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(北师大版)数学必修3全套教案 130页

时间:2017-10-30


北师大版高中数学必修 3 第一章 《统计》全部教案 法门高中 第一课时 一、教学目标 1、知识与技能:(1)使学生认识统计活动所要研究的问题,如何分析数据资料;(2)明确为什 么要随机选取数字,随机选取数字的困难性,精心设计调查方案的重要性。 2、情感、态度与价值观:让学生体会学习统计,参与统计活动的使用价值,提高学生参与意识以 及理论与实际相结合的能力。 二、教学重点、难点与关

键 1、重点、难点:随机选取数字把握的困难性及其原因; 2、关键:通过对具体是;事例的分析来 说明对随机选取数字的困难性。 三、教学方法:讨论探究法 四、教学过程 (一)创设情景,引入新课 在日常生活中常遇到如下一些问题 (1)学校国庆节期间要举行一次大型的文艺汇演,限于演出场所的原因,每个班只有 3 张票,如 何进行分配呢? (2)某工厂要检验一批产品质量,决定从这批产品中任意抽取 10 个进行检验,以判断产品的质 量如何? (3)为了评选本年度先进学生代表,学校对候选人进行量化,让全体学生去评选你是如何看待和 参与呢?你认为人为因素的干扰大吗?真正作到公平、公正难度大吗? 上面一些生活中的事例看似简单,但要真正作到“随机”,“任意”都困难很大,为什么呢,本 节课将通过具体事例认真地研究这个问题。 (二)统计活动及其对选取数据的分析 例: 北京市某中学通过对 343 名学生做了下面一项统计活动,调查的过程如下 (1)调查者事先做好问卷;(2)给每个被调查者发放问卷,并进行回收;(3)对所有的调查数 据进行汇总。 数据 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 统计结果: 正正 正正 正正 正 正正 正正 ▔ 正正 正正 正正 正 正正
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姚连省

§1。1 统计活动:随机选取数字

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人数 21 24 29 25 45 45 54 35 46 19 根据上面的数据回答下面问题: (1)计算出选择各个数的百分比(用四舍五入方法保留到百分数的整数位). (2)用下面的统计图表示上面的数据时,你觉得哪种统计图最合适?说明理由. (3)请你分析这些数据的集中趋势与离散程度. (4)从上面的数据能否看出,选哪些数的人少些,由此你能得到什么结论? 解:(1)计算出选择各个数的百分比(要求学生用计数器算出后汇总) 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数/人 21 24 29 25 45 45 54 35 46 19 百分比/% 6 7 8 7 13 13 16 10 14 6 (2)数据汇总后呈现往往用统计图.统计图有三种形式:条形统计图,折线统计图,扇形统计图, 它们各有特点(让学生交流后汇总) 本题所所关心的问题是选择各个数的人占总人数的百分比情况,因此选择扇形统计图比较合适, 它能够比较清楚地表示百分比的情况。 (3)分析数据的集中趋势,离散程度往往以平均数,众数,方差,中位数等方面进行分析(请大 家回顾一下平均数,众数,方差,中位数有关概念,并用计数器计算) 平均数 . 众数为 7. 方差为 (4)从扇形统计图上可以看出,选 1,2,3,4,10 的人比较少,选其它数字的人较多。而随机 选取这些数的理想状态, 应当是选择到每个数的人数基本相当, 且方差很小.由此, 我们可以看出, 由于个人偏好,人很难达到随机地选择数. (三)如何做到随机性 从上面的分析可以看出,对随机性把握困难较大,主要原因是在选择处理时往往受到各种各 样的主观因素的干扰,如何避免出现干扰,做到随机性就成为统计活动中必须注意解决的问题. (1)对统计方案进行仔细地设计,避免一些外界因素干扰,要确定调查对象,调查方案与策略, 精心设计调查问卷.做好统计的前期工作,收集数据方法.
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(2)对采集到的数据要进行分析(汇总与呈现)做出统计判断. (四)、课堂小结 1、统计活动中,要做到随机性,困难很大.主要原因是主观因素的干扰. 2、要做到随机性必须仔细地设计调查方案及做好统计的前期工作. 3、采集到的数据要进行汇总、呈现与分析.往往用条形统计图,折线统计图,扇形统计图呈 现;分析数据往往用平均数,众数,方差,中位数分析,方差越小,统计准确性越高。 (五)、练习:P6 练习题 (六)、作业: P7 2 五、教后反思:

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第二课时

§1。2 从普查到抽样

一、 教学目标:1.了解普查的意义.2.结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要性和 重要性. 二、重难点:结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要性和重要性. 三、教学方法:阅读材料、思考与交流 四、教学过程 (一) 、普查 1、 【问题提出】 P7 通过我国第五次人口普查的有关数据,让学生体会到统计对政府决策的重要作用――统计数 据可以提供大量的信息,为国家的宏观决策提供有关的支持.教科书通过对人口普查的有关新闻 报道,让学生体会人口普查的规模是何等的宏大与艰辛. 教科书提出了三个有代表性的问题.第一个问题主要是针对人口普查的作用,人口普查可以 了解一个国家人口全面情况,比如,人口总数、男女性别比、受教育状况、增长趋势等.人口普 查是对国家的政府决策实行情况的一个检验, 比如, 国家计划生育政策, 经济发展战略, 国家 “普 及九年义务教育”政策,人民群众的生活水平等.第二个问题是针对普查本身存在的问题提出的, 以加深学生对于普查的理解.学生可能有一个误解,普查就是 100%的准确,其实不然,即使是最 周全的调查方案,在实际执行时都会产生一个误差.教科书通过这个问题,目的是让学生理解在 人口普查中出现漏登是正常情况,调查方案的设计是尽可能让这个误差降低到最小.同时,也要 让学生理解人口普查的工作,即使出现漏登现象,人口普查的数据对国家的宏观决策依然具有重 要的作用. 第三个问题是针对人口普查工作的艰辛而提出的, 让学生体会人口普查数据得来不易, 要尊重人口普查人员的劳动,对人口普查工作要大力支持. 2、 【阅读材料】 P8 “阅读材料”是课堂阅读,目的是让学生了解普查工作的特点和重要性,以及我国目前主要 的一些普查工作.进而,总结出普查的主要不足之处,这是从一个方面说明了抽样调查的必要性. 普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全面调查,目的是为了详细地了解某项 重要的国情、国力. 普查主要有两个特点: (1)所取得的资料更加全面、系统; (2)主要调查在特定时段的社会经济 现象总体的数量. 普查是一项非常艰巨的工作,它要对所有的对象进行调查.当普查的对象很少时,普查无疑 是一项非常好的调查方式.
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(二) 、抽样调查 【例 1 和其后的“思考交流” 】 P8~9 紧接着,教科书通过例 1 和“思考交流”的两个问题,让学生了解普查有时候难以实现.这 主要有两个方面的原因,其一,被调查对象的量大;其二,普查对被调查对象本身具有一定的破 坏性.这从另一个方面说明了抽样调查的必要性.然后,教科书通过抽象概括总结出抽样调查的 两个主要优点. 【例 2 和其后的“思考交流” 】 P9~10 主要是讨论在抽样调查时,什么样的样本才具有代表性.在抽样时,如果抽样不当,那么调 查的结果可能会出现与实际情况不符,甚至是错误的结果,导致对决策的误导.在抽样调查时, 一定要保证随机性原则,尽可能地避免人为因素的干扰;并且要保证每个个体以一定的概率被抽 取到;同时,还要注意到要尽可能地控制抽样调查中的误差. 由于检验对象的量很大,或检验对检验对象具有破坏性时,通常情况下,所以采用普查的方 法有时是行不通的.通常情况下,从调查对象中按照一定的方法抽取一部分,进行调查或观测, 获取数据,并以此调查对象的某项指标做出推断,这就是抽样调查.其中,调查对象的全体称为 总体,被抽取的一部分称为样本. 抽样调查的优点:抽样调查与普查相比,有很多优点,最突出的有两点: (1)迅速、及时; (2) 节约人力、物力和财力. 例 1 为了考察某地 10 000 名高一学生的体重情况,从中抽出了 200 名学生做调查.这里统计的 总体、个体、样本、总体容量、样本容量各指什么?为什么我们一般要从总体中抽取一个样本, 通过样本来研究总体? 解:统计的总体是指该地 10 000 名学生的体重;个体是指这 10 000 名学生中每一名学生的 体重; 样本指这 10 000 名学生中抽出的 200 名学生的体重; 总体容量为 10 000; 样本容量为 200. 若 对每一个个体逐一进行“调查” ,有时费时、费力,有时根本无法实现,一个行之有效的办法就是 在每一个个体被抽取的机会均等的前提下从总体中抽取部分个体,进行抽样调查. 例2 为了制定某市高一、高二、高三三个年级学生校服的生产计划,有关部门准备对 180 名初

中男生的身高作调查,现有三种调查方案: A.测量少年体校中 180 名男子篮球、排球队员的身高; B.查阅有关外地 180 名男生身高的统计资料; C.在本市的市区和郊县各任选一所完全中学,两所初级中学,在这六所学校有关年级的小 班中,用抽签的方法分别选出 10 名男生,然后测量他们的身高.
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为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的, 你认为采用上述哪一种调查方案比 较合理,为什么? 解: 选 C 方案.理由:方案 C 采取了随机抽样的方法,随机样本比较具有代表性、普遍性,

可以被用来估计总体. 例 3 中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得当年春节联欢晚会的收视率.下面三名 同学为电视台设计的调查方案. 甲同学:我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上,只要上网登录该网址的人 就可以看到这张表,他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中.这样,我就可以很快统计收 视率了. 乙同学:我给我们居民小区的每一份住户发一个是否在除夕那天晚上看过中央电视台春节联 欢晚会的调查表,只要一两天就可以统计出收视率. 丙同学:我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码,然后逐个给他们打电话,问一 下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会,我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会 的收视率. 请问:上述三名同学设计的调查方案能够获得比较准确的收视率吗?为什么? 解: 综上所述,这三种调查方案都有一定的片面性,不能得到比较准确的收视率. (三) 、课堂小结:1、普查是一项非常艰巨的工作,它要对所有的对象进行调查.当普查的对象 很少时,普查无疑是一项非常好的调查方式.普查主要有两个特点: (1)所取得的资料更加全面、 系统; (2)主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量.2、通常情况下,从调查对象中按照 一定的方法抽取一部分,进行调查或观测,获取数据,并以此调查对象的某项指标做出推断,这 就是抽样调查.其中,调查对象的全体称为总体,被抽取的一部分称为样本.抽样调查的优点: 抽样调查与普查相比,有很多优点,最突出的有两点: (1)迅速、及时; (2)节约人力、物力 和财力。 (四) 、作业: P10 练习题; 五、教后反思: P10【习题 1―2】

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第三课时

§1。3 抽样方法(一)

——简单随机抽样 一、教学目标: 1、知识与技能:正确理解随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数表法的一般步骤; 2、过程与方法: (1)能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题; (2)在解决统 计问题的过程中,学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。 3、情感态度与价值观:通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出,体会数学知识与现实世界 及各学科知识之间的联系,认识数学的重要性。 二、重点与难点:正确理解简单随机抽样的概念,掌握抽签法及随机数法的步骤,并能灵活应用 相关知识从总体中抽取样本。 三、教学方法:观察、思考、交流、讨论、概括。 四、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验, 你准备怎样做? 显然,你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。 (为什么?)那么,应当怎样获取样 本呢? (二) 、探究新知 1、简单随机抽样的概念:一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作 为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做 简单随机抽样,这样抽取的样本,叫做简单随机样本。 【小结】简单随机抽样必须具备下列特点: (1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是 有限的。 (2)简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N。 (3)简单随机样本是从总体中逐个 抽取的。 (4)简单随机抽样是一种不放回的抽样。 (5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均 为 n/N。 思考?下列抽样的方式是否属于简单随机抽样?为什么?(1)从无限多个个体中抽取 50 个个体 作为样本。 (2)箱子里共有 100 个零件,从中选出 10 个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中 任意取出一个零件进行质量检验后,再把它放回箱子。 2、 、抽签法和随机数法 (1) 、抽签法的定义:一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号
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签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n 的样本。 【小结】抽签法的一般步骤: (1)将总体的个体编号。 (2)连续抽签获取样本号码。 思考?你认为抽签法有什么优点和缺点:当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗? (2) 、随机数法的定义:利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数 表法,这里仅介绍随机数表法。 怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明,假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验,利用随机数表抽取样本时, 可以按照下面的步骤进行。 第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,?,799。 第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便于说明,下面摘 取了附表 1 的第 6 行至第 10 行) 。 16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 60 86 32 44 87 35 20 96 43 21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 15 51 00 13 42 90 52 84 77 27 49 54 43 54 82 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 09 47 27 96 54 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 08 02 73 43 28 17 37 93 23 78 77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 49 17 46 09 62

第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等) ,得到一个 三位数 785,由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出;继续向右读,得到 916,由于 916>799,将它去掉,按照这种方法继续向右读,又取出 567,199,507,?,依次下去,直到 样本的 60 个号码全部取出,这样我们就得到一个容量为 60 的样本。 【小结】随机数表法的步骤: (1)将总体的个体编号。 (2)在随机数表中选择开始数字。 (3)读 数获取样本号码。 (三) 、例题精析 例 1:人们打桥牌时,将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌,这时按次序搬牌时,对任何一家
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来说,都是从 52 张牌中抽取 13 张牌,问这种抽样方法是否是简单随机抽样? [分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定了起始张, 其他各张牌虽然是逐张起牌,但是各张在谁手里已被确定,所以不是简单随机抽样。 例 2:某车间工人加工一种轴 100 件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取 10 件轴在同一条件下 测量,如何采用简单随机抽样的方法抽取样本? [分析] 简单随机抽样一般采用两种方法:抽签法和随机数表法。 解法 1: (抽签法)将 100 件轴编号为 1,2,?,100,并做好大小、形状相同的号签,分别写上 这 100 个数,将这些号签放在一起,进行均匀搅拌,接着连续抽取 10 个号签,然后测量这个 10 个号签对应的轴的直径。 解法 2: (随机数表法)将 100 件轴编号为 00,01,?99,在随机数表中选定一个起始位置,如取 第 21 行第 1 个数开始,选取 10 个为 68,34,30,13,70,55,74,77,40,44,这 10 件即为 所要抽取的样本。 (四) 、课堂练习 P13 练习题 (五) 、课堂小结 1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,简单随机抽样有两种

选取个体的方法:放回和不放回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽样方 法有抽签法和随机数法。2、抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费 力,又不方便,如果标号的签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法相 同,缺点上当总体容量较大时,仍然不是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总 体容量较少的抽样类型。3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均为 n/N,但是这里一 定要将每个个体入样的可能性、第 n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第 n 次被抽到的可 能性这三种情况区分开业,避免在解题中出现错误。 (六) 、作业布置: 1、为了了解全校 240 名学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量,下列说法正确的是 A.总体是 240 C、样本是 40 名学生 B、个体是每一个学生 D、样本容量是 40

2、为了正确所加工一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,200 个零件的长度是 A、总体 C、总体的一个样本 ( ) B、个体是每一个学生 D、样本容量

3、一个总体中共有 200 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本,
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则某一特定个体被抽到的可能性是



4、从 3 名男生、2 名女生中随机抽取 2 人,检查数学成绩,则抽到的均为女生的可能性 是 五、教后反思: 。

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第四课时

§1。3 抽样方法(二) ——系统抽样

一、教学目标 1、知识与技能: (1)正确理解系统抽样的概念; (2)掌握系统抽样的一般步骤; (3)正确理解系 统抽样与简单随机抽样的关系; 2、过程与方法:通过对实际问题的探究,归纳应用数学知识解决实际问题的方法,理解分类讨论 的数学方法, 3、情感态度与价值观:通过数学活动,感受数学对实际生活的需要,体会现实世界和数学知识的 联系。 二、重点与难点:正确理解系统抽样的概念,能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。 三、教学方法:观察、思考、交流、讨论、概括。 四、教学过程 (一) 、创设情境 某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见, 打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名进行调 查,除了用简单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽取样本的方法? (二)、探究新知 1、系统抽样的定义:一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的 若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样 的方法叫做系统抽样。 【小结】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证: (1)当总体容量 N 较大时,采用系统抽样。 (2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此,系统抽样又称 等距抽样,这时间隔一般为 k=[
N n

].(3)预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽

样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。 思考?(1)你能举几个系统抽样的例子吗? (2)下列抽样中不是系统抽样的是 ( )

A、从标有 1~15 号的 15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从小号到大号排序,随机确定起 点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B 工厂生产的产品,用传关带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产 品检验

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C、搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数为 止 D、电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈 点拨:(2)c 不是系统抽样,因为事先不知道总体,抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概 率入样。 2、系统抽样的一般步骤: (1)采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个编号。 (2)将整体按编号进 行分段,确定分段间隔 k(k∈N,L≤k).(3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号 L(L ∈N,L≤k) 。 (4)按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 L 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 L+K,再加上 K 得到第 3 个个体编号 L+2K,这样继续下去,直到获取整个样本。 【小结】从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而把 复杂问题简单化,体现了数学转化思想。 (三) 、例题精析 例 1、某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,??,295,为了了解学生的学习情况, 要按 1:5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程。 [分析]按 1:5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编号。 解:按照 1:5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分成 59 组,每组 5 人,第一组是编号为 1~5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6~10 的 5 名学生,依次下去,59 组是 编号为 291~295 的 5 名学生。采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名学生中抽出一名学生,不 妨设编号为 k(1≤k≤5),那么抽取的学生编号为 k+5L(L=0,1,2,??,58),得到 59 个个体作为 样本,如当 k=3 时的样本编号为 3,8,13,??,288,293。 例 2、从忆编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验,若 采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是 A.5,10,15,20,25 C.1,2,3,4,5 B、3,13,23,33,43 D、2,4,6,16,32

[分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项 B 满足要求,故选 B。 (四) 、课堂练习 P49 练习 1. 2. 3

(五) 、课堂小结:1、在抽样过程中,当总体中个体较多时,可采用系统抽样的方法进行抽样, 系统抽样的步骤为: (1)采用随机的方法将总体中个体编号; (2)将整体编号进行分段,确定分 段间隔 k(k∈N); (3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号 L; (4)按照事先预
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定的规则抽取样本。2、在确定分段间隔 k 时应注意:分段间隔 k 为整数,当 n 不是整数时,应 采用等可能剔除的方剔除部分个体,以获得整数间隔 k。 (六) 、作业: 1 、 从 2005 个 编 号 中 抽 取 20 个 号 码 入 样 , 采 用 系 统 抽 样 的 方 法 , 则 抽 样 的 间 隔 为 ( ) A.99 C.100 B、99,5 D、100,5

