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3.3.4立体几何中的向量方法解决距离问题


3.2.4利用向量解决 空间的距离问题

向量法求空间距离的求解方法
1.空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的 距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行 平面的距离、异面直线间的距离.其中直线到平面的 距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离. 2.空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),
?

?? ? 则 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2

3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点,
点A为平面内的任一点,平面的法向量为n,过点P作

平面?的垂线PO,记PA和平面?所成的角为?,则点P ??? ? 到平面的距离 d ?| PO | ??? ? P ?| PA | sin ? n ? ??? ? ??? | n ? PA | ? ? ?| PA | ? ??? | n || PA | ?A ? ??? ? ? O | n ? PA | ?? ? ? |n|

4.异面直线的距离:
①作直线a、b的方向向量a,b,
A

求a、b的法向量n,即此异面直
线a、b的公垂线的方向向量;

a M

②在直线a、b上各取一点

n

A、B,作向量AB;
③求向量AB在n上的射影

?

N

B

b

d,则异面直线a、b间的距离为

??? ? ? AB ? n ??? ? ??? ? ? d ? AB ? cos ? AB, n ? ? ? n

典 例

例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶

点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是 60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱 D1 长有什么关系? C1
B1 C B

解:如图1,不妨设 AB ? AA1 ? AD ? 1 , A1 ?BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? 60? D 依据向量的加法法则, 化为向量问题 ???? ??? ??? ???? ? ? ? ? A AC1 ? AB ? AD ? AA1 ???? 2 ? ??? ??? ???? 2 ? ? ? 图1 AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 ) 进行向量运算

??? 2 ??? 2 ???? 2 ? ? ? ??? ??? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )

? 1 ? 1 ? 1 ? 2(cos 60? ? cos 60? ? cos 60?) ? 6 ???? ? 回到图形问题 所以 | AC1 |? 6

这个晶体的对角线 AC1的长是棱长的 6 倍。

思考: (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系?
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以 某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于? , 那么 A1 有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
D D1 C1 B1

C

(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离)
???? ??? ??? ???? ? ? ? ? 思考(1)分析: BD1 ? BA ? BC ? BB1 其中 ?ABC ? ?ABB1 ? 120? , B1BC ? 60? 易知对角线 BD ?

思考(2)分析: 设 AC 1 ? a , ? AD ? AA1 ? x , BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? ? AB ?
? ? ? ??? ???? ??? ???? ???? ???? ? ? ? ? ???? ??? ??? ???? ? ? ? ? ???? 2 ??? 2 ???? 2 ???? 2 由 AC1 ? AB ? AD ? AA1 ? AC1 ? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )

1

的长与棱长的关系.

即 a2 ? 3x2 ? 2(3 x2 cos? ) ? x ?

1 a 3 ? 6cos ?

∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.

思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? 分析:面面距离转化为点面距离来求
解: 过 A1点作 A1 H ? 平面 AC 于点 H . 则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离.
A1 B1 H D C

D1

C1

B 由?A1 AB ? ?A1 AD ? ?BAD 且 AB ? AD ? AA1 A ? H 在 AC 上. ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? AC ? ( AB ? BC ) ? 1 ? 1 ? 2cos60? ? 3 ? AC ? 3 ???? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? AA1 ? AC ? AA1 ? ( AB ? BC ) ? AA1 ? AB ? AA1 ? BC ? cos 60? ? cos 60? ? 1.

?

?

如何用向量法求点到平面的距离 ?

6 6 ∴ 所求的距离是 . A1 H ? AA1 sin ?A1 AC ? 3 3

???? ???? ? AA ? AC 1 ???? 1 ???? ? ? cos ?A1 AC ? | AA1 | ? | AC | 3

?

6 sin ?A1 AC ? 3

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的 中点,求下列问题: (1) 求B1到面A1BE的距离; ???? ???? 1 解:A1E =(-1, ,0),A1B=(0,1,-1) 2 ? E D1 设n ? ( x, y, z )为面A1BE的法向量, C1 ? ???? 则?n ? A1E ? 0, ?? x ? 1 y ? 0, ? y ? 2 x, ? ? B1 A1 2 ? ? ???? ? 即? ?n ? A1B ? 0, ? y ? z ? 0, ? ? z ? 2 x, ? ? 取x=,得平面A1BE的一个法向量n ? (1, 2, 2) 1 C D ???? ? 选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 ? ? 0,1,0? , A B ???? ? ? A1 B1 ? n 2 得B1到面A1 BE的距离为d ? ? ? 3 n

z

y

x

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的 中点,求下列问题: (2) 求D1C到面A1BE的距离;

z

D1
解:∵D1C∥面A1BE ∴ D1到面A1BE的距离即为 D1C到面A1BE的距离 仿上法求得

E

C1

A1

B1
D

A

C y

D1 A1 ? n 1 D1到面A1 BE的距离为d ? ? ? 3 n

x ????? ?

B

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的 中点,求下列问题:

z

(3) 求面A1DB与面D1CB1的距离;

解:∵面D1CB1∥面A1BD

D1
A1

C1

∴ D1到面A1BD的距离即为面 D1CB1到面A1BD的距离

B1
C y

? D 易得平面A1 BD的一法向量n ? (?1,1,1) ????? 且 D1 A1 ? (1,0,0) A ????? ? D1 A1 ? n 3 则D1到面A1 BD的距离为d ? ? ? 3 n

x

B

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为D1C1的 中点,求下列问题: (4) 求异面直线D1B与A1E的距离. 1 解:∵ D1 (0,0,1), B(1,1,0), A1 (1,0,1), E(0, ,1) E D1 2 C1 ???? ? ???? ? 1 ? ? A1E ? ? ?1, , 0 ? , D1B ? ?1,1, ?1? A1 2 ? ???? ???? ? B1 ? ? ? 设n ? ( x, y, z )是与A1 E , D1 B都垂直的向量, ? ???? ? D 则 ? n ? A1 E ? 0,? ? x ? 1 y ? 0, C ? ? ? y ? 2 x, ? ? ? ???? 2 ? A 即? B ? n ? D1 B ? 0,? x ? y ? z ? 0, ? z ? 3 x , ? ? ? 取x=1,得其中一个n ? (1, 2, 3) ????? 选A1 E与BD1的两点向量为D1 A1 ? ?1,0,0? , ????? ? D1 A1 ? n 14 ? 得A1 E与BD1的距离 d ? ? 14 n

z

y

x

课堂练习:
练习1:如图,空间四边形OABC各边以及AC,BO 的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连

结DE,计算DE的长。
D

O

C E B

A

练习2: 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别 是B1C1和C1D1 的中点,求点A1到平面DBEF的距离。

z

D1

F B1 E

C1

A1
D A x

C y B

练习3: 如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1, ∠ACB=900,AA1= 2 ,

z

C1 A1
C A x B y

求B1到平面A1BC的距离。

B1

小结
利用法向量来解决上述立体几何题目,最大

的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定
垂足的位置,完全依靠计算就可以解决问题。但

是也有局限性,用代数推理解立体几何题目,关
键就是得建立空间直角坐标系,把向量通过坐标

形式表示出来,所以能用这种方法解题的立体几
何模型一般都是如:正(长)方体、直棱柱、正 棱锥等。

补充作业:
已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E、
F分别是AB、AD的中点,求点B到平面GEF的距离。

z G x
F A

D

C

E

y

B


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