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成都七中2013-2014年高二上数学第三次月考试题及答案(理)


成都七中实验学校高 2015 届高二(上)第三学月考试
数学试题(理科)
满分:150 分 时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分。 ) 1、要完成下列两项调查,①从某社区 125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95 户低收 入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标;②从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 人调查学习负

担情况,宜采用的抽样方法依次为( A ) A.①用分层抽样法,②用简单随机抽样法 B. ①用随机抽样法,②用系统抽样法 C.①用系统抽样法,②用分层抽样法 D.①②都用分层抽样法 2、如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依 次分别为( C ).

(1)

(2)

(3)

(4)

A.圆台、三棱柱、圆锥、三棱台 C.圆台、四棱锥、圆锥、三棱柱

B.圆台、三棱锥、圆锥、三棱台 D.圆台、三棱台、圆锥、三棱柱

3、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3,4,5 ,且它的八个顶点在同一个球面上,这个 球的表面积为( B A. 25? 4、对于一组数据 ). B. 50? C. 125?
i

D. 250?

x

i

( i =1,2,3,…, n ) ,如果将它们改变为

x ? c ( i =1,2,3,…,

,其中 c ? 0 ,则下列结论中正确的是( C ) n) A.平均数与方差均不变 B.平均数不变,而方差变了 C.平均数变了,而方差保持不变 D.平均数与方差均发生了变化 5、100 个个体分成 10 组,编号后分别为第 1 组:00,01,02,…,09;第 2 组:10,11, 12, 19; 第 10 组: 91, …, 现在从第 k 组中抽取其号码的个位数与 ? k ? m ? 1? …, …; 90, 92, 99. 的个位数相同的个体,其中 m 是第 1 组随机抽取的号码的个位数,则当 m ? 5 时,从第 7 组中抽取的号码是( D ) A. 75 B. 71 C. 65 D. 61 6.已知两个不同的平 面 ? , ? 和两条不重合的直线 m, n ,则下列命题不正确的是 ( D ) A.若 m // n, m ? ? , 则 n ? ? , C.若 m ? ? , m // n, n ? ? ,则? ? ? B. 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ?

D.若 m//? , ? ? ? ? n, ,则 m // n

7、如图,平行四边形 ABCD 中,AB⊥BD,沿 BD 将△ ABD 折起,使面 ABD⊥面 BCD,
连接 AC,则在四面体 ABCD 的四个面中,互相垂直的平面的对 数为( C A.1 C.3 ) B.2 D.4 7题

8、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( D ) A.4 B.8 C.16 D.64
是 k=0,S=1 k=k+1
k

开始

k<4 否 输出 S

S=S×2

结束

8题

9.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C 1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 的正三角形 侧棱长为 3,则 BB1 与平面 AB1C 1 所成的角为( A ? ? ? A. B. C. 6 4 3 ) D.

? 2
B1

A1

C1

B

A

C

10、 三棱柱 ABC - A1B1C1 中,点 A, BB1 的中点 M 以及 B1C1 的中点 N 所决定的平面把
三棱柱切割成体积不同的两部分,那么小部分的体积与大部分的体积比是(B) A、13: 36 C. 23: 36 B.13: 23 D.以上都不正确

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分。 )

11、6 个数 4,x,-1,y,z,6,它们的平均数为 5,则 x,y,z 三个数的平均数为_____7 12.下图是求
1 1 1 1 的算法程序. ? ? ? ?? ? 99 ? 100 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 标号①处填 S=S+1/(K+1)*K 标号②处填 K>99(K=100)(K>=100)
S=0 K=1 DO ______①____ K=k+1 LOOP UNTIL _②_______ PRINT S END

13.如图,已知正四面 ABCD 中, AE ? 值为_________4/13

1 1 AB, CF ? CD ,则直线 DE 和 BF 所成的角的余弦 4 4

14、若三棱锥各侧面与底面所成的二面角均为 60? ,底面三角形三边为 3、 、 , 4 5 则此三棱锥的侧面积为 12 。 ? ? 1 ○ 已 知 钝 二 面 角 ? ? l ? ? 的 大 小 为 ? , u, v 分 别 是 平 面 ?,? 的 法 向 量

? ? 则cos? =- c o su v, ,
2 ○、圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 3 绕直线 kx ? y ?1 ? 0 旋转一周所得几何体的体积是 4?,

3 ○、 圆锥底面半径为

3,母线长为2,则过圆锥顶点的截面面积的最大值为 3
??? ? ??? ? ???? ????

