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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理

时间:2016-12-15


2014-2015 年度高二下学期期中考试 数学试卷 ( 理科 )
考试时间: 120 分钟 试卷满分: 150 分 一、选择题 ( 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 ) 1. 用分析法证明问题时是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的( ) A .充要条件 B .充分条件 C .必要条件 D .既不充分也不必要条件 2. “ 三 角 函 数 是 周 期 函 数 , y ? tan x , x ? ( ?

? ?

, ) 是 三 角 函 数 , 所 以 y ? tan x , x ? (? , ) 是 周 2 2 2 2
D .推理形式不正确 )

? ?

期函数. ”在以上演绎推理中,下列说法正确的是( ) A .推理完全正确 B .大前提不正确 C .小前提不正确

3. 已知随机变量 X : N (0, ? 2 ) , 且 P( X ? 2) ? 0.4 , 则 P(?2 ? X ? 0) ? ( A . 0.1 B . 0.2 C . 0.4 D . 0.8 )

4. 已知 i 为虚数单位,则 z ? A .第一象限

i ?1 在复平面内对应的点位于 ( i
C .第三象限

B .第二象限

D .第四象限

5. 已知在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 ? 3cos ? , ( ? 为参数) ,以原点 O 为极 y ? 1 ? 3sin ? . ? ?

点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? 得弦长为( A. 6 ) B. 2 2
n

?
6

) ? 0 ,则圆 C 截直线 l 所

C. 4 2

D . 35 ) D . 120

6. 若 ( x ? ) 展开式的二项式系数之和为 64 ,则展开式的常数项为( B . 20 C . ?20

1 x A . 10

7. 某校高二年级共有六个班,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为( )
2 2 A . A6 C4

B . 2 A6

2
2

2 2 C . A6 A4

D.

1 2 2 A6 C 4 2

8. 用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 有有理数根,那么 a, b, c 中至 少有一个是偶数时,下列假设中正确的是 ( A .假设 a, b, c 都是偶数 ) B .假设 a, b, c 都不是偶数

C .假设 a, b, c 至多有一个偶数 D .假设 a, b, c 至多有两个偶数 9. 某班有五十名学生,其中有五名班干部,现选派三名同学完成某项任务,在班干部甲被选中的 条件下班干部乙被选中的概率为( ) A.

1 49

B.

2 49

C.

4 49

D.

6 49

10. 某班学生参加植树节活动,苗圃中有甲、乙、丙 3 种不同的树苗,每种树苗足够多,从中取出 5 棵分别种植在排成一排的 5 个树坑内,同种树苗不能相邻,且第一个树坑和第 5 个树坑只能 种甲种树苗的种法共有( )
1

A . 15 种 B . 12 种 C. 9 种 D. 6 种 11. 某农科院在 3 × 3 的 9 块试验田中选出 3 块种植某品种水稻进行试验,则每行每列都有一块试 验田种植水稻的概率为 ( ) A.

1 14

B.

1 7

C.

3 14

D.

1 56

12. 由正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 8 个顶点构成的所有三角形中,任取其中的两个,则它们不共面 的概率为( A. ) B.

18 385

192 385

C.

367 385

D.

376 385

二、填空题 ( 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 ) 13. 已知 z 是纯虚数 , 1 2 4 7 11 8 12 13 ?? 根据以上排列规律,数阵中第 100 行的从左至右的第 3 个数是 15. x
2

z?2 是实数 , 那么 z = 1? i

.14. 将全体正整数排成一个三角形数阵

3 5 9 14 6 10 15

. .

1? 2 ?1 ? x ? x2 ? ? ? x ? ? 的展开式中 x 项的系数为 x? ?

6

16. 在送医下乡活动中,某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作,每所医院至 少安排一名医生,且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作,丙、丁两名医生也不安排在同一医 院工作,则不同的分配方法总数为 . 三、解答题(本大题共 6 小题, 17 题满分 10 分, 18 、 19 、 20 、 21 、 22 题每题 12 分,共 70 分) 17. 已 知在 平 面直 角 坐标系 xOy 中 曲 线 C 的 参 数方 程 为 ?

? ? x ? 2 cos ? , ( ? 为参数) , 直 线 l 的 参数 ? ? y ? 3 sin ? .

1 ? x ? 1 ? t, ? 2 ? 方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 与直线 l 相交于点 A, B, 且定点 P 的坐标为 (1, 0). ? y ? 3 t. ? ? 2
(Ⅰ)求曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求 PA ? PB 的值 .

18. 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分布列为

?

