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北师大版数学选修1-1教案:第3章-知识归纳:变化率与导数


3.2 导数的概念及其几何意义
变化率问题 1.平均变化率: 已知函数 y=f(x), 令 Δx= x2 ? x1 , y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 则当 x ? 0 时,比值
y f ( x2 ) ? f ( x1 ) = ,称作函数 f(x)从 x1 到 x2 得平均变化率. x x2 ? x1

2.瞬时速度:物

体在某一时刻的速度. 3.求自变量的增量 Δx= x ? x0 , 函数的增量 y ? y ? y0 ? f ( x) ? f ( x0 ) ? f ( x ? x) ? f ( x0 ) 4.求平均变化率
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ,要注意 Δx、 y 的值可正、可负,但 ?x ?x

x ? 0 , y 可为零,若函数 f(x)为常值函数,则 y =0

导数的概念 1.导数: 一般地, 函数 y=f(x)在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim
lim
?x ?0

?y x ? x0 .我们称它为函数 y=f(x)在 处的导数,记作 f′(x0)或 f′(x0),即 ?x ?0 ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f′(x0)= lim . ?x ?0 ?x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ?x

2.对导数的定义要注意两点:第一:Δx 是自变量 x 在 x0 处的该变量,所以 Δx 可正可负,但 x ? 0 ;第二:函数在某点的导数,就是在该点的函数值改变量与自 变量之比的极限值,因此它是一个常数而不是变数. 3.求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的方法是: (1)求函数 y=f(x)的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x
?x ?0

(3)取极限,得函数 f′(x0)= lim

?y . ?x

导数的几何意义 1.导数的几何意义

k=tanα=f′(x0) 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义, 就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切 线的斜率. 曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0). 切线方程可表示为 y-f(x0)=f′(x0)· (x-x0). 2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法: ①求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0). ②得切线方程 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 特例:如果曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的导数不存在,就是切线平行于 y 轴, 这时根据切线定义,可得切线方程为 x=x0. 3.导数与切线的关系. ①f′(x0)>0,切线与 x 轴正向的夹角为锐角. ②f′(x0)<0,切线与 x 轴正向的夹角为钝角. ③f′(x0)=0,切线与 x 轴平行. ④f′(x0)不存在,切线与 y 轴平行.


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