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四川省雅安中学2015届高三上学期1月月考数学(文)试题


四川省雅安中学 2015 届高三上学期 1 月月考数学(文)试 题

本试卷分为试题卷和答题卷两部分,其中试题卷由第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷组成, 共 4 页;答题卷共 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟.考试结束后将答题卡和答题 卷一并交回.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题(本大题共 10 个小题,每小

题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. cos2 6000 等于 (
3 B. 2



A.

?

3 2

C.

?

3 2

1 D. 2

* 2.已知 A ? ? x ? N x ? x ? 3? ? 0? ,函数 y ? ln( x ? 1) 的定义域为集合 B ,则 A ? B =(



A. ?1, 2,3?

B.

?2,3?

C. ?1,3?

D. ?1,3? )

3.已知直线 a , b 都在平面 ? 外, 则下列推断错误的是( A. a // b, b // ? ? a // ? C. a // ? , b // ? ? a // b

B. a ? b, b ? ? ? a // ? D. a ? ? , b ? ? ? a // b )

4. 函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? cos 2x 的最小正周期是(

? B. ? 2 5.下列判断正确的是(
A.

C. )

3? 2

D. 2?

A. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“ p ? q ”为真命题 B.命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ” C. “ cos? ?
? 1 ”是“ ? ? 2 3

”的充分不必要条件

x x D. .命题“a ?x ? R,2 ? 0 ”的否定是“ ?xo ? R,2 0 ? 0 ”

3 2 6.等差数列 ?an ? 中的 a 1 、 a 4017 是函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 6 x ? 1 的极值点,则

1 3

log2 a 2014

=(

) B.
3

A.

2

C.

4

D.

5

?x ? y ? 3 ? 7.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , 则目标函数 z ?2 x ? y ? 3 ?

( ? 2 x ? 3 y 的最小值为



A. 6 B. 7 C. 8 D. 23 8.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 ( ) A. 2? B. 2 2? C.

?2

2 ?1 ?

?

D.

?2

2?2 ?

?

9.设动直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ln x 的图象分别 交于点 A、B,则|AB|的最小值为 1 1 1 1 A. ? ln 2 B. ? ln 2 2 2 2 2 ( C. )

1 ? ln 2

D. ln 2 ?1

如果直线 2ax ? by ?14 ? 0 ? a ? 0, b ? 0? 和函数 f ? x? ? mx?1 ?1? m ? 0, m ? 1 ? 的图象 恒过同一个定点,且该定点始终落在圆 ? x ? a ? 1? ? ? y ? b ? 2 ? ? 25 的内部或圆
2 2

b 上,那么 的取值范围是 a
? A. ? ? ,? 3 4 ?4 3 ? ? B. ? ? ,? 4 3 ? ? 3 4


3 4


? D. ? ? ,? 3 4 ? 4 3?

? C. ? ?4 , ? 3 ? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
x 2 ? y 0 11. 若 直 线 l1 : a ? 和 l2 : 3x ? ? a ? 1? y ? 1 ? 0 平 行 , 则 实 数 a 的 值



.

2 2 12. 经 过 点 M ?2,1? , 并 且 与 圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 24 ? 0 相 切 的 直 线 方 程



.

?? ? 13.若 sin ? ? cos ? ? 2 ,则 tan ? ? ? ? 的值是 ___________. 3? ?

14. 已 知 AD 是 ?ABC 的中 线,若 ?A ? 1200 , AB? AC ? ?2 , 则 A D 的最小 值 是 .

15.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2.∠ASC=∠BSC=60°,则 棱锥 S—ABC 的体积为_____________. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.) 16.(本小题 12 分)已知向量 m ? ? sin x,
? ? 3? A ? ? ? , n ? ? 3 A cos x, cos 2 x ?? A ? 0? ,函 2? 3 ? ?

数 f ( x) ? m ? n 的最大值为 6. (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 标缩短为原来的 的值域. 17.(本小题 12 分)如图,已知 DE ? 平面 ACD , DE // AB , ?ACD 是正三角形, AD = DE ? 2 AB,且 F 是 CD 的中点. ⑴求证:AF //平面 BCE ; ⑵求证:平面 BCE ⊥平面 CDE .
? 个单位,再将所得图象上各点的横坐 12

1 ?? 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 ? ? 0, ?上 ? 4? 2

18. ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 等 差 数 列 ?a n ? 满 足 :
a 5 ? 11, a 2 ? a 6 ? 18 .