2、从学号为 0~50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试,采用系统抽样的方 法,则所选 5 名学生的学号可能是 A.1,2,3,4,5 C.2, 4, 6, 8, 10 ( )

B、5,16,27,38,49 D、4,13,22,31,40

3、 采用系统抽样从个体数为 83 的总体中抽取一个样本容量为 10 的样本, 那么每个个体人样的可 能性为 A.8 C.8.5 ( ) B.8,3 D.9

4、某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个座位,一次心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后为了了解 有关情况,留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测试,这里运用的是 抽样方法。

5、某单位的在岗工作为 624 人,为了调查工作上班时,从家到单位的路上平均所用的时间,决定 抽取 10%的工作调查这一情况,如何采用系统抽样的方法完成这一抽样? 五、教后反思:

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第五课时

§1。3 抽样方法(三)

——分层抽样 一、教学目标:1、知识与技能: (1)正确理解分层抽样的概念; (2)掌握分层抽样的一般步骤; (3)区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,并选择适当正确的方法进行抽样。2、过程与方 法:通过对现实生活中实际问题进行分层抽样,感知应用数学知识解决实际问题的方法。3、情感 态度与价值观:通过对统计学知识的研究,感知数学知识中“估计与“精确”性的矛盾统一,培 养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。 二、重点与难点:正确理解分层抽样的定义,灵活应用分层抽样抽取样本,并恰当的选择三种抽 样方法解决现实生活中的抽样问题。 三、教学方法:观察、思考、交流、讨论、概括。 四、教学过程 (一) 、创设情景 假设某地区有高中生 2400 人,初中生 10900 人,小学生 11000 人,此地教育部门为了了解本地 区中小学的近视情况及其形成原因,要从本地区的小学生中抽取 1%的学生进行调查,你认为应当 怎样抽取样本? (二) 、探究新知 1、分层抽样的定义:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各 层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽 样。 【说明】分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循以下要求: ( 1)分层:将相似的个体 归人一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则。 (2) 分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层 个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。 2、分层抽样的步骤: (1)分层:按某种特征将总体分成若干部分。 (2)按比例确定每层抽取个体 的个数。 (3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取。 (4)综合每层抽样,组成样本。 【说明】 (1)分层需遵循不重复、不遗漏的原则。 (2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定。 (3)各层抽样按简单随机抽样进行。 探究交流: (1)分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层) ,然后每层抽取若干个 体 构 成 样 本 , 所 以 分 层 抽 样 为 保 证 每 个 个 体 等 可 能 入 样 , 必 须 进 行 ( ) 。A、每层等可能抽样; B、每层不等可能抽样; C、所有层按同一抽样比等可能抽样

(2)如果采用分层抽样,从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 样本,那么每个个体被抽到的
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可能性为(

1 ) 。 A. N

1 B. n

n C. N

n D. N

点拨: (1)保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽共同的特征,为了保证 这一点,分层时用同一抽样比是必不可少的,故此选 C。 (2)根据每个个体都等可能入样,所以其可能性本容量与总体容量比,故此题选 C。 知识点 2 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较 适 用 类 别 简 单 随 机 抽 样 共同点 (1)抽样过程中每个 从总体中逐个抽取 个体被抽到的可 能性相等 (2)每次抽出个体后 系 统 抽 样 不再将它放回, 即 不放回抽样 分层抽样时采用 将总体分成几层, 分 层 分层进行抽取 抽 样 系统抽样 部分组 成 (三) 、例选精析 例 1、某高中共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采用分 层抽样抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( ) 。 A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20 简单随机抽样或 显的几 将总体均分成几部 分,按预先制定的规则 在各部分抽取 在起始部分 总体个 样时采用简 数较多 随机抽样 总体由 差异明 数较少 各自特点 联 系 范 围 总体个

[分析]因为 300:200:400=3:2:4,于是将 45 分成 3:2:4 的三部分。设三部分各抽取的个体 数分别为 3x,2x,4x,由 3x+2x+4x=45,得 x=5,故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 15, 10,20,故选 D。 例 2、一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3:2:5:2:3,从 3 万人中抽取 一个 300 人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应 采取什么样的方法?并写出具体过程。[分析]采用分层抽样的方法。 解:因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽 样的方法,具体过程如下: (1)将 3 万人分为 5 层,其中一个乡镇为一层。 (2)按照样本容量的

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比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。300×3/15=60(人) ,300×2/15=100(人) ,300×2/15=40 (人) ,300×2/15=60(人) ,因此各乡镇抽取人数分别为 60 人、40 人、100 人、40 人、60 人。 (3)将 300 人组到一起,即得到一个样本。 (四) 、课堂练习 P52 练习 1. 2. 3

(五) 、课堂小结:1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法,进行分层 抽样时应注意以下几点: (1) 、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是, 层内样本的差异要小,面层之间的样本差异要大,且互不重叠。 (2)为了保证每个个体等可能入 样,所有层应采用同一抽样比等可能抽样。 (3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样 的方法进行抽样。 2、分层抽样的优点是:使样本具有较强的代表性,并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法,因 此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。 (六) 、作业:1、某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体情 况,需从他们中抽取一个容量为 36 的样本,则适合的抽取方法是 A.简单随机抽样 B.系统抽样 ( )

C.分层抽样 D.先从老人中剔除 1 人,然后再分层抽样

2、某校有 500 名学生,其中 O 型血的有 200 人,A 型血的人有 125 人,B 型血的有 125 人,AB 型 血的有 50 人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个 20 人的样本,按分层抽样,O 型血 应抽取的人数为 人, A 型血应抽取的人数为 人。 人, B 型血应抽取的人数为

人,AB 型血应抽取的人数为

3、某中学高一年级有学生 600 人,高二年级有学生 450 人,高三年级有学生 750 人,每个学生被 抽到的可能性均为 0.2,若该校取一个容量为 n 的样本,则 n= 。

4、对某单位 1000 名职工进行某项专门调查,调查的项目与职工任职年限有关,人事部门提供了 如下资料: 任职年限 人数 5 年以下 300 5 年至 10 年 500 10 年以上 200

试利用上述资料设计一个抽样比为 1/10 的抽样方法。 五、教后反思:

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第六课时

§1。4 统计图表

一、教学目标:1、使学生学会对所收集到的数据进行统计表示; 2、学会用多种方法来表示数 据。 二、教学重难点:重点:数据的表示。难点:选择一种适当数据表示方法。 三、教学方法: 以启发学生自主动手为主。 四、教学过程 (一) 、知识导向 本节课是中初步学会了收集数据、分类整理、填写简单的统计表和制作简单的统计图(条形 统计图、折线统计图和扇形统计图) 。另外,从统计图中提取信息的能力是需要训练的,教师应引 导学生观察数据的变化发展趋势、注意变化发展的速度、留心那些在重复实验过程中发生频数为 最小与最大的对象。对于各种表示方法,教师组织讨论时不必评判出哪一个最好,重要的是分析 每一种方案的长处与不足, 如果一些一些学生特别看中某一方案的长处而并怎么在意它它的短处, 那么他们一定要坚持这一方案也是可以接受的。 统计图是统计学中一个非常重要的知识,能否画出一个准确的统计图对学生在实际中的应用是很 重要的。 (二) 、新课拆析 1、知识设疑: (引例)解放以来,我国的国内生活总值(GDP)一直呈递增趋势,1952 年只有 679 亿元, 1962 年上升到 1149.3 亿元, 1970 年上升到 2252.7 亿元, 1980 年上升到 4516.8 亿元, 1990 年上升到 18547.9 亿元,2000 年上升到 89404 亿元。 对于上例中,为了让这些数据更有次序,使得使用这些数据的人员能更方便去使用,我们要求: (1)设计一张统计表,简明地表达这一段文字; (2)再设计一张折线统计图,直观地表明这种递 增趋势; (3)从上述两张图表中,你能得出哪些结论?说说你的理由。 注意数据是不明显性,作为使用者难以明确数据间的关系。 2、知识形成:从上例中,我们可以作出: 统计表: 年份 国内生产 总值(亿 元 折线图:
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1952

1962

1870

1980

1990

2000

679

1149.3

2252.7

4517.8

18547.9

89404

国内生产总值(亿元) 100000 80000 60000 40000 20000 0
(1)国内生产总值总体上呈现增长的趋势; (2)增长的趋势有快有慢。 应让学生从统计表中找到统计图的优点,发现统计图的对于数据统计的必要性。至于各种统计图 都有其本身的特点与优点,哪一种更好,应依据不同情况的使用。对于数据表示中的“折线图” 中两点之间的连线是没有意义的,画上连线只是为了便。 3、例题讲解: 在 2000 年第 27 年届悉尼奥林匹克运动会上,中国体育代表团取得了很好的成绩(如下表) 奥运奖牌榜(第 27 届) 代表队 美国 俄罗斯 中国 澳大利亚 德国 其他 金牌 39 32 28 16 14 172 银牌 25 28 16 25 17 略 铜牌 33 28 15 17 26 略 合计 97 88 59 58 57 略

国内生产总值 (亿元)

(1) 中国体育健儿在该届奥运会上共夺得多少枚奖牌?其获得的金牌数在总金牌数中占多大的比 例? (2) 从所获奖牌总数情况看, 和最近几届奥运会相比, 中国体育健儿在本届奥运会上的成绩如何? 后面的例子,可引导各个学习小组去独立探讨常见的统计图的画法。 (引表) 届数 第 23 届 第 24 届 第 25 届 中国奥运奖牌回眸 金牌 15 5 16 银牌 8 11 22 铜牌 9 12 16 总计 32 28 54

19 52 年 19 62 年 18 70 年 19 80 年 19 90 年 20 00 年

从上表与上图中,可以发现:

18

第 26 届 第 27 届

16 28

22 16

12 15

50 59

思考: 要比较客观地评价一个代表队在一届奥运会上的表现是很困难的, 有人建议比较奖牌总数, 有人建议比较金牌总数,有人建议比较金牌和银牌的总数等等,你比较赞同哪一个方案? (三) 、巩固练习:P195 自我阅读画统计图的资料

(四) 、知识小结:本节课学习了用统计来直观来表示数据,并从统计图中发现数据间的联系。 学会用计算机画出统计图。 (五) 、作业:P196 1、2 (六) 、每日预习:1、你能找到课本中错误统计图表中的错误吗?2、你能自己设计出一个小调 查。 五、教后反思:

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第七课时

§1.5 数据的数字特征

一、教学背景分析:在义务教育阶段,学生已经通过实例,学习了平均数、中位数、众数、极差、 方差等,并能解决简单的实际问题。 (由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》 的要求相差较大,若是承接现行《大纲》的话,建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。 ) 在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差,并在学习中不断地体会它们各自的特点,在具体 的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。 二、教学目标:1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义,并能根据问题的需要选择适当的 数字特征来表达数据的信息,培养学生解决问题的能力。2、通过实例理解数据标准差的意义和作 用,学会计算数据的标准差,提高学生的运算能力。 三、教学重、难点 教学重点:平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。 教学难点:根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。 四、设计思路 1、教法构想:本节教学设计依据课程标准,在义务教育阶段的基础上,进一步掌握平均数、中 位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。通过具体的实例,让学生理解数字特征 的意义,并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。 2、学法指导:学生自主探究,交流合作,教师归纳总结相结合。 五、教学实施 (一) 、 导入新课 提出问题: 小明开设了一个生产玩具的小工厂, 管理人员由小明、 他的弟弟和六个亲戚组成。 工作人员由五个领工和十个工人组成。工厂经营的很顺利,需增加一个新工人,小亮需要一份工 作,应征而来与小明交谈。小明说: “我们这里报酬不错,平均薪金是每周 300 元。你在学徒期每 周 75 元,不过很快就可以加工资了。 ”小亮工作几天后找到小明说: “你欺骗了我,我已经找其他 工人核对过了,没有一个人的工资超过每周 100 元,平均工资怎么可能是一周 300 元呢?”小名 说: “小亮啊,不要激动,平均工资是 300 元,你看,这是一张工资表。 ”工资表如下: 人 员 周工资 人 数 合 计 小明 2400 1 2400 小明弟 1000 1 1000 亲戚 250 6 1500 领工 200 5 1000 工人 100 10 1000

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这到底是怎么了?(学生思考交流) 。教师点出课题:数据的数字特征 (二) 、推进新课 Ⅰ、新知探究 提出问题:1、什么叫平均数?有什么意义?2、什么叫中位数?有什么意义?3、什么叫众数? 有什么意义?4、什么叫极差?有什么意义?5、什么叫方差?有什么意义?6、什么叫标准差?有 什么意义? 讨论结果:1、一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数。数据 x1 , x2 ,?, xn 的 平均数为 x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn 。平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平。 n

2、一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于中间位置的数称为这组数据的中位数。一组数据的 中位数是唯一的,反映了数据的集中趋势。 3、一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。一组数据中的众数可能不止一个,也可能 没有,反映了数据的集中趋势。 4、一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差,表示该组数据之间的差异情况。 5、方差是样本数据到平均数的平均距离,一般用 s 表示,通常用公式
2

1 s 2 ? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] 来计算。反映了数据的离散程度。方差越大,数据 n
的离散程度越大。方差越小数据的离散程度越小。 6、标准差等于方差的正的平方根,即 s ? s2 ,与方差的作用相同,描述一组数据围绕平均数的 波动程度的大小。 Ⅱ、应用示例 例 1 某公司员工的月工资情况如表所示: 月工资/元 员工/人 8000 1 5000 2 4000 4 2000 6 1000 12 800 8 700 20 600 5 500 2

(1) 、分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。 (2) 、公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况?税务官呢?工会领导呢? 解: (1)经计算可以得出:该公司员工月工资的平均数为 1373 元,中位数为 800 元,众数为 700 元。 (2) 、公司经理为了显示本公司员工的收入高,采用平均数;而税务官希望取中位数,以便知 道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利;工会领导则主张用众数,因为每月拿 700 元的 员工最多。
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点评:平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量,它是反映数据平均水平最常用的统计量; 中位数将观测数据分成相同数目的两部分,其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大, 对于非对称的数据集,中位数更实际地描述了数据的中心;当变量是分类变量时,众数往往经常 被使用。 变式训练:1、下表是某班 40 名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表: 分数 人数 0 4 1 7 2 10 3 x 4 8 5 y

请参照这个表解答下列问题: (1) 用含 x, y 的式子表示该班参加 “环保知识竞赛” 的班平均分 f ; (2)若该班这次竞赛的平均分为 2.5 分,求 x, y 的值。

解: (1) f ?

x ?7 3 x?5 y ?41 3x ? 5 y ? 59 ;(2)依题意,有 x? y ?11 解得 y ? 4 40

{

{

例 2 甲、乙两台机床同时生产直径是 40mm 的零件。为了检验产品质量,从两台机床生产的产品 中各抽取 10 件进行测量,结果如下表所示 甲 乙 40.0 40.0 39.8 40.0 40.1 39.9 40.2 40.0 39.9 39.9 40.0 40.1 40.2 40.1 39.8 40.1 40.2 40.0 39.8 39.9

分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的 10 件产品直径的标准差。 解:从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这 10 件产品直径的平均值 x甲 ? x乙 ? 40(mm) 。 我们分别计算它们直径的标准差:

s甲 ? [(40 ? 40) 2 ? (39.8 ? 40) 2 ? ? (39.8 ? 40) 2 ] /10 ? 0.161( mm) s乙 ? [(40 ? 40) 2 ? (40 ? 40) 2 ? ? ? (39.9 ? 40) 2 ] /10 ? 0.077( mm)
由上面的计算可以看出:甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同,而甲机床生产的产品直 径的标准差为 0.161mm,比乙机床的标准差 0.077mm 大,说明乙机床生产的零件更标准些,即乙 机床的生产过程更稳定一些。 点评:对数据数字特征内容的评价,应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的 应用,而不是记忆和使用的熟练程度。 Ⅲ、知能训练 1、 下列说法正确的是(D )

A.甲、乙两班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样。
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B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好。 C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习甲班比乙班好。 D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习甲班比乙班好。 2、 (2007 海南高考,理 11)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试 成绩如下表: 甲的成绩: 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5

乙的成绩: 环数 频数 丙的成绩: 环数 频数 7 4 8 6 9 6 10 4 7 6 8 4 9 4 10 6

s1、s2、s3 分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差,则有(C)
A. s1 ? s2 ? s3 B. s3 ? s1 ? s2 C. s2 ? s1 ? s3 D. s2 ? s3 ? s1

3、某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15,那么由此求出 的平均数与实际平均数的差是 Ⅳ、拓展提升 甲、乙两种玉米苗各抽 10 株,分别测得它们的株高如下(单位:cm) 甲 乙 25 27 41 16 40 44 37 27 22 44 14 16 19 40 39 40 21 16 42 40 -3

问: (1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐? 解: (1) x甲 ? 30(cm) , x乙 ? 31(cm) (2)

? x甲 ? x乙 ,即乙种玉米的苗长得高。
即甲种玉米的苗长得齐。

s甲2 ? 104.2(cm 2 ), s乙2 ? 128.8(cm 2 )

? s甲2 ? s乙2

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(三) 、课堂小结: 本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、标 准差的计算、意义和作用,让学生体会所学内容与现实世界的密切联系。 (四) 、作业: 课本 30—31 页 六、设计体会(教后反思) 统计的学习,本质上是统计活动的学习,而不是概念和公式的学习。因此在本节教学设计中 所采用的数据和问题情境尽可能来源于实际,充分挖掘学生生活中与数据有关的素材,使他们体 会所学内容与现实世界的密切联系。另外,在教学活动中,还要特别加强小组活动的组织与教学, 并在活动的过程中引导学生逐步体会统计的作用和基本思想。 习题 1—4 1、2。

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第八课时

§1.6 用样本的频率分布估计总体分布(一)

