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2015高考复习函数的性质专题(含14年高考题)及答案

时间:2014-08-14


2015 专题一:函数的基本性质
一、函数的单调性
函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势,高考中常考其一下作用:比较大小,解不等式,求最 值。

定义:(略) 定理 1: x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是减函数. x1 ? x2

定理 2: (导数法确定单调区间) 若 x ? ?a, b?,那么

f ??x? ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是增函数; f ??x? ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数.
1.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法 2.复合函数的单调性的判定 对 于 函 数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) , 如 果 函 数 u ? g ( x) 在 区 间 ( a ,b )上 具 有 单 调 性 , 当 x ? ? a, b ? 时 且函数 y ? f (u ) 在区间 (m, n) 上也具有单调性, 则复合函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 ? a, b ? 具有单调性。 u ? ? m, n? , 3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f ( x) 和 g ( x) ,若它们的定义域分别为 I 和 J ,且 I ? J ? ? : (1)当 f ( x) 和 g ( x) 具有相同的增减性时, ①F 1 ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的增减性与 f ( x ) 相同, ② F2 ( x) ? f ( x) ? g ( x) 、 F3 ( x) ? f ( x) ? g ( x) 、 F4 ( x) ?

(3)导数法

f ( x) ( g ( x) ? 0) 的增减性不能确定; g ( x)

(2)当 f ( x) 和 g ( x) 具有相异的增减性时,我们假设 f ( x) 为增函数, g ( x) 为减函数,那么: ①F 1 ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的增减性不能确定; ② F2 ( x) ? f ( x) ? g ( x) 、F3 ( x) ? f ( x) ? g ( x) 、F4 ( x) ? 1

f ( x) g ( x) ( g ( x) ? 0) 为增函数,F5 ( x) ? ( f ( x) ? 0) 为减函数。 g ( x) f ( x)

4.奇偶函数的单调性 奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同,偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。

二、函数的对称性
函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够 更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。

1.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性(自身): 定理 1: 函数 y ? f ( x) 的图象关于直 x ?
a?b 对称 2

? f (a ? x) ? f (b ? x) ? f (a ? b ? x) ? f ( x)
特殊的有: ①函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) 。 ②函数 y ? f ( x ) 的图象关于 y 轴对称(奇函数) ? f (? x) ? f ( x) 。 ③函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数 ? f ( x) 关于 x ? a 对称。

定理 2:函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称

? f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b
特殊的有: ① 函数 y ? f ( x ) 的图象关于点 ( a, 0) 对称 ?

f ( x) ? ? f (2a ? x) 。

② 函数 y ? f ( x ) 的图象关于原点对称(奇函数) ? f (? x) ? ? f ( x) 。 ③ 函数 y ? f ( x ? a) 是奇函数 ? f ( x) 关于点 ?a,0? 对称。

定理 3: (性质)
①若函数 y=f (x)的图像有两条铅直对称轴 x=a 和 x=b(a 不等于 b),那么 f(x)为周期函数且 2|a-b|是它的一个 周期。 ②若函数 y=f (x)的图像有一个对称中心 M(m.n)和一条铅直对称轴 x=a,那么 f(x)为周期函数且 4|a-m|为它的一 个周期。 ③若函数 y = f (x) 图像同时关于点 A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称(a≠b) ,则 y = f (x)是周期函数,且 2| a-b|是其一个周期。 ④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线 y=x 对称。 2

2.两个函数图象的对称性:
①函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. ②函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2m

特殊地: y ? f ( x ? a) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ③函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称的解析式为 y ? f (2a ? x) ④函数 y ? f ( x ) 的图象关于点 ( a, 0) 对称的解析式为 y ? ? f (2a ? x) ⑤函数 y = f (x)与 a-x = f (a-y)的图像关于直线 x +y = a 成轴对称。 函数 y = f (x)与 x-a = f (y + a)的图像关于直线 x-y = a 成轴对称。 函数 y = f (x)的图像与 x = f (y)的图像关于直线 x = y 成轴对称。

