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江西省赣州市十三县(市)2016届高三数学下学期期中联考试题 文


2015—2016 学年第二学期赣州市十三县(市)期中联考 高三文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? x ?1 ?

x ? 1 , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? B ? (
2

?

?

?

?



A. x ?1 ? x ? 2 2.复数

?

?

B. x ?1 ? x ? 0 ) B. ?1 ? i

?

?

C. x 1 ? x ? 2

?

?

D. x 0 ? x ? 1

?

?

C. 1 ? i D. 1 ? i ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (1, m),b ? (m,2),若a // b , 则实数 m 等于 ( ) A. ? 2 B. 2 C. ? 2 或 2 D.0 )

A. ?1 ? i

2i = ( 1? i

4.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? a7 ? a12 ? 60 ,则 S13 的值是 ( A.130 B.260 C.20 D.150

5.装里装有 3 个红球和 1 个白球,这些球除了颜色不同外,形状、大小完全相同。从中任 意取出 2 个球,则取出的 2 个球恰好是 1 个红球、1 个白球的概率等于 ( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 5 6.如图,是一个几何体的三视图,其中主视图、左视图是直角边长 为 2 的等腰直角三角形,俯视图为边长为 2 的正方形,则此几何体的 表面积为 ( A. 8 ? 4 2 ) B. 8 ? 4 3 C. 6 ? 6 2 D. 8 ? 2 2 ? 2 3
主视图 左视图

俯视图 ?x ? 2 y ? 1 ? 7.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 ( ? y ?1 ? 0 ?

)

A. ?3

B .0

C.1

D.3

8. 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 cos?x( x ? 0) 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于

?
2

, 若将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 ) B.(–

?
6

个单位得到函数 y ? g ( x) 的图象, 则 y ? g ( x) 是

减函数的区间为 ( A.(–

?
3

,0)

?
4



?
4

)

C.(0,

?
3

)

D.(

?
4



?
3

) )

9.执行如图所示的程序框图,如果输入 x ? 3 ,则输出 k 的值为 (

1

A.6
x

B.8
?x

C.10

D.12 )

10.函数 y ? ( e ? e )sin x 的图象(部分)大致是 (

A

B

C

D

11.已知抛物线 C: y 2 ? 8x 的焦点为 F,准线为 l ,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个 交点,若 FP=3FQ,则|QF|= A. ( ) C.3 D.2

8 3

B.

5 2
) B. ?

12.设 f ( x) ? ln x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在区间(0,4)上有三个零点,则实数 a 的 取值范围是 ( A. ? 0, ?

? ?

1? e?

? ln 2 ? ,e? ? 2 ?

C. ? 0,

? ?

ln 2 ? ? 2 ?

D. ?

? ln 2 1 ? , ? ? 2 e?

二、填空题:本大题共 4 小题,每 小题 5 分,共 20 分. 13. 已知双曲线 为 14.已知函数 f ( x) ? ?

x2 y 2 ? =1( a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,那么该双曲线的渐近线方程 a 2 b2
.

?log 2 (1 ? x) ? 1, x ? 1
?2 ?x , x ? 1

,若 f (a) ? 3 ,则 a

? ________ .

15.若数列 {an } 满足 a1 ? 2 且 an ? an?1 ? 2 n ? 2 n?1 , Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, 则 log2 (S2016 ? 2) = 且 2S ? ? a ? b ?2 ? c 2 ,则 tan C ? 17.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 3 ,前 3 项和 S3 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; ( 2 )若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ? .

16.已知 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 ?ABC 的面积为 S , . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

13 9

?
6

处取得最大值 a4 ,求函数

f ? x ? 在区间 [?

, ] 上的值域. 12 2

? ?

18. (本小题满分 12 分)
2

某高校在 2015 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组, 得到的频率分布表如下图所示. (Ⅰ)请先求出频率分布表中的 a、b,再完成下列频率分布直方图; (Ⅱ)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽 样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面 试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 A 进行面 试,求:第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率?

19.(本小题满分 12 分) BC ? 1 , E , F 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC , AA 1 ? AC ? 2 ,

BC 的中点. 分别是 AC 1 1,
.u.c(Ⅰ)求证:平面 ABE ? 平面 B1BCC1 ; (Ⅱ)求证: C1F // 平面 ABE ; (Ⅲ)求三棱锥 E ? ABC 的体积.