一、教学目标:1、知识与技能: (1) 通过实例体会分布的意义和作用。 (2)在表示样本数据的 过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 (3)通过实例体会频率 分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确 地做出总体估计。2、过程与方法:通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法, 理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。3、情感态度与价值观:通过对样本分析和总体 估计的过程,感受数学对实际生活的需要,认识到数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数 学知识与现实世界的联系。 二、重点与难点:重点:会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 难点:能通过样本的频率分布估计总体的分布。 三、教学方法:探究归纳,思考交流 四、教学设想 (一) 、创设情境 在NBA的 2004 赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕ 12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50;乙运动员得分﹕8,13,14,16,23, 26,28,38,39,51,31,29,33 请问从上面的数据中你能否看出甲,乙两名运动员哪一位发挥 比较稳定? 如何根据这些数据作出正确的判断呢?这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的 频率分布估计总体分布(板出课题) 。 (二) 、探究新知〖探究〗 :P55 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水, 计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准 a,用水量不超过 a 的部 分按平价收费,超出 a 的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准 a 定为多少比较合理呢 ?你认为,为了了较为合理地确定出这个标准,需要做哪些工作?(让学 生展开讨论) 为了制定一个较为合理的标准 a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比如月均用 水量在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等。因此采用抽样调查的方式,通过 分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。 (如课本 P56) 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的排列方式,作 图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据
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的构成形式,为我们提供解释数据的新方式。 下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小 的角度,来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况。 1、频率分布的概念:频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率 分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为:计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极 差(1)决定组距与组数;⑵将数据分组;⑶列频率分布表;⑷画频率分布直方图。 以课本 P56 制定居民用水标准问题为例,经过以上几个步骤画出频率分布直方图。 (让学生自己动 手作图) 频率分布直方图的特征:⑴从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。⑵从频率分 布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了。 〖探究〗 :同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同。 不同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断,分别以 0.1 和 1 为组距 重新作图,然后谈谈你对图的印象?(把学生分成两大组进行,分别作出两种组距的图,然后组 织同学们对所作图不同的看法进行交流??) 接下来请同学们思考下面这个问题: 〖思考〗 :如果当地政府希望使 85%以上的居民每月的用水量 不超出标准,根据频率分布表 2-2 和频率分布直方图 2.2-1, (见课本 P57)你能对制定月用水量 标准提出建议吗?(让学生仔细观察表和图) 2、频率分布折线图、总体密度曲线 (1) .频率分布折线图的定义:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布 折线图。 (2) .总体密度曲线的定义:在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条 光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值 的百分比,它能给我们提供更加精细的信息。 (见课本 P60) 〖思考〗 :1.对于任何一个总体,它的密度曲线是不是一定存在?为什么?2.对于任何一个总 体,它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来?为什么? 实际上,尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的,但一般很难想函数图象那样准确地画出 来,我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越精确. 3、茎叶图 (1) .茎叶图的概念:当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数 字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎
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上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图。 (见课本 P61例子) (2) .茎叶图的特征:①用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损 失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便 记录与表示。②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两 个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰。 (三) 、 例题精析: 〖例 1〗 : 下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高(单 位cm)

区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5 (1)
列出样本频率分布表;(2)一画出频率分布直方图;(3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的 百分比.。分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。 解: (1)样本频率分布表如下:
频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 o

分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计

频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120

频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1

(2)其频率分布直方图如下:

122

126 130 134 138 142 146 150 154 158

身高(cm)

(3) 由样本频率分布表可知身高小于 134cm 的男孩出现的频率为 0.04+0.07+0.08=0.19, 所以我 们估计身高小于 134cm 的人数占总人数的 19%. 〖例 2〗 :为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试,将所 得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形面积之比为 2:4:17:15: 9:3,第二小组频数为 12. (1) 第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2) 若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多少?
27

(3) 在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落 在哪个小组内?请说明理由。 分析:在频率分布直方图中,各小长方形的面 积等于相应各组的频率, 小长方形的高与频数 成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之 和等于 1。 解: (1)由于频率分布直方图以面积的形式反 映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二
0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 o

频率/组距

4 ? 0.08 小组的频率为: 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3
又因为频率=

90

100

110

120

130

140

150

次数

第二小组频数 样本容量 第二小组频数 12 ? ? 150 第二小组频率 0.08
17 ? 15 ? 9 ? 3 ?100% ? 88% 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3

所以

样本容量 ?

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为

(3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为 69,前 四组的频数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。 (四)课堂精练:P61 练习 1. 2. 3 (五) 、课堂小结:1、总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道,因此 我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。2、总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值 很少时,用茎叶图估计总体的分布;当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组 的频率分布描述总体的分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图。 (六)作业:1.P72 习题 2.2 五、教后反思: A 组 1、 2

28

第九课时 一、教学目标:

§1.6 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)

1、知识与技能: (1)正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差。 (2)能根 据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差) ,并 做出合理的解释。 (3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 (4)形成对数据处理 过程进行初步评价的意识。 2、过程与方法:在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的 数学思想和逻辑推理的数学方法。 3、情感态度与价值观:会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认 识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。 二、重点与难点 重点:用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。难点:能应用相关知识解决简单的实 际问题。 三、教学方法:探究归纳,思考交流 四、教学过程 (一) 、创设情境 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下:甲运动员:7,8,6,8,6, 5,8,10,7,4;乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪 个运动员发挥的更稳定些吗?为了从整体上更好地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对总 体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征(板出课题) 。 (二) 、探究新知 <一>、众数、中位数、平均数 〖探究〗 :P62(1)怎样将各个样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”? (2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?(让学生回忆初中所学的一些统计知识,思考 后展开讨论) 初中我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们 提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查 100 位居民的月均用水量的问题中,从这些 样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是 2.25t(最高的矩形的中点) (图略见 课本第 62 页)它告诉我们,该市的月均用水量为 2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民 数多,但它并没有告诉我们到底多多少。
29

〖提问〗 : 请大家翻回到课本第 56 页看看原来抽样的数据, 有没有 2.25 这个数值呢?根据众数的 定义,2.25 怎么会是众数呢?为什么?(请大家思考作答) 分析: 这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因, 而 2.25 是由样本数 据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差。 〖提问〗 :那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢? 分析: 在样本数据中, 有 50%的个体小于或等于中位数, 也有 50%的个体大于或等于中位数。 因此, 在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面 积应该相等。由此可以估计出中位数的值为 2.02。 (图略见课本 63 页图 2.2-6) 〖思考〗 :2.02 这个中位数的估计值,与样本的中位数值 2.0 不一样,你能解释其中的原因吗? (原因同上:样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了) (课本 63 页图 2.2-6)显示,大部分居民的月均用水量在中部(2.02t 左右) ,但是也有少数居民 的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。 〖思考〗 :中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极端值的不 敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗?(让学生讨论,并举例) <二>、标准差、方差 1.标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息,可是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面 判断。某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176㎝,给我们的印象是该地区的中 学生生长发育好,身高较高。但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高 的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此,只有 平均数难以概括样本数据的实际状态。 例如,在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕甲运动员﹕7,8, 6,8,6,5,8,10,7,4;乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?如果你是教练,选哪位选手去参加 正式比赛? 我们知道, x甲 ? 7,

x乙 ? 7 。两个人射击的平均成绩是一样的。那么,是否两个人就没有水

平差距呢?(观察P66图2.2-8)直观上看,还是有差异的。很明显,甲的成绩比较分散, 乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据。 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的

30

一种平均距离,一般用 s 表示。 样本数据 x1, x2, ?, xn 的标准差的算法:⑴算出样本数据的平均数 x 。⑵、算出每个样本数据与 样本数据平均数的差: xi ? x(i ? 1, 2,?n) ⑶算出(2)中 xi

? x(i ? 1,2,?n) 的平方。⑷、算

出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差。⑸、算出(4)中平均数的算术平方根, ,即为 样本标准差。 其计算公式为:

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n

显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。 〖提问〗 :标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有什么特点? 从标准差的定义和计算公式都可以得出: s 于样本平均数。 (在课堂上,如果条件允许的话,可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的方法。 ) 2.方差:从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 s (即方差)来代替标准差,作为测 量样本数据分散程度的工具:
2

? 0 。当 s ? 0 时,意味着所有的样本数据都等

s2 ?

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] n

在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准 差。 (三) 、例题精析 〖例 1〗 :画出下列四组样本数据的直方图,说明他们的异同点。 (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5;(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6 (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7;(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8 分析:先画出数据的直方图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可 算出每一组数据的标准差。 解: (图略,可查阅课本P68) 四组数据的平均数都是5.0,标准差分别为:0.00,0.82,1.49,2.83。

31

他们有相同的平均数,但他们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的。 〖例 2〗 : (见课本P69) 分析: 比较两个人的生产质量, 只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数 与标准差的大小即可, 根据用样本估计总体的思想, 我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据, 然后比较这两个样本数据的平均数、标准差,以此作为两个总体之间的差异的估计值。 (四) 、课堂精练:P71 练习 1. 2. 3 4

(五) 、课堂小结:1、用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类:①用样本平均数估计总体 平均数。 ②用样本标准差估计总体标准差。 样本容量越大, 估计就越精确。 2、 平均数对数据有 “取 齐”的作用,代表一组数据的平均水平。3、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了 一组数据变化的幅度。 (六) 、作业:1.P72 五、教后反思: 习题 2.2 A 组 3、 4、10

32

第十课时 一、教学目标

§1.7 统计活动:结婚年龄的变化

1.让学生经历“收集数据―整理数据―分析数据―作出推断”的统计活动,体验统计活动的 全过程. 2.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题;能通过对数 据的分析,为合理的决策提供一些依据;认识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异. 3.形成对数据处理过程进行初步评价的意识. 二、教学重难点:统计活动的过程 三、教学过程 (一) 、问题提出:

(二) 、动手实践

P49

我们可以按照如下的步骤来进行这个统计活动. 1.确定调查对象 全班同学的父母辈和祖父母辈. 调查目的:随着年代推移结婚年龄如何变化. 2.收集数据 每位同学收集自己父母辈和祖父母辈的初次结婚年龄(例如,调查自己的父亲、母亲、祖父、祖 母的初婚年龄) ,按照以下方式 记录下来(如下表). 父 初次结婚年 龄/岁 收集数据方法:问卷调查法. 3.整理数 据 数据处理方法:利用计算机处 理数据. (1)先将 本小组成员收集到的数据按下表汇总. 第_____小组 初次结婚年龄 母 辈 /岁 父 辈
33



母 辈

祖父辈

祖母辈

祖父辈

祖母辈



员 [ 来源 :

学科网 ZXXK] 小组成员 1 小组成员 2
? ? ? ? ?

小组成员 n (2)再把班上所有同学的数据按照小组进行汇总,得到下表. 初次结婚年龄 /岁 成 员 第 1 小组 [ 来 源:学科网] [ 来源 : 学 | 科 | 网 [来源:学 科 网 父 辈 母 辈 祖父辈 祖母辈

Z|X|X|K] 第 2 小组

ZXXK][ 来 源:学|科| 网

?

?

?

?

? Z|X|X|K]

第 m 小组

4.分析数据 (1)将上面的数据用折线图、频率直方图分别表示出来.同学们之间可进行交流、讨论,确定出 比较合适的统计图. (2)分别估计父辈、母辈、祖父辈、祖母辈的初次结婚年龄的平均数与标准差,并进行比较,以 利于数据的分析. 根据前面学过的知识,求平均数与标准差. (三) 、练习: P50,为下一课时分析数据做准备,要求每一位学生调查对象的初婚年龄不要集 中在某一年,最好是最近 5 年内的每一年都有. (四) 、思考交流 P50,在上一课时活动的基础上,以问题的形式总结统计活动的基本步骤.教 师可以鼓励学生先回顾上一课时统计活动的过程,并结合该活动尽可能地用自己的方式来回答, 在此基础上让他们充分交流,并引导学生共同得出结论. (五) 、动手实践 P51

34

通过上一课时的统计活动,我们已经得出了结论:随着时代的发展,人们初次结婚的年龄确 实是在增大.但是这个结论是通过调查父母辈和祖父母辈初次结婚的年龄得到的,它反映的只是 较长一个时间段,人们初婚年龄的变化趋势. 请根据你们全班同学课前收集的数据,分析在最近的 5 年内,人们初次结婚的年龄是否随着时代 的发展面逐渐增长?你可以上网上查阅与此相关的信息和统计数据。 (六) 、课堂小结:统计活动的全过程:

说明:1.收集数据的方法:统计调查法;2.整数数据的方法:表格法;3.描述数据的方法:统 计图法。 (七)作业:习题 1―7 P52 这里关键是要让学生理解:从调查的问题出发,如何确定调查对象、如何收集数据、如何利 用数据帮助作出决策. 四、教学反思:

35

第十一课时

§1.8 相关关系

一、 教学目标:1. 通过收集现实问题中两个变量的数据作出散点图,利用散点图直观认识变 量间的相关关系.2. 经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程. 二、重难点:利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系 三、教学方法:动手操作,师生合作交流 四、教学过程 (一)、创设情境 导入新课 1、相关关系的理解 师:我们曾经研究过两个变量之间的函数关系:一个自变量对应着唯一的一个函数值,这两者 之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢? 让学生举例,教师总结 如: 比如,年龄与身高。 生:身高与体重

生:不是。师:能否举出反例?

生:教师水平与学生成绩。生:网速与下载文件所需时间 师:不妨以教师水平与学生成绩为例,学生成绩与教师水平有关吗? 生:有,一般来说,教师水平越高,学生成绩越好 师:即“名师出高徒”,名师一定出高徒吗? 生:不一定。 师:即学生成绩与教师水平之间存在着某种联系,但又不是必然联系,对于学生成绩与教师水平 之间的这种不确定关系,我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容 变量间的相关关系。 (板书) 生活中还有很多描述相关关系的成语,如: “虎父无犬子” , “瑞雪兆丰年” 【设计意图:通过学生熟悉的函数关系,引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。 让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。感受数学来源于生活。 】 (二) 、初步探索,直观感知 1、根据样本数据利用电子表格作出散点图,直观感知变量之间的相关关系 师:在研究相关关系前,同学们先回忆一下:函数的表示方法有哪些? 生:列表,画图象,求解析式。 师:下面我们就用这些方法来研究相关关系。请同学们看这样一组数据: 探究: 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 根据上述数 据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系?

36

年 龄 脂 肪

23

27

39

41

45

49

50

53

54

56

57

58

60

61

9.5

17.8

21.2

25.9

27.5

26.3

28.2

29.6

30.2

31.4

30.8

33.5

35.2

34.6

生:随着年龄增长,脂肪含量在增加

师:有没有更直观的方式?生:画图

师生:用 x 轴表示年龄,y 轴表示脂肪。一组样本数据就对应着一个点。由于数据比较多,我们 借用电子表格来作图,请大家注意观察。 教师演示作图方法,学生观察 年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

师:这个图跟我们所学过的函数图象有区别,它叫作散点图。 2、判断正、负相关、线性相关 学生观察,比较,讨论。

师:请同学们观察这 4 幅图,看有什么特点?

37

脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5

1000 800 600 400 200

图2 r ? ?0.84 10 15 20 25 30 35 40 45 50
年龄

0
55 60 65

0

50

100

150

图1

图 2
1. 1 2 0. 0. 8 0. 6 0. 40 2 -0 .2

1 9 8 0 7 0 6 0 5 0 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 0 5 6 3 7 8 9 图 04 0 0 0 2 呈下降趋势。 0 0 0 生:图 1 呈上升趋势,图

1 1 0

0

0. 2

0. 4

0. 6

0. 8

1

1. 2

图4

师生:这就像函数中的增函数和减函数。即一个变量从小到大,另一个变量也从小到大,或从 大到小。对于图 1 中的两个变量的相关关系,我们称它为正相关。图 2 中的两个变量的相关关系, 称为负相关。师:我们还可以判断出:年龄与身高是正相关,网速与下载文件所需时间是负相关。 生:后面两个图很乱,前面两个图中点的分布呈条状。 师:从数学的角度来解释:即图 1、2 中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。我们称图 1、 2 中的两个变量具有线性相关关系。这条直线叫做回归直线。图 3、4 中的两个变量是非线性相关 关系 师:这节课我们重点研究线性相关关系。(板书) 设计意图 :数形结合,扫清了学生的思维障碍,体现数学的简约美。
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 年龄 40 45 50 55 60 65

(三)、循序渐进、延伸拓展 1、找回归直线

师:下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图,从整体上看,它们是线性相关的。 如果可以求出回归直线的方程,我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性。这条直线 可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。同学们能否画出这条直线?请完成数学实验 1、画 出回归直线。(学生在计算机上用电子表格画回归直线) 数学实验 1: 画出回归直线

38

脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 年龄 40 45 50 55 60 65

教师展示学生画图情况,学生说明理由
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 年龄 40 45 50 55 60 65

脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 年龄 40 45 50 55 60 65

学生方案一
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 年龄 40 45 50 55 60 65

学生方案二

学生方案三 生总结: 第二种方法好,因为所有的点离这条直线最近。 师:即,从整体上看,各点与此直线的距离和最小。 (四) 、例题探析 例 1: 在下列两个变量的关系中,哪些是相关关系? ①正方形边长与面积之间的关系;②作文水平与课外阅读量之间的关系;③人的身高与年龄之间 的关系;④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 房屋面积 (平方米) 61 70 115 110 【 答案:②③④】 80 135 105

例 2、 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据:

销售价格 (万元)

12.2

15.3

24.8

21.6

18.4

29.2

22

39

画出数据对应的散点图,并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关。
售价
35 30 25 20 15 10 5 0 0 20 40 60 80 100 120 140 面积 160

(五) 、小结与作业 1.对于两个变量之间的关系,有函数关系和相关关系两种,其中函数关系是一种确定性关系,相 关关系是一种非确定性关系. 2. 散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化趋势, 利用计算机作散点图是简单可行的办法. 3.一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关,类似于函数的单调性. 作业:P85 练习:1,2 . 五、教后反思: 第 84 页,习题 2-3A 第 1(1)、2(1)题,

40

第十二课时

§1.9 最小二乘法

一、教学目标:经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想,能 根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 二、教学重难点:重点:了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。 教学内容的难点:对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解 教学实施过程中的难点:根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。 三、教学方法:动手操作,合作交流。 四、教学过程: (一)、利用最小二乘法推导回归系数公式。 回顾上节课:师:我们现在来求距离和。怎么求? 生:利用点到直线的距离公式 师生共同:只要求出使距离和最小的 a 、b 即可。但是,我们知道点到直线的距离公式计算复杂。 怎么办呢?以样本数据点 A 为例, 可以看出:
60 50

在 RT △ABC 中,(教师动画演示) 按照一对一的关系,直角边 AC 越小,斜边 AB 越小,

40

30

20

C

B A

当 AC 无限小时,AB 跟 AC 可近似看作相等。
-20

10

20

40

60

80

x

100

求 AC 麻烦,不妨求 AB 生: AB ? yB ? yA

-10

-20

师:它表示自变量 x 取值一定时,纵坐标的偏差。假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变 量的一组数据: ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ?? ( xn , yn ) 。当自变量 x 取 xi ( i =1,2,??,n)时,可以得

? ? bxi ? a ( i =1,2,??,n),它与实际收集到的 yi 之间的偏差是 到y ?i ? yi ? (bxi ? a) ( i =1,2,??,n) yi ? y
n

这样用 n 个偏差的和来刻画 “各点与此直线的整体偏差” 是比较合适的。 总的偏差为

? ), ?(y ? y
i ?1 i i

偏差有正有负,易抵消,所以采用绝对值

? ? y ?y
i ?1 i

n

i

,由于带绝对值计算不方便所以换成平方,

41

?i ) ? ( y1 ? bx1 ? a)2 ? ( y2 ? bx2 ? a)2 ? ( y3 ? bx3 ? a)2 ????? ( yn ? bxn ? a)2 现在的问题就归结为:当 Q ? ? ( yi ? y
i ?1

n

2

a ,b 取什么值时 Q 最小。
将上式展开、再合并,就可以得到可以求出 Q 取最小值时
n ? n ? ? ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? ? ?? ( xi ? x)( yi ? y ) ? n n ? 2 i ?1 ? ? ? 2 i ? 1 ? ? ? Q ? n? ( xi ? x) ?b ? ( yi ? y ) 2 ? n n ? a ? ( y ? bx) ? ? ? 2 2 ? ? i ?1 i ?1 ( xi ? x) ( xi ? x) ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ? 2 2

b?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( yi ? y )
i

? (x
i ?1

?

