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09级高三第一次月考试卷数学文科

时间:2012-11-27


09 级高三第一次月考试卷 数 学 (文科)
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

5 个元素,集合 B 中有 3 个元素,那么集合 A 到 B 的不同满射的个数为 (A) 243 (B) 240 (C) 150 (D) 72 11. 已 知 A, B, C, 在 同 一 个 球 面 上 , AB ? 平面BCD, D

BC ?

CD, 若

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | ( x ? 2)( x ?1) ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 0} ,则 A ? (CU B) 为 (A) {x | x ? ?2或x ? 1} (B) {x | x ? ?2或x ? 0} (D) {x | x ? ?1或x ? 1} (B) f ( x) ? log 3 (D)
( x ?1)

AB ? 6, AC ? 2 13, AD ? 8 ,则 B, C 两点间的球面距离是 4? 2? 5? ? (A) (B) (C) (D) 3 3 3 3 2 2 x y 12. 已知双曲线 C1 : ? ? 1 的左准线为 l ,左右焦点分别为 F1 、 F2 ,抛物线 C2 的准线 9 16 为 l ,焦点为 F2 , P 是 C1 与 C2 的一个交点,则 PF2 =
(A) 9 (B) 32 (C) 8 (D) 40

{x | x ? ?1或x ? 0} 2. 函数 f ( x) = 3x?1 ( x ? 2 )的反函数是
(C) (A) f ( x) ? log 3
( x ?1)

第Ⅱ卷(非选择题
(0 ? x ?3) (0 ? x ?3)
2

( x ? 3) ( x ? 3)

共 90 分)

(C) f ( x) ? log3 ? 1
x

f ( x) ? log3 ? 1
x

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡指定的位置上. 13. 由 命 题 “ 存 在 x ?R , 使 x ? 2 x ? m ? 0 ” 是 假 命 题 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 为 . 14. 从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小、形状完全相同的球中,有放回地随机抽取 2 个球, 则抽到的 2 个球的标号之和大于 5 的概率等于____________ .

3 ? 3.已知 ? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) 的值为 2 5 4 1 1 (A) ? (B) (C) 7 (D) ?7 7 7 1 1 4.若 a, b ? R ,则 2 ? 2 成立的一个充分不必要的条件是 b a (A) b ? a ? 0 (B) a ? b ? 0 (C) b ? a (D) a ? b 5. 已知 m 、 n 、 l 为三条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 (A) ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n (B) l ? ? , ? ? ? ? l // ? (C) m ? ? , m ? n ? n // ? (D) ? // ? , l ? ? , n ? ? ? l ? n ?1? 6.已知偶函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 单调递增,则满足 f ? 2 x ? 1? ? f ? ? 的 x 取值范围是 ?3? 1? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ? ?1 2 ? (A) ? , ?? ? (B) ? , ?? ? (C) ? , ?? ? ? ? ??, ? (D) ? , ? 3? ?3 ? ? ?2 3 ? ?3 ? ?3 ? 4 7. 若曲线 f ( x) ? x ? x 在点 P 处的切线垂直于直线 x ? 3 y ? 0 ,则点 P 坐标为 (A) (1,3) (B) (1,0) (C) (?1,3) (D) (?1,0) 1 n 2 8. 已知 f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? 6 | 的最小值为 n ,则二项式 (2 x ? ) 展开式中常数项是 x
(A) 第 6 项 (B) 第 7 项 9. 将函数 f ( x) ? 2 sin(2 x ? 一个可能值是 (C) (? ,?3) (D) ( ,3) ( ,?3) 6 3 6 6 10. 映射 f : A ? B 如果满足集合 B 中的任意一个元素在 A 中都有原像,则称为满射,已知集 合 A 中有 (A) ( ?

?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 15 、 若 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 则 z ? x ? y ? 4 y ? 1 的 最 小 值 ?2 y ? 1 ? 0 ?
为 .
0

0 16. 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 BC ? 1 , BB1 ? 2 , ?BAC ? 30 , ?BCC1 ? 90 ,

AB ? 侧面 BB1C1C ,则直线 C1B 与侧面 ACC1 A1 所成角的正弦值为
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)



x x x cos ? 2sin 2 . 3 3 3 (Ⅰ)若 x ? ? 0, ? ? ,求函数 f ( x) 的值域;
已知:函数 f ( x) ? 2 3 sin (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a, b, c 若 f (C ) ? 1 ,且 b ? ac ,求 sin A 的 值.
2

?

(C) 第 8 项

(D) 第 9 项

3

则向量 a 的 ) ? 3 的图像按向量 a ? (m, n) 平移后关于原点对称,

?

,3)

(B)

?

?

?