A1

E B1

C1

A F B 20. (本小题满分 12 分)

C

如图,已知圆 E : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 16 ,点 F ( 3,0) , P 是圆 E 上任意一点.线段 PF 的垂 直平分线和半径 PE 相交于 Q . (1)求动点 Q 的轨迹 ? 的方程; (2)已知 A, B, C 是轨迹 ? 的三个动点,点 A 在一象限, B 与 A 关于原点对称, 且 | CA |?| CB | ,问△ ABC 的面积是否存在最小值?若存在,求出此最小值及相应 直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分)

3

已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? e . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) ? x 的单调区间;
x

x?m 在 ? 0, ?? ? 有解,求实数 m 的取值菹围; x (Ⅲ)证明:函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在公共定义域内, g ( x) ? f ( x) ? 2 .
(Ⅱ)若不等式 g ( x) ? 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请 写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,△ ABC 内接于⊙ O ,直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ,交 BC 的延长线于点 D , 过点 D 作 DE ? CA 交 BA 的延长线于点 E . (Ⅰ)求证: DE ? AE ?BE ;
2

F E A C D O .

B

(Ⅱ)若直线 EF 与⊙ O 相切于点 F ,且 EF ? 4 , EA ? 2 , 求线段 AC 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在曲线 C 上求一点 D ,使它到直线 l : ? 最短,并求出点 D 的直角坐标. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 3 |, a ? R . (1)当 a ? ?1 时,解不等式 f ( x) ? 1 ; (2)若对于 x ? [0,3] 时, f ( x) ? 4 恒成立,求 a 的取值范围.

? x ? 3t ? 3, ? ( t 为参数, t ? R )的距离 ? ? y ? ?3t ? 2

4

2015—2016 学年第二学期赣州市十三县(市)期中联考 高三文科数学答案 一、选择题:DBCB AACD CCAD 二、填空题:13、 y ? ? 3x 三、解答题: 14、-3 15、2017 16、 ?

4 3

13 a1 (1 ? 33 ) 13 1 得 ? , 解得a1 ? ………………2 分 9 1? 3 9 9 1 所以 a n ? a1 q n ?1 ? ? 3 n ?1 ? 3 n ?3 ……………………6 分 9 (2)由( 1 ),a4 ? 3, 所以函数f ( x)最大值为 3,于是A ? 3 ? ? ? 又因为函数 f ( x)在x ? 处取得最大值,则 sin( 2 ? ? ? ) ? 1,0 ? ? ? ? , 所以 ? ? 6 6 6
17.解: (1)由 q ? 3, S 3 ?

f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
6

)

………………………9 分

? ? 7? ? 1 ? ?0, ?,? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 ? 6 ? 2 6 ? ? ?? ? 3 ? …………………………12 分 f ( x)在?- , ?上的值域为 ? ,3 ? ? 12 2 ? ? 2 ? ? 18. 解: (Ⅰ)由题可知,第 2 组的频数为 0.35 ? 100 ? 35 人, 第 3 组的频率为 30 ? 0.300 …2 分 100
2x ?
频率分布直方图如右图: ………………………4 分 (Ⅱ)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样 在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组分别为:

?

30 ? 6 ? 3 人, 60 20 第 4 组: ? 6 ? 2 人, 60 10 第 5 组: ? 6 ? 1 人, 60
第 3 组: 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人…… 8 分 (Ⅲ)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学 为 B1 , B2 ,第 5 组的 1 位同学为 C1 ,从六位同学中抽两位同 学 有 15 种 可 能 如 下 : ( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , C1 ) ,

( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), … 10 分 其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的有: ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B2 ), ( A3 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), 9 中可
能, 所以其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的概率为 分

9 3 ? . 15 5

……… 12

5

19.解: (Ⅰ)证明:在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 底面 ABC ,所以 BB1 ? AB . 又因为 AB ? BC , BB1 ? BC ? B , 所以 AB ? 平面 B1BCC1 , …………………………………4 分 又 AB ? 平面 ABE , 所以平面 ABE ? 平面 B1BCC1 .………………………………5 分 (Ⅱ)证明:取 AB 的中点 G ,连接 EG , FG . BC , AB 的中点, 因为 E , F , G 分别是 AC 1 1,

1 1 AC , EC1 ? A1C1 . 2 2 因为 AC // AC 1 1 ,且 AC ? AC 1 1 ,所以 GF // EC1 ,且 GF ? EC1 ,
所以 FG // AC ,且 FG ? 所以四边形 FGEC1 为平行四边形,所以 C1F // EG . 分 ………………………9 分 …………10 又因为 EG ? 平面 ABE , C1F ? 平面 ABE ,所以 C1F // 平面 ABE .