?x
i ?1 n i ?1

n

i

yi ? n x y
2 i

? x) 2

?x

? nx

2

(其中 x ?

1 n 1 n , x y ? ?i ? yi ) n i ?1 n i ?1

a ? y ? bx

推导过程用到偏差的平方,由于平方又叫二乘方,所以这种使“偏差的和”最小的方法叫“最小 二乘法”。 设计意图:培养学生的动手操作能力,最小二乘法的思想是本节课的教学难点,先让学生动手操 作画回归直线,教师动画演示,进一步演绎推理来分解难点、突破难点 (二) 、直线回归方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 (2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变量 Y) 进行估计,即可得到个体 Y 值的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标。如 已经得到了空气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中 NO2 的浓度。 应用直线回归的注意事项: (1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图; (3)回归直线不要外延。 (四) 、实例分析: 某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出( 资料如下表: 科研费用支出( 年份 1998

X i )与公司所获得利润( Yi )的统计

X i )与利润( Yi )统计表
科研费用支出 5
42

单位:万元 利润 31

1999 2000 2001 2002 2003 合计 要求估计利润(

11 4 5 3 2 30

40 30 34 25 20 180

Yi )对科研费用支出( X i )的线性回归模型。

X ? ? ?? ?X ? ?? Y 0 1 i 因 为 : 解:设线性回归模型直线方程为: i Y ?
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 合计

?X
n

i

?

30 ?5 6

?Y
n

i

?

180 ? 30 6

根据资料列表计算如下表:

Xi
5 11 4 5 3 2 30

Yi
31 40 30 34 25 20 180

X i Yi
155 440 120 170 75 40 1000

Xi

2

Xi ? X
0 6 -1 0 -2 -3 0

Yi ? Y
1 10 0 4 -5 -10 0

( X i ? X )2
0 36 1 0 4 9 50

( X i ? X )(Yi ? Y )
0 60 0 0 10 30 100

25 121 16 25 9 4 200

现利用公式(Ⅰ) 、 (Ⅱ) 、 (Ⅲ)求解参数

? 0、?1 的估计值:

? ? ? 1 ?

n? X i Yi ? ? X i ? Yi n? X i ? (? X i ) 2
2

6 ? 1000? 30 ? 180 6 ? 200 ? 302 6000? 5400 ? 1200? 900 600 ? 300 ?2

? ?Y ?? ?X ? 0 1 ? 30 ? 2 ? 5 ? 20

43

? ?Y ?? ?X ? 0 1 ? ? ? 1
?
i i 2

? X Y ? nXY ? X ? n( X )
i

? ?Y ?? ?X ? 0 1 ? 30 ? 2 ? 5 ? 20

2

1000? 6 ? 5 ? 30 200 ? 6 ? 5 2 100 ? 50 ?2

? ?Y ?? ?X ? 0 1 ? ? ? 1
i

? ( X ? X )(Y ? Y ) ?(X ? X )
i 2 i

? ?Y ?? ?X ? 0 1 ? 30 ? 2 ? 5 ? 20

100 50 ?2 ?
所以:利润(

Yi )对科研费用支出( X i )的线性回归模型直线方程为:

? ? 20 ? 2 X Y i i
求直线回归方程,相关系数和作图,这些 EXCEL 可以方便地做到。仍以上题的数据为例。于 EXCEL 表 中的空白区,选用"插入"菜单命令中的"图表",选中 XY 散 点图类型,在弹出的图表向导中 按向导的要求一步一步地 操作,如有错误可以返回去重来或在以后修改。适当修饰 图的大小、 纵横比例、字体大小、和图符的大小等,使图 美观,最后得到图 1,图中有直线称为趋势线,还 有直线方程和相关系数。图中的每一个部份如坐标、标题、图例 等都可以分别修饰,这里主要介 绍趋势线和直线方程。
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 y = 2x + 20 R2 = 0.8264

系列1 线性 (系列1)

图 1 散点图 鼠标右键点击图中的数据点, 出现一个对话框, 选 " 添加趋势线" , 图中自动画上一条直线,

44

再以鼠标右击此线,出现趋势线格式对话框,选择线条的粗细和颜色,在选项中选取显示公式和 显示 R 平方值,确定后即在图中显示回归方程和相关系数。 (五) 、课堂练习:第 83 页,练习 A,练习 B (六)、小结:经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想,能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 (七) 、课后作业:第 84 页,习题 2-3A 第 1、2 题, 五、教后反思:

45

第十三课时必修 3 第一章统计复习与小结 一、教学目标: 1 通过小结与复习,梳理本章知识内容,强化知识间的内在联系,提高综合运用 知识解决问题的能力. 2.通过例题的讲解、讨论和进一步的训练,提高学生灵活运用本章知识 解决问题的能力 二、教学重点:统计知识的梳理和知识之间的内在联系;教学难点:用知识解决实际问题 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)知识点归纳与例题分类探析 1、抽样方法: (1)简单随机抽样(2)系统抽样(3)分层抽样 2、样本分布估计总体分: (1)扇形图; (2)条形图; (3)折线图; (4)茎叶图; (5)频率分布 表; (6)直方图; (7)散点图。 3、样本特征数估计总体特征数 :(1)平均数 (2)方差 (3)众数 (4)中位数 4、线性回归方程。 5、总体、个体、样本、样本容量 总体:在统计中,所有考察对象的全体。个体:总体中的每一个考察对象。样本:从总体中抽取 的一部分个体叫做这个总体的一个样本。样本容量:样本中个体的数目。 6、统计的基本思想是:用样本的某个量去估计总体的某个量。 7、总体中每个个体被抽取的机会相等。 (1)简单随机抽样 (抽签法、随机数法) (2)系统抽样 (3)分层抽样 (1) 、抽签法步骤①先将总体中的所有个体(共有 N 个) 编号(号码可从 0 到 N-1) 。②把号

码写在形状、大小相同的号签上,号签可用小球、卡片、纸条等制作。③将这些号签放在同一个 容器中,搅拌均匀。④抽签时,每次从中抽出一个号签,连续抽取 n 次。⑤抽出样本。 (2) 、随机数表法步骤①将总体中的个体编号(编号时位数要一样);②选定开始的数字;③按照 一定的规则读取号码;④取出样本 (3).系统抽样步骤:① 编号,随机剔除多余个体,重新编号;② 分段 (段数等于样本容量)样本 距 k=N/n;③ 抽取第一个个体编号为 i (i<=k)④依预定的规则抽取余下的 个体编号为 i+k, i+2k, ?。 (4).分层抽样步骤:① 将总体按一定标准分层;② 计算各层的个体数与总体的个体数的比; 抽样比 k=n/N;③ 按比例确定各层应抽取的样本数目;④ 在每一层进行抽样(可用简单随机抽样 或系统抽样)。
46

例 1、某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,??,295,为了了解学生的学习情况, 要按 1:5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程。 [分析]按 1:5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段 抽取一人,关键是确定第 1 段的编号。 解:按照 1:5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分成 59 组,每组 5 人,第一组是编号为 1~5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6~10 的 5 名学生,依次下去,59 组是 编号为 291~295 的 5 名学生。采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名学生中抽出一名学生,不 妨设编号为 k(1≤k≤5),那么抽取的学生编号为 k+5L(L=0,1,2,??,58),得到 59 个个体作为 样本,如当 k=3 时的样本编号为 3,8,13,??,288,293。 例 2、一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3:2:5:2:3,从 3 万人中抽取 一个 300 人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应 采取什么样的方法?并写出具体过程。 解:因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽 样的方法,具体过程如下: (1)将 3 万人分为 5 层,其中一个乡镇为一层。 (2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。 300×(3/15)=60(人) ,300×(2/15)=40(人) ,300×(5/15)=100(人) ,300×(2/15)=40(人) , 300×(3/15)=60(人) , 因此各乡镇抽取人数分别为 60 人、40 人、100 人、40 人、60 人。 (3)将 300 人组到一起,即得到一个样本。 类别 抽样方式 使用范围 共同点 相互联系

简 单 随 机 抽 从总体中逐个抽 总体中个体数较少时 样 系统抽样 按规则抽取 能性相同 分层 分层抽样 按各层比例抽取 时 分析样本,估计总体 几个公式 样本数据:
x , x2 , ? , xn 1
x 1 ? x2 ? ? ? xn n

取 抽样过程中每个 分段 总体中个体数较多时 个体被抽取的可 随机抽样 总体中个体差异明显 各层中抽样时采用前 两种方式 在第一段中采用简单

平均数: x

?

47

标准差:

s ?

s

2

?

( x1 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

分析样本的分布情况可用样本的频率分布表、样本的频率分布直方图、样本的茎叶图。 频率分布:是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本 的频率分布。 频率分布直方图的特征: (1)从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。 (2)从频 率分布直方图得不出原始的数据内容,每个小矩形的面积等于此项的概率,所有面积和为 1. 做样本频率分布直方图的步骤: (1)决定组距与组数; (组数=极差/组距); (2)将数据分组; (3)列频率分布表(分组,频数, 频率) ; (4)画频率分布直方图。 做频率分布直方图的方法:把横轴分成若干段,每一线段对应一个组的组距,然后以此线段为底 作一矩形,它的高等于该组的频率/组距,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组上 的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图。 例 3、下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高(单位cm)
区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5

(1)列出样本频率分布表;(2)画出频率分布直方图;(3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的 百分比。 分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。 解: (1)样本频率分布表如下: (2)其频率分布直方图如下

分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计

频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120

频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1

48

频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 o

122

126

130

134

138

142

146

150

154

158

身高(cm)

(3)由样本频率分布表可知身高小于 134cm 的男孩出现的频率为 0.04+0.07+0.08=0.19, 所以 我们估计身高小于 134cm 的人数占总人数的 19%. 茎叶图:1.茎叶图的概念:用中间的数字表示十位数,两边的数字表示个位数,它的中间部分 像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图。 2.茎叶图的特征: (1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损 失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加。 (2) 茎叶图只便于表示量比较少的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据。注意:相同的得分要重 复记录,不能遗漏。 变量间的相互关系:1、相关关系(1)概念:两个变量之间是不确定的随机关系,但两个变量之 间又有关系,称为相关关系。 (2)相关关系与函数关系的异同点。相同点:两者均是指两个变量 间的关系。不同点:函数关系是一种确定关系,是一种因果系;相关关系是一种非确定的关系, 也不一定是因果关系 (但可能是伴随关系) 。 (3) 相关关系的分析方向。 在收集大量数据的基础上, 利用统计分析,发现规律,对它们的关系作出判断。 2、回归直线方程(1)回归直线:观察散点图的特征,如果各点大致分布在一条直线的附近,就 称两个变量之间具有线性相关的关系,这条直线叫做回归直线。 (2)最小二乘法求线性回归方程 的步骤:1.列表、计算 (二) 、练习: 1、某社区有 500 个家庭,其中高收入家庭 125 户,中等收入家庭 280 户,低收入家庭 95 户,为 了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取 1 个容量为 100 户的样本,记做①;某学校高一年级
49

2.代入公式求 a,b。3.写出直线方程。(3)利用回归直线对总体进行估计

有 12 名女排运动员,要从中选出 3 个调查学习负担情况,记做②.那么完成上述 2 项调查应采用 的抽样方法是( ) 答案 B (B)①用分层抽样法,②用简单随机抽样法 (D)①用分层抽样法,②用系统抽样法

(A)①用简单随机抽样法,②用系统抽样法 (C)①用系统抽样法,②用分层抽样法

2、某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆,6000 辆和 2000 辆.为检验该公司的产品质 量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆舒畅行检验,这三种型号的轿车依次应抽取___辆.答案:6、 30 、 10 2 3. 从甲、 乙两班分别任意抽出 10 名学生进行英语口语测验, 其测验成绩的方差分别为 S1 = 13.2, 2 S2 =26.26,则( ).A.甲班 10 名学生的成绩比乙班 10 名学生的成绩整齐

B.乙班 10 名学生的成绩比甲班 10 名学生的成绩整齐 C.甲、乙两班 10 名学生的成绩一样整齐 D.不能比较甲、乙两班 10 名学生成绩的整齐程度 4.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设 其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( A.a>b>c B.b>c>a ).答案:D D.c>b>a

C.c>a>b

5. 如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分 布直方图如下:观察图形,回答下列问题:

(1)79.5---89.5 这一组的频数、频率分别是多少? (2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60 分及以上为及格) 解: (1)频率为:0.025×10=0.25, 频数为:60×0.25=15 (2)0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10=0.75 (三) 、小结 :统计.这一部分内容,可以看成是初中“统计初步”和高中必修课“概率”这两 章内容的深入和扩展,它属于统计的基础知识,从总的方面来看,研究了两个基本问题:一是如 何从总体中抽取样本;二是如何对抽取的样本进行计算与分析,并据此对总体的相应情况作出判 断.要领会思想方法的实质,这样才能达到事半功倍的效果 (四) 、课后作业:复习题一 A 组 7、8 B 组 3、5
王新敞
奎屯 新疆

五、教学反思: 北师大版高中数学必修 3 第二章《算法初步》全部教案

50

扶风县法门高中 第一课时 一、教学目标:

姚连省

§2。1.1 算法的基本思想

1.知识与技能:(1)通过对解决具体问题过程与步骤的分析,体会算法的思想,了解算法的含 义;(2)能够用语言叙述算法;(3)会写出将自然数分解成素因数乘积的算法;(4)会写出求 两个自然数的最大公因数的算法和两个自然数的最小公倍数的算法。 2.过程与方法:通过对物品价格的猜测,体会猜测者的基本思路,得到一个一般步骤,而这个步 骤就是一个算法。结合具体问题,模仿算法步骤,写出将自然数分解成素因数乘积的算法和求两 个自然数的最大公因数的算法,从而体会算法的基本思想,了解算法的含义。 3.情感态度与价值观:通过本节的学习,使学生对算法的思想有一个初步的认识,体会算法的基 本思想——程序化思想,在归纳概括中培养学生的逻辑思维能力,从而进一步体会算法与现实世 界的密切关系。 二、教学重点与难点:重点:体会算法的思想,了解算法的含义; 难点:能够用语言来叙述算法。 三、学法与教法:学法:学生通过对具体问题的感受,主动思考,互相交流,共同讨论,总结概 括,从而更好地完成本节课的教学目标。教法:探究讨论法。 四、教学过程 (一)、创设情景 章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系,它们的基础都是“算法” 。算法作为一 个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却 从小学就开始接触算法,熟 悉许多问题的算法。如,做四则运算要先乘除后加减,从里往外脱括 弧,竖式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。广义地说,算法就是 做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法,洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法,歌 谱是一首歌曲的算法。在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按照某种机械程序步骤一定 可以得到结果的解决问题的程序。(古代的计算工具:算筹与算盘. 20 世纪最 伟大的发明:计算 机,计算机是强大的实现各种算法的工具。) (二)、探索研究 例 1:解二元一次方程组:

? x ? 2 y ? ?1 ? ?2 x ? y ? 1

① ②

分析:解二元一次方程组的主要思想是消元的思想,有代入消元和加减消元两种消元的方法,下
51

面用加减消元法写出它的求解过程. 解:第一步:② - ①×2,得: 5y=3; 第二步:解③得 y ?

③ 第三步:将 y ?

