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高考数学(三角与平面向量)知识点总结1


西安曲江一中

高考数学(三角与平面向量)知识点总结 1 整理人:沈兴灿 审核人:沈兴灿

说明:以下公式或知识点均要熟练掌握,但死记硬背并不可取,关键是要理解记忆。正确的 方法是: (1)每个公式先自己推导 (2)找出公式的特点和规律,并记住规律 (3)以默写的方式记忆比较有效 (4)适当找点例题巩固公式

三角函数部


1.特殊角的三角函数值: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°= ? ≈0.01745(rad)
180

角度=弧度× 度 弧度 sin 0 cos 1 tan 0

180

?

°
0

弧度=角度×

? 180

00
0

30

450

60

0

90

0

120 0

135 0

150 0

18 0

0

27 0

0

36 0

0

? 6
1 2
3 2 3 3

? 4
2 2 2 2
1

? 3
3 2

? 2
1

2? 3
3 2

3? 4
2 2 ? 2 2

5? 6 1 2
? 3 2 3 3

?
0

3? 2
-1

2?
0

1 2
3

0

?

1 2

-1

0

1



? 3

-1

?

0



0

2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
? ? ?

?

? ? ?
?

第二象限角的集合为 ? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?
? ? ? ?

?

第三象限角的集合为 ? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?
? ? ?

?

西安曲江一中

第四象限角的集合为 ? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?
? ? ? ?

?

?

终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 , k ? ?
?

?

? ? ?
1 1 lr ? ? r 2 2 2

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?
? ?

?

终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90 , k ? ?
?

?

?

与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?
?

?

3.弧长及扇形面积公式 弧长公式: l ? ? .r 扇形面积公式(类比三角形面积公式): S ?

? ----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
4.任意角的三角函数
2 2 设 ? 是一个任意角,它的终边上一点 p(x,y), r= x ? y

(1)正弦 sin ? =

y r

余弦 cos ? =

x r

正切 tan ? =

y x

(2)三角函数在各象限的符号特点: y y + O — x —
+

y + x + + — + O —

+
?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?

+ —

O —

sin ? cos ? tan ? 5.诱导公式: 第一组: (2kπ +α ,π +α ,π -α ,-α ,2kπ -α )这组公式函数名不变 口诀:函数名称不变,符号看象限

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
(5)sin(2π -α )= -sinα ,cos(2π -α )= cosα ,tan(2π -α )= -tanα 记忆规律:左右两边函数名一致,将 α 看作锐角,确定 2kπ +α ,π +α ,π -α ,-α , 2kπ -α 所在象限,然后根据三角函数在各象限的符号特征,确定等号左边的正负,再使等 号右边与之具有相同正负号。例:如公式 sin ?? ? ? ? ? ? sin ? ,因为 π +α 是第三象限角,

西安曲江一中

第三象限的角的正弦值为负,即等号左边是负数,所以右边必须为负号。再如

cos ?? ? ? ? ? ? cos ? ,因为 π -α 是第二象限角,第二象限的角的余弦值为负,即等号左
边是负数,所以右边必须为负号。

? 3? ±α 及 ±α )这组公式函数名要互换: 2 2 ? ? 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.(6)sin( +α )= cosα ,cos( +α )= -sinα 2 2 ? ? (7)sin( -α )= cosα , cos( -α )= sinα 2 2 3? 3? (8)sin( +α )= -cosα ,cos( +α )= sinα 2 2 3? 3? (9)sin( -α )= -cosα ,cos( -α )= -sinα 2 2 ? 3? 记忆规律:左右两边函数名互换,将 α 看作锐角,确定角 ±α 及 ±α 所在象限,然 2 2
第二组:( 后根据三角函数在各象限的符号特征, 确定等号左边的正负, 再使等号右边与之具有相同正 负号。例:如公式 sin(

3? 3? +α )= -cosα ,因为 +α 是第四象限角,第四 象限的角 2 2
2

的正弦值为负,即等号左边是负数,所以右边必须为负号。 6.同角三角函数的基本关系: 平方关系: (1) sin (2) ? + cos2 ? =1。 商数关系:

sin ? =tan ? cos?

(3)1+tan

2

?=

1 cos2 ?