(1)求 ?a n ?的通项公式; (2)若 bn ? an ? q an ( q ? 0 ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

19.(本小题 12 分)已知圆 C: ?x ? a?2 ? ? y ? a ?1?2 ? 9 ,其中 a 为实常数. (1)若直线 l: x ? y ? 3 ? 0 被圆 C 截得的弦长为 2,求 a 的值; (2)设点 A ?3,0 ? ,0 为坐标原点,若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2 |MO|,求 a 的取

值范围.

b ? 0 且 b ? 1) . 20. (本小题 13 分) 已知 k ? R ,函数 f ( x) ? a x ? k b x (a ? 0 且 a ? 1 ,

(1) 如果实数 a , b 满足 a ? 1 且 ab ? 1 , 函数 f ( x) 是否具有奇偶性? 如果有,求出相 应的 k 值;如果没有,说明原因; (2) 如果 a ? 2, b ?
1 ,讨论函数 f ( x) 的单调性。 2

21.(本小题 14 分)已知函数 g ?x ? ? (1)求函数 g ( x) 的极值点;

2 m?2 ? ln x , f ?x ? ? mx ? ? ln x , m ? R . x x

(2)若 f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为单调函数,求 m 的取值范围;

2e ,若在 ?1, e? 上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成 x 立,求 m 的取值范围.
(3)设 h( x) ?

雅安中学 2014—2015 学年(上期)高三年级期末模拟
数学(文科)参考答案

一、选择题:DBCBD

ABBAC
4 2 3

二.填空题:11.-3 或 2;12. x ? 2 或 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ;13.-2- 3 ;14. 1 ;15. 三.解答题:

A 16【解】 (Ⅰ) f ? x ? = m ? n = 3 Asin x cos x + cos2x..........................2 分 2
? 3 ? 1 ?? ? sin2 x ? cos 2 x ? =Asin ? 2x ? ? ...................................4 分 =A ? ? 2 ? 2 6? ? ? ?

因为 A>0,由题意知,A=6.

...............................6 分 π ?? ? 由(1) f ? x ? =6sin ? 2x ? ? .将函数 y ? f ?x ? 的图象向左平移 个单位后得到 y= 12 6? ? 6sin ?2? x ?
? ? ? ?

1 ?? ? ? ? ? =6sin ? 2x ? ? 的图象;再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍, 2 12 ? 6 ? 3? ?

? ? ??

?? ? 纵坐标不变,得到 y =6sin ? 4x ? ? 的图象。 ...............8 分 3? ? π ? ? 4? ? ?? ? ?? ? ?? ? 因此,g(x)=6sin ? 4x ? ? .因为 x∈ ?0, ? ,所以 4x+ ∈ ? , ? .故 g(x)在 ?0, ? 3 3? ? 4? ?3 3 ? ? 4? ?
6. 上的值域为 - 3 3,

?

?

.............12 分

【解】 (1)取 CE 中点 P,连结 FP、BP。 ∵F 为 CD 的中点,∴FP//DE,且 FP= 1 DE. ???2 分
2

又 AB//DE,且 AB=

1 DE. 2

∴AB//FP,且 AB=FP,

∴ABPF 为平行四边形,∴AF//BP. 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ∴AF//平面 BCE. ⑵∵△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD, AF ? 平面 ACD, ∴DE⊥AF 又 AF⊥CD,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面 CDE. 又 BP//AF,∴BP⊥平面 CDE。 又∵BP ? 平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE. 18.【解】 (I)设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,则 由 a 5 ? 11, a 2 ? a 6 ? 18 得 ?
?a1 ? 3 ,所以 ?d ? 2

????6 分

????8 分 ????10 分 ????12 分

?a1 ? 4d ? 11 ?2a1 ? 6d ? 18

????2 分

解得 ?

?an ? 的通项公式 a n ? 2n ? 1

????5 分

(II)由 a n ? 2n ? 1 得 bn ? 2n ? 1 ? q 2n?1 .

????7 分

①当 q ? 0且q ? 1 时, s n ? ?3 ? 5 ? 7 ? ? ? ?2n ? 1?? ? ?q3 ? q5 ? q7 ? ? ? q 2n ? 1? = n 2 ? 2n ?
q 3 1 ? q 2n 1? q
2

?

? ????10 分

② 当 q ? 1 时, bn ? 2n ? 2 ,得 Sn ? n?n ? 3? ;
?n?n ? 3?, ?q ? 1? ? q 3 1 ? q 2n 所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 s n ? ? 2 ????12 分 n ? 2 n ? , ?q ? 0, q ? 1? ? 2 1? q ?

?

?

