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2015年秋新人教A版高中数学选修4-5:3.2《一般形式的柯西不等式》ppt课件

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第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式 栏 目 链 接 不等式证明 已知 a,b,c∈R+,求证: ?a b c ??b c a? ? + + ?? + + ?≥9. ?b c a??a b c ? 栏 目 链 接 分析:对应三维形式的柯西不等式,a1= c ,b = a 1 得证. b ,b = a 2 c ,b = b 3 a ,a2= b

b ,a3= c a ,而 a1b1=a2b2=a3b3=1,因而 c 证明:由柯西不等式知: ?? 左边=?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? a?2 ? ? +? b? ? c ?2 ? ? +? b? ? b × c b?2 ? ? +? c? ? a?2? ? ?≥ c? ? c + b c ?2? ? ?× a? ? b?2 ? ? +? a? ? a × b b + a 栏 目 链 接 c × a a ?2 ? = c? (1+1+1)2=9. ∴原不等式成立. 已知 a1,a2…,an 都是实数. 2 2 2 求证:(a1+a2+…+an)2≤n(a1 +a2 +…+an ). 分析:与柯西不等式的结构相比较,发现它符合柯西不等式的结 构,因此可用柯西不等式来证明. 证明:根据柯西不等式,有 2 2 (12+12+…+12)(a1 +a2 2+…+an)≥(1×a1+ 栏 目 链 接 栏 2 2 2 目 1×a2+…+1×an)2, 所以 n(a1 +a2 +…+a2 ) ≥ ( a + a + … + a ) n 1 2 n . 链 接 n 个 12 点评:准确把握柯西不等式的结构特征,通过恰当变形,构造两组柯 西数组是运用柯西不等式的关键所在. ?变式训练 1.已知 a,b,c,d 为不全相等的正数,求证: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + > + + + . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da 证明:由柯西不等式知: ?1 1 1 1 ?? 1 1 1 1 ? ? 2+ 2+ 2+ 2?? 2+ 2+ 2+ 2?≥ b c d ??b c d a ? ?a ?1 1 1 1 ?2 ? + + + ? , ?ab bc cd da? 栏 目 链 接 1 1 1 1 1 1 1 1 于是 2+ 2+ 2+ 2≥ + + + .① a b c d ab bc cd da 1 1 1 1 a b c d b c d a 等号成立? = = = ? = = = ?a=b=c=d, 1 1 1 1 a b c d b c d a 由题设 a,b,c,d 不全相等,于是①中有严格等号不成立, 1 1 1 1 1 1 1 1 即 2+ 2+ 2+ 2> + + + . a b c d ab bc cd da 栏 目 链 接 最值问题 设 2x+3y+5z=29,求函数 u= 2x+1+ 3y+4+ 5z+6的 最大值. 分析:将已知等式变形,直接应用柯西不等式. 解析:由柯西不等式有: 120 = 3[(2x + 1) + (3y + 4) + (5z + 6)]≥(1× 2x+1 + 1× 3y+4 +1× 5z+6)2. 栏 目 链 接 故 2x+1+ 3y+4+ 5z+6≤2 30. 37 28 22 当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6,即 x= ,y= ,z= 时等号 6 9 15 成立,此时 umax=2 30. 点评:根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配