(推导方法:将 sin

2

? + cos2 ? =1 两边同除以 cos2 ? )

7、三角恒等变换公式: 两角和与差的三角函数关系 sin( ? ? ? )=sin ? · ? ? cos ? · ? cos sin cos( ? ? ? )=cos ? · ? ? sin ? · ? cos sin 降幂公式: 升幂公式 1+cos ? =? ? ) ? tan(? 2 cos
2



二倍角公式: (相当于两角和公式 ? + ? ) sin2 ? =2sin ? · ? cos cos2 ? =cos2 ? -sin2 ? =2cos2 ? -1 =1-2sin2 ?

? tan? ? tan ?
2 ? tan? ? tan ? 1

cos ? (注意符号)
2

tan 2? ?
1 ? cos 2? 2

2 tan? 1 ? tan 2 ?

1 ? cos 2? 2 b 2 2 a 辅助角公式: sin ? ? b cos? ? a ? b sin(? ? ? ) (其中辅助角 ? sin ? ? , a2 ? b2 a b b cos? ? , tan? ? 。 tg? ? ) a a a2 ? b2
降幂公式(由余弦的二倍角公式变形得到) sin ? ? :
2

cos2 ? ?

例:

1 3 ? ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? sin(? ? ) 2 2 3 3 3

西安曲江一中

2 2 ? ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? sin(? ? ) 2 2 4 4 4 1 3 ? ? ? sin ? ? 3 cos ? ? 2( sin ? ? cos ? ) ? 2(sin ? cos ? cos ? sin ) ? 2sin(? ? ) 2 2 3 3 3 sin ? ? cos ? ? 2( 2 2 ? ? ? sin ? ? cos ? ) ? 2(sin ? cos ? cos ? sin ) ? 2 sin(? ? ) 2 2 4 4 4

8.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

? ?1,1?
当 x ? 2 k? ? 时 ,

? ?1,1?
?k ? ??
当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,

R

?
2

最 值

ymax ? 1 ; 当
?
2

ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2 k? ?

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周 期 奇 偶 性

2?
奇函数

2?
偶函数

?
奇函数

在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2? ? ? 单 调 性

?

?



? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ?
在 ? k? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?

上 是 增 函 数 ; 在

? 2 k? , 2 k? ? ? ?
? k ? ? ? 上是减函数.

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ? ? ? 上是增函数.

西安曲江一中

? k ? ? ? 上是减函数.
对 称 性 对称中心 ? k? , 0 ?? k ? ? ? 对称轴 x ? k? ? 对称中心 ? k? ? ,0 ? ? k ? ? ? 对称轴 x ? k? ? k ? ? ?

?
2

? k ? ??

? ?

? ? 2 ?

对称中心 ? ? 无对称轴

k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

9.三角函数图象变换 ①函数 y ? sin x 的图象上所有点向左 (右) 平移 ? 个单位长度, 得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的 图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1 倍(纵 ?

坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点 的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. ②函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,

得到函数 y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单 ?

位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的 纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 10.函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质: (1)有关概念 ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ;④相位:? x ? ? ;⑤初相:? . ? ? 2?

(2) 如何求函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? B 对称轴方程:由 ? ? x ? ? ? k? ?

?

2

(k ? Z ) 解出 x=?

(3)如何求函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? B( ? ? 0, A ? 0 )的最大最小值(整体代换思想) : 当 ? ? x ? ? ? 2k? ? 当 ? ? x ? ? ? 2k? ?

?
?
2

(k ? Z )时,即x=(2k? ? (k ? Z )时,即x=(2k? ?

?
?
2

1 ? ? )? ,函数取最大值 A+B

?

2

2

1 ? ? )? ,函数取最小值 B-A

?

(4)如何求函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? B 的单调区间: ? ? 0, A ? 0 ) ( (整体代换思想) 增区间:由 2k? ?

?
2

? ? ? x ? ? ? 2k? ?

?
2

, (k ? Z ) ,解出 x 的范围;

西安曲江一中

减区间:由 2k? ?

?
2

? ? ? x ? ? ? 2k? ?

3? , (k ? Z ) ,解出 x 的范围; 2

(注:若 A<0,则增区间与减区间计算刚好相反) 11.五点作图法: 列表时,令 ?x ? ? 依次为 0, 12.解三角形 (1)正弦定理: (2)余弦定理:

?
2

,? ,

3? , 2? 求出 x 与 y, 得五个点。依点 ?x, y ? 作图 2

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ;
(3)三角形面积定理. S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
, T(? ? ? ) , T(? ? ? )

13.补充: (1). 由公式

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? tan?? ? ? ? ?

可以推导 : 当? ? ? ? ?? ? 在有些题目中应用广泛。 (2).