19【解】 : (1)由圆的方程知,圆 C 的圆心为 C ?a, a ? 1? ,半径为 3......................1

分 设 圆 心 C 到 直 线 l 的 距 离 为 d, 因 l 被 圆 C 截 得 弦 长 为 2 , 则 d 2 ? 1 ? 9 即
d ?2 2?

a ? ?a ? 1? ? 3 2

? 2 2 即 a ? 1 ? 2,? a ? ?1 或 a ? 3 .............................5

分 设 M?x, y ? ,由 MA ? 2 MO ,得 即
x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ..........................................................7 分
? 点 M 在圆心为 D?- 1,0 ? ,半径为 2 的圆上。又点 M 在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共

?x ? 3?2 ? y 2

? 2 x2 ? y2

点,
?1 ? CD ? 5 。.....................................9 分
? 2 2 ? ? a或a ? ?1 ? ?a ? 1?2 ? 1 ?? 1 ? ? ? ? 2 2 2 ,解得 ? ? 5即 ? 5 2 5 2 ? ??a ? 1?2 ? 25 ?1 ? ? a ? ?1 ? ? ? 2 ? 2 2 ?

?1 ?

?a ?1?2 ? ?a ?1?2

即 -1 -

5 2 2 2 5 2 。......................11 分 ? a ? ?1 ? 或-1 ? ? a ? ?1 ? 2 2 2 2

? 5 2 2? ? 2 5 2? ,?1 ? ,?1 ? 故 a 的取值范围是 ?- 1 ? ? ?- 1 ? ? ...................12 分 2 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ?

20.【解】 : (1)由题意得: f ( x) ? a ? k a , f (? x) ? a
x

?x

?x

? k ax ,

若函数 f ( x ) 为奇函数,则 f ( x) ? ? f (? x) , k ? ?1 ; 若函数 f ( x ) 为偶函数,则 f ( x) ? f (? x) , k ? 1 .
x

????????????6 分
x

?1? ?1? (2)由题意知: f ?x ? ? 2 x ? k ? ? , f ??x ? ? ln 2? 2 x ? k ? ? ? ..............7 分 ?2?

? ? ?

?

?2? ? ?

k ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立, f ( x) 在 ? ??, ??? 递增; ???????????9 分
1? k ? 0 时,若 f ?( x) ? 0 ,则 2 x ? k ? ? ? ?0,x ? ?2?
x

log2 k 2 log2 k 2

若 f ?( x) ? 0 ,则 2 x ? k ? ? ? 0 , x ?

?1? ?2?

x

增区间 ? ?

log2 k ? ? log2 k ? ? ,?? ? ? ?, ? ,减区间 ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ?

???????12 分

综上: k ? 0 时, f ( x ) 在 ? ??, ??? 递增;

k ? 0 时,减区间 ? ? ? ?, ?
?

log2 k ? ? log2 k ? ,?? ? ? ,增区间 ? ? ?. 2 ? 2 ? ? ?

???13 分

? g ??x? ? ? 2 ? ? 2 。 21. 【解】 : (1) 由 g ?( x 经列表判断 x 0 ? 2 为 ) ? 0 得 x0 ? 2 , x x x
函数 g ( x) 的极小值点. ......................................... 3 分 (2)由(1) ,得 f ( x) ? g ( x) ? mx ?

2

1

x?2

mx 2 ? 2 x ? m m ? 2 ln x. ? ? f ( x) ? g ( x) ?? ? . x x2

f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ? ? 上为单调函数,
2 ? mx 2 ? 2 x ? m ? 0 或者 mx ? 2 x ? m ? 0 在 ?1, ? ? 恒成立................ 5 分

mx 2 ? 2 x ? m ? 0 等价于 m(1 ? x 2 ) ? 2 x, 即 m ?

2x , 1 ? x2
?????????????7 分

? ? 2x 2 ? 2 ? 而 ? ,? ? max ? 1???? m ? 1 . 1 ? x2 x ? 1 ? x ? 1 ? x ? x?
? mx 2 ? 2 x ? m ? 0 等价于 m(1 ? x 2 ) ? 2 x, 即 m ?


2x 在 ?1, ? ? 恒成立, 1 ? x2

2x ? ? 0,1? , m ? 0 . 1 ? x2

综上, m 的取值范围是 ? ??,0?

?1, ??? .

???????????????8 分

(3)构造函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? h( x), F ( x) ? mx ? 当 m ? 0 时, x ? ?1, e? , mx ?

m 2e ? 2 ln x ? . x x

m 2e ? 0 , ?2ln x ? ? 0 ,所以在 ?1, e? 上不存在一个 x0 , x x

使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立. 当 m ? 0 时, F ?( x) ? m ?

m 2 2e mx 2 ? 2 x ? m ? 2e ? ? ? . x2 x x2 x2

????12 分


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