3.奇偶函数性质
对于两个具有奇偶性的函数 f ( x) 和 g ( x) ,若它们的定义域分别为 I 和 J ,且 I ? J ? ? : (1)满足定义式子 f (? x) ? f ( x) (偶) f ( x) ? f (? x) ? 0 (奇) (2)在原点有定义的奇函数有 f (0) ? 0 (3)当 f ( x) 和 g ( x) 具有相同的奇偶性时,假设为奇函数,那么: ①函数 F 1 ( x) ? f ( x) ? g ( x) 、 F 3 ( x) ? f ( x) ? g ( x) 也为奇函数; ② F2 ( x) ? f ( x) ? g ( x) 、 F4 ( x) ?

f ( x) ( g ( x) ? 0) 为偶函数; g ( x)

简单地说:
奇函数± 奇函数=奇函数, 偶函数± 偶函数=偶函数, 奇函数× 奇函数=偶函数, 偶函数× 偶函数=偶函数, 奇函数× 偶函数=奇函数.

③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数 (4)当 f ( x) 和 g ( x) 具有相异的奇偶性时,那么: ①F 1 ( x) ? f ( x) ? g ( x) 、 F 3 ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的奇偶性不能确定; ② F2 ( x) ? f ( x) ? g ( x) 、 F4 ( x) ?

f ( x) g ( x) ( g ( x) ? 0) 、 F5 ( x) ? ( f ( x) ? 0) 为奇函数。 g ( x) f ( x)
1 ? f ( x) ? f (? x)? 与一个偶函数 h( x) ? 1 ? f ( x) ? f (? x)? 的和。 2 2

(6)任意函数 f ( x) 均可表示成一个奇函数 g ( x) ?

(7)一般的奇函数都具有反函数,且依然是奇函数,偶函数没有反函数 (8)图形的对称性 关于 y 轴对称的函数(偶函数)关于原点 ? 0, 0 ? 对称的函数(奇函数)

3

(9)若 f ( x ) 是偶函数,则必有 f (ax ? b) ? f ?? (ax ? b)? 若 f ( x ) 是奇函数,则必有 f (ax ? b) ? ? f ?? (ax ? b)? (10)若 f (ax ? b) 为偶函数,则必有 f (ax ? b) ? f (?ax ? b) 若 f (ax ? b) 是奇函数,则必有 f (ax ? b) ? ? f (?ax ? b) (11)常见的奇偶函数

三、函数的周期性
函数的周期性反映了函数的重复性,在试题中它的主要用途是将大值化小,负值化正,求值。

1.周期性的定义
对 于 函 数 y ? f ( x) , 如 果 存 在 一 个 非 零 常 数 T , 使 得 当 x 取 定 义 域 内 的 每 一 个 值 时 , 都 有

f ( x ? T ) ? f ( x) 都成立,那么就把函数 y ? f ( x) 叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。如果所有
的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数 T 是函数 f ( x) 的周期, 那么 ?T 、 nT ( n ? N )也是函数 f ( x) 的周期。
*

2. 函数的周期性的主要结论:
结论 1:如果 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ( a ? b ) ,那么 f ( x) 是周期函数,其中一个周期 T ? a ? b 结论 2:如果 f ( x ? a) ? ? f ( x ? b) ( a ? b ) ,那么 f ( x) 是周期函数,其中一个周期 T ? 2 a ? b 结论 3:如果定义在 R 上的函数 f ( x) 有两条对称轴 x ? a 、 x ? b 对称,那么 f ( x) 是周期函数,其中一个周 期T ? 2 a ?b 结论 4: 如果偶函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? a( a ? 0 ) 对称, 那么 f ( x) 是周期函数, 其中一个周期 T ? 2 a 结论 5: 如果奇函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? a( a ? 0 ) 对称, 那么 f ( x) 是周期函数, 其中一个周期 T ? 4 a 结论 6:如果函数同时关于两点 ? a, c ? 、 ? b, c ? ( a ? b )成中心对称,那么 f ( x) 是周期函数,其中一个周期

T ? 2 a ?b
结论 7:如果奇函数 f ( x) 关于点 ? a, c ?( a ? 0 )成中心对称,那么 f ( x) 是周期函数,其中一个周期 T ? 2 a 结论 8:如果函数 f ( x) 的图像关于点 ? a, c ? ( a ? 0 )成中心对称,且关于直线 x ? b ( a ? b )成轴对称, 那么 f ( x) 是周期函数,其中一个周期 T ? 4 a ? b 结论 9:如果 f ( x ? p ) ? 结论 10:如果 f ( x ?