?
4

时, ? ? z , ?1 ? tan? ??1 ? tan ? ? ? 2

tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ? tan? tan ? ? tan?? ? ? ?

平面向量知识点总结 一.向量有关概念: 1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段 来表示,注意不能说向量就是有向线段。 2.零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,注意零向量的方向是任意的; 3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是
??? ? AB ); ? ? ??? | AB |

??? ?

4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 5.平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量,记作:

a ∥ b ,规定零向量和任何向量平行。
提醒: ①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念: 两个向量平行包含两个向量共线,

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但两条直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性! (因为有 0 ); ④三点 A、B、C 共线 ? AB、 AC 共线; 6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。如 二.向量的表示方法: 1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后; 2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等; 3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ,

?

??? ???? ?

? ? ? j 为基底,则平面内的任一向量 a 可表示为 a ? xi ? y j ? ? x, y ? ,称 ? x, y ? 为向量 a 的

坐标, a = ? x, y ? 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与 向量的终点坐标相同。 三.平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内 的任一向量 a,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a= ?1 e1+ ?2 e2。 四.实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和方向规定如 下: ?1? ? a ? ? a , ? 2 ? 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同,当 ? <0 时, ? a 的方 向与 a 的方向相反,当 ? =0 时, ? a ? 0 ,注意: ? a ≠0。 五.平面向量的数量积:

?

?

?

?

1.两个向量的夹角:对于非零向量 a , b ,作 OA ? a, OB ? b , ?AOB ? ?

??? ?

? ??? ?

?

? 0 ? ? ? ? ? 称为向量 a , b 的夹角,当? =0 时, a , b 同向,当? = ? 时, a , b 反向,
当? =

? 时, a , b 垂直。 2

2.平面向量的数量积:如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 ? ? ? ? | a || b | cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积或点积) ? ,记作: a ? b ,即 a ? b = a b cos ? 。 规定:零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。 3. b 在 a 上的投影为 | b | cos ? ,它是一个实数,但不一定大于 0。 4. a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。 5.向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: ① a ? b ? a ?b ? 0;

?

?

?

?

? ?

?2 a ;当 a 与 b 反 ? ? ? ? ? ? b 向时, a ? b =- a b ;当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角 ? ? ? ? b 的必要非充分条件;当 ? 为钝角时, a ? b <0,且 a、 不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必
②当 a , b 同向时, a ? b = a b ,特别地, a ? a ? a ? a , a ?

? ?

?2

? ?

?2 ?

要非充分条件;

④ | a ? b |?| a || b | 。

? ?

? ?

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? ? a ?b 6 向量夹角公式:非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos ? ? ? ? ; a b
六.向量的运算: 1.几何运算: ①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的 向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则” :设 AB ? a, BC ? b ,那么向量 AC 叫 做 a 与 b 的和,即 a ? b ? AB ? BC ? AC ;

??? ? ?

? ??? ?

?

????
??? ?

?

?

? ?

??? ??? ? ?

??? ?

②向量的减法:用“三角形法则” :设 AB ? a, AC ? b, 那么a ? b ? AB ? AC ? CA , 由减向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。 2.坐标运算:设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则: ①向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。 ②实数与向量的积: ? a ? ? ? x1 , y1 ? ? ? ? x1 , ? y1 ? 。 ③若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ,即一个向量的坐标等于 表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 ④平面向量数量积: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 。 ⑤向量的模: | a |?

??? ?

? ????

? ?

??? ???? ?

?

?

?

?

?

??? ?

? ?

?

?2 ? x 2 ? y 2 , a ?| a |2 ? x 2 ? y 2 。

⑥两点间的距离:若 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 | AB |? 七.向量的运算律:

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2



1.交换律: a ? b ? b ? a , ? ? a ? ? ?? ? a , a ? b ? b ? a ;

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.结合律:a ? b ? c ? a ? b ? c, a ? b ? c ? a ? b ? c , ? a ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.分配律: ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a, ? a ? b ? ? a ? ? b , a ? b ? c ? a ? c ? b ? c 。

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

? ?

提醒: (1) 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别: 对于一个向量等式, 可以移项, 两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以 一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约); (2)向量的“乘法” 不满足结合律,即 a (b ? c) ? (a ? b)c

? ? ? ? 八.向量平行(共线)的充要条件: a // b ? a ? ? b ? x1 y2 ? y1 x2 =0。
九.向量垂直的充要条件: a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b | ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

?

?

? ?

?

?

?

?

附:三角形的四个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点.


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