18. (本小题满分 12 分) 质检部门将对 12 个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检,若被抽检厂家的奶粉经检验合 格,则该厂家的奶粉即可投放市场;若检验不合格,则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废品 处理。假定这 12 个厂家中只有 2 个厂家的奶粉存在质量问题(即检验不能合格) ,但不知道是 哪两个厂家的奶粉. (I)从中任意选取 3 个厂家的奶粉进行检验,求至少有 2 个厂家的奶粉检验合格的概率; (Ⅱ)每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验(抽检不重复) ,求恰好在第二次抽检到合 格奶粉的概率.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?

(Ⅰ)当方程 f ? x ? =0 只有一个实数解时,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 m ? 0 且当 x ? [1 ? m,3] 时,恒有 f ( x) ? 0, 求实数 m 的取值范围.

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x . 3

(19)(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,底面 ABCD 是直角梯 形, AB // CD , ?ADC ? 90? , AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 . (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45? . P

22.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左,右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

??? ?

??? ?

D 20.(本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 满足条件: a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 1, n ? N .
*

C B

A

(Ⅰ)求证:数列 {a n ? 1} 为等比数列;

(Ⅱ)若 bn ? (2n ? 1)(an ? 1) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

09 级高三第一次月考数学(文科)答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1 2 3 4 5 6 7 题号 C D B A D C B 答案
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.

8 D

9 D

10 C

11 B

12 A

3 C10 12 二是选取抽检的 3 个厂家的奶粉均合格,此时的概率为 P2 ? 3 ? …………4 分 C12 22 21 故所求的概率为 P ? P ? P2 ? …………6 分 1 22

(Ⅱ)记 A 恰好在第二次抽检到合格奶粉的事件。则 P( A) ? 15.

2 1 1 ? ? 12 11 66

……12 分

(1, ??)

14.

3 8

13 4

16.

15 10

17. (本小题满分 10 分)

x x x cos ? 2sin 2 . 3 3 3 (Ⅰ)若 x ? ? 0, ? ? ,求函数 f ( x) 的值域;
已知:函数 f ( x) ? 2 3 sin (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别为 a, b, c 若 f (C ) ? 1 ,且 b ? ac ,求 sin A 的值.
2

19.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,底面 ABCD 是直角梯 形, AB // CD , ?ADC ? 90? , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 . (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45? . P 19 解: (Ⅰ)平面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD , 所以 PD ? 平面 ABCD ,………1 分 所以 PD ? AD , .….…. .….….…. .….…. .….……………2 分 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 A(1,0,0), B(1,1,0), C (0, 2,0), P(0,0,1). D ………3 分 C

??? ?

??? ?

17. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

2x 2x 2x ? ? cos ? 1 ? 2sin( ? ) ? 1 ………………3 分 3 3 3 6 ? 2 x ? 5? ∵ x ? [0, ? ] , ∴ ≤ ? ≤ 6 3 6 6 1 2x ? ∴ ≤ sin( ∴ f ( x) 的值域为[0,1] ………………5 分 ? ) ≤1 2 3 6 2C ? 2C ? (Ⅱ) f (C ) =2 sin ( ∴ sin( ? ) ?1 ? 1 ? ) ?1 3 6 3 6 ? 而∠ C ? (0, ? ) , ∴∠ C = .......……………7 分 2 2 2 2 2 在 Rt △ ABC 中,∵ b ? ac, c ? a ? b 3 sin
a ?1 ? 5 a ? 1 ? 0 解得 ? c 2 c a 5 ?1 ∵0 ? sin A ? 1 ,∴ sin A ? ? ………..…………10 分 c 2
∴ c ? a ? ac ? ( ) ?
2 2

??? ? ??? ? A DB ? (1,1, 0) , BC ? (?1,1, 0) , B ??? ??? ? ? 所以 BC ? DB ? 0 , BC ? DB ,……………4 分 又由 PD ? 平面 ABCD ,可得 PD ? BC ,所以 BC ? 平面 PBD ……………………6 分 (Ⅱ)平面 PBD 的法向量为 ??? ? BC ? (?1,1, 0) , ……….………………………………………7 分 ??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0, 2, ?1) , PQ ? ? PC , ? ? (0,1)

a c

2

18. (本小题满分 12 分) 质检部门将对 12 个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检,若被抽检厂家的奶粉经检验合 格,则该厂家的奶粉即可投放市场;若检验不合格,则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废品 处理。假定这 12 个厂家中只有 2 个厂家的奶粉存在质量问题(即检验不能合格) ,但不知道是 哪两个厂家的奶粉。 (I)从中任意选取 3 个厂家的奶粉进行检验,求至少有 2 个厂家的奶粉检验合格的概率; (Ⅱ)每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验(抽检不重复) ,求恰好在第二次抽检到合 格奶粉的概率。 解: (I)任意选取 3 个厂家进行抽检,至少有 2 个厂家的奶粉检验合格有两种情形;一是选 取抽检的 3 个厂家中,恰有 2 个厂家的奶粉合格,此时的概率为 P ? 1
2 1 C10C2 9 ? 3 C12 22

