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正弦定理和余弦定理典型例题


《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一:正弦定理的应用: 例 1.已知在 ?ABC 中, c ? 10 , A ? 45 , C ? 30 ,解三角形.
? ?

思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上(如图) ,可以确定先用正弦定理求出边 a ,然后用三角形 内角和求出角 B ,最后用正弦定理求出边 b . 解析:?

a

c ? , sin A sin C

c sin A 10 ? sin 45? ? ? 10 2 , ∴a ? sin C sin 30?
∴ B ? 180? ? ( A ? C) ? 105? , 又

b c ? , sin B sin C

∴b ?

c sin B 10 ? sin105? 6? 2 ? ? 20sin 75? ? 20 ? ? 5 6 ?5 2 . ? sin C sin 30 4

总结升华: 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题; 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上,可以清楚地看出已知与求之间的关系,从而恰当地选择解 答方式. 举一反三: 【变式 1】在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ? 81.80 , a ? 42.9cm ,解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理, C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 ) ? 66.20 ; 根据正弦定理, b ? 根据正弦定理, c ?

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00
0 0

【变式 2】在 ?ABC 中,已知 B ? 75 , C ? 60 , c ? 5 ,求 a 、 A . 【答案】 A ? 180 ? ( B ? C) ? 180 ? (75 ? 60 ) ? 45 ,
0 0 0 0 0

根据正弦定理

a 5 5 6 ? ,∴ a ? . o o sin 45 sin 60 3

【变式 3】在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 1: 2 : 3 ,求 a : b : c 【答案】根据正弦定理

a b c ? ? ,得 a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 1: 2 : 3 . sin A sin B sin C

例 2.在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60? , c ? 1,求: a 和 A , C . 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上(如图) ,可以确定先用正弦定理求出角 C ,然后用三角形 内角和求出角 A ,最后用正弦定理求出边 a .

解析:由正弦定理得: ∴ sin C ?

b c ? , sin B sin C

c sin B 1? sin 60? 1 ? ? , b 2 3
? ?

(方法一)∵ 0 ? C ? 180 ,
? ?

∴ C ? 30 或 C ? 150 ,
? ? ?

当 C ? 150 时, B ? C ? 210 ? 180 , (舍去) ; 当 C ? 30 时, A ? 90 ,∴ a ? b2 ? c2 ? 2 .
? ?

(方法二)∵ b ? c , B ? 60 , ∴ C ? B ,
?

∴ C ? 60 即 C 为锐角, ∴ C ? 30 , A ? 90
? ?

?

∴ a ? b2 ? c2 ? 2 . 总结升华: 1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题。 2. 在利用正弦定理求角 C 时,因为 sin C ? sin(1800 ? C) ,所以要依据题意准确确定角 C 的范围,再 求出角 C . 3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 举一反三: 【变式 1】在 ?ABC 中, c ?

6 , a ? 2 , A ? 45? ,求 b 和 B, C .

【答案】∵

a c c sin A 6 ? sin 45? 3 ? ? ? , ∴ sin C ? , sin A sin C a 2 2
?

∵ 0 ? C ? 180 ,
?

∴ C ? 60 或 C ? 120
? ?

?

∴当 C ? 60 时, B ? 75 , b ?

c sin B 6 sin 75? ? ? 3 ?1 ; sin C sin 60? c sin B 6 sin15? ? ? 3 ? 1; sin C sin 60?

∴当 C ? 120 时, B ? 15 , b ?
? ?

所以, b ? 3 ? 1, B ? 75? , C ? 60? 或 b ? 3 ?1, B ? 15? , C ? 120? . 【变式 2】在 ?ABC 中 a ? 20 , b ? 10 2 , A ? 45 , 求 B 和 c ;
?

【答案】 ∵

1 a 10 2 ? , ∴ sin B ? o 2 sin 45 sin B

∵ 0 ? B ? 180 , ∴ B ? 30 或 B ? 150
? ? ? ?

?

①当 B ? 30 时, C ? 105 , c ? 10( 3 ? 1) ; ②当 B ? 150 时, A ? B ? 195 ? 180 (舍去) 。
? ? ?