1

2

3

4

5
2

P

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元; 分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元. ? 表示经销一件该商品的利润. (Ⅰ)求事件 A : “购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P ( A) ; (Ⅱ)求 ? 的分布列及数学期望 E? .

19. 某地要举行一次大型国际博览会,为使志愿者较好地服 务于大会,主办方决定对 40 名志愿者 进行一次考核.考核分为两个科目:“地域文化”和“志愿者知识”,其中“地域文化”的考核 成绩分为 10 分、 8 分、 6 分、 4 分共四个档次,“志愿者知识”的考核分为 A 、 B 、 C 、 D 共四个等 级.这 40 名志愿者的考核结果如下表:

分值 等 人数 A B C D



10 分

8分

6分

4分

5 3 1 1

1 2 0 1

7 7 6 2

0 1 3 0

(Ⅰ)从“志愿者知识”等级 A 中挑选 2 人,求这 2 人的“地域文化”考核得分均不小于 8 分的 概率; (Ⅱ)从“地域文化”考核成绩为 10 分的志愿者中挑选 3 人,记这 3 人中“志愿者知识”考核结 果为 A 等级的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列及数学期望 . 参加人数 20. 某 城 市 号 召 中 学 生 在 今 年 春 节 期 间 至 少 参 加 一 次 社 会 公 益 活动(以下简称活动).该城市某学校学生会共有 12 名学生, 他们参加活动的次数统计如图所示. (Ⅰ)从学生会中任意选两名学生组成一个小组,若这两人参 加活动次数恰好相等,则称该小组为“和谐小组” ,求任选该校 两名学生会成员组成的小组是“和谐小组”的概率; (Ⅱ) 用样本估计总体, 从该城市的中学生中任选 4 个小组 (每 X 小组两人) ,求这 4 个小组中“和谐小组”的组数 的分布列 及数学期望.

6 4 2 1 2 3 活动次数

21. 一次数学考试共有 12 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其中有且只有一个是正确的,评 分标准规定:“每题只有一个正确选项,答对得 5 分,不答或答错不得分”.某考生已确定有 8 道题的答案是正确的,其余题中:有两道题都可判断两个选项是错误的,另两道题都可判断有一 个选项是错误的,求该考生 (Ⅰ)得 60 分的概率; (Ⅱ)所得分数 ? 的分布列及其数学期望.
3

22. 如图,分别过椭圆 L 的左顶点 A(?3, 0) 和下顶点 B 且斜率为 k ( k ? 0 )的两条直线 l1 和 l2 分别 交 椭 圆 L 于 点 C , D , 且 l1 交 y 轴 于点 M , l2 交 x 轴 于 点 N , 且线 段 CD 与 线 段 MN 相 交 于点 P . 当 k ? 3 时, ? ABM 是直角三角形 . (Ⅰ)求椭圆 L 的标准方程; (Ⅱ) (ⅰ)求证:存在实数 ? ,使得 AM ? ? OP ; (ⅱ)求 OP 的最小值 . A C

uuur

uu u r

y M D P O B N x

4

2014-2015 年度高二下学期期中考试 数学试卷 ( 理科答案 ) 一、选择题 1~ 6 BCAACC 二、填空题 13 、 ? 2i 三、解答题 17 、 (Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 14 、 4953 7 ~ 12 DBBDAC 15 、 ?5 16 、 84

x2 y 2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程得 3(1 ?
2 即 5t ? 4t ? 12 ? 0 设其两根为 t1 , t2 , ? t1 ? t2 ? ?

1 2 3 t ) ? 4( t )2 ? 12 , 2 2

12 5

? PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? ?

12 12 ? 5 5

18 、 (Ⅰ)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款” . 知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”

P( A) ? (1 ? 0.4)3 ? 0.216 , P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.216 ? 0.784 .
(Ⅱ) ? 的可能取值为 200 元, 250 元, 300 元.

P(? ? 200) ? P(? ? 1) ? 0.4 , P(? ? 250) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 , P(? ? 300) ? 1 ? P(? ? 200) ? P(? ? 250) ? 1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 .

? 的分布列为 ?
P

200 0.4

250 0.4

300 0.2

E? ? 200 ? 0.4 ? 250 ? 0.4 ? 300 ? 0.2 ? 240 .
19 、解(Ⅰ)设“这 2 人的“地域文化”考核得分均不小于 8 分”为事件 A ,

C62 5 ? P( A) ? 2 ? C13 26
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3

5

X 服从超几何分布, P( X ? k ) ?
? X 的分布列为

3? k C5k ? C5 (k ? 0,1, 2,3) 3 C10

X
P

0

1

2

3

1 12

5 12

5 12

1 12

EX ? 0 ?