3 ; 5

3 1 代入①,得 x ? . 5 5

学生探究:对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一 步完善? 老师评析:本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。 下面写出求方程组的解的算法: 例 2:写出求方程 组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 ?a 2 x ? b2 y ? c 2

① ②

?a1 b2 ? a 2 b1 ? 0? 的解的算法.
③ 第二步:解③得

解:第一步:②× a1 - ①× a2 ,得: ?a1 b2 ? a 2 b1 ? y ? a1 c 2 ? a 2 c1

y?

a 1 c 2 ? a 2 c1 a c ? a 2 c1 c ?b y ;第三步:将 y ? 1 2 代入①,得 x ? 1 1 a1 b2 ? a 2 b1 a1 b2 ? a 2 b1 a1

算法概念: 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这 些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模 棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定 的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无 误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解 决,如心算、计算器计算都要经过有 限、事先设计好的步骤加以解决. (三)、例题、在给定素数表的条件下,设计算法,将 936 分解成素因数的乘积。(4000 以内的 素数表见附录 1) 让学生叙述解题的过程,了解一个初步的步骤,再根据这个解题的过程和学生共同完成这个算法 的步骤,实质上就是用短除法将自然数分解成素因数。 解 算法步骤如下: 1.判断 936 是否为素数:否。 2.确定 936 的最小素因数:2。 936=2×468。 短除法 3.判断 468 是否为素数:否。 4.确定 468 的最小素因数:2。 936=2×2×234。
52

5.判断 234 是否为素数:否。 6.确定 234 的最小素因数:2。 936=2×2×2×117。 7.判断 117 是否为素数:否。 8.确定 117 的最小素因数:3。 936=2×2×2×3×39。 9.判断 39 是否为素数:否。 10.确定 39 的最小素因数:3。 936=2×2×2×3×3×13。

11.判断 13 是否为素数:13 是素数, 所以分解结束。 分解结果是: 936=2×2×2×3×3×13

通过这个实例的分析,相信同学们对这个算法有了更进一步的认识,下面请同学们根据例题 的分析、解答过程完成下面一题。 (四)、巩固深化 设计一个算法,求 840 与 1764 的最大公因数。 (要求学生独立完成,让学生演板,根据反馈 的信息更正错误。) 通过解题,不难发现在这个算法的设计中,对自然数进行素因数分解是基础,是解决这个问 题的“平台”; 同样的, 求两个自然数的最大公因数的算法, 也可以成为解决其他问题的“平台”。 “平台”的思想在算法设计中是一个最基本的思想,也是数学中思考问题的一个重要思想。 (五)、总结概括:通过前面的几个问题的分析研究,请同学们用自己的语言叙述一下什么是算 法?解决这些问题的算法都有一些什么样的共同点?算法的基本思想是什么?在我们的日常生活 中有那些事情用到了算法?算法是解决某类问题的一系列步骤或程序,只要按照这些步骤执行, 都能使问题得到解决。算法的基本思想——程序化思想。 (六)、布置作业:课本 78 页 练习 1 1. 2. 五、教后反思:

第二课时 2.1.2 排序问题与算法的多样性
53

一、教学目标:通过对具体实例的解决过程与步骤的分析,了解排序问题。 二、教学重难点:1、有序列的直接插入排序;2、算法设计和算法流程图。 三、教学方法:探究讨论,思考交流。 四、教学过程 (一) 、创设情景,导入新课 在如常生活中,人们经常要查询信息,例如,在词典中查找某个词的读音或含义,在图书馆 里根据作者或者书名查找书目,在电话薄中查找某单位或某人的电话号码等。 为了便于查询和检索,我们常常根据某种要求把被查询的对象用数字(或者符号)表示出来, 并把数字按大小排列,是信息处理中一项基本的工作。通常称为排序。排序的算法很多,这里给 大家介绍一些经常使用的排序方法。 (二) 、探究新知 1、有序列的概念: 对于一组数据按照一定的规则顺序排列时,通常称之为有序列. 2、有序列插入排序 问题提出:新来的同学小黄升高 1.75cm,在班上是中等身高,因为做操的需要,体育老师要将他 插到队中,你认为老师应该怎样做? 象这样一种在已经按一定顺序排好的系列(有系列)中插入,我们就叫它有序列插入排序 有序列插入排序:在已经按照某一规则排好的一系列数中,再插进一个数,成为新的一序列数, 且仍按照原来的规则排列. 要将 8 插入到{1,3,5,7,9,11,13}中,我们怎样考虑? 确定 8 在原系列中的位置,使 8 小于或等于原系列中右边的数据,大于或等于左边的数据,将这 个位置空出来,将数据 8 插进去 1 3 5 7 8 9 11 13

练习:1、用直接插入法把 23 插入有序列 5 8 11 24 33 38 45 48 50 60 中,则 23 在 答案4 该有序列中的序位为( ) 2、用直接插入法把 95 插入有序列 45 55 67 81 99 102 105 152 中,则该有序列中的第 1 个数和最后一个数的序号变为( A.1 8 B. 2 9 ) C. 1 9 答案 C D.2 8

问题一:已知一有序数组{38,39,51,57,66},现在要将数据 52 插入到数据列中. 分析:1、从数组的序号入

54

序号 数组

1 38

2 39

3 51

4 57

5 66

2、创建新的序号,比较数的大小移动数 旧序号 旧数组 新序号 新数组 流程图: 1 38 1 38 2 39 2 39 3 51 3 51 4 57 4 5 66 5 6

因为52<R[5]

R[6]:=R[5]

空5号位置

因为52<R[4]

R[5]:=R[4]

空4号位置

因为52>R[3]

R[4]:=52

将52插入 4号位置

问题二:对一个有序列{ R[1],R[2],?,R[n] },要将新数据 A 插入到有序列中,形成新的有序列, 应该怎么做呢?根据分析原理画出流程 思考:1、还有其它插入 A 的方法吗?画出流程 2、如何以有序排列的算法为平台进行无序排 { 49,38,65,97,76,13,27,49} 3、有序列插入排序算法的另一种方法折半插入排序法。请同学们参看 P84.下段
55

问题思考:对于一组无序的数据列{49,38,65,97,76,13,27,49}如何完 成排序工作呢?请同学们参 看 P85 (1)折半插入排序:如果 R[1..i-1] 是一个按关键字有序的有序序列,则可以利用折半查找实 现“在 R[1..i-1]中查找 R[i]的插入位置” ,如此实现的插入排序为折半插入排序。 (2) 、折半插入排序性能分析:1)折半插入排序所需附加存储空间和直接插入排序相同,从时间 上来看,折半插入排序减少了关键字的比较次数,但是移动次数不变。2)折半插入排序的时间复 2 杂度为 o(n )。3)折半插入排序是一个稳定的排序方法。 (3) 、折半插入排序: 折半插入排序

待排序元素的插入位置

mi
0
L.r

mi d
52

i
2
80 9

1
14

d
49 8

3
58

4 10 61
23 97 75

5

6 58

7 36

low

low hig h

low

(三) 、小结:本次课主要介绍了:1.有关排序的基础知识(1) .定义(2) .稳定性和存储方式 (3) .排序算法的评价 2.直接插入排序

3、折半插入排序

(1) .基本思想 (2) .实例模拟(3) .算法描述(4) .算法的复杂度。

(四) 、作业布置:课本习题 2-1A 组 8、9 五、教学反思:

§2。2 算法的基本结构及设计

56

第三课时

§2..2。1 顺序结构与选择结构

一、教学目标:1.知识与技能:(1)理解流程图的顺序结构和选择结构。(2)能用文字语言表示算 法,并能将算法用顺序结构和选择结构表示简单的流程图。2.过程与方法:学生通过模仿、操作、 探索、经历设计流程图表达解决问题的过程,理解流程图的结构。3 情感、态度与价值观:学生 通过动手作图,.用自然语言表示算法,用图表示算法。进一步体会算法的基本思想——程序化思 想,在归纳概括中培养学生的逻辑思维能力。 二、教学重点、难点:重点:算法的顺序结构与选择结构。难点:用含有选择结构的流程图表示 算法。 三、学法与教法 :学法:学生通过动手作图,.用自然语言表示算法,用图表示算法,体会到用 流程图表示算法,简洁、清晰、直观、便于检查,经历设计流程图表达解决问题的过程。进而学 习顺序结构和选择结构表示简单的流程图。教法:探究讨论法。 四、教学过程 (一)、问题引入 揭示课题 例 1 尺规作图,确定线段的一个 5 等分点。 要求:同桌一人作图,一人写算法,并请学生说出答案。 提问:用文字语言写出算法有何感受? 引导学生体验到:显得冗长,不方便、不简洁。 教师说明:为了使算法的表述简洁、清晰、直观、便于检查, 我们今天学习用一些通用图型符号构成一张图 即流程图表示算法。 本节要学习的是顺序结构与选择结构。 右图即是同流程图表示的算法。 (二)、观察类比 理解课题 1、 投影介绍流程图的符号、名称及功能说明。 符号 符号名称 功能说明终端框 算法开始与结束处理框 算法的各种处理操作判断框 算法的各种转移输入输出框 输入输出操作 指向线 指向另一操作 结束 过点 C 作 BD 的平行线交 AB 于 M, 即为线段 AB 的 5 等分点 连接 DB 作 线 段 CE=EF=FG=GD=AC 在射线上取点 C 得单位线段 AC 从 A 出发作一条 射线 开始

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图形符号

名称

功能

终端框(起止框)

表示一个算法的起始和结束

输入、输出框

表示输入和输出的信息

处理框(执行框)

赋值和计算

判断框

用于判断,有两个出口

流程线

连接流程框,指明方向

连接点

连接程序框图的两个部分

(1)起止框图:

起止框是任何流程图都不可缺少的,它表明程序的开始和结束,所

以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。 (2) 输入、 输出框: 表示数据的输入或结果的输出, 它可用在算法中的任何需要输入、

输出的位置。图 1-1 中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步,它的作用是输入未 知数的系数 a11,a12,a21,a22 和常数项 b1,b2,通过这一步,就可以把给定的数值写在输入框内, 它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机,另外两个是输出框,它们分别位于由 判断分出的两个分支中,它们表示最后给出的运算结果,左边分支中的输出分框负责输出 D≠0 时未知数 x1,x2 的值,右边分支中的输出框负责输出 D=0 时的结果,即输出无法求解信息。 (3)处理框: 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。图 1-1

中出现了两个处理框。第一个处理框的作用是计算 D=a11a22-a21a12 的值,第二个处理框的作用 是计算 x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D 的值。 (4)判断框: 判断框一般有一个入口和两个出口,有时也有多个出口,它是惟一的

具有两个或两个以上出口的符号,在只有两个出口的情形中,通常都分成“是”与“否” (也可用 “Y”与“N” )两个分支,在图 1-1 中,通过判断框对 D 的值进行判断,若判断框中的式子是 D=0, 则说明 D=0 时由标有“是”的分支处理数据;若 D≠0,则由标有“否”的分支处理数据。例如,
58

我们要打印 x 的绝对值,可以设计如下框图。 开始

输入 x



x≥0?



打印 x

-打印 x

结束

从图中可以看到由判断框分出两个分支,构成一个选择性结构,其中选择的标准是“x≥0” , 若符合这个条件,则按照“是”分支继续往下执行;若不符合这个条件,则按照“否”分支继续 往下执行,这样的话,打印出的结果总是 x 的绝对值。 在学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如 下: (1)使用标准的图形符号。 (2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 (3)除判断框外, 大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的惟一符号。 (4) 判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是 多分支判断,有几种不同的结果。 (5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 2、讲授顺序结构及选择结构的概念及流程图 (1)顺序结构依照步骤依次执行的一个算法流程图: (2)选择结构对条件进行判断来决定后面步 骤的结构流程图: 顺序结构:由若干个依次执行的处理步骤组成 的逻辑结构。这是任何一个程序都离不开的 基本结构。 选择结构: 在一个算法中,经常 会遇到一些条件的判断,算法的流程 根据条件是否成立有不同的流向,这 种算法结构称为条件结构。

59

A

真 条件



B

步骤甲

步骤乙

(三) 、理解应用 例 1:已知 x=4,y=2,画出计算 w=3x+4y 的值的流程图。 解:程序框如下图所示: 开始

输入 4,2

4 和 2 分别是 x 和 y 的值

w=3×4+4×2

输出 w

结束 小结:此图的输入框旁边加了一个注释框 它可以出现在任何位置。 例 2:已知一个三角形的三边分别为 2、3、4,利用海伦公式设计一个算法,求出它的面积,并画 出算法的流程图。 算法分析:这是一个简单的问题,只需先算出 p 的值,再将它代入公式,最后输出结果,只 用顺序结构就能够表达出算法。 ,它的作用是对框中的数据或内容进行说明,

60

流程图:

开始

p=(2+3+4)/2

s=√p(p-2)(p-3)(p-4)

输出 s

结束

例 3:任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断分别以这 3 个数为三边边长的三角形是否存在, 画出这个算法的流程图。 算法分析:判断分别以这 3 个数为三边边长的三角形是否存在,只需要验收这 3 个数当中任 意两个数的和是否大于第 3 个数,这就需要用到条件结构。 流程图:

开始

输入 a,b,c

a+b>c , a+c>b, b+c>a 是 否同时成立?




61

存在这样的三角形

不存在这样的三角形

结束

(四)归纳小结,巩固课题 1.顺序结构和选择结构的模式是怎样的?2.怎样用流程图表示算法。 (五)练习:P90 2 (六)作业:P90 1 五、教后反思:

62

§2.2 算法的基本结构及设计 第四课时 §2.2.2 变量与赋值

一、教学目标:通过对具体实例的解决过程与步骤的分析,体会变量与赋值的含义。 二、教学重难点:1、变量与赋值的含义 2、流程图 三、教学方法:探究交流法 四:教学过程 (一) 、活动探究 已知 两个数 a 和 b , 设计一个算法使 a 和 b 位置互换。

a

b

aS

算法如下: (1)S = a(2)a = b(3)b = S(4)输出结果 a,b (二) 、知识探究 变量:在研究问题的过程中可以取不同的值的量. 计算机中变量的表示一般由一个或几个英文字母组成,或字母加数字表示.如 a,x,a ,sum 等. 1 赋值:把 B 的值赋给变量 A, 这个过程称为赋值.记作: A=B 其中“=”为赋值符号. 赋值语句的一般形式为: 变量名=表达式或变量名=表达式 注意问题:1、赋值符号左边只能是变量名字,而不是表达式, 只能写成 b=2,b=a+1,但不能写 成: 2=b,b+1=2 2、在一个赋值语句中,只能给一个变量赋值,不能出现两个或两个以上的“=”号。 3、赋值符号不同于“等号”,赋值符号左边的变量如果原来没有值,在执行完赋值语句后,该变 量获得一个值,如果原来已有值,则执行赋值语句后,以赋值符号右边表达式的值替代原来的值。 4、赋值号的左右两边一般不能互换,如:x=5 对,5=x 不对 (三)例题探析 例 1、写出下列语句描述的算法输出的结果. (1) a=5

63

b=3 c=(a+b)/2 d= c
2

(2)

输出 d (3) a=10 b=20 c=30 b=a b=c c=a 输出 a,b,c

a=1 b=2 c=a-b b=a+c-b 输出 a,b,c

(4) a=1 b=a+1 b=b+1 b=b+5 输出 b

例 2、设计一种算法,从 5 个实数中找出最大数,并用流程图表示. 分析:解决这个问题其实很简单,只要取两个数比较取大,再与下一个数比较取大,一直这样下 去,最后的一个结构就是最大数。 解:设这 5 个数分别为:a1,a2,a3,a4,a5 1 比较 a1,a2 的大小,记大数为 b 2 再比较 b 与 a3,记大数为 b 3 再比较 b 与 a4,记大数为 b 4 再比较 b 与 a5,记大数为 b 5 输出 b,b 的值即为所求的最大数 (b 的值变为 a1,a2 中大的数) (b 的值变为三数中最大的数) (b 的值变为前 4 数中最大的数) (b 的值变为前 5 数中最大的数)

64

开始

输入a1,a2,a3,a4,a5

比较a1,a2,记大数为b

比较b,a3,记大数为b

比较b,a4,记大数为b

流 程 图 如 图 所 示 :

你 会 制 作 流 程 图 吗 ?

比较b,a5,记大数为b

输出 b 结束

65

开始

输入a1,a2,a3,a4,a5

b=a1

表 上 示 面 : 的 问 题 我 们 可 以 用 赋 值 结 构 式


否 b<a2

b=a2

否 b<a3

是 b=a3



b<a4

是 b=a4

否 b<a5

是 b=a5

输出b

结束 例 3、 用赋值语句写出下列算法,并画出流程图摄氏温度 C 为 23.5℃,将它转换成华氏温度 F, 并输出。 ( )

F ?

9 C ? 32 5

66

分析:首先要先给 C 赋值,再给 F 赋值 解: (1)C=23.5
9 F ? C ? 32 5 流程图如右图:

(2)

(3)输出 F

开始

C=23.5

F ?

9 C ? 32 5

输出F

结束 (四) 、小结:1、赋值语句的格式、作用、注意事项。2、要熟练掌握赋值语句的用处。 (五) 、作业: P 1,2 93 五、教学反思:

67

§2.2 算法的基本结构及设计 第五课时 2.2.3 循环结构(一)

一、课程标准:通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程 .在具体问 题的解决过程中(如三元一次方程组求解等问题) ,理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条 件、循环. 二、教学目标:1.进一步理解程序框图的概念;2.掌握运用程序框图表达循环结构的算法;3.培 养学生逻辑思维能力与表达能力. 三、教学重点:运用程序框图表达循环结构的算法。教学难点:循环体的确定,计数变量与累加 变量的理解. 四、教学过程 (一) 、回顾练习:引例:设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法. 解:算法 1 按照逐一相加的程序进行

第一步:计算 1+2,得到 3; 第二步:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加,得到 6; 第三步:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加,得到 10; ?? 第九十九步:将第九十八步中的运算结果 4950 与 100 相加,得到 5050.

简化描述: 第一步:sum=0; 第二步:sum=sum+1; 第三步:sum=sum+2; 第四步:sum=sum+3; ?? 第一百步:sum=sum+99; 第一百零一步:sum=sum+100 第一百零二步:输出 sum.

进一步简化: 第一步:sum=0,i=1; 第二步:依次 i 从 1 到 100,反复做 sum=sum+i; 第三步:输出 sum.

在本题中如果我们仍然用顺序结构和选择结构来画流程图,就显得比较繁琐,为了使得算法简洁 我们今天学习循环往复的逻辑结构――循环结构。
68

(二) 、新课 循环结构:在一些算法中,也经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步 骤的情况,这种结构称为循环结构.

循环体 满足条件? 否

循环体 满足条件?







循环体:反复执行的处理步骤称为循环体. 计数变量:在循环结构中,通常都有一个起到循环计数作用的变量,这个变量的取值一般都含在 执行或终止循环体的条件中. 例 1、见.课本 P95 例 7;练习 1:画出引例的循环的程序框图(这是一个典型的用循环结构解决 求和的问题,可以体会三种结构在流程图中的作用,学会画流程图)

69

例 2、 见课本 P96 例 8

70

点评:需要反复进行的相同操作,如果按照顺序结构来描述,算法显的十分烦琐,不利于阅读, 如果采取循环结构来描述,算法就显得简洁,清楚。循环结构是一种简化算法叙述的结构。 例 3 见课本 P96 例 9 练习 2:画出 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 100 的程序框图. 小结:画循环结构程序框图前:①确定循环变量和初始条件;②确定算法中反复执行的部分,即 循环体;③确定循环的转向位置;④确定循环的终止条件. (四) 、课堂小结 1. 理解循环结构的逻辑,主要用在反复做某项工作的问题中;2. 画循环结构程序框图前:①确 定循环变量和初始条件;②确定算法中反复执行的部分,即循环体;③确定循环的转向位置;④ 确定循环的终止条件。3. 条件结构与循环结构的区别与联系:区别:条件结构通过判断分支,只 是执行一次;循环结构通过条件判断可以反复执行. 联系:循环结构是通过条件结构来实现. (五) 、作业:1. 设计一个算法,计算两个非零实数的加、减、乘、除运算的结果(要求输入两 个非 0 实数,输出运算结果) ,并画出程序框图. 2. 设计一个算法,判断一个数是偶数还是奇数(要求输入一个整数,输出该数的奇偶性) ,并画 出程序框图. 五、教后反思: 3.课本第 99 页练习题 1,2 题

71

§2.2 算法的基本结构及设计 第六课时 2.2.4 循环结构(二) 一、课程标准:通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程 .在具体问 题的解决过程中(如三元一次方程组求解等问题) ,理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条 件、循环. 二、教学目标:1.进一步理解程序框图的概念; 2.掌握运用程序框图表达循环结构的算法;3. 培养学生逻辑思维能力与表达能力. 三、教学重点:运用程序框图表达循环结构的算法 教学难点:循环体的确定,计数变量与循环变量的理解. 四、教学过程 (一)、 复习回顾 通过上节课的学习, 我们了解了循环结构, 知道了循环变量, 循环体、 以及循环的基本框架图, 这节课我们学习多变量的循环结构的程序图的设计。 (学生以小组为单位,相互提问,复习上节课 的基本概念) (二) 、新课讲解 例 1 见课本 P99 例 10。点拨:例 10 是输出菲波拉契数列的前 50 项.这个问题分了两个层次, 第一个层次是设置了 50 个变量,分别表示要输出的 50 项.然后经过分析,我们发现,这些变量 在完成输出操作后,没有保留的必要,因此可以释放掉.所以解法 2 最终只要设置 3 个变量,通 过反复赋值,就可以输出数列中的各项. 存储空间是计算机的重要资源.在设计算法时,尽量减少变量的个数,也是算法设计的重要原 则之一.