BC ? 1 , AB ? BC ,所以 AB ? (Ⅲ)因为 AA 1 ? AC ? 2 ,
所以三棱锥 E ? ABC 的体积 V ? 分 (1) Q 在线段 PF 的垂直平分线上,所以 QP ? QF ; 20.解: 得 QE ? QF ? QE ? QP ? PE ? 4 ,

AC 2 ? BC 2 ? 3 .

1 1 1 3 . ……………12 S?ABC ? AA1 ? ? ? 3 ?1? 2 ? 3 3 2 3

又 EF ? 2 3 ? 4 ,得 Q 的轨迹是以 E , F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆.

x2 ……………………………………4 分 ? y2 ? 1. 4 (2)由点 A 在一象限, B 与 A 关于原点对称,设 AB : y ? kx(k ? 0) 1 CA ? CB ,? C 在 AB 的垂直平分线上,? CD : y ? ? x . k ? y ? kx ? 2 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 4 , ?x 2 ? ? y ?1 ?4

?:

AB ? 2 OA ? 2 x 2 ? y 2 ? 4


k 2 ?1 , 4k 2 ? 1

同理可得 OC ? 2

k 2 ?1 , ……………6 k2 ? 4
……………………8

S? ABC ?


1 (k 2 ? 1) 2 4(k 2 ? 1) AB ?CO ? 4 ? 2 (4k 2 ? 1)(k 2 ? 4) (4k 2 ? 1)(k 2 ? 4)

(4k 2 ? 1)(k 2 ? 4) ?
所以 S ?

4k 2 ? 1 ? k 2 ? 4 5(k 2 ? 1) ? ,当且仅当 k ? 1 时取等号, 2 2
…………………………………11 分

8 , 5
8 . 5

当直线 AB为y ? x时 , S min ?

………………………………12 分

6

21.解: (Ⅰ) f ( x)的定义域为 (0,?? ), y ' ? f ' ( x) ? 1 ? 由 f ' ( x) ? 0, 得x ? 1,

1 ? 1( x ? 0) …………1 分 x

则当x ? (0,1)时,f ' ( x) ? 0, f ( x)单调递增, …………3 分 则当x ? (1,??)时,f ' ( x) ? 0, f ( x)单调递减, 综上所述, f ( x)在区间( 0,1 )上单调递增,在区间 ( 1 , ? ?)单调递减 . ……4 分 x?m x (Ⅱ)由题意: e ? 有解,即e x x ? x ? m有解, x …………5 分 因此,只需 m ? x ? e x x , x ? (0,??)有解
设 h( x)=x ? e 因为 x ?
x

x

x , h?( x) ? 1 ? e x x ?

ex 1 ? 1 ? ex ( x ? ) ………………6 分 2 x 2 x

1 2 x

?2
1 2 x

1 ? 2 ? 1 ,且 x ? (0, ??) 时, e x ? 1 , 2
) ? 0 ,即 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在区间 [0, ??) 上单调递减,

所以 1 ? e ( x ?

所以 h( x) ? h(0) ? 0 , 因此 m ? 0 ﹒ ……………………8 分 (Ⅲ)方法一: f ( x ) 与 g ( x ) 的公共定义域为 (0, ?? ) ,

g ( x) ? f ( x) ? ex ? ln x ? ex ? x ? (ln x ? x) ,…………………………9 分 设 m( x) ? e x ? x , x ? (0, ??) ,因为 m?( x) ? e x ?1 ? 0 , m( x) 在区间 (0, ??) 上单调递
增, m( x) ? m(0) ? 1 , ………………………11 分 又 设 n( x) ? l n x? x , x ? (0, ??) , 由 ( Ⅰ ) 知 x ? 1 是 n( x) 的 极 大 值 点 , 即 n( x) ? n(1) ? ?1,所以 g ( x) ? f ( x) ? m( x) ? n( x) ? 1 ? (?1) ? 2 , 在函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 公共定义域内, g ( x) ? f ( x) ? 2 ﹒ …………………12 分 方法二: f ( x ) 与 g ( x ) 的公共定义域为 (0, ?? ) ,
x x 令 G( x) ? g ( x) ? f ( x) ? e ? ln x ,则 G ?( x ) ? e ?
x 设 G ?( x ) ? e ?

