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湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题


桃江一中 2015 级高一年级期中考试 数学试卷
一、选择题 1.若 A ? x | 0 ? x ? (A) ?x | x ? 0? (C) 0 ? x ?

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每小题 5 分,共 60 分,请将所选答案填在答卷对应题号的空格内.

?

2 , B ? ?x |1 ?

x ? 2? ,则 A ? B ? ;
(B) ?x | x ? 2?

?

?

2

?
?
B. ? ?0, ?? ?

(D) ?x | 0 ? x ? 2?

x 2.函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为

?

A.

? 0, ???

C. ?1, ?? ?

D. ? ?1, ?? ? D. 4

3. 2log510+log50.25= A. 0 B. 1

C. 2
2

4.如果函数 f(x)的定义域为[-1,1],那么函数 f(x -1)的定义域是 A.[0,2] B.[-1,1] C.[-2,2] D.[- 2 , 2 ]

5.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x ?[0, ??) 时 f(x)是增函数,则 f(-2),f( ? ),f(-3)的大小关系是 A f( ? )>f(-3)>f(-2) C f( ? )<f(-3)<f(-2) 6.函数 f ? x ? ? B f( ? )>f(-2)>f(-3) D f( ? )<f(-2)<f(-3)

4x ? 1 的图象 2x
B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称 D(4, 5)

A. 关于原点对称

7..方程 ln x ? 2 x ? 6 的解一定位于区间 A. (1, 2) B (2 , 3) C. (3, 4)

8.某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%,经过 x 年,绿化面积与原绿 化面积之比为 y,则 y=f(x)的图象大致为
y y y y

1

1 x

o
A

o
B

1

x

o
C

x

o
D

x

9.a=log0.70.8, b=log1.10.9, c=1.10.9,那么 A. a<b<c B. a<c<b

C. b<a<c

D. c<a<b

10.已知 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? A、0 B、 -10 C、-18 D、-26
②b ? 0 , c >0 时,方程 f ( x ) ? 0 只有一个实根 ④方程 f ( x ) ? 0 至多两个实根 C.①、②、③ D.①、②、④

11.设函数 f ( x ) ? x | x | + b x + c 给出下列四个命题: ①c = 0 时,y ? f ( x ) 是奇函数 ③y ? f ( x ) 的图象关于(0 , c)对称 其中正确的命题是 A.①、④ B.①、③

12. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在实 数 集 R 上 的 不恒 为 零的 偶 函 数 ,且 对 任 意实数 x 都 有
5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 2 1 A. 0 B. 2

C. 1

D.

5 2

二、填空题 每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在答卷对应题号的横线上 13.函数 f ( x) ? log0.5 (4 ? 3x ? x2 )的递增区间是 _________. 14.设 x ? (0,1)时,幂函数 y=x p 的图象在直线 y=x 的上方,则 p 的取值范围是 15.已知 t ? 0 ,则函数 y ? .

t 2 ? 4t ? 1 的最小值为_________. t

16.定义:区间 ? x1 , x2 ? ? x1 ? x2 ? 的长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ? 2| x| 的定义域为 ? a, b? ,值域 为 ?1, 2? ,则区间 ? a, b? 的长度的最大值与最小值的差为_________.

三、解答题 共 70 分,解题要有推理过程或演算步骤
17.(本小题 10 分)已知 A ?

?x ? R x

2

B是 ? 2x ? 8 ? 0 , B ? x ? R x 2 ? ax ? a 2 ? 12 ? 0 ,

?

?

?

A 的非空子集,求实数 a 的值。
18.(本小题 12 分)已知函数 f ?x? ? 2 ? log3 x?1 ? x ? 9? ,求函数 g ?x ? ? f 值与最小值.
2

?x? ? f ?x 2 ?的最大

19. (本小题 12 分)

?? x 2 ? 2 x( x ? 0) ? ( x ? 0) 已知奇函数 f ( x) ? ?0 ? x 2 ? mx( x ? 0) ?
(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中画出 y ? f ( x) 的图象; (2)若函数 f(x)在区间[-1,|a|-2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.

20.某公司要将一批不易存放的蔬菜从 A 地运到 B 地,有汽车、火车两种运输工具可供选择, 两种运输工具的主要参考数据如下表: 运输工具 汽车 火车 途中速度 (km/h) 50 100 途中费用 (元/km) 8 4 装卸时间 (h) 2 4 装卸费用 (元) 1000 2000

若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为 300 元/h,设 A、B 两地距离为 x km (I)设采用汽车与火车运输的总费用分别为 f ( x ) 与 g ( x) ,求 f ( x ) 与 g ( x) ; (II)试根据 A、B 两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小) . (注:总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用) 21.已知函数 f ( x) ? x ? (Ⅰ)当 a ?

a ? 2, x ? ?1,?? ? 。 x

1 时,利用函数单调性的定义判断并证明 f ( x) 的单调性,并求其值域; 2

(Ⅱ)若对任意 x ? ? 1,???, f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围。

22. (本小题满分 12 分) 如果一个函数的定义域是值域的真子集,那么称这个函数为“思法” 函数。 (Ⅰ) 判断指数函数、对数函数是否为思法函数,并简述理由; (Ⅱ) 判断幂函数 y ? x
?
2 t ?1 t ?1 t t (Ⅲ) 已知 f t ? x ? ? ln x ? 2 x ? t 是思法函数,且不等式 2 ? 3 ? k 2 ? 3 对所有的

?

?? ?Q? 是否为思法函数,并证明你的结论;

?

?

?

ft ? x ? 都成立,求实数 k 的取值范围。

高一 数 学 期 中 考 试 题(参考答案)
一、DACDA 二、13. ( ? DBDCD CA

3 ,1) 14. (—∞,1) 15.-2 16.1 2

三、17.由已知, A ? ?? 2,4?

? B 是 A 的非空子集? B ? ?? 2?或 ?4?或 ?? 2,4?

若 B ? ?? 2?,则有 若 B ? ?4?,则有

?? 2?2 ? 2a ? a 2 ? 12 ? 0
? ? a 2 ? 4a 2 ? 48 ? 0 4 2 ? 4a ? a 2 ? 12 ? 0

? ? a 2 ? 4a 2 ? 48 ? 0

解得 a ? 4

解得 a ? ?

若 B ? ?? 2,4?,由韦达定理可

?? 2? ? 4 ? ?a ?? 2? ? 4 ? a 2 ? 12

解得 a ? ?2

综上,所求实数 a 的值为 ? 2 或 4 。
18.解:由 ?

?1 ? x ? 9
2 ?1 ? x ? 9

?1? x ? 3
2

g ? x ? ? ? 2 ? log3 x ? ? 2 ? log3 x 2 ? log32 x ? 6log3 x ? 6, ?1 ? x ? 3?
2 令 log3 x ? t, ? 0 ? t ? 1? ,则原函数可化为: h ? t ? ? t ? 6t ? 6 ? ? t ? 3? ? 3 ? 0 ? t ? 1? 2

∴当 t=0 时,原函数取最小值-3,

当 t=1 时,原函数取最大值 13

19. 解 (1) 当 x<0 时, -x>0, f (? x) ? ?( x)2 ? 2(? x) ? ? x2 ? 2 x 又 f(x)为奇函数,∴ f ( x) ? ? f (? x) ? x2 ? 2 x , ∴m=2 y=f(x)的图象如右所示

?? x 2 ? 2 x ? (2)由(1)知 f(x)= ?0 ? x2 ? 2x ?

( x ? 0) ( x ? 0) , ( x ? 0)

由图象可知, f ( x) 在[-1,1]上单调递增,要使 f ( x) 在[-1,|a|-2]上单调递增,

只需 ?

?| a | ?2 ? ?1 ?| a | ?2 ? 1

解之得 ?3 ? a ? ?1或1 ? a ? 3 20.解:由题意可知,用汽车运输的总支出为:

f ( x) ? 8 x ? 1000 ? (

x ? 2) ? 300 ? 14 x ? 1600( x ? 0) 50

用火车运输的总支出为:

x g ( x) ? 4 x ? 2000 ? ( ? 4) ? 300 ? 7 x ? 3200( x ? 0) 100 1600 (1)由 f ( x) ? g ( x) 得 x ? ; 7

1600 7 1600 (3)由 f ( x) ? g ( x) 得 x ? 7 1600 km 时,采用汽车运输好 答:当 A、B 两地距离小于 7 1600 km 时,采用汽车或火车都一样 当 A、B 两地距离等于 7 1600 km 时,采用火车运输好. 当 A、B 两地距离大于 7
(2)由 f ( x) ? g ( x) 得 x ? 21.解: (Ⅰ)任取 x1 , x2 ? [1,??),且x1 ? x2 , 则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ?

a a ? 2 ? x1 ? ? 2 x2 x1

? ( x2 ? x1 )(1 ?

a 1 1 ) ,当 a ? 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 )(1 ? ), x1 x2 2 2 x1 x2 1 ? 0 ,恒成立 2 x1 x2

∵ 1 ? x1 ? x2 , ∴ x 2 ? x1 ? 0,1 ? ∴ f ( x)在[1,??) 上是增函数,

∴当 x=1 时,f(x)取得最小值为 f (1) ? 1 ?

1 7 ?2? , 2 2

? ? ). ∴f(x)的值域为 [ ,
(Ⅱ) f ( x) ? x ?

7 2

a x 2 ? 2x ? a ? 2可变为f ( x) ? , x x x 2 ? 2x ? a ? 0 ,恒成立 x

∵对任意 x ? [1,??), f ( x) ?
2

∴只需对任意 x ? [1,??), x ? 2 x ? a ? 0 恒成立。 设 g ( x) ? x ? 2 x ? a, x ? [1,??),
2

∵g(x)的对称轴为 x=-1, ∴只需 g(1)>0 便可, g(1)=3+a>0, ∴a>-3。 22.解:(Ⅰ) ? 指数函数的定义域是 R ,值域 ? 0, ?? ? 。? 指数函数不是思法函数 对数函数的定义域是 ? 0, ?? ? ,值域 R ,故对数函数是思法函数。 (Ⅱ) 幂函数 y ? x
?

?? ?Q? 不是思法函数。证明如下:

⑴当 ? ? 0 时,显然 y ? x0 不是思法函数; ⑵当 ? ? 0 时,设 ? ?

①若 n 为偶数,则 m 为奇数,定义域和值域都是 ? 0, ?? ? ,不是思法函数; ②若 n 为奇数,当 m 为奇数时,定义域和值域都是 R ,不是思法函数;当 m 为偶数时,定义 域 R ,值域是 ? 0, ?? ? ,不是思法函数。

m (其中 m , n 是互质的正整数) 。 n

⑶当 ? ? 0 时,设 ? ? ?

①若 n 为偶数,则 m 为奇数,定义域和值域都是 ? 0, ??? ,不是思法函数;
[Z-XK]

m n

(其中 m , n 是互质的正整数)

②若 n 为奇数, 当 m 为奇数时, 定义域和值域都是 ? ??,0? ? ? 0, ??? , 不是思法函数; 当m为 偶数时,定义域 ? ??,0? ? ? 0, ??? ,值域是 ? 0, ??? ,不是思法函数。 综上所述;幂函数 y ? x
?

?? ?Q? 不是思法函数。
2

(Ⅲ) 令 y ? ln u , u ? x2 ? 2 x ? t 。则 u ? ? x ? 1? ? t ? 1 ⑴ 当 ? ? 4 ? 4t ? 0 , 即 t ? 1 时 , 恒 有 u ? t ? 1 ? 0 。 故 ft ? x ? 的 定 义 域 为 R , 值 域 为

? ?ln ? t ? 1? , ?? ? , ft ? x ? 不是思法函数; 2 ⑵当 ? ? 4 ? 4t ? 0 ,即 t ? 1 时, u ? x ? 2 x ? t 能取 ? 0, ??? 中的一切值,故 ft ? x ? 的值域
为 R 。定义域不是 R , ft ? x ? 是思法函数。因此, ft ? x ? 是思法函数 ? t ? ? ??,1? 。 又2
t ?1

? 3t ?1 ? k ? 2t ? 3t ? ? k ?
t

2t ?1 ? 3t ?1 2t ?1 ? 3t ?1 g t ? ,令 ,则 k ? g ?t ?max 。 ? ? 2t ? 3t 2t ? 3t

?2? 2? ? ? 3 13 1 3 在 ? ??,1? 上是增函数,故 g ? x ? max ? g ?1? ? 。 ? g ?t ? ? ? ? ? 2? t t 5 ?2? ?2? ? ? ?1 ? ? ?1 ?3? ?3? ?13 ? 所以 k ? ? , ?? ? 。 ?5 ?

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