例2

见课本 P101 例 11。点拨:例 11 用循环结构描述二分法求方程近似解的算法.这个算法和
72

前面循环结构的算法相比,有以下几个特点:1.变量较多;2.循环变量不太容易确定;3.循环 体不太容易确认;4.循环次数事先不知道,循环的终止条件有两个.因为这个算法在函数部分已 经学习过,在§1 也已经学习过.因此,算理本身并不对学生构成难度,关键是如何用循环结构 来表述.这个问题的难点在于循环变量的设定和循环体的确认. (要求学生先以讨论方式对上面 2 个例题进行学习,根据学生反馈的结果,进行点拨)

(三) 、模仿操作 仿照例题完成 P103 练习 2 中 1、2,学生上黑板画出流程图,也可以小组相互讨论学习 (四) 、归纳小结 巩固课题:本节课通过课本例题,对循环结构的流程图的画法再次作一了解掌 握,进一步理解程序框图的概念;掌握运用程序框图表达循环结构的算法。 (五)、 作业: P104 五、教后反思: 8、9

73

§2.2 算法的基本结构及设计 第七课时 2.2.5 循环结构(三) 一、课程标准:通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程 .在具体问 题的解决过程中,再次理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件、循环. 二、教学目标 1.进一步理解程序框图的概念;能够利用循环结构设计一些较复杂问题的流程图, 对一些多变量问题能够找到循环变量及初始值,以及循环体;2.掌握运用程序框图表达循环结构 的算法;3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 三、教学重点:设计循环结构的算法 教学难点:循环体的确定,计数变量与累加变量的理解. 四、教学过程 (一) 、回顾练习 前面我们学习了算法的三种结构:顺序结构、选择结构,以及上两节课我们所涉及的循环结 构。对于三种结构,我们应掌握它们各自的特点。例如顺序结构是算法中最基本的一种结构,每 一个算法都要用到。而对于有些算法需要我们对一些条件的判断就要用到选择结构,循环结构指 的是根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构。三种结构中循环结构较复杂。 在画循环结构的流程图前应先确定三个要素:循环变量、循环体、循环的终止条件,只有这三要 素确定,就可清楚的画出循环结构的流程图。 (要求学生回顾顺序结构,选择结构,循环结构以及循环结构的算法流程图的基本模式) 。 (二) 、新课探究 学法:以小组为单位讨论学习,完成老师布置的任务 1、先完成课本 P104A 组 8.9 及 B 组 3.4 题 学法:小组讨论,教师指导 2、典型例题探析 例 1、设计算法,求 100 个数中的最大数,画出流程图。 解析:引入变量 b 与 i,并用 ai(i=1,2,3?,100)表示待比较的数(b 为最大值,先令 b=a1) 算法中的循环部分为比较 b 与 ai,如果 b<ai,则 b=ai.流程图如图所示 变量 i 的初始值为 2,终止值为 100 循环的终止条件

74

是 b< ai b= ai



b< ai

为 i>100 开始

输入a1,a2,??,a100

i=2 赋予变量初始值 b=a1 是 否 b<ai b=ai 循环体

i=i+1

循环变量的后继

否 i>100 是 输出b

循环的终止条件

结束

例 2、设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法,并画出流程图。 算法分析:只需要一个累加变量和一个计数变量,将累加变量的初始值为 0,计数变量的值

75

可以从 1 到 100。 流程图:

开始

i=1

Sum=0

i=i+1 Sum=sum+i


i≤100? 否

输出 sum

结束
(三) 、课堂小结 本节课通过习题的练习,再次掌握算法的结构,特别是利用选择结构和循环结构简化算法,注意 以下几点: 1、 顺序结构和选择结构的模式是怎样的?什么时候用? 2、 把握循环结构的三个要素: 循环变量、循环体、循环终止条件.3、通过算法实例,体会构造性的思想和方法 (四) 、 作业:1) 、设 x 为为一个正整数,规定如下运算:若 x 为奇数,则求 3x+2;若 x 为偶数, 则为 5x,写出算法,并画出流程图。2) 、画出求 21+22+23+?2100 的值的流程图。 1) 、解:算法如下。S1 输入 x;S2 若 x 为奇数,则输出 A=3x+2;否则输出 A=5x ;S3 算法 结束。 流程图如下图:

开始

i=1

p=0

76

p=pxi

i=i+1

i≤30? 否



输出 p

结束
2) 、解:流程图如下图:

开始

i=1

p=0

p=p+2i

i=i+1

i≥100? 是



输出 p

结束
(五) 、课外练习:继续完成课堂上的未完成的习题,预习下节条件语句。 五、教后反思:

77

§2.4 几种基本语句 第八课时 一、教学目标: 1、知识与技能: (1)正确理解条件语句的概念,并掌握条件语句的结构。 ( 2)会应用条件语句 编写程序,能运用条件语句表达解决具体问题的过程。 2、过程与方法:经历对现实生活情境的探究,认识到应用计算机解决数学问题方便简捷,促进发 展学生逻辑思维能力与表达能力,进一步体会算法思想。 3、情感态度与价值观:了解条件语句在程序中起判断转折作用,在解决实际问题中起决定作用。 深刻体会到条件语句在解决大量问题中起重要作用。通过本课内容的学习,有益于我们养成严谨 的数学思维以及正确处理问题的能力。 二、教学重点:条件语句的表示方法、结构和用法 教学难点:将具体问题的流程图转化为程序语句的过程,条件语句的逻辑关系 三、教学方法:探究交流法。 四、教学过程 (一) 、新课导入: 1. 提问:学习了哪些算法的表示形式?(自然语言或流程图描述 ) 算法中的三种基本的逻辑结构?(顺序结构、条件结构和循环结构) 2. 导入:我们用自然语言或流程图描述的算法,计算机是无法“看得懂,听得见”的. 因此还需 要将算法用计算机能够理解的程序设计语言翻译成计算机程序 . 程序设计语言有很多种 . 如 BASIC,Foxbase,C 语言,C++,J++,VB,VC,JB 等. 各种程序设计语言中都包含下列基本的算法语句:输入语句、输出语句、赋值语句条件语句和 循环语句.今天,我们一起用以 BASIC 语言为例主要介绍条件语句和循环语句. (二) 、条件语句 1、 (学法:学生自学 P106 例 1) 教师归纳:1、简单条件语句的一般格式 (1)IF—THEN—ELSE 形式 IF 条件 THEN §2.4.1 条件语句

语句 1 ELSE 语句 2 END IF
78

说明:①当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后的语句,否则执行 ELSE 后的语句.②书写时一个条件语句中的 IF 与 END IF 要对齐. (2)IF—THEN 形式 IF 条件 语句 END IF 说明:当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后 的语句,否则直接结束该条件语句. 2、知识应用 练习:P108 第 1 题 THEN 满足条件? 是 语句 否

3、程序中为何要用到条件语句?条件语句一般用在什么情况下? 点评:一般用在需要对条件进行判断的算法设计中,如判断一个数的正负,确定两个数的大小 等问题,还有求分段函数的函数值等,往往要用条件语句,有时甚至要用到条件语句的嵌。当判 断的后面接着判断,就要用到复合 IF 语句来描述。 4、学生自学讨论 P107 例 2 教师归纳: 复合条件语句的一般格式 (1)IF—THEN—ELSE 形式 IF 条件 1 语句 1 ELSE IF 条件 2 语句 2 ELSE 语句 3 END IF END IF 5、学生以小组为单位完成思考交流和 P109 练习 2 (三) 、课堂小结 1、理解条件语句的两种表达形式以及何时用格式 1、何时用格式 2. 2、注意多个条件的语句表达方法:如(a+b>c) AND (b+c>a) AND (a+c>b).
79

THEN

THEN

3、条件语句的嵌套,注意 END IF 是和最接近的匹配,要一层套一层,不能交叉. 4、编写一个程序的步骤:首先用自然语言描述问题的一个算法,然后把自然语言转化为流程图, 最后把流程图转化为程序语句. (四) 、作业 1.课本:习题 2——4 A 组第 1,2 题

2. 某市电信部门规定:拨打市内电话时,如果通话时间不超过 3 分钟,则收取通话费 0.2 元;如 果通话 超过 3 分钟,则超过部分以 0.1 元/分钟收取通话费.问:设计一个计算通话费用的算法, 并且画出流程图以及编出程序. 3. 编写一个程序,任意输入一个整数,判断它是否是 5 的倍数. 4. 基本工资大于或等于 600 元,增加工资 10%;若小于 600 元大于等于 400 元,则增加工资 15%; 若小于 400 元,则增加工资 20%. 请编一个程序,根据用户输入的基本工资,计算出增加后的工 资. 五、教后反思:

80

§2.4 几种基本语句 第九课时 §2.4.2 循环语句

一、教学目标:1、知识与技能: (1)正确理解循环语句的概念,并掌握循环语句的结构。 (2) 会应用循环语句编写程序,能运用循环语句表达解决具体问题的过程。 2、过程与方法:经历对现实生活情境的探究,认识到应用计算机解决数学问题方便简捷,促进发 展学生逻辑思维能力与表达能力,进一步体会算法思想。 3、情感态度与价值观:了解循环语句在程序中起判断转折作用,在解决实际问题中起决定作用。 深刻体会到条件语句在解决大量问题中起重要作用。通过本课内容的学习,有益于我们养成严谨 的数学思维以及正确处理问题的能力。 二、教学重点:两种循环语句的表示方法、结构和用法,用循环语句表示算法. 教学难点:理解循环语句的表示方法、结构和用法,会编写程序中的循环语句. 三、教学方法:探究交流法。 四、教学过程 (一) 、问题情境 1.问题 1:设计计算 1? 3 ? 5 ? 7 ?? ? 99 的一个算法,并画出流程图. (二) 、学生活动 解决问题 1 的算法是: S1 S←1 S2 I←3 S3 S←S×I S4 I←I+2 S5 若 I≤99,则返回 S3 S6 输出 S 流程图:
开始

对于以上算法过程,我们可以用循环语句来实现. (三) 、建构数学
结束

1.循环语句:循环语句一般有种: “For 循环” 、 “While 循环”和“Do 循环” (由于该种循环变化 较多,教材中暂不介绍) . (1) “For 循环”是在循环次数已知时使用的循环, 其一般形式为: For I from“初值”to“终值”step“步长” ?

End for
81

例如:问题 1 中算法可用“For 循环”语句表示为:

S ?1
For I From 1 To 99 Step 2

S ? S?I
End For Print End 说明:①上面“For”和“End For”之间缩进的步骤称为循环体;

S

②如果省略“Step 2” ,默认的“步长”为 1,即循环时, I 的值每次增加 1(步长也可以 为负,例如,以上“For 循环”第 1 行可写成:For I From 99 To 1 Step -2) ; ③“For 循环”是直到型循环结构,即先执行后判断. (2) “While 循环”的一般形式为: While A

? End while
其中 A 为判断执行循环的条件. 例如:问题 1 中的算法可“While 循环”语句表示为:

S ?1 I ?3
While I≤99

S ? S?I
I ? I ?2
End While Print S End 说明:①上面“While”和“End While”之间缩进的步骤称为循环体;②“While 循环”是当型 循环结构,其特点是“前测试” ,即先判断,后执行.若初始条件不成立,则一次也不执行循环体 中的内容;③任何一种需要重复处理的问题都可以用这种前测试循环来实现. (四) 、数学运用 1.例题:例 1.编写程序,计算自然数 1+2+3+??+99+100 的和。 解:用“For 循环”表示如下: 用“While 循环”表示如下:

82

S ?1
For I From 1 To 100 Step 1

S ?1
While I≤100

S ?S?I
End For Print S End

S ?S?I
I ? I ?1
End While Print S End

例 3.抛掷一枚硬币时,既可能出现正面,也可能出现反面,预先作出确定的判断是不可能的, 但是假如硬币质量均匀,那么当抛掷次数很多时,出现正面的频率应接近 50%.试设计一个循环 语句模拟抛掷硬币的过程,并计算抛掷中出现正面的频率. 分析:抛掷硬币的过程实际上是一个不断重复地做同一件事情的过程,利用循环语句,我们很容 易在计算机上模拟这一过程. 在程序设计中,有一个随机函数“Rnd” ,它能产生 0 与 1 之间的随机数.这样,我们可用大于 0.5 的随机数表示出现正面,不大于 0.5 的随机数表示出现反面. 解:本题算法的伪代码如下:

S ?0
Read n For I From 1 If To n

Rnd> 0.5 Then S ? S ? 1

End For Print 出现正面的频率为 End 2.练习:试用算法语句表示:寻找满足 1? 3 ? 5 ? 7 ??? _____ ? 10000 的最小整数的算法. 解:本例中循环的次数不定,因此可用“While 循环”语句,具体描述如下:

S . n

S ?1 I ?1
While S≤10000

I ? I ?2

S ? S *I
End While Print I End
83

(五) 、回顾小结:1.循环语句的概念,并掌握其结构;2. “For 循环” 、 “While 循环”在用法 上的区别与联系.本节课主要学习了循环语句的结构、特点、作用以及用法,并懂得利用解决一 些简单问题。条件语句使程序执行产生的分支,根据不同的条件执行不同的路线,使复杂问题简 单化。有些复杂问题可用两层甚至多层循环解决。注意内外层的衔接,可以从循环体内转到循环 体外,但不允许从循环体外转入循环体内。 条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中,如判断一个数的正负,确定两个数的大小 等问题,还有求分段函数的函数值等,往往要用条件语句,有时甚至要用到条件语句的嵌套。 循环语句主要用来实现算法中的循环结构,在处理一些需要反复执行的运算任务。如累加求和, 累乘求积等问题中常用到。 (六) 、课外作业:课本习题 2——4A 组第 6,7,9 题 五、教后反思:

84

第十课时 一、教学目标

算法初步复习课

(a)知识与技能:1.明确算法的含义,熟悉算法的三种基本结构:顺序、条件和循环,以及基本 的算法语句。2.能熟练运用算法知识解决问题。 (b)过程与方法:在复习旧知识的过程中把知识系统化,通过模仿、操作、探索,经历设计程序 框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中进一步理解程序框图的三种基本逻辑结构: 顺序、条件分支、循环。 c)情态与价值:算法内容反映了时代的特点,同时也是中国数学课程内容的新特色。中国古代数 学以算法为主要特征,取得了举世公认的伟大成就。现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所 未有的生机和活力,算法进入中学数学课程,既反映了时代的要求,也是中国古代数学思想在一 个新的层次上的复兴,也就成为了中国数学课程的一个新的特色。 二、教学重难点:重点:算法的基本知识与算法对应的程序框图的设计 难点:与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写 三、教学方法:利用实例让学生体会基本的算法思想,提高逻辑思维能力,对比信息技术课程中 的程序语言的学习和程序设计,了解数学算法与信息技术上的区别。通过案例的运用,引导学生 体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。面临一个问题时,在分析、思考后获得 了解决它的基本思路(解题策略) ,将这种思路具体化、条理化,用适当的方式表达出来(画出程 序框图,转化为程序语句) 。 四、教学过程 (一) 、知识梳理 1、四种基本的程序框
终端框(起止框)

输入.输出框

处理框

判断框

2、三种基本逻辑结构

85

顺序结构 3、基本算法语句 (1)输入语句 单个变量

条件结构

循环结构

INPUT “提示内容” ;变量 多个变量 INPUT “提示内容 1,提示内容 2,提示内容 3,?” ;变量 1,变量 2,变量 3,? (2)输出语句 PRINT “提示内容” ;表达式 (3)赋值语句 (4)条件语句 IF-THEN-ELSE 格式 变量=表达式

IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF

满足条件? 是 语句 1



语句 2

当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后的语
86

句 1,否则执行 ELSE 后的语句 2。其对应的程序框图为: (如上右图) IF-THEN 格式 是 IF 条件 THEN 语句 END IF 满足条件? 否 语句

计算机执行这种形式的条件语句时,也是首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后的语句,如果条件不符合,则直接结束该条件语句,转而执行其他语句。其对应的程序 框图为: (如上右图) (5)循环语句 ①WHILE 语句

WHILE 条件 循环体 WEND

循环体 满足条件? 否



其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE 后面的“条件”是用于控制计算 机执行循环体或跳出循环体的。 当计算机遇到 WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行, 直到某一次条件不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为: (如上右图) ②UNTIL 语句 循环体 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 满足条件? 是 否

其对应的程序结构框图为: (如上右图)

87

(二) 、典型例题 例 1 写一个算法程序,计算 1+2+3+?+n 的值(要求可以输入任意大于 1 的正自然数) 解:INPUT “n=”;n i=1 sum=0 WHILE i<=n sum=sum+i i=i+1 WEND PRINT sum END 思考:在上述程序语句中我们使用了 WHILE 格式的循环语句,能不能使用 UNTIL 循环? 例 2 设计一个程序框图对数字 3,1,6,9,8 进行排序(利用冒泡排序法)
开始

输入

a1,a2,a3,a4,a5

r=1

i=1

ai>ai+1




x=ai ai=ai+1 ai+1=x

i=i+1

r=r+1

i=5





r=5





输出

a1,a2,a3,a4,a5

结束

思考:上述程序框图中哪些是顺序结构?哪些是条件结构?哪些是循环结构?
88

例 3 把十进制数 53 转化为二进制数. 解:53=1×2 +1×2 +0×2 +1×2 +0×2 +1×2 =110101(2) (三) 、练习:复习题二 (四) 、作业:复习题二 五、教后反思: A(3) (4) A(5)(6)
5 4 3 2 1 0

北师大版高中数学必修 3 第三章《概率》全部教案 扶风县法门高中姚连省 §3.1 随机事件的概率 第一课时 3.1.1 频率与概率(一) 一、教学目标:1。经历试验,统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能 力。2.通过试验,理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,并可据此估计一事件发生的 概率。 3.能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率。 二、教学重点:运用树状图和列表法计算事件发生的概率。 教学难点:树状图和列表法的运用方法。 三、教学方法:探究讨论法 四、教学过程: (一) 、问题引入:对于前面的摸牌游戏, 在一次试验中,如果摸得第一张牌面数字为 1,那么 摸第二张牌的数字为几的可能性大?如果摸得第一张牌的牌面数字为 2 呢?(由此引入课题,然 后要求学生做实验来验证他们的猜想) (二) 、做一做:实验 1:对于上面的试验进行 30 次,分别统计第一张牌的牌面字为 1 时,第二 张牌的牌面数字为 1 和 2 的次数。 实验的具体做法:每两个人一个小组,一个负责抽纸张,另一个人负责记录, 如:1 2 2 1---------(上面一行为第一次抽的) 第一张牌的牌面 数字为1(16次)