OA 4 ○、已知A,B,C,D四点共面, ? an OB ? an -1 OC ? OD, 又数列?an ?中,a1 = ? 11,则

数列?an ?的前n项和Sn有最小值-36. 正确的是______○○ 1 4
三、解答题(6 个小题,共 75 分。 ) 16、如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 AB 中点,F 为正方形 BCC1B1 的中心. (1)求直线 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值; (2)求异面直线 A1C 与 EF 所成角的余弦值.
A1 D1 C1

解法 一: (1)取 BC 中点 H,连结 FH,EH, 设正方体棱长为 2. ∵F 为 BCC1B1 中心,E 为 AB 中点.
D

B1

F

C

∴FH⊥平面 ABCD,FH=1,EH= 2 .
A

∴∠FEH 为直线 EF 与平面 ABCD 所成角,且 FH⊥EH. ∴tan∠FEH=

E

B

16 题

2 FH 1 = = .……6 分 EH 2 2

(2)取 A1C 中点 O,连接 OF,OA,则 OF∥AE,且 OF=AE. ∴四边形 AEFO 为平行四边形.∴AO∥EF. ∴∠AOA1 为异面直线 A1C 与 EF 所成角. ∵A1A=2,AO=A1O= 3 .∴△AOA1 中,由余弦定理得 cos∠A1OA= ∴异面直线 A1C 与 EF 所成角的余弦值为

1 . 3

1 .……12 分 3 17、已知一四棱锥 P ? ABCD 的三视图如下, E 是侧棱 PC 上的动点。 (Ⅰ)求证: BD ? AE ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的侧面积.
P

E

2

2 1

D

C

1 正视图

1 侧视图

1 俯视图

A

B

(1) BD ^ AC , BD ^ PC 轣 BD

面PAC 轣 BD

AE

(2)可以证明 ?PCB、?PCD、?PBA、?PDA是RT ?

S ? PCB = S ? PCD = S ? PBA = ? PDA = S侧 = 2 + 5

1 创 2= 1 1 2 5= 5 2

1 创 1 2

18、某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 10 场比赛, 比赛得分情况记录如下(单位:分) : 甲:37,21,31,20,29,19,32,23,25,33 乙:10,30,47,27,46,14,26,10,44,46 (1)根据得分情况记录,作出两名篮球运动员得分的茎叶图,并根据茎叶图, 对甲、乙两运动员得分作比较,写出两个统计结论; (2)求甲篮球运动员 10 场比赛得分平均值 x ; (3)将 10 场比赛得分 xi 依次输入如图所示的程序框图进行运算, 问输出的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意义.
(1) 、言之有理即可, (2) 、27 (3) 、35,甲方差

S ? S ? ( xi ? 27)2

19、如图 1,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, ?A ? 60? , ?C ? 90? , ,使二面角 A ? BD ? C 的余弦值 CD ? 2 .把 ?ABD 沿 BD 折起(如图 2) 等于

3 .对于图 2, 3

(1)求 AC ; (2)证明: AC ? 平面 BCD ; (3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值. . 解: (Ⅰ)取 BD 的中点 E ,连接 AE, CE , 由 AB ? AD, CB ? CD ,得: AE ? BD, CE ? BD 19 题

??AEC 就是二面角 A ? BD ? C 的平面角,? cos ?AEC ?
在 ?ACE 中, AE ?

3 …………………2 分 3

6 , CE ? 2 AC 2 ? AE 2 ? CE2 ? 2 AE ? CE ? cos?AEC

? 6 ? 2 ? 2? 6 ? 2 ?

3 ? 4 ? AC ? 2 ………………………………………4 分 3

(Ⅱ)由 AC ? AD ? BD ? 2 2 , AC ? BC ? CD ? 2

? AC 2 ? BC 2 ? AB 2 , AC 2 ? CD2 ? AD 2 , ? ?ACB ? ?ACD ? 90?
? AC ? BC, AC ? CD ,
又 BC ? CD ? C ? AC ? 平面 BCD .………………9 分

(Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知 BD ? 平面 ACE BD ? 平面 ABD ∴平面 ACE ? 平面 ABD 平面 ACE ? 平面 ABD ? AE , 作 CF ? AE 交 AE 于 F ,则 CF ? 平面 ABD , ?CAF 就是 AC 与平面 ABD 所成的角

? sin ?CAF ? sin ?CAE ?