1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 12 12 12 2

20 、解(Ⅰ)设“该校两名学生会成员组成的小组是“和谐小组” ”为事件 A ,
2 2 2 C2 ? C6 ? C4 1 ? P( A) ? ? 2 C12 3

(Ⅱ) Q X : B(4, )

1 3

?1? ? 2? ? P( X ? k ) ? C ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3?
k 4

k

4? k

(k ? 0,1, 2,3, 4)

? X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

4

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81

1 4 EX ? 4 ? ? . 3 3
21 、解(Ⅰ)设“得 60 分”为事件 A

? P( A) ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 2 3 3 36

(Ⅱ) ? 的可能取值为 40 , 45 , 50 , 55 , 60

1 1 2 2 1 P(? ? 40) ? ? ? ? ? , 2 2 3 3 9 1 2 2 1 1 11 2 1 1 1 P(? ? 45) ? C2 ? ? ? ? ? C2 ? ? , 2 2 3 3 2 2 3 3 3 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 13 1 1 P(? ? 50) ? ? ? ? ? C2 ? C2 ? ? ? ? ? ? , 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 36 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 P(? ? 55) ? C2 ? ? ? ? C2 ? ? ? ? P(? ? 60) ? ? ? ? ? . 2 2 3 3 36 2 2 3 3 2 2 3 3 6

? ? 的分布列

?
P

40

45

50

55

60

13 36 1 1 13 1 1 145 E? ? ? 40 ? ? 45 ? ? 50 ? ? 55 ? ? 60 ? . 9 3 36 6 36 3 22 、解(Ⅰ) Q 当 k ? 3 时, ? ABM 是直角三角形 .

1 9

1 3

1 6

1 36

6

1 b 1 ? AM ? BM , ? k AB ? ? ,设 B(0,?b ), ? k AB ? ? ? ? , 3 3 3 ?b ? 1

? 椭圆 L 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 9

(Ⅱ) (ⅰ)直线 l1 : y ? k( x? 3)? M (0, 3 k)

? y ? k ( x ? 3) ?(1 ? 9k 2 ) x2 ? 54k 2 x ? 81k 2 ? 9 ? 0 ? 2 2 ?x ? 9 y ? 9
?54k 2 ?54k 2 3 ? 27k 2 ? xA ? xC ? , xA ? ?3 ? xC ? ?3? 1 ? 9k 2 1 ? 9k 2 1 ? 9k 2
? yC ? k ( xC ? 3) ? 6k 1 ? 9k 2

直线 l2 : y ? kx ? 1 ? N (

? y ? kx ? 1 1 , 0) ? 2 ?(1 ? 9k 2 ) x2 ?18kx ? 0 2 k ?x ? 9 y ? 9

18k 18k 9k 2 ? 1 ? xB ? xD ? , xB ? 0 ? x D ? ? yD ? kxD ? 1 ? 1 ? 9k 2 1 ? 9k 2 1 ? 9k 2

uuu r uuu r uuu r uur x ?x x ?x Q l1 // l2 ,设 MP ? ? PN则 CP ? ? PD , ? ? ? P M ? P C xN ? xP xD ? xP
18k 1 3 ? 27k 2 ? ? 2 xM ? xD ? xN ? xC 1 ? 9 k k 1 ? 9k 2 ? 3 ? xP ? ? 18k 1 3 ? 27k 2 3k ? 1 xM ? xD ? xN ? xC 0? ? ? 1 ? 9k 2 k 1 ? 9 k 2 3k 2 直线 MN : y ? ?3 k x? 3 k, ? yP ? 3k ? 1 uuur uu u r uuur uu u r 3 3k AM ? (3,3k ), OP ? ( , ) ? 存在实数 ? ? 3k ? 1 ,使得 AM ? ? OP 3k ? 1 3k ? 1 0?
(ⅱ)解法( 1 )

OP ?

9 9k 2 设 1 ? 3k ? t (t ? 1) ? (1 ? 3k )2 (1 ? 3k )2
t 2 ? 2t ? 10 1 1 ? 10( )2 ? 2( ) ? 1 2 t t t

则 OP ?

1 1 3 10 . ? 当 ? 时,即 k ? 3 时 OP min ? t 10 10
解法( 2 )消去参数 k 得点 P 的轨迹方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0(0 ? x ? 3)

7

? OP 的最小值是原点 O 到直线 x ? 3 y ? 3 ? 0的距离 d ?

?3 10

?

3 10 . 10

8


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