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江西省崇义中学2015届高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案


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江西省崇义中学 2015 届高三上学期第一次月考数学(文)试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1.在复平面内,复数 A.第一象



? 2 ? 3i ( i 是虚数单位)所对应的点位于( 3 ? 4i
B.第二象限 C.第三象限



2.设集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? x 2 x ? 2 ,则 M ? C R N 等于( A. ?? 1,1? 3. 已知 sin 2? ? B. (?1,0) C. ?1,3? D. (0,1)

?

?

D.第四象限 )

1 ? ,则 cos 2 (? ? ) ? ( ) 3 4 1 2 1 2 A. ? B. ? C. D. 3 3 3 3 4. 在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ? ( ) 9 9 A.0 B. C. ? D.4 4 4 a S 9 5.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 6 ? ,则 11 =( ) a5 11 S9
A.1 B.-1 C.2 D.

1 2

6.已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图面积为 ( ) A.

3 2
x

B.

3 4

C. 1 )

D.

1 2

7. 函数 f ( x) ? 2 log 0.5 x ? 1 的零点个数为( A.1
2

B.2

C.3

D.4 )

8.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 A. ?2 9. 已知点 P 是椭圆 B. 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 2 2
C. 4 D. ?4

x2 y 2 ? ? 1? x ? 0, y ? 0 ? 上的一动点, F1 , F2 为椭圆的两个焦点, O 是 16 8

坐标原点,若 M 是 ?F1 PF2 的角平分线上的一点,且 F1M ? PM ? 0 ,则 | OM | 的取值范 围为( A. ? 0,3? ) B. 0, 2 2

?

?

C. ? 2 2,3

?

?

D. ? 0, 4?



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10. 如图,半径为 1 的圆 M 切直线 AB 于 O 点,射线 OC 从 OA 出发绕着 O 点顺时针方向旋转到 OB ,旋转过程中 OC 交 ⊙ M 于点 P ,记 ?PMO 为 x ,弓形 ONP 的面积 S ? f ( x) , 那么 f ( x) 的大致图象是 (
y y

C A

P

N

M x O
第 10 题图

B


y y

?

?

?

?

?

?

2
O

2

?

2?

x

O

?

2?

x

O

?

2?

x

O

?

2?

x

A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡中的横线上.)
2 ? ?1 ? x , x ? 2 11. 已知函数 f ( x ? 2) ? ? ,则 f (1) ? ?x ? ?2 , x ? 2

. .
i ? i ?1

12.运行如图所示的程序框图,若输入 n ? 4 ,则输出 S 的值为
i ? 0, S ? 1
i≤n

开始

输入n



S ? S ?i



输出S

结束

13. 如图,三棱锥 S-ABC 中,SA=AB=AC=2,

S

?ASB ? ?BSC ? ?CSA ? 30? ,M、N 分别为 SB、SC 上的点,
则△AMN 周长最小值为
x

N M C
第 13 题

.
2

A B

14. 已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 , 若 f ( x ? 4) ? 2 , 则实数 x 的取

值范围
15.

.
2 2

若实数 a, b, c, d 满足 ab ? 2, c ? 2d ? 0, 则 (a ? c) ? (b ? d ) 的最小值为

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费;若太少又 难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的 60 名候车乘客 中随机抽取 15 人, 将他们的候车时间作为样本分成 5 组, 如 下表所示(单位:分钟) : (1)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (2)若从上表第三、四组的 6 人中任选 2 人作进一步 的调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.

组别 一 二 三 四 五

候车时间

人数 2 6 4 2 1

[0,5) [5,10)

[10,15)
[15, 20) [20, 25]



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17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?log 2 (an ? 1)? ( n ? N ? ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明

1 1 1 ? ?…? ?1. a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an

18.(本小题满分 12 分) 如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 的大小等于 OB 的直线交弧 AB 于点 P. (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的长; (2)设 ?COP ? ? ,求 ?POC 面积的最大值及此时

?
3

,半径为 2,在半径 OA 上有一动点 C,过点 C 作平行于

? 的值.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面 ABCD , SA ? AD ? 1 ,点 M 是 SD 的中点, AN ? SC ,交 SC 于点 N . (1) 求证: 平面 SAC ? 平面 AMN ; (2)求三棱锥 S ? ACM 的体积.

20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? b ? 0 ? 的一个焦点是(1,0) ,两个焦点与短轴的一个端点构成等边三 a 2 b2

角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,设点 A 关于 x 轴的 对称点为 A1.求证:直线 A1B 过 x 轴上一定点,并求出此定点坐标.
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21. (本小题满分 14 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 6ax ? 11 , g ( x) ? 3 x 2 ? 6 x ? 12 ,和直线 m: y=kx+9,又 f ?(?1) ? 0 .

(1)求 a 的值; (2)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y ? f ( x) 的切线,又是 y ? g ( x) 的切线;如果存在,求出 k 的 值;如果不存在,说明理由. (3)如果对于所有 x ? ?2 的 x ,都有 f ( x) ? kx ? 9 ? g ( x) 成立,求 k 的取值范围.



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崇义中学文科数学月考一试卷答案

17.解析: (1)设等差数列的公差为 d, 由 a1 ? 3, a3 ? 9 得 2(log 2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8 即 d=1; 所以 log 2 (an ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n 即 an ? 2n ? 1 . (2)证明: 了 因为 …………3 分 …………6 分

1 1 1 ? n ?1 ? n n a n ?1 ? a n 2 ?2 2

…………8 分
1 1 1

? n? 1 1 1 1 1 1 ? ?…? ? 1 ? 2 ? 3 … ? 1n ? 2 2 2 ? 1 ? 1n ? 1 …12 分 所以 1 a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an 2 2 2 2 2 1?