CE 3 .……12 分 ? AE 3

故 AC 与平面 ABD 所成的角的正弦为

3 3

方法二:设点 C 到平面 ABD 的距离为 h , ∵ VC ? ABD ? VA?BCD

?

1 1 1 1 ? ? 2 ?2 2 s i n 6 0 ? ? 2 h? ? 3 2 3 2

? 2? 2? 2

?h ?

2 3 3

于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦为

sin? ?

h 3 . ? AC 3
D1 O1 A1 B1 E D O B F C1

20、如图,已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面为正方形,

O1 、 分别为上、下底面中心,且 OA1 ^ 面ABCD , O
(1)求证:平面 O1 DC ? 平面 ABCD ; (2)若点 E 、 F 分别在棱 AA1 、 BC 上, 且 AE ? 2EA1 ,问点 F 在何处时, EF ? AD ? (3)若 ?A1 AB ? 60 ,求二面角 C ? A1 A ? B 的余弦值. 解(1)证明: 建立空间直角坐标系如图所示, 设底面正方形的边长为 a, OA1 ? h , A
0

C

2 2 a , 0 , 0) , A1 (0 , 0 , h) ,C (? a , 0 , 0) , 2 2 2 由 AO ? A1O1 ,得 O1 (? a , 0 , h) ? CO1 ? (0,0, h) 2 又 CO1 ? 平面 O1 DC , ?平面 O1 DC ? 平面 ABCD
则 A( (2) 由(1)及 AE ? 2EA1 ,

? CO1 ? 平面 ABCD
…………………4 分

2 2 2 2 a,0, h), D(0,? a,0), B(0, a,0) 6 3 2 2 2 2 ?a a 设 BF ? ? FC ,则 F (? 2 , 2 ,0) , 1? ? 1? ? 2 2 ?a a 2 2 EF ? (? 2 ? a, 2 , ? h) 1? ? 6 1? ? 3
得 E(

z A E
1

D
1

C O
1 1

B
1

D O A x B

F

C

AD ? (?

2 2 a,? a,0) 2 2
1 2
2 a 2

由 EF ? AD ? EF ? AD ? 0 ? ? ? ( 3 ) 由 ?A1 AB ? 60
0

? BF ?

1 FC 2

y …………… 8 分

, ?h?

从 而

AB ? (?

2 2 a, a,0) , 2 2

AA1 ? (?


2 2 a,0, a) 2 2
n1 ? ( x, y,1) 是 平 面 BAA1 的 一 个 法 向 量 ,


? ? AB ? n1 ? 0 ? ? AA1 ? n1 ? 0 ?

?x ? 1 ?? ? n1 ? (1,1,1) ?y ? 1
又 平面 CAA1 的一个法向量为 n 2 ? (0,1,0)

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 3 ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? ? 3 3 n1 ? n2
据图知二面角 C ? A1 A ? B 为锐二面角, 所以二面角 C ? A1 A ? B 的余弦值为

3 3

…12 分

21、在直三棱柱(侧面垂直于底面的三棱柱) ABC - A1B1C1 中,以 AB、BC 为邻
边作平行四边形 ABCD , AB ^

BC , AB = BC = AA1

记线段 CD、A B1的中点分别为P、E, 1

连接AE、BP,得到如图所示的几何体

(1)若AA1 = a,图甲给出了异面直线之间 距离的一种算法框图(其中异面直线的公 垂线是指与两异面直线都垂直且相交的 直线)请利用这种方法求异面直线AE和BP 之间的距离 (2)若AA1 = 2,在线段A1P上是否存在一点F, 使得平面AFB ^ 平面A1BP ? 若存在,指出 点F的位置,并证明你的结论;若不存在, 请说明理由; (3)若AA1 = a,在线段A1C上有一动点M , 过点M 做垂直于平面A1 ACC1的直线l,与 直三棱柱ABC - A1B1C1的其他侧面相交于点N, 设CM = x,MN = y,求函数y = f ( x )的解析式, 并据此求出线段MN的长度的最大值.


成都七中2013-2014年高二上数学第三次月考试题及答案(理)——谢丹军

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