nbhkdz.com冰点文库

高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第9节 线面角及二面角的求法

时间:2017-05-06


第 9 节 线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法: (1)线面角的求法,找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转 化到一个三角形中求解. (2)二面角的大小求法,二面角的大小用它的平面角来度量.
: ]

【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法;②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.

r />【典例讲解】 【例 1】 如图,在四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC =60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.

(1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (2)证明:AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A-PD-C 的正弦值. (1)解 在四棱锥 P-ABCD 中,

因 PA⊥底面 ABCD,AB?平面 ABCD, 故 PA⊥AB.又 AB⊥AD,PA∩AD=A, 从而 AB⊥平面 PAD, 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA, 从而∠APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角. 在 Rt△PAB 中,AB=PA,故∠APB=45°. 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45°. (2)证明 在四棱锥 P-ABCD 中, 因 PA⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD, 故 CD⊥PA.由条件 CD⊥AC,PA∩AC=A,

∴CD⊥平面 PAC. 又 AE?平面 PAC,∴AE⊥CD. 由 PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得 AC=PA. ∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 又 PC∩CD=C,综上得 AE⊥平面 PCD.

【变式探究】如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底 面 ABCD,PD=DC.E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.

(1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C-PB-D 的大小. (1)证明 如图所示,连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO. ∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点. 在△PAC 中,EO 是中位线, ∴PA∥EO. 而 EO?平面 EDB 且 PA?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB.

【针对训练】 1.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD,AC=2 2,PA =2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC.

(1)证明:PC⊥平面 BED; (2)设二面角 A-PB-C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.

(2)解

在平面 PAB 内过点 A 作 AG⊥PB,G 为垂足.

因为二面角 A-PB-C 为 90°, 所以平面 PAB⊥平面 PBC. 又平面 PAB∩平面 PBC=PB, 故 AG⊥平面 PBC,AG⊥BC. 因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA,AG 都垂直, 故 BC⊥平面 PAB,于是 BC⊥AB, 所以底面 ABCD 为正方形,AD=2, PD= PA2+AD2=2 2. 设 D 到平面 PBC 的距离为 d. 因为 AD∥BC,且 AD?平面 PBC,BC?平面 PBC, 故 AD∥平面 PBC,A,D 两点到平面 PBC 的距离相等, 即 d=AG= 2. d 1 设 PD 与平面 PBC 所成的角为 α,则 sin α = = . PD 2 所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.

【练习巩固】 1、如图所示,在多面体 A1 B1 D1 DCBA ,四边形 AA1 B1 B , ADD1 A1 , ABCD 均为正方 形, E 为 B1 D1 的中点,过 A1 , D, E 的平面交 CD1 于 F. (Ⅰ)证明: EF / / B1C ; (Ⅱ)求二面角 E ? A1 D ? B1 余弦值.

【答案】 (Ⅰ) EF / / B1C ; (Ⅱ)

6 . 3

2、 如图 15, 四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中, A1A⊥底面 ABCD, 四边形 ABCD 为梯形, AD∥BC, 且 AD=2BC.过 A1,C,D 三点的平面记为 α,BB1 与 α 的交点为 Q.

图 15 (1)证明:Q 为 BB1 的中点; (2)求此四棱柱被平面 α 所分成上下两部分的体积之比; (3)若 AA1=4,CD=2,梯形 ABCD 的面积为 6,求平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的 大小.

(2)如图 1 所示,连接 QA,QD.设 AA1=h,梯形 ABCD 的高为 d,四棱柱被平面 α 所分 成上下两部分的体积分别为 V 上和 V 下,BC=a,则 AD=2a.

图1 1 1 1 V 三棱锥 Q A1AD= × · 2 a· h· d= ahd, 3 2 3 1 a+2a ?1 ? 1 V 四棱锥 Q · d· ABCD= · ?2h?=4ahd, 3 2 所以 V 下=V 三棱锥 Q A1AD+V 四棱锥 Q ABCD= 3 又 V 四棱柱 A1B1C1D1 ABCD= ahd, 2 V上 11 3 7 11 所以 V 上=V 四棱柱 A1B1C1D1 ABCD-V 下= ahd- ahd= ahd,故 = . 2 12 12 V下 7 3. (2014· 湖北卷)如图 14,在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F,M,N 分别是棱 AB,AD,A1B1,A1D1 的中点,点 P,Q 分别在棱 DD1,BB1 上移动,且 DP=BQ =λ(0<λ<2). (1)当 λ=1 时,证明:直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)是否存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出 λ 的 值;若不存在,说明理由. 7 ahd. 12

图 14 4. (2014· 新课标全国卷Ⅱ)如图 13,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥ 平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设二面角 DAEC 为 60° ,AP=1,AD= 3,求三棱锥 EACD 的体积.

图 13

→ 设 B(m,0,0)(m>0),则 C(m, 3,0),AC=(m, 3,0). 设 n1=(x,y,z)为平面 ACE 的法向量, mx+ 3y=0, → ? ? AC=0, ? ?n1· 则? 即? 3 1 → ? AE=0, ? ?n1· ? 2 y+2z=0, 可取 n1=? 3 ?. ? m ,-1, 3?

又 n2=(1,0,0)为平面 DAE 的法向量, 1 由题设易知|cos〈n1,n2〉|= ,即 2 3 1 3 = ,解得 m= . 2 3+4m2 2 1 1 1 3 因为 E 为 PD 的中点, 所以三棱锥 EACD 的高为 .三棱锥 EACD 的体积 V= × × 3× 2 3 2 2 