Q(0, 2? ,1 ? ? ) , ………………………….…………………………………………………8 分 ??? ? ???? 设平面 QBD 的法向量为 n = (a, b, c) , DB ? (1,1, 0) , DQ ? (0, 2? ,1 ? ? ) , ??? ? ???? z 由 n ? DB ? 0 , n ? DQ ? 0 ,得 P ?a ? b ? 0 Q 所以, ? ,……………………………………………………….……9 分 ?2?b ? (1 ? ? )c ? 0 y
所以

所以

2? A n = (?1,1, ) ,……………………………………………………………………….…10 分 B ? ?1 x ??? ? n ? BC 2 2 ? ? 所以 cos 45 ? ……………...……11 分 ??? ? ? 2 2? 2 n BC 2 2?( ) ? ?1 注意到 ? ? (0,1) ,得 ? ? 2 ? 1 . …………..………….………………12 分
20.(本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 满足条件: a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 1, n ? N .
*

C

2分

(Ⅰ)求证:数列 {a n ? 1} 为等比数列;

(Ⅱ)若 bn ? (2n ? 1)(an ? 1) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 20.解:(Ⅰ)证明:由题意得 an?1 ? 1 ? 2an ? 2 ? 2(an ? 1) , ……3 分 又 a1 ? 1 ? 2 ? 0 . 所以数列 {an ? 1} 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. (Ⅱ)解:由⑴知 an ? 2 ? 1,
n

… …………4 分 ……………5 分 ……………7 分

?0 ? m ? 2, ? ? ?2 3 1 2 ? 3 m ? m ? 3 ? 0. ?

解得 0 ? m ?

1 2

………………11 分

综上所述, m 的取值范围为 ? 0, ? 2

? ?

1? ?

………………12 分

故 bn ? (2n ? 1)2

n

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ..... ? bn = ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ...... ? (2n ? 1)2n 2Tn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? ...... ? (2n ? 1)2n?1
2 3 4 n

……… ……………8 分
n ?1

错位相减得 ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ...... ? 2 ? 2 ? (2n ? 1)2

………………9 分

22.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为1 . (I) 求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A ,B 两点( A,B 不是左,右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

? 2(1 ? 2n ) ? ? 2? ? 2 ? (2n ? 1)2n ?1 1? 2 ? ? ? n ?1 ? (3 ? 2n)2 ? 6
从而得 Tn ? (2n ? 3)2 设函数 f ( x) ? ?
n ?1

x2 y 2 ? ? 1. 22. 解: (I) ? 4 3
……11 分 ……………12 分

………………4 分

?6

21. (本小题满分 12 分)

(Ⅰ)当方程 f ? x ? =0 只有一个实数解时,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 m ? 0 且当 x ? [1 ? m,3] 时,恒有 f ( x) ? 0, 求实数 m 的取值范围.

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x . 3

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 得 y2 ? ?1 ? 3 ? 4 2 2 2 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0 ,

………………5 分

? ? 64m2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .

1 3 ? 1 2 ? 2 2 2 21.解: (Ⅰ) f ? x ? ? ? x ? x ? ? m ? 1? x ? x ? ? x ? x ? ? m ? 1? ? 3 ? 3 ? 1 2 ?方程 f ? x ? ? 0 只有一个实数解,?? x ? x ? ? m2 ? 1? ? 0 没有实数解. ……2 分 3 4 2 1 1 ?? ? 1 ? ? m ? 1? ? 0 ,解得 ? ? m ? . 3 2 2 ? 1 1? 所以,当方程 f ? x ? ? 0 只有一个实数解时,实数 m 的取值范围是 ? ? , ? ……4 分 ? 2 2? 2 2 (Ⅱ)由 f ??x ? ? ? x ? 2 x ? m ? 1 ? ??x ? m ? 1??x ? m ? 1? …………………………5 分 1 因为 m ? 0, 所以 ? m ? 1 ? m f (x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内单调递减,高 w 在 (1 ? m,1 ? m) 内单调递增. ……7 分 2 ①当 3 ? 1 ? m , m ? 2 时, f ? x ? 在区间 ?1 ? m,3? 上是增函数, f ?x ?max ? f ?3? ? 3m ? 3 即
? m?2 ?? 2 ?3m ? 3? 0
无解. ………………9 分

x1 ? x2 ? ?

8mk 4(m2 ? 3) , x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

………………6 分

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? ( kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

3(m 2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

?以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0), k AD ? kBD ? ?1 ,
? y1 y2 ? ? ?1, y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

………………7 分

3( m2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0, 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,

………………9 分

2k 解得 m1 ? ?2k , m2 ? ? ,且满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 . 7
……………10 分 当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾; ……………11 分

②当 1 ? m ? 3 ,即 0 ? m ? 2 时, f ? x ? 在区间 ?1 ? m,1 ? m? 上是增函数,在 (1 ? m,??) 上 是减函数,

2 1 ? f ?x ?max ? f (1 ? m) = m 3 ? m 2 ? 3 3

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ?

……………12 分


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