【变式 3】在 ?ABC 中, B ? 60 , a ? 14 , b ? 7 6 , 求 ? A .
?

a sin B 14 ? sin 600 2 【答案】由正弦定理,得 sin A ? . ? ? b 2 7 6
∵a ? b, ∴ A ? 45
? ? ∴ A ? B ,即 0 ? A ? 60

类型二:余弦定理的应用: 例 3.已知 ?ABC 中, AB ? 3 、 BC ? 37 、 AC ? 4 ,求 ?ABC 中的最大角。 思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角,然后用余弦定理求解. 解析:∵三边中 BC ? 37 最大,∴ BC 其所对角 A 最大, 根据余弦定理: cos A ? ∵ 0 ? A ? 180 ,
? ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 32 ? 42 ? ( 37)2 1 ? ?? , 2 AB?AC 2 ? 3? 4 2
?

∴ A ? 120
?

故 ?ABC 中的最大角是 A ? 120 . 总结升华: 1. ?ABC 中,若知道三边的长度或三边的关系式,求角的大小,一般用余弦定理; 2.用余弦定理时,要注意公式中的边角位置关系. 举一反三: 【变式 1】已知 ?ABC 中 a ? 3 , b ? 5 , c ? 7 , 求角 C . 【答案】根据余弦定理: cos C ? ∵ 0 ? C ? 180 ,
? ?

a 2 ? b2 ? c 2 52 ? 32 ? 7 2 1 ? ?? , 2ab 2 ? 3? 5 2
o

∴ C ? 120

【变式 2】 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的三边长分别为 a, b, c , 若a :b:c ? 的各角的大小. 【答案】设 a ? 6k , b ? 2k , c ?

, 求 ?ABC 6 : 2 : 3 ( 1 ?)

?

3 ? 1 k , ? k ? 0?

?

根据余弦定理得: cos B ?

6?

? 2?

? 3 ? 1?

3 ?1 ? 4 6

2

?

2 , 2

∵ 0 ? B ? 180 ,∴ B ? 45 ;
? ? ?

同理可得 A ? 60 ;
?

∴ C ? 180 ? A ? B ? 75
?

?

【变式 3】在 ?ABC 中,若 a ? b ? c ? bc ,求角 A .
2 2 2

【答案】∵ b ? c ? a ? ?bc , ∴ cos A ?
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ?? 2bc 2

∵ 0 ? A ? 180 ,
? ?

∴ A ? 120

?

类型三:正、余弦定理的综合应用 例 4.在 ?ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 450 ,求 b 及 A . 思路点拨: 画出示意图,由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边 b ,然后继续用余弦定理或正 弦定理求角 A . 解析: ⑴由余弦定理得:

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2accos B
= (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2)cos450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) =8 ∴ b ? 2 2. ⑵求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: (法一:余弦定理) ∵ cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2)

∴ A ? 600. (法二:正弦定理)

a 2 3 3 ?sin450 ? ∵ sin A ? sin B ? b 2 2 2
又∵ 6 ? 2 ? 2.4 ?1.4 ? 3.8 , 2 3 ? 2?1.8 ? 3.6

∴ a < c ,即 00 < A < 900 , ∴ A ? 600. 总结升华:画出示意图,数形结合,正确选用正弦、余弦定理,可以使解答更快、更好. 举一反三:
0 【变式 1】在 ?ABC 中,已知 b ? 3 , c ? 4 , A ? 135 .求 B 和 C .

【答案】由余弦定理得: a ? 3 ? 4 ? 2 ? 3 ? 4 cos135 ? 25 ? 12 2 , ∴a ?

2

2

2

o

25 ? 12 2 ? 6.48
b sin A 3sin135o ? ? 0.327 , a a
0 /

由正弦定理得: sin B ?
0

因为 A ? 135 为钝角,则 B 为锐角, ∴ B ? 19 7 . ∴ C ? 1800 ? ( A ? B) ? 25053/ . 【变式 2】 在 ?ABC 中, 已知角 A, B, C 所对的三边长分别为 a, b, c , 若a ? 2, b?2 2, c? 6? 2, 求角 A 和 sin C 【答案】根据余弦定理可得:

cos A ?
?

b2 ? c 2 ? a 2 8?8?4 3 ?4 3 ? ? 2bc 2 2? 2 2 ? 6 ? 2

?

?

∵ 0 ? A ? 180 ,
?

∴ A ? 30

?



c sin A ? ∴由正弦定理得: sin C ? a

?

6 ? 2 sin 30? 2

?

?

?

6? 2 4

?.


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