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2014年有详解高一数学典型例题分析:充分条件与必要条件


充分条件与必要条件·典型例题 能力素质 例 1 已知 p:x1,x2 是方程 x2+5x-6=0 的两根,q:x1+x2=-5,则 p 是 q 的 [ A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换. 解 ∵x1,x2 是方程 x2+5x-6=0 的两根, ] ∴x1,x2 的值分别为 1,-6, ∴x1+x2=1-

6=-5. 因此选 A. 说明:判断命题为假命题可以通过举反例. 例 2 p 是 q 的充要条件的是 [ A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5 B.p:a>2,b<2,q:a>b C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形 D.p:a≠0,q:关于 x 的方程 ax=1 有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价. 解 对 A.p:x>1,q:x<1,所以,p 是 q 的既不充分也不必要条件; 对 B.p q 但 q p,p 是 q 的充分非必要条件; 对 C.p q 且 q p,p 是 q 的必要非充分条件; ] 对D.p ? q且q ? p,即p ? q,p是q的充要条件.选D. 说明:当 a=0 时,ax=0 有无数个解. 例 3 若 A 是 B 成立的充分条件,D 是 C 成立的必要条件,C 是 B 成立的充要条 件,则 D 是 A 成立的 [ ] A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 通过 B、C 作为桥梁联系 A、D. 解 ∵A 是 B 的充分条件,∴A B① ∵D 是 C 成立的必要条件,∴C D② ∵C是B成立的充要条件,∴C ? B③ -1- 由①③得 A C④ 由②④得 A D. ∴D 是 A 成立的必要条件.选 B. 说明:要注意利用推出符号的传递性. 例 4 设命题甲为:0<x<5,命题乙为|x-2|<3,那么甲是乙的 [ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定. 解 解不等式|x-2|<3 得-1<x<5. ∵0<x<5 -1<x<5,但-1<x<5 0<x<5 ∴甲是乙的充分不必要条件,选 A. 说明:一般情况下,如果条件甲为 x∈A,条件乙为 x∈B. ] 当且仅当A ? B时,甲为乙的充分条件; 当且仅当A ? B时,甲为乙的必要条件; 当且仅当 A=B 时,甲为乙的充要条件. 例 5 设 A、B、C 三个集合,为使 A (B∪C),条件 A B是 [ A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析.请同学们自己画图. ] ∴A (B∪C). 但是,当 B=N,C=R,A=Z 时, 显然 A (B∪C),但 A B” “A B 不成立, “A B” . (B∪C)” ,而 综上所述: “A “A 即“A (B∪C)” B”是“A (B∪C)”的充分条件(不必要).选 A. 说明:画图分析时要画一般形式的图,特殊形式的图会掩盖真实情况. 例 6 给出下列各组条件: (1)p:ab=0,q:a2+b2=0; (2)p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|; (3)p:m>0,q:方程 x2-x-m=0 有实根; (4)p:|x-1|>2,q:x<-1. 其中 p 是 q 的充要条件的有 [ ] -2- A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 分析 使用方程理论和不等式性质. 解 (1)p 是 q 的必要条件 (2)p 是 q 充要条件 (3)p

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