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含绝对值不等式与分式不等式的解法公开


含绝对值不等式的解法
仙居外语学校
执教:程小香

学习目标
1.理解绝对值的意义. 2.掌握几类简单的含绝对值的 不等式的解法.

自学指导(阅读以下内容)
绝对值的意义 意义:在数轴上|a|表示a对应的点到原点的 距离,从代数角度我们是这样
? a ( a ? 0) ? 规定绝对值的

, |? ?0 ( a ? 0) |a ? ? a ( a ? 0) ?

问:|x|=2的解是什么?在数轴上如何表示它的解?

答: |x|=2的解是x=2或x=-2, 在数轴上表示如下:

. -2

-1

0

1

. 2

问:|x|<2 与 |x|>2 的解是什么?

-2

0

2

因而不等式|x|<2的解集是:{x|-2<x<2}.
-2 0 2

因而不等式|x|>2的解集是:

{x|x<-2}∪{x|x>2}={x|x<-2,或x>2}.

结论: 不等式 |x|<c与|x|>c (c>0)的解集

? |x| c c ? 0)的解集是 :{ x| c ? x ? c } ; ?(
|x| c c ? 0)的解集是 :{ x|x ? c 或 x ? ? c } . ?(

题型一:研究|ax+b|<(>)c型不等式 在这里,我们只要把ax+b看作是 整体就可以了,此时可以得到:

| ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c | ax ? b |? c ? ax ? b ? ?c 或 ax ? b ? c (c ? 0)

例1 解不等式| x ? 5 ? 7 . 2 |

解:由原不等式可得
2 x ? 5 ? ?7 ,或 2 x ? 5 ? 7 .
整理,得
x ? ?6 ,或 x ? 1 .

所以,原不等式的解集是

{ x x ? ?6 ,或 x ? 1 } . |

例2、解不等式 1<︱3x+4︱≤6
解法一:原不等式可化为:

?| 3x ? 4|? 6 ? ?|3x ? 4|> 1

2 ? 10 ?? 3 ? x ? 3 ??6 ? 3x ? 4 ? 6 ? ?? ?? ?3x ? 4 ? ?1 或 3 x ? 4 ? 1 ? x ? ? 5 或 x ? ?1 ? 3 ?
∴原不等式的解集为:

10 5 2 {x|- ? x ? ? 或 ?1 ? x ? } 3 3 3

例2、解不等式 1<︱3x+4︱≤6

解法二:依绝对值的意义,原不等式等价于: -6≤3x+4<-1 或 1<3x+4 ≤6
10 5 2 解得: ? x ? ? 或 ?1 ? x ? , 3 3 3 10 5 2 ∴原不等式的解集为:x|- ? x ? ? 或 ? 1 ? x ? } {
3 3 3

比较此题的两种解法,解法二比较简单,解法二 去掉绝对值符号的依据是:

a ?| x|? b ? a ? x ? b 或 a ? ? x ? b ? a ? x ? b 或 -b ? x ? ?a (a ? 0)

题型二
| f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)或f ( x) ? ? g ( x) | f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

例2:绝对值不等式的解法
解不等式:|x2-3|>2x. 解析:(等价转换法)原不等式 x2-2>2x或x2-3<-2x x2-2x-3>0或x2+2x-3<0 x>3或x<-1或-3<x<1. 故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}.

题型三: ? a ? x ? b ? c和 x x ? a ? x ? b ? c型不等式的解法

例3

解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5
A1 -3 A -2 B 1 B1 2 x

解 法1: 设 数 轴 上 与? 2, 对 应 的 点 分 别 是 ,,B 1 A

? 1 那 么A,, 两 点 的 距 离 是 , 因 此 区 间? 2, ?上 的 3

数 都 不 是 原 不 等 式 的 解 将 点A向 左 移 动 个 单 位 。 1 到 点A1, 这 时 有 A1 A ? A1 B ? 5; 同 理, 将 点B向 右 移 动 一 个 单 位 到 点 1, 这 时 也 有B1 A ? B1 B ? 5, B 从 数 轴 上 可 以 看 到 点1与 B1之 间 的 任 何 点 到 点 , A A B的 距 离 之 和 都 小 于; 点 A1的 左 边 或 点 1的 右 边 5 B 的 任 何 点 到 点 ,, 的 距 离 之 和 都 大 于 故 原 不 等 A 。

? 式 的 解 集 是 ? ? ,? 3? ? ?2,? ? ?

例3

解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5

解法2: 当x ? ?2, 时, 原不等式可以化为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5, 解得x ? ?3, 此时不等式的解集为?? ? ,?3? 即3 ? 5, 矛盾, 此时不等式的解集为 ? 当x ? 1时, 原不等式可以化为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5, 综上所述可知原不等式 的解集为 ?? ?,? 3? ? ?2,? ? ? 解得x ? 2, 此时不等式的解集为 ?2,??? 当 ? 2 ? x ? 1时, 原不等式可以化为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5,

例3

解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5

解法3: 将原不等式转化为 ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 x 构造函数 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 5, 即 y ?? 2 x ? 6, x ? -2 ? y ? ?- 2, -2? x ?1 ?2x - 4 , -3 x?1 ? 作出函数图象 ,
y

O -2

2 x

? 由图象可知原不等式的 解集为 ? ? ,?3? ? ?2,???

(2) ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c x 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法

③构造函数法

同步训练:解不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? 4

小结
1、︱x︱< a与︱x︱> a(a>0)型不等式与 ︱ax+b︱< c与︱ax+b︱> c(c>0)型不等 式及|x-a|+|x-b| >(或<)c 的解法与解集; 2、数形结合、不等式与函数相互转化 的数学思想.

当堂训练
1.不等式1<|x+1|<3的解集是
A.(0,2) C.(-4,0) B.(-2,0)∪(2,4) D.(-4,-2)∪(0,2) ( D )

【解析】原不等式等价于1<x+1<3或-3 <x+1<-1, 解得0<x<2或-4<x<-2.

2.解不等式 :|3x-1|>x+3.

1 {x | x ? ? 或x ? 2} 2

3.解不等式:|

x ? 2 |?| x ? 1| ?3

x ? ?2


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