18.解析:(1)在 ?POC 中, ?OCP ?

2? , OP ? 2, OC ? 1 ,由 3 2? ? PC 2 ? PC ? 3 ? 0 OP 2 ? OC 2 ? PC 2 ? 2OC ? PC cos 3

2

? PC ?

? 1 ? 13 2

· · · · · · · · · · · · · ·5 分

(2) CP 平行于 OB ? ?CPO ? ?POB ?

?
3

??



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在 ?POC 中,由正弦定理得

OP CP ,即 ? sin ?PCD sin ?

2 CP ? 2? sin ? sin 3

? CP ?

4 3

sin ? ,



OC sin(

?
3

?

??)

OP 4 ? , OC ? · · · · · · · · · · · · ·8 分 sin( ? ? ) . · 2? 3 3 sin 3
1 2? CP ? OC sin 2 3

记 ?POC 的面积为 S (? ) ,则 S (? ) ?

?

4 ? 1 3 4 4 ? 3 3 sin ? sin( ? ? ) ? sin 2? ? ? ? sin ? ? sin( ? ? ) ? cos 2? ? 3 3 2 2 3 3 3 3 3
2 3 ? 3 , · · · · · · · · · · · · ·10 分 sin( 2? ? ) ? 3 6 3

=

?当? ?

?
6

时, S (? ) 取得最大值

3 . 3

· · · · · · · · · · · · · ·12 分

19.证明: (1)∵ SA ? 底面 ABCD ,∴ SA ? CD 又 AD ? CD ∴ CD ? 面 SAD ∴ CD ? AM ······①··········3 分 又 SA ? AD ? 1 ,且 M 是 SD 的中点,∴ AM ? SD ·········② 由①②得 AM ? 面 SDC ∴ AM ? SC 又 AN ? SC ∴ SC ? 面 AMN ∴平面 SAC ? 平面 AMN ····················6 分 (2)∵ M 是 SD 的中点,∴ VS ? ACM ? VD ? ACM ? VM ? DAC .·······9 分

1 1 1 1 1 1 ?VS ? ACM ? S ?ACD ? SA ? ? ? ? 3 2 3 2 2 12
20.

······12 分

· · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (2)设直线 l : x ? my ? 4 与

x2 y 2 ? ? 1 联立并消去 x 4 3

得:

(3m 2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 .



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(x1 , y1) (x2 , y2) 记A ,B , y1 ? y2 ?
y1 y2 ? 36 . 3m 2 ? 4

?24m , 3m 2 ? 4

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

由 A 关于 x 轴的对称点为 A1 ,得 A1 ( x1 , ? y1 ) ,根据题设条件设定点为 T ( t ,0) , 得 kTB

? kTA1 ,即

y2 y ? 1 .所以 x2 ? t t ? x1

t?

x2 y1 ? y2 x1 (4 ? my2 ) y1 ? (4 ? my1 ) y2 2my1 y2 ? ? 4? ? 4?3 ?1 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

即定点 T (1 , 0).……………13 分 21.解: (1)因为 f ?( x) ? 3ax 2 ? 6 x ? 6a ,所以 f ?(?1) ? 0 即 3a ? 6 ? 6a ? 0 , 所以 a=-2. (2)因为直线 m 恒过点(0,9).
2 设切点为 ( x 0 ,3 x 0 ? 6 x 0 ? 12) ,因为 g ?( x 0 ) ? 6 x 0 ? 6 . 2 所以切线方程为 y ? (3 x 0 ? 6 x 0 ? 12) ? (6 x 0 ? 6)( x ? x 0 ) ,将点(0,9)代入得 x 0 ? ?1 .

· · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分

当 x 0 ? ?1 时,切线方程为 y=9, 当 x 0 ? 1 时,切线方程为 y=12x+9. 由 f / ( x) ? 0 得 ? 6 x 2 ? 6 x ? 12 ? 0 ,即有 x ? ?1, x ? 2 经检验,当 x ? 2 时, y ? f ( x) 的切线方程为 y ? 9 ? y ? 9 是公切线, 又由 f / ( x) ? 12 得 ? 6 x 2 ? 6 x ? 12 ? 12 ? x ? 0 或 x ? 1 , 经检验, x ? 0 或 x ? 1 不是公切线 ∴ k ? 0 时 y ? 9 是两曲线的公切线 · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

(3)① kx ? 9 ? g ( x) 得 kx ? 3 x 2 ? 6 x ? 3 ,当 x ? 0 ,不等式恒成立, k ? R . 当 ? 2 ? x ? 0 时,不等式为 k ? 3( x ? 而 3( x ?

1 ) ? 6, x

1 1 ) ? 6 ? ?3[(? x) ? ] ? 6 ? ?3 ? 2 ? 6 ? 0 ? k ? 0 x (? x)
1 x 1 x

当 x ? 0 时,不等式为 k ? 3( x ? ) ? 6 ,? 3( x ? ) ? 6 ? 12. ? k ? 12

? 当 x ? ?2 时, kx ? 9 ? g ( x). 恒成立,则 0 ? k ? 12. · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分
②由 f ( x) ? kx ? 9. 得 kx ? 9 ? ?2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x ? 11.



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