1 x

……………………9 分

1 ? 0 的解为 x0 ( x0 ? 0) ,则当 x ? (0, x0 ) 时, G?( x) ? 0 , G ( x) 单调递减, x 当 x ? ( x0 , ??) 时, G?( x) ? 0 , G ( x) 单调递增; 所以 G ( x) 在 x0 处取得最小值 1 G( x0 ) ? e x0 ? ln x0 ? x0 ? ,………………11 分 x0 1 显然 x0 ? 0 且 x0 ? 1,所以 x0 ? ? 2 ,所以 G( x) ? G( x0 ) ? 2 , x0 故在函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 公共定义域内, g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ﹒…………………12 分

22.解: (Ⅰ)证明:因为 AD 是⊙ O 的切线, 所以 ?DAC ? ?B (弦切角定理) .………………1 分 因为 DE ? CA ,所以 ?DAC ? ?EDA . ……………………2 分 所以 ?EDA ? ?B .因为 ?AED ? ?DEB (公共角) , 所以△ AED ∽△ DEB . ……………………3 分 所以

DE BE

?

AE DE

.即 DE ? AE ?BE .
2

……………………4 分
7

(Ⅱ)解:因为 EF 是⊙ O 的切线, EAB 是⊙ O 的割线, 所以 EF ? EA?EB (切割线定理) .
2
2

……………………5 分 因为 EF ? 4 , EA ? 2 ,所以 EB ? 8 , AB ? EB ? EA ? 6 .…………………7 分 由(Ⅰ)知 DE ? AE ?BE ,所以 DE ? 4 . 因为 DE ? CA ,所以△ BAC ∽△ BED . ……………………8 分 ……………………9 分

BE ED BE 8 23.(Ⅰ)解:由 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? ,
可得 ? 2 ? 2? sin ? . 因为 ? 2 ? x2 ? y 2 , ? sin ? ? y ,

所以

BA

?

AC

.所以 AC ?

BA ? ED

?

6? 4

? 3.

……………………10 分

……………………1 分 ……………………2 分
2

2 所以曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 (或 x ? ? y ? 1? ? 1 ) . …………4 分

(Ⅱ)解法一:因为直线的参数方程为 ?

? ? x ? 3t ? 3, ( t 为参数, t ? R ) , y ? ? 3 t ? 2 ? ?
……………………5 分

消去 t 得直线 l 的普通方程为 y ? ? 3x ? 5 .
2

2 因为曲线 C : x ? ? y ? 1? ? 1 是以 G ?0,1? 为圆心,1 为半径的圆,

设点 D ? x0 , y0 ? ,且点 D 到直线 l : y ? ? 3x ? 5 的距离最短, 所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l : y ? ? 3x ? 5 平行. 即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于 ? 1 ,即
2 因为 x0 ? ? y0 ? 1? ? 1 ,解得 x0 ? ? 2

y0 ? 1 ? ? 3 ? ?1.………………7 分 x0

?

?

所以点 D 的坐标为 ? ?

? ? ?

3 1? ? , ?或? ? 2 2? ? ?

3 3 或 x0 ? . 2 2 3 3? , ?. ……………………9 分 2 2? ?

由于点 D 到直线 y ? ? 3x ? 5 的距离最短, 所以点 D 的坐标为 ?

? 3 3? ? ? 2 , ?. 2 ? ?

……………………10 分

解法二:因为直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? 3t ? 3, ( t 为参数, t ? R ) , y ? ? 3 t ? 2 ? ?

消去 t 得直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 0 .……………………………………5 分
2 因为曲线 C x ? ? y ? 1? ? 1 是以 G ?0,1? 为圆心,1 为半径的圆, 2

因为点 D 在曲线 C 上,所以可设点 D ? cos ?,1 ? sin ? ? ? ? ? 0, 2? ? .……………7 分 所以点 D 到直线 l 的距离为 d ? 因为 ? ??0, 2?? ,所以当 ? ? 此时 D ? ?

?

?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

?? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? .…………8 分 3? ?

? ?

? 时, dmin ? 1 .………………………………………9 分 6 ? 3 3? 3 3? ,? ,所以点 D 的坐标为 ? ? .…………………………………10 分 ? ? 2 , 2 2? 2? ? ?
8

24、解: (1)当 a ? ?1 时,不等式为 x ? 1 ? x ? 3 ? 1 当 x ? ?3 时

2 ?1

x ?? ;

当 ? 3 ? x ? ?1 时 当 x ? ?1 时 4 ? 1

? 2x ? 4 ? 1
x?R ;

x??

5 2

??

5 ? x ? ?1 ; 2

2? (2)当 x ? [0,3] 时, f ( x) ? 4 即 a ? x ? 4 ? x ? 3 ? 7 ? x 即 ? (7 ? x) ? a ? x ? 7 ? x 对于 x ? [0,3] 恒成立 即 ? 7 ? a ? 7 ? 2 x 对于 x ? [0,3] 恒成立 ? ?7 ? a ? 7 ……………………10 分

? 不等式的解集为 {x

?x x ? ? 5 ? ? }……………………5 分

9


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