2 1 2 1---------(下面一行为第二次抽的) 议一议:小明的对自己的试验记录进行了统计,结果如下:

89

第二张牌的牌面 数字为1(7次)

第二张牌的牌面 数字为2(9次)

因此小明认为,如果摸得第一张牌面数字为 1,那么摸第二张牌时,摸得牌面数字为 2 的可能性 比较大。你同意小明的看法吗? 让学生去讨论小明的看法是否正确,然后让学生去说说自已的看法。 想一想:对于前面的游戏,一次试验中会出现哪些可能的结果?每种结果出现的可能性相同吗? 会出现3种可能的结果: 牌面数字和为2,牌面数 字和3,牌面数字和4,每 种结果出现的可能性相同

小颖的看法:

小亮的看法:

会出现4种可能的结果: 牌面数字为(1,1) , 牌面数字为(1,2) , 牌面数字为(2,1) , 牌面数字为(2,2) 每种结果出现的可能性相同

实际上,摸第一张牌时,可能出现的的结果是:牌面数字为 1 或 2,而且这两种结果出现的可能 性相同;摸第二张牌时,情况也是如此,因此,我们可以用下面的“树状图”或表格来表示所有 可能出现的结果: 开始

第一张牌的面的数字:

1

2

第二张牌的牌面数字:

1

2

1

2

可能出现的结果(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)

第二张牌面的数字 第一 1 2

90

张牌面的数字

1 2

(1,1) (2,1)

(1,2) (2,2)

从上面的树状图或表格可以看出,一次试验可能出现的结果共有 4 种: (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) ,而且每种结果出现的可能性相同,也就是说,每种结果出现的概率都是 1/4。 利用树状图或表格,可以比较方便地求出某些事件发生的概率。 (三)例题探析与练习 例 1:随机掷一枚硬币两次,至少有一次正面朝上的概率是多少? 解:随机掷一枚均匀的硬币两次,所有可能出现的结果如下: 正



开始 正 反



正 总共有 4 种结果,每种结果出现的可能性相同,而至少有一次正面朝上的结果有 3 种: (正, 正) (正,反) (反,正) ,因此至少有一次正面朝上的概率为 3/4。 第二种解法:列表法 第二个硬币的面 第一个硬币的面 正 反 正 (正,正) (反,正) 反 (正,反) (反,反)

随堂练习:1.从一定高度随机掷一枚硬币,落地后其朝上的一面可能出现正面和反面这样两种等 可能的结果。小明正在做掷硬币的试验,他已经掷了 3 次硬币,不巧的是这 3 次都是正面朝上。 那么你认为小明第 4 次掷硬币, 出现正面的可能性大, 还是出现反面的可能性大, 是不是一样大?

91

说说你的理由,并与同伴进行交流。 解:第 4 次掷硬币时,正面朝上的可能性与反面朝上的可能性一样大。 2.将一个均匀的硬币上抛两次,结果为两个正面的概率为______________. (四) 、课堂小结:这节课学习了通过列表法或树状图来求得事件的概率。 (五) 、课后作业:课本 125 页:1,2 五、教学反思:

第二课时随机事件的频率与概率 一、教学目标:1.理解随机事件在大量重复试验的情况下,它的发生呈现的规律性;2.掌握概 率的统计定义及概率的性质. 二、教学重点:随机事件的概念及其概率. 三、探究讨论法 四、教学过程 (一) 、新课引入 1. 观察下列日常生活中的事件发生与否,各有什么特点?(1)金属丝通电时,发热; (2)抛 一块石头,下落; (3)在常温下,焊锡熔化; (4)在标准大气压下且温度低于 0 C 时,冰融化; (5)掷一枚硬币,出现正面; (6)某人射击一次,中靶. 分析结果: (1) (2)是必然要发生的, (3) (4)不可能发生, (5) (6)可能发生也可能不发生 2. (1) “如果 a>b,那么 a-b>0”; (2) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (3) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (4) “没有水份,种子能发芽” ; 分析结果: (略) 3.男女出生率 一般人或许认为:生男生女的可能性是相等的,因而推测出男婴和女婴的出生数的比因当是 1:1,可事实并非如此.
王新敞
奎屯 新疆

教学难点:随机事件的概念及其概率.

0

92

公元 1814 年,法国数学家拉普拉斯(Laplace 1794---1827)在他的新作《概率的哲学探讨》 一书中,记载了一下有趣的统计.他根据伦敦,彼得堡,柏林和全法国的统计资料,得出了几乎 完全一致的男婴和女婴出生数的比值是 22:21,即在全体出生婴儿中,男婴占 51.2%,女婴占 48.8%.可奇怪的是,当他统计 1745---1784 整整四十年间巴黎男婴出生率时,却得到了另一个 比是 25:24,男婴占 51.02%,与前者相差 0.14%.对于这千分之一点四的微小差异!拉普拉斯 对此感到困惑不解,他深信自然规律,他觉得这千分之一点四的后面,一定有深刻的因素.于是, 他深入进行调查研究,终于发现:当时巴黎人”重男轻女”,又抛弃女婴的陋俗,以至于歪曲了出 生率的真相,经过修正,巴黎的男女婴的出生比率依然是 22:21. 4. ? 中数字出现的稳定性(法格逊猜想) 在 ? 的数值式中,各个数码出现的概率应当均为 1/10.随着计算机的发展,人们对 ? 的前一 百万位小数中各数码出现的频率进行了统计,得到的结果与法格逊猜想非常吻合. 5.概率与 ? 布丰曾经做过一个投针试验. 他在一张纸上画了很多条距离相等的平行直线, 他将小针随意地 投在纸上,他一共投了 2212 次,结果与平行直线相交的共有 704 根.总数 2212 与相交数 704 的 比值为 3.142.布丰得到地更一般的结果是: 如果纸上两平行线间的距离为 d ,小针的长为 l , 投针次数为 n ,所投的针中与平行线相交的次数为 m ,那么当 n 相当大时有: ? ?

2nl . dm

后来有许多人步布丰的后尘,用同样的方法计算 ? 值.其中最为神奇的是意大利数学家拉兹 瑞尼 (Lazzerini) . 他在 1901 年宣称进行了多次投针试验得到了 ? 的值为 3. 1415929. 这与 ? 的 精确值相比,一直到小数点后七位才出现不同!用如此巧妙的方法,求到如此高精确的 ? 值,这 真是天工造物! (二) 、探究新课: 1.事件的定义: 随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件. 说明:三种事件都是在“一定条件下”发生的,当条件改变时,事件的性质也可以发生变化. 2.随机事件的概率: (1) 实验:随机事件在一次试验中是否发生是不确定,但在大量重复的试验情况下,它的发生呈现出一 定的规律性.

93

实验一:抛掷硬币试验结果表: 抛掷次数( n ) 2048 4040 12000 24000 30000 72088 正面朝上次数( m ) 1061 2048 6019 12012 14984 36124 频率( m / n ) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011

当抛掷次数很多时,出现正面的频率值是稳定的,接近于常数 0.5 ,并在它附近摆动.

实验二:某批乒乓球产品质量检查结果表: 抽取球数 n 优等品数 m 频率 m / n 50 45 0.9 100 92 0.92 200 194 0.97 500 470 0.94 1000 954 0.954 2000 1902 0.951
王新敞
奎屯 新疆

当抽查的球数很多时,抽到优等品的频率接近于常数 0.95 ,并在它附近摆动 实验三:某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表: 每批粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000

n
发芽的粒 数m 发芽的频 率m/n

3000

2

4

9

60

116

282

639

1339

1806

2715

1

0.8

0.9

0.85

0.89

0.91

0.91

0.89

0.90

0.90

当试验的油菜籽的粒数很多时,油菜籽发芽的频率接近于常数 0.9 ,并在它附近摆动 (2)定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ( A) .

王新敞
奎屯

新疆

m 总是接近某个常数,在它 n

理解:需要区分“频率”和“概率”这两个概念:(1)频率具有随机性,它反映的是某一随 机事件出现的频繁程度,它反映的随机事件出现的可能性. (2)概率是一个客观常数,它反映了 随机事件的属性. 大量重复试验时, 任意结果(事件) A 出现的频率尽管是随机的, 却”稳定”在某一个常数附近,
94

试验的次数越多,频率与这一常数的偏差大的可能性越小.这一常数就成为该事件的概率. 3.概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率; 4.概率的性质:必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率为 0 ? P( A) ? 1, 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形. 5.随机现象的两个特征: (1)结果的随机性:即在相同的条件下做重复的试验时,如果试验的结 果不止一个,则在试验前无法预料哪一种结果将发生. (2)频率的稳定性:即大量重复试验时, 任意结果(事件) A 出现的频率尽管是随机的,却”稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多, 频率与这一常数的偏差大的可能性越小.这一常数就成为该事件的概率. (三) 、探析范例: 例 1.某种新药在使用的患者中进行调查的结果如下表: 调查患者人数 n 用药有效人数 m 有效频率 m / n 100 85 0.850 200 180 0.900 500 435 0.870 1000 884 0.884 2000 1761 0.8805

请填写表中有效频率一栏,并指出该药的有效概率是多少? 答案: 88% 例 2. (1)某厂一批产品的次品率为 为什么? (2)10 件产品中次品率为 解: (1)错误(2)正确. (四) 、课堂练习: 不做大量重复的试验,就下列事件直接分析它的概率: ①掷一枚均匀硬币,出现“正面朝上”的概率是多少? ②掷一枚骰子,出现“正面是 3”的概率是多少?出现“正面是 3 的倍数”的概率是多少?出现 “正面是奇数”的概率是多少? ③本班 52 名学生,其中女生 24 人,现任选一人,则被选中的是男生的概率是多少?被选中的是 女生的概率是多少? 答案:①

1 ,问任意抽取其中 10 件产品是否一定会发现一件次品? 10

1 ,问这 10 件产品中必有一件次品的说法是否正确?为什么? 10

1 1 1 3 ② , , 2 6 3 6



7 6 , 13 13

王新敞
奎屯

新疆

(五) 、小结 : 1.随机事件、必然事件、不可能事件的概念;2.概率的定义和性质

王新敞
奎屯

新疆

95

(六) 、课后作业:1.课本上 P131A 组 1,3。 2.上抛一个刻着 1,2,3,4,5,6 字样的正六面体方块; (1)出现字样为“5”的事件的概率是多少? (2)出现字样为“0”的事件的概率是多少? 五、教后反思:

第三课时 一、教学目标:

§3.1 随机事件的概率

1、知识与技能: (1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念; (2)正确理解事件 A 出现 的频率的意义; (3)正确理解概率的概念和意义,明确事件 A 发生的频率 fn(A)与事件 A 发生 的概率 P(A)的区别与联系; (3)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 2、过程与方法: (1)发现法教学,通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,归纳总结试验结 果,发现规律,真正做到在探索中学习,在探索中提高; (2)通过对现实生活中的“掷币” , “游 戏的公平性” , 、 “彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推 理的数学方法. 3、情感态度与价值观: (1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知识与 现实世界的联系; (2)培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识. 二、重点与难点: (1)教学重点:事件的分类;概率的定义以及和频率的区别与联系; (2)教学 难点:用概率的知识解释现实生活中的具体问题. 三、学法与教学用具:1、引导学生对身边的事件加以注意、分析,结果可定性地分为三类事件: 必然事件,不可能事件,随机事件;指导学生做简单易行的实验,让学生无意识地发现随机事件 的某一结果发生的规律性;2、教学用具:硬币数枚,投灯片,计算机及多媒体教学. 四、教学过程 (一) 、创设情境:日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如,你明天什么时 间起床?7:20 在某公共汽车站候车的人有多少?你购买本期福利彩票是否能中奖?等等。 (二) 、基本概念回顾: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件;
96

(2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事 件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA 为事件 A 出现的概率: n

对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上, 把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比 值

nA ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动 n

幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能 性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 (7)似然法与极大似然法:见课本 P111 (三) 、例题分析: 例 1、 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”.(2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”;(5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; ( 7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常 温下,焊锡熔化” . 答:根据定义,事件(1) 、 (4) 、 (6)是必然事件;事件(2) 、 (9) 、 (10)是不可能事件; 事件(3) 、 (5) 、 (7) 、 (8)是随机事件. 例 2、 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心的频率 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455

m n

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? 分析:事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生的频率 fn(A)

97

稳定在某个常数上时,这个常数即为事件 A 的概率。 解: (1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91. (2)由于频率稳定在常数 0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是 0.89。 小结:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。 练习:一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下: 时间范围 新生婴儿数 男婴数 男婴出生的频率 (1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第 3 位) ; (2)这一地区男婴出生的概率约 是多少? 答案: (1)表中依次填入的数据为:0.520,0.517,0.517,0.517. (2) 由表中的已知数据及公式 fn (A) = 1 年内 5544 2883 2 年内 9607 4970 3 年内 13520 6994 4 年内 17190 8892

nA 即可求出相应的频率, 而各个频率均稳定在常数 0.518 n

上,所以这一地区男婴出生的概率约是 0.518. 例 3、 某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次环中 9 环,有 4 次中 8 环, 有 1 次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击 1 次,试问中靶的概率约为多大?中 10 环的概率约为多大? 分析:中靶的频数为 9,试验次数为 10,所以靶的频率为

9 =0.9,所以中靶的概率约为 0.9. 10

解:此人中靶的概率约为 0.9;此人射击 1 次,中靶的概率为 0.9;中 10 环的概率约为 0.2. 例 4、 如果某种彩票中奖的概率为 释。 分析:买 1000 张彩票,相当于 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做 1000 次 试验的结果也是随机的,也就是说,买 1000 张彩票有可能没有一张中奖。 解:不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机 的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、 两张乃至多张中奖。 例 5、 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其公平 性。
98

1 , 那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概率的意义解 1000

分析:这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为 0.5,即每个运动员取得先发球权的 概率是 0.5。 解:这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5,因此任何一名 运动员猜中的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5。 小结:事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的。 (四) 、课堂小结:概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义 是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意识,并用这种 意识来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索。 (五) 、作业:1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( A.必然事件 2.下列说法正确的是( B.随机事件 ) B.不可能事件的概率不一定为 0 D.以上均不对 C.不可能事件 D.无法确定 )

A.任一事件的概率总在(0.1)内 C.必然事件的概率一定为 1

3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题。 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 (1)完成上面表格; (2)该油菜子发芽的概率约是多少? 4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表如示。 投篮次数 进球次数 m 进球频率 2 2 5 4 10 9 70 60 130 116 700 282 1500 639 2000 1339 3000 2715

m n

(1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少? 5.生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点雨都没 下,天气预报也太不准确了。 ”学了概率后,你能给出解释吗? 【1.B[提示:正面向上恰有 5 次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件。] 2.C[提示:任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1.] 3 . 解 : ( 1 ) 填 入 表 中 的 数 据 依 次 为

99

1,0.8,0.9,0.857,0 .8 92,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905. (2) 该油菜子发芽的概率约为 课题 知识与 三 能力 3.1 概率的意义 正确理解概率的概念和意义,明确事件 A 发生的频率 fn(A)与事件 A 发 生的概率 P(A)的区别与联系;

0.897。 4.解: (1)填入表中的数据依次为 0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)由于上述频率接近 0.80,因此,进球的概率约为 0.80。 5.解:天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为 90%指明了“降水”这个随机事件发生的概 率,我们知道:在一次试验中,概率为 90%的事件也可能不出现,因此, “昨天没有下雨”并不说 明“昨天的降水概率为 90%”的天气预报是错误的。 】 五、教后反思:

第四课时

概率的意义

100

维 教 学 目 标 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教 学 内 容 分 析 教学 难点 教学 重点

利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 通过对现实生活中的“掷币” , “游戏的公平性” , 、 “彩票中奖”等问题的 探究, 感知应用数学知识解决数学问题的方法, 理解逻辑推理的数学方法. 培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识.

概率的定义以及和频率的区别与联系

用概率的知识解释现实生活中的具体问题.

教 学 流 程 与 教 学 内 一、复习引入



(一)什么是必然事件?什么是不可能事件?什么是确定事件?什么是随机事件? (二)什么是频数和频率?两个概念有何区别?频率的范围是什么? (三)什么是概率?它与频率有何区别? 二、新课: (一)概率的正确理解 1、思考:有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为 0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀 的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上。你认为这种想法正确吗? 2、探究: 全班同学各取一枚同样的硬币,连续两次抛掷,观察它落地后朝向,并记录结果。重复上面的 过程 10 次,将全班同学的试验结果汇总,计算三种结果发生的频率。你有什么发现? 3、思考:如果某种彩票的中奖概率为 1/1000,那么买 1000 张这种彩票一定能中奖吗?(假设 彩票有足够多的张数? (二)游戏的公平性 1、在一场乒乓球比赛前,要决定由谁先发球,你注意到裁判是怎样确定发球权的吗?为什么要 这样做?

101

2、探究:青云中学高一年级有 10 个班,要从中选 2 个班代表学校参加某项活动。由于某种原 因,一班必须参加,另外再从二至十班中选 1 个班。有人提议用如下方法:掷两个骰子得到的 点数和是几,就选几班,你认为此方法公平吗? (三)决策中的概率思想 1、思考:如果连续 10 次掷一枚骰子,结果都是出现 1 点,你认为这枚骰子的质地均匀吗?为 什么? 2、似然法与极大似然法:见课本 P124 (四)天气预报的概率解释 1、思考:某地气象局预报说,明天本地降水概率为 70%。你认为下面两个解释哪一个能代表气 象局的观点? (1)明天本地有 70%的区域下雨,有 30%的区域不下雨; (2)明天本地下雨的机会是 70%。 2、生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果一点雨没下,天 气预报也太不准确了。 ”学也概率后,你能给出解释吗? (五)试验与发现 阅读 P128 了解孟德尔如何经过多年碗豆试验,最终发现遗传学规律。你能作出简单的解释吗? 三、例题: 例 1 某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次环中 9 环,有 4 次中 8 环, 有 1 次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击 1 次,试问中靶的概率约为多大?中 10 环的概率约为多大? 例 2 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其公平 性。 小结:事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的。 三、课堂小结: 正确理解频率与概率的区别,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 1.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题。 课 后 作 业 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 (1)完成上面表格: 2 2 5 4 10 9 70 60 130 116 700 282 1500 639 2000 1339 3000 2715

102

(2)该油菜子发芽的概率约是多少? P131A 组 2,B 组题 教 学 反 思 正确理解概率的意义, 特别是结合实例理解小概率事件不一定不发生, 大概率事件不一 定必发生。

第五课时 3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式 一、教学目标: 1、知识与技能: (1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个;2)每个基本事件出现的可能性相等;

103

(2)掌握古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 总的基本事件个数

2、过程与方法: (1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法, 体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决问 题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观:通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主 义观点. 二、重点与难点:正确理解掌握古典概型及其概率公式; 三、学法与教学用具:1、与学生共同探讨,应用数学解决现实问题;2、通过模拟试验,感知应 用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. 四、教学过程 1、创设情境: (1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有 2 个,即“正面朝上”或“反面朝上” ,它 们都是随机事件。 (2)一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标以号码 1,2,3,?,10,从中任取一球,只有 10 种不同的结果,即标号为 1,2,3?,10。 师生共同探讨:根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点? 2、基本概念: (1)基本事件、古典概率模型见课本 (2)古典概型的概率计算公式:P(A)= 3、例题分析: 课本例题略 例 1 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。 分析:掷骰子有 6 个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型。 解:这个试验的基本事件共有 6 个,即(出现 1 点) 、 (出现 2 点)??、 (出现 6 点) 所以基本事件数 n=6, 事件 A=(掷得奇数点)=(出现 1 点,出现 3 点,出现 5 点) , 其包含的基本事件数 m=3 所以,P(A)=

A包含的基本事件个数 . 总的基本事件个数

m 3 1 = = =0.5 n 6 2
104

小结:利用古典概型的计算公式时应注意两点: (1)所有的基本事件必须是互斥的; (2)m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏。 例 2 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连 续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解: 每次取出一个, 取后不放回地连续取两次, 其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个, 即 (a1, a2)和, (a1,b2) , (a2,a1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b2,a2) 。其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这 一事件,则 A=[(a1,b1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b1,a2)] 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = 6 3

例 3 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样. 解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所以试 验结果有 10×10×10=10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含的基本事件共有 8×8× 8=8 种,因此,P(A)=
3 3

83 =0.512. 103

(2)解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z) , 则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种.设事 件B为 “3 件都是正品” , 则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所以 P(B)=

336 720

≈0.467.

解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种可能, y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,但(x,y,z) , (x,z,y) , (y,x,z) , (y,z,x) , (z,x,y) , (z,y,x) , 是相同的,所以试验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B 包含的基本事件个 数为 8×7×6÷6=56,因此 P(B)=

56 ≈0.467. 120

小结:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,

105

其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误.

4、课堂小结:本节主要研究了古典概型的概率求法,解题时要注意两点: (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= 5、自我评价与课堂练习: 1.在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,从中任取一根,取到长度超过 30mm 的纤维的概率 是( A. ) B.

A包含的基本事件数 总的基本事件个数

30 40

12 40

C.

12 30

D.以上都不对

2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率 是 A.

1 5

B.

1 4

C.

4 5

D.

1 10

3.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中至少 有一个红球的概率是 。

4.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率。 答案:1.B[提示:在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,即基本事件总数为 40,且它们是 等可能发生的,所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为

12 ,因此选 B.] 40

2.C[提示: (方法 1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10,其中抽到合格铁订(记为事 件 A)包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P(A)=

8 4 = .(方法 2)本题还可以用对立事件 10 5 2 4 = .] 10 5

的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记为事件 A)与取到不合格品(记为 事件 B)恰为对立事件,因此,P(A)=1-P(B)=1- 3.
2

7 [提示;记大小相同的 5 个球分别为红 1,红 2,白 1,白 2,白 3,则基本事件为: (红 1,红 10 7 .本题还可以利用“对立事件的概率和为 1”来 10
106

) , (红 1,白 1) , (红 1,白 2) (红 1,白 3) , (红 2,白 3) ,共 10 个,其中至少有一个红球的事件

包括 7 个基本事件,所以,所求事件的概率为

求解, 对于求 “至多” “至少” 等事件的概率头问题, 常采用间接法, 即求其对立事件的概率 P (A) , 然后利用 P(A)1-P(A)求解]。 6、作业:课本第 136 页 2、3、4 五、教学反思:

第六课时 3.2.2 建立概率模型 一、教学目标:1、知识与技能: (1)进一步正确理解古典概型的两大特点,能会从实际问题中 识别古典概型模型。 (2) 进一步掌握古典概型的概率计算公式: P (A) = A包含的基本事件个数。
总的基本事件个数

107

2、过程与方法: (1)能运用古典概型的知识解决一些实际问题,通过对现实生活中具体的概率 问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能 力;能运用树状图复杂背景的古典概型基本事件个数的计算; (2)通过模拟试验,感知应用数字 解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。3、情感态度与价值观:通过数学与探究活 动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 二、重点与难点:正确理解掌握古典概型及其概率公式,古典概型中计算比较复杂的背景问题. 三、学法与教法:1、与学生共同探讨,应用数学解决现实问题;2、通过模拟试验,感知应用数 字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. 四、教学过程 (一) 、温故知新 1.古典概型的概念 1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个 结果; 2)每一个结果出现的可能性相同。2.古典概型的概率公式 P( A) ? 3.列表法和树状图 练习:1.单选题是标准化考试中常用的题型.如果考生不会做,他从 4 个备选答案中随机地选择一 个作答,他答对的概率是____.
m( A包含的基本事件数) n(基本事件总数)

1 4 1 32

2. 从集合 {1,2,3,4,5} 的所有子集中任取一个, 这个集合恰是集合 {1,2,3} 的子集的概率是 ____.

3.抛掷两枚均匀的骰子,出现数字之积为偶数与出现数字之积为奇数的概率分别是_____、 ______.

27 36

9 36
1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36

(二) 、探究新知 1、在古典概型中,同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢?

108

2、同样掷一粒均匀的骰子(1)若考虑向上的点数是多少,则可能出现 1,2,3,4,5,6 点,共有 6 个 基本事件。(2)若考虑向上的点数是奇数还是偶数,则可能出现奇数或偶数,共 2 个基本事件。 (3)若把骰子的 6 个面分为 3 组(如相对两面为一组),分别涂上三种不同的颜色, 则可以出现 3 个 基本事件。 从上面的例子,可以看出同样一个试验,从不同角度来看,建立概率不同模型,基本事件可以各不相 同. 一般来说,在建立概率模型时把什么看作是基本事件,即试验结果是人为规定的,也就是说,对于同 一个随机试验,可以根据需要,建立满足我们要求的概率模型 3、 考虑本课开始提到问题:袋里装有 2 个白球和 2 个红球,这 4 个球除了颜色外完全相同, 4 个 人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率。 用 A 表示事件“第二个摸到红球” ,把 2 个白球编上序号 1,2;2 个红球也编上序号 1,2 模型 1:4 人按顺序依次从中摸出一个球的所有结果,可用树状图直观表示出来总共有 24 种结 果,而第二个摸到红球的结果共有 12 种。P(A)=12/24=0.5 2 1 2 2 1 2 2 2 2

1

1 1 1 2 2

2 1 1 1 2

1 2

2 1

2

2

2 1

1

1

2

2

1 1 2 1

2 1 1 2
109

2

1 2 1

模型 2 利用试验结果的对称性,因为是计算“第二个人摸到红球”的概率,我们可以只考虑前两个 人摸球的情况,这个模型的所有可能结果数为 12,第二个摸到白球的结果有 6 种:P(A)=6/12=0.5 2 1 1 2

1

1 2

1

1

2

2

1

2

1 2 2

模型 3 只考虑球的颜色, 4 个人按顺序摸出一个球所有可能结果模型 3 的所有可能结果数为 6, 第 二个摸到白球的结果有 3 种:P(A)=3/6=0.5

模型 3 只考虑第二个人摸出的球情况他可能摸到这 4 个球中的任何一个,第二个摸到白球的结果 有 2 种 P(A)=2/4=0.5 评析:法(一) 利用树状图列出了试验的所有可能结果(共 24 种),可以计算 4 个人依次摸球的任何
110

一个事件的概率; 法(二) 利用试验结果的对称性,只考虑前两个人摸球的情况,所有可能结果减少为 12 种 法(三)只考虑球的颜色,对 2 个白球不加区分,所有可能结果减少 6 种 法(四)只考虑第二个人摸出的球的情况,所有可能结果变为 4 种,该模型最简单! 变 2.袋里装有 1 个白球和 3 个黑球,这 4 个球除颜色外完全相同, 4 个人按顺序依次从中摸出一 球.求第二个人摸到白球的概率。 (三) 、练习 1、建立适当的古典概型解决下列问题: (1)口袋里装有 100 个球,其中有 1 个白球和 99 个黑球, 这些球除颜色外完全相同.100 个人依次从中摸出一球,求第 81 个人摸到白球的概率.(2)100 个人 依次抓阄决定 1 件奖品的归属,求最后一个人中奖的概率. 分析:我们可以只考虑第 81 个人摸球的情况.他可能摸到 100 个球中的任何一个,这 100 个球出现 的可能性相同,且第 81 个人摸到白球的可能结果只有 1 种,因此第 81 个人摸到白球的概率为 (2)100 个人依次抓阄决定 1 件奖品的归属,求最后一个人中奖的概率. 分析:只考虑最后一个抓阄的情况,他可能找到 100 个阄中的任何一个,而他抓到有奖的阄的结果 只有一种,因此,最后一个人中奖的概率为 练习:课本第 140 页 1、2 (四) 、课堂小结:1.古典概型的解题步骤;2.复杂背景的古典概型基本事件个数的计算―― 树形图。: (五)、作业布置:课本第 149 页 1、2、3 五、教学反思:

1 。 100

1 。 100

第七课时建立概率模型 一、教学目标:1、进一步掌握古典概型的计算 公式;2、能运用古典概型的知识解决一些实际问
111

题。 二、教学重点、难点:古典概型中计算比较复杂的背景问题. 三、教学方法:探究讨论,思考交流 四、教学过程 (一) 、问题情境:问题: 等可能事件的概念和古典概型的特征? (二) 、数学运用 例 1.将一颗骰子先后抛 掷两次,观察向上的点数,问: (1)共有多少种不同的结果? (2)两 数的和是 3 的倍数的结果有多少种?(3)两数和是 3 的倍数的概率是多少? 解: (1)将骰子抛掷1次,它出现的点数有 1, 2,3, 4,5,6 这 6 中结果。 先后抛掷两次骰子,第一次骰子向上的点数有 6 种结果,第 2 次又都有 6 种可能的结果,于是一 共有 6 ? 6 ? 36 种不同的结果; (2)第 1 次 抛掷,向上的点数为 1, 2,3, 4,5,6 这 6 个数中的某一个,第 2 次抛掷时都可以有 两种结 果,使向上的点数和为 3 的倍数(例如:第一次向上的点数为 4,则当第 2 次向上的点数为 2 或 5 时,两次的点数的和都为 3 的倍数) ,于是共有 6 ? 2 ? 12 种不同的结果. (3)记“向上点数和为 3 的倍数”为事件 A ,则事件 A 的结果有 12 种,因为抛两次得到的 36 中 结果是等可能出现的,所以所求的概率 为 P( A) ?

12 1 ? 36 3

答:先后抛掷 2 次,共有 36 种不同的结果;点数的和是 3 的倍数的结果有 12 种;点数和是 3 的 倍数的概率为

1 ; 3

说明:也可以利用图表来数基本事件的个数:

例 2. 用不同的颜色给右图中的 3 个矩形随机的涂色,每个矩形只涂一种颜色,求 (1)3 个矩形 颜色都相同的概率;(2)3 个矩形颜色都不同的概率. 分析:本题中基本事件比较多,为了更清楚地枚举出所有的基本事件,可以画图枚举如下: (树形

112

图)

解:基本事件共有 27 个;(1)记事件 A =“3 个矩形涂同一种颜色” ,由上图可以知道事件 A 包 含的基本事件有 1? 3 ? 3 个,故 P ( A) ?

3 1 ? 27 9

(2)记事件 B =“3 个矩形颜色都不同” ,由上图可以知道事件 B 包含的基本事件有 2 ? 3 ? 6 个, 故 P( B) ?

6 2 ? 27 9 1 2 ;3 个矩形颜色都不同的概率为 . 9 9 m 求出概率并下结论. n

答:3 个矩形颜色都相同的概率为

说明:古典概型解题步骤:⑴阅读题目,搜集信息;⑵判断是否是等可能事件,并用字母表示事 件; ⑶求出基本事件总数 n 和事件 A 所包含的结果数 m ; ⑷用公式 P ( A) ?

例 3. 一个各面都涂有色彩的正方体, 被锯成 1000 个同样大小的小正方体, 将这些正方体混合后, 从中任取一个小正方体,求:⑴有一面涂有色彩的概率;⑵有两面涂有色彩的概率;⑶有三面涂 有色彩的概率.[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com] 解:在 1000 个小正方体中,一面图有色彩的有 8 ? 6 个,两面图有色彩的有 8 ? 12 个,三面图有
2

色彩的有 8 个,∴⑴一面图有色彩的概率为 P 1 ?

384 ? 0.384 ; 1000

96 ? 0.096 ; 1000 8 ? 0.008 . ⑶有三面 涂有色彩的概率 P2 ? 1000
⑵两面涂有色彩的概率为 P2 ? 答:⑴一面图有色彩的概率 0.384 ;⑵两面涂有色彩的概率为 0.096 ;⑶有三面涂有色彩的概率

0.008 .
2.练习: (1)同时抛掷两个骰子,计算:①向上的点数相同的概率; 数的概率. (2)据调查,10000 名驾驶员在开车时约有 5000 名系安全带,如果从中随意的抽查一名驾驶员 有无系安全带的情况 ,系安全带的 概率是
113

②向上的点数之积为偶





答案: C

( A) 25%

( B ) 35%

(C ) 50%

( D) 75%

( 3 )在 20 瓶饮料中,有两瓶是 过了保质期的,从中任取1瓶,恰为过保质期的概率为 ( ) 答案:B

( A)

1 2

(B)

1 10

(C )

1 20

( D)

1 40

(三) 、回顾小结:1.古典概型的解题步骤;2.复杂背景的古典概型基本事件个数的计算―― 树形图。[来源:学,科,网 Z,X,X,K] (四) 、课外作业:课本第 149 页 4、5、6、7 五、教学反思:

第八课时 一、教学目标:

§3.2.3 互斥事件(一)

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1、知识与技能:通过实例,理解互斥事件和对立事件的概念,了解互斥事件的概率加法公式,并能 简单应用. 2、过程与方法:发现法教学,学生通过在抛骰子的试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现 规律,得到互斥事件的概率加法公式。通过正确的理解,准确利用公式求概率。 3、情感态度与价值观:通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知识与现实 世界的联系;体会数学思维的严密性,发展条理清晰的思考表达能力、提高分析能力、解决问题 的能力。 二、重点与难点:互斥事件 概率的加法公式及其应用

三、教学用具:计算机及多媒体教学. 四、教学过程: (一) 、新课引入: (1)日常生活中,我们总有些事件不同时进行。 (互斥事件) (2)从字面上理解“互斥事件” (二)基本概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件。

A 、 B 互斥,即事件 A 、 B 不可能同时发生(学生自己举例理解)
(三) 、实例分析:抛掷一枚骰子一次,下面的事件 A 与事件 B 是互斥事件吗? (1)事件 A=“点数为 2”,事件 B=“点数 3” (2)事件 A=“点数为奇数”,事件 B=“点数为 4” (3)事件 A=“点数不超过 3”,事件 B=“点数超过 3” (4)事件 A=“点数为 5”,事件 B=“点数超过 3” 解:互斥事件: (1) (2) (3) 但(4)不是互斥事件,当点为 5 时,事件 A 和事件 B 同时发生 进一步利用集合意义理解互斥事件; A B A B

从集合角度来看, A 、 B 两个事件互斥,则表示 A 、 B 这两个事件所含结果组成的集合的 交集是空集。A 与 B 有相交,则 A 与 B 不互斥。 (四) 、事件和的意义:事件 A 、 B 的和记作 A ? B ,表示事件 A 、 B 至少有一个发生。 当 A 、 B 为互斥事件时,事件 A ? B 是由“ A 发生而 B 不发生”以及“ B 发生而 A 不发生”构
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成的, (五) 、事件 A ? B 的概率满足加法公式:对例题 (1),(2)和(3)中每一对事件,完成下表 (1) P(A) P(B) P(A+B) P(A)+P(B) (4)事件 A= “点数为 5” ,事件 B= “点 数超过 3” ,是否也有 P(A+B)=P(A)+P(B)? 概率加法公式:A、B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B) 拓展推广:一般地,如果事件 A1,A2,?,An 彼此互斥,那么事件发生(即 A1,A2,?,An 中 有一个发生)的概率,等于这 n 个事件分别发生的概率的和,即 P(A1+A2+?An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An) 例如:事件 A 表示“点数为奇数” ,事件 A1 表示“点数为 1”,A2 表示“点数为 3”,A3 表示“点 数 5” , A1,A2,A3 中任意两个是互斥事件 P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) (2) (3) 学生自己完成表,自己发现 P(A+B) 与 P(A)+P(B) 有什么样大小关系 . 得到概率加法公式: A 、 B 互斥时

P? A ? B? ? P? A? ? P?B?

自主学习: (要求学生自己阅读) 从一箱产品中随机地抽取一件产品,设 A=: “抽到的是一等品” ,B= “抽到的是二等品” ,C= “抽 到的是三等品”.且(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05 . 求下列事件的概率:⑴事件 D=“抽到的是一 等品或三等品” ⑵事件 E=“抽到的是二等品或三等品” 思考交流:事件 D+E 表示什么事件?P(D+E)=P(D+E)?为什么?(学生自己思考得出结论) 用概率加法公式的前提:A 与 B 是互斥事件 对立事件的概念:1、由实例中(3)事件 A=“点数不超过 3”,事件 B=“点数超过 3” P(A)+P(B)=1 分析引入

2、从集合的意义来理解。 例题讲解:课本第 143 页例 6 本例题目的:利用对立事件求概率,强调学生做题书写表达要清晰准确。 (六) 、课堂练习:1、课本第 145 页练习 1 2、补充练习 (1). 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,记事件 A:两次都击中飞机.事件 B:两次都没有

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击 中 飞 机 . 事 件 C: 恰 有 一 次 击 中 飞 机 . 事 件 D: 至 少 有 一 次 击 中 飞 机 . 其 中 互 斥 事 件 是 .

(2) 、已知 A、B 为互斥事件,P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,P(B)= (3) 、经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数为及相应概率如下: 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5 人及 5 人以上 0.04

①至少 1 人排队等候的概率是多少?②有排队等候的概率是多少? (七) 、 小结:概率的基本性质:

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