1 1 或 f ( x ? p) ? ? ,那么 f ( x) 是周期函数,其中一个周期 T ? 2 p f ( x) f ( x)

p 1 ? f ( x) p 1 ? f ( x) )? 或 f (x ? ) ? ,那么 f ( x) 是周期函数,其中一个周期 T ? 2 p 2 1 ? f ( x) 2 1 ? f ( x)

结论 11:如果 f ( x ? p) ? ? f ( x) ,那么 f ( x) 是周期函数,其中一个周期 T ? 2 p

4

函数的图象和性质课堂例题

一、函数图象的分析和判断 例1 (1)设 a<b,则函数 y=(a-x)(x-b) 2 的图象可能是( )

类型二:构造函数解决不等式问题 例 2(1)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集 为 (2)若函数 f(x)在 R 上可导,且满足 f(x) >x f′(x),则一定有( ) A、2 f(5)< f(10) B、2 f(5)> f(10) C、2 f(5)= f(10) D、f(5)< f(10) (3)(2012 浙江 9) 9.设 a ? 0 , b ? 0 ,则( ) A.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b C.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b B.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b D.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b

类型三:函数的性质(对称性、奇偶性、周期性、单调性) 判断对称性的问题: 例 3:判断函数对称性命题的正误 有以下四个命题: (1)定义在 R 上的函数 y=f(x),对任意的实数 x,都有 f(x-1) +f(1-x)=2,则函数 y=f(x)的图象关 于点(0,1)对称。 (2)定义在 R 上的函数 y=f(x),对任意的实数 x,都有 f(x-1) =f(1-x),则函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称。 (3)同一坐标系中,实数集上的函数 y= f(x-1)与实数集上的函数 y=f(1-x)的图象关于 x=1 对称。 (4)同一坐标系中,实数集上的函数 y= f(x+1)与实数集上的函数 y=f(1-x)的图象关于 x=0 对称。 其正确的命题是 . 判断函数的奇偶性 例 4: (2009 年全国 1 卷)函数 f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( (A) f ( x) 是偶函数 (C) f ( x) ? f ( x ? 2) (B) f ( x) 是奇函数 (D) f ( x ? 3) 是奇函数 ) )

? ? ?? 练习:设 f ?x ? ? x sin x , x1 、 x 2 ? ?? , ? ,且 f ? x1 ? > f ? x 2 ? ,则下列结论必成立的是( ? 2 2?

A. x1 > x 2

B. x1 + x 2 >0

C. x1 < x 2

D. x1 > x 2

2

2

3.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论 中正确的是( ) 5

A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

函数周期性的问题 例 5、已知函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对 称,且 f(4)=4,则 f(2 012)=( ) A.0 B.-4 C.-8 D.-16 3? 3? ? ? 练习 1.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f?x+ ?=-f(x),且函数 y=f?x- ?为奇函数,给 2? 4? ? ? ? 3 ? 出三个结论:①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于点?- ,0?对称;③f(x)是偶函数.其中正确 ? 4 ? 结论的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 其中所有正确结论的序号是 。
练习 2.(2013· 高考天津卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数 a 满 足 f(log2a)+f(log1a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( )
2

1? A.[1,2] B.? ?0,2?

1 ? C.? ?2,2?
|x|

D.(0,2]

【思路点拨】 (1)先确定 y=-3 的奇偶性及单调性,再验证. 练习 3.(1)(2012· 高考山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=( ) A.335 B.338 C.1 678 D.2 012 (2)(2013· 高考江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区 间表示为________.

类型四:交点和所有交点横坐标的和 例 6、 (1)(新课标 2011、 12)函数 y ? 的横坐标之和等于( (A)2 ) (B) 4 (C) 6 (D)8
1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点 1? x

1? 时 f (x) =x2,那么函数 y = f (x) (2)(新课标 2011、 12)已知函数 y= f (x) 的周期为 2, 当 x ? ?? 1,

的图像与函数 y = lg x 的图像的交点共有( (A)10 个 (B)9 个

) (D)1 个

(C)8 个

类型五:分段函数问题
?-x2+2x ? 例 7(13 年 11)已知函数 f(x)=? ?ln(x+1) ?

x≤0 x>0

,若| f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( D、[-2,0]

)

A、 (-∞,0]

B、 (-∞,1]

C、[-2,1]

类型六:三次函数的问题:
例8、(14年11) 6

已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为(
3 2



A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

7


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