? 3 ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0
3 2

,

解得 a=1,b=0.
2

∴f(x)=x -3x.

3

(II)∵f(x)=x -3x,∴f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1), 当-1<x<1 时,f′(x)<0,故 f(x)在区间[-1,1]上为减函数, fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2??????????????6 分 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4????????????8 分 (III)f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为 y=x -3x,∴点 A(1,m)不在曲线上.
3 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y 0 ? x 0 ? 3 x 0 .
3 2

2 因 f ? ( x 0 ) ? 3 ( x 02 ? 1) ,故切线的斜率为 3 ( x 0 ? 1) ?

x0 ? 3x0 ? m
3

x0 ? 1



3 2 整理得 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 ? 0 .∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线,

3 2 ∴关于 x0 方程 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 =0 有三个实根.????????10 分

3 2 2 设 g(x0)= 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 ,则 g′(x0)=6 x 0 ? 6 x 0 ,

由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0)(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. ,

3 2 ∴函数 g(x0)= 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 的极值点为 x0=0,x0=1??????12 分

3 2 ∴关于 x0 方程 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 =0 有三个实根的充要条件是

? g (0) ? 0 ,解得-3<m<-2.故所求的实数 a 的取值范围是-3<m<-2. ? ? g (1) ? 0

21. (本题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? ax ? ln x , x ? ( 0 , e ], g ( x ) ?
a ? R.

ln x x

, 其中 e 是自然常数,

(Ⅰ)讨论 a ? 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?
1 2

;

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理 由.
om
1 x x ?1 x

21.解: (Ⅰ)? f ( x ) ? x ? ln x , f ? ( x ) ? 1 ?
/

?

??1 分

∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减 当 1 ? x ? e 时, f ( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增
/

??3 分 ??4 分

∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1

(Ⅱ)? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上的最小值为 1, ∴ f ( x ) ? 0 , f ( x ) m in ? 1 令 h(x) ? g (x) ?
1 2 ? ln x x ? 1 2

??5 分 , h ?( x ) ?
1 ? ln x x

, ??6 分

当 0 ? x ? e 时, h ?( x ) ? 0 , h ( x ) 在 ( 0 , e ] 上单调递增 ??7 分 ∴ h ( x ) max ? h ( e ) ?
1 e ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 ? | f ( x ) | min

∴在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

1 2

??9 分

(Ⅲ)假设存在实数 a ,使 f ( x ) ? ax ? ln x ( x ? ( 0 , e ] )有最小值 3,
f (x) ? a ?
/

1 x

?

ax ? 1 x

??9 分
4 e

① 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上单调递减, f ( x ) min ? f ( e ) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 所以,此时 f ( x ) 无最小值. ??10 分

(舍去) ,

②当 0 ?

1 a

? e 时, f ( x ) 在 ( 0 ,

1 a

) 上单调递减,在 (

1 a

, e ] 上单调递增

1 2 f ( x ) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e ,满足条件. a

??11 分
4 e

③ 当

1 a

? e 时, f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上单调递减, f ( x ) min ? f ( e ) ? ae ? 1 ? 3 ,a ?
2

(舍去) ,

所以,此时 f ( x ) 无最小值.综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? ( 0 , e ] 时 f ( x ) 有最小值 3.


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