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方程的根与函数零点第一课时教案-数学高一必修1第三章函数与方程3.1函数与方程3.1.3人教A版


人教 A 版 第三章 3.1.1 第一课时

数学教案

必修 1

第三章

函数与方程

3.1.1 方程的根与函数零点

一.学习目标
1.知识与技能 (1).理解函数零点的概念.(重点) (2).初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与 x 轴

交点的横坐标之间的关系.(重点、难点) (3)会求基本初等函数的零点(重点) 2.过程与方法 培养学生观察、思考、分析、猜想、验证的能力,并从中体验从特殊到一般思想及函数与方程思想. 3.情感、态度与价值观 从函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.

二.重点难点
重点:体会函数的零点与方程的根之间的联系,掌握零点存在的判定条件. 难点:探究发现函数零点的存在性.

三.专家建议
以学生熟悉的二次函数图象和二次方程为平台,通过让学生观察方程和函数形式上的联系,引导学生 得出三个重要的等价关系,体现 “化归”和“数形结合”的数学思想,为探索零点存在定理做好铺垫.在 此基础上,以学生熟悉的一次函数、二次函数为载体,运用数形结合的思想,借助多媒体,以动态的形式 演示函数值在零点附近的变化规律,通过学生的观察、思考、交流、探索归纳出连续函数 y=f(x)在区间(a, b)内一定有零点的条件:f(a)· f(b)<0,并通过范例及变式训练对零点存在的判定条件加以训练,突出重点的 同时化解难点.

四.教学方法
自学探究法,公式训练法

五.教学过程
●情景导入
方程解法史话 : 花拉子米(约 780~约 850)给出了一次方程和二次方程的一般解法 ; 阿贝尔 (1802 ~ 1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式, 今天我们来学习方程的根与函数的零点!

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●新知探究
【问题导思】 给定二次函数 y=x2+2x-3,其图象如下:

1.方程 x2+2x-3=0 的根是什么? 【提示】 方程的根为-3,1. 2.函数的图象与 x 轴的交点是什么? 【提示】 交点为(-3,0),(1,0). 3.方程的根与交点的横坐标有什么关系? 【提示】 相等. 4.通过图象观察,在每一个交点附近,两侧函数值符号有什么特点? 【提示】 函数值符号异号. 1.函数的零点 (1)定义: 如果函数 y=f(x)在实数 α 处的值等于零,即 f(α)=0,则 α 叫做这个函数的零点. (2)性质: ①当函数图象通过零点且穿过 x 轴时,函数值变号. ②两个零点把 x 轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号. 2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系 判别式 Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0

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二次函数 y=ax2+bx +c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+ bx+c=0 的根 二次函数 y=ax2+bx +c 的零点 典例分析 类型 1 求函数的零点 例 1. 求下列函数的零点. (1)f(x)=-x2-2x+3; (2)f(x)=x4-1. 【思路探究】 根据函数零点与相应方程的根之间的关系,求函数的零点就是求相应方程的根. 【解析】 (1)∵f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1), ∴方程-x2-2x+3=0 的两根分别是-3 和 1. 故函数的零点是-3,1. (2)∵f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1), ∴方程 x4-1=0 的实数根是-1 和 1. ∴函数的零点为± 1. 【总结提升】函数零点的求法: (1)代数法:求方程 f(x)=0 的实数根; (2)几何法:对于不能用求根公式的方程 f(x)=0,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来,图象与 x 轴 的交点的横坐标即为函数的零点. 【变式训练】求函数 y=(ax-1)(x+2)的零点. 【解】 (1)当 a=0 时,令 y=0 得 x=-2; 1 (2)当 a≠0 时,令 y=0 得 x= 或 x=-2. a 1 ①当 a=- 时,函数的零点为-2; 2 1 1 ②当 a≠- 时,函数的零点为 ,-2. 2 a 1 综上所述:(1)当 a=0 或- 时,零点为-2; 2 1 1 (2)当 a≠0 且 a≠- 时,零点为 ,-2. 2 a 有两相等实根 x1=x2= - b 2a 没有实根

有两相异实根 x1, x2(x1<x2) 有两个零点 x1,x2

有一个二重零点 x1=x2

没有零点

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类型 2

函数零点个数的判断

例 2.判断下列函数的零点个数. (1)f(x)=x2-7x+12; 1 (2)f(x)=x2- . x 【思路探究】(1) 令f?x?=0 ― → 解方程求根 ― → 根的个数 1 ?2? 令f?x?=0 ― → 令h?x?=x2,g?x?= x ― → 作h?x?、g?x?图象 ― → 判断两图象 的交点个数

【解析】 (1)由 f(x)=0,即 x2-7x+12=0,得 Δ=49-4×12=1>0, ∴方程 x2-7x+12=0 有两个不相等的实数根 3,4, ∴函数 f(x)有两个零点. 1 1 (2)法一 由 x2- =0,得 x2= . x x 1 令 h(x)=x2(x≠0),g(x)= . x 1 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象,由图可知两图象只有一个交点,故函数 f(x)=x2- 只有一个零 x 点.

1 法二 令 f(x)=0,即 x2- =0, x ∵x≠0,∴x3-1=0, ∴(x-1)(x2+x+1)=0, ∴x=1 或 x2+x+1=0. ∵方程 x2+x+1=0 的根的判别式 Δ=12-4=-3<0,∴方程 x2+x+1=0 无实数根. ∴函数 f(x)只有一个零点.

1.二次函数零点个数的判断依据 Δ 与 0 的大小关系. 2.y=f(x)-g(x)类型函数零点个数的两种判断方法

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(1)所求转化为函数 y=f(x)-g(x)的图象与 x 轴交点的个数,通过画 y=f(x)-g(x)的图象解决. (2)所求转化为方程 f(x)-g(x)=0,即 f(x)=g(x)根的个数,再转化为函数 y=f(x)与 y=g(x)两个函数的图 象的交点个数. 【变式训练】若 f(x)=x|x|-2,则 y=f(x)的零点个数为________. 【解析】 当 x>0 时,f(x)=x2-2=0,得 x= 2或 x=- 2(舍), 当 x≤0 时,f(x)=-x2-2=0 无解,∴f(x)有一个零点. 【答案】 1 函数 f ( x) ? x ? A.0 C.2

1 的零点个数为( x
B.1 D.3

)

解答:选 A.函数的定义域为 以函数没有零点,故选 A.

?x x ? R, 且x ? 0?,

当 x>0 时,f(x)>0,当 x<0 时,f(x)<0,所

类型 3 函数零点性质的应用 例 3. 求实数 m 的取值范围,使关于 x 的方程 x2+mx+3=0 的两根 x1,x2(x1≠x2). (1)都大于 0;(2)都小于 0;(3)都大于 2. 【思路探究】 令 f(x)=x2+mx+3,由于函数的零点是函数图象与 x 轴交点的横坐标,所以上述三问 均可利用二次函数的图象来确定零点,进而确定参数 m 的取值范围. 【解析】 (1)依题意

? ?f?0?>0 ∵? m ? ?- 2 >0

Δ>0

? ?3>0 ,即? m ? ?- 2 >0

m2-12>0 ,∴m<-2 3.

(2)依题意 Δ>0 ? ?f?0?>0 ∵? <0 ?-m ? 2 m -12>0 ? ?3>0 ,即? m ?- 2 <0 ?
2

,∴m>2 3.

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(3)依题意

? m ∵?- 2 >2 ?f?2?>0

Δ>0

? ? m ,即?- 2 >2 ? ?4+2m+3>0

m2-12>0

m>2 3或m<-2 ? ?m<-4 ∴? 7 ? ?m>-2

3 ,∴不存在 m,使方程两根都大于 2.

【总结提升】 解决有关根的分布问题应注意以下几点: (1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题; (2)结合草图考虑四个方面:①Δ 与 0 的大小;②对称轴与所给端点值的关系;③端点的函数值与零的 关系;④开口方向; (3)写出由题意得到的不等式; (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意,这类问题充分体现了函数与方程的思想. 【变式训练】 将③中“两个零点都大于 2”改为“一个大于 2,一个小于 2”求实数 m 的取值范围.

?Δ>0 ?m>2 3或m<-2 3 7 【解】 根据题意知:∵? ∴? ∴m<- . 2 ?f?2?<0 ?2m+7<0

五、课堂小结
1.函数的零点的定义. 2.等价关系

3.判断函数的零点,可利用的结论: 若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即 f(a)· f(b)<0, 则在区间(a,b)内,函数 y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程 f(x)=0 在区间(a,b)内至少有一个实数解.

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六.板书设计
方程的根与函数零点

学习目标
(1).理解函数零点的概 念.(重点) (2). 初步了解函数的零 点、方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标之间的关 系.(重点、难点)

1. 注意事项: 1 2. 3. 4.

典例分析 例1 例2 例3 例4

小结:

作业

当堂检 测反馈

学生练习

七.当堂检测
1.函数 f(x)=2x2-3x+1 的零点是( 1 A.- ,-1 2 1 C. ,-1 2 【解析】 令 f(x)=2x2-3x+1=0 1 得 x= 或 x=1,故选 B. 2 【答案】 B 2.函数 f(x)=x3-2x2+2x 的零点个数为( A.0 C.2 【解析】 ∵f(x)=x3-2x2+2x=x(x2-2x+2), 又 x2-2x+2=0,Δ=4-8<0, ∴x2-2x+2≠0,∴f(x)的零点只有 1 个,故选 B. 【答案】 B
?x2+2x-3,x≤0 ? 3.函数 f(x)=? 的零点个数为( 2 ?-2+x ,x>0 ?

) 1 B. ,1 2 1 D.- ,1 2

) B.1 D.3

) B.2 D.0

A.3 C.1 【解析】 令 f(x)=0,

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则 x2+2x-3=0(x≤0)或 x2-2=0(x>0), 解得:x=-3 或 x= 2符合题意,故选 B. 【答案】 B 4.求函数 y=x3-7x+6 的零点. 【解】 ∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6) =x(x2-1)-6(x-1) =x(x+1)(x-1)-6(x-1) =(x-1)(x2+x-6) =(x-1)(x-2)(x+3), ∴由 x3-7x+6=0 即(x-1)(x-2)(x+3)=0 得 x1=-3,x2=1,x3=2. ∴函数 y=x3-7x+6 的零点为-3,1,2.

八、课后拓展
知识延展——一元二次方程根的分布情况 下面为几类常见二次方程根的分布情况及需满足的条件(只讨论 a>0 的情况,a<0 时可变形为 a>0 的情 况). 根的分布(m<n<p<s 为常数)

图象

满足的条件

x1<x2<m

Δ>0, ? ? b ?-2a<m, ?f?m?>0. ? Δ>0, ? ? b ?-2a>m, ? ?f?m?>0.

m<x1<x2

x1<m<x2

f(m)<0

m<x1<x2<n

?m<- b <n, 2a ?f?m?>0 , ?f?n?>0.
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Δ>0,

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m<x1<n<x2<p

f?m?>0, ? ? ?f?n?<0, ? ?f?p?>0. Δ=0, ? ? ? b ? ?m<-2a<n. 或 f(m)· f(n)<0 f?m?>0, ? ?f?n?<0, ?f?p?<0, ? ?f?s?>0.

只有一根在(m,n)之 间

m<x1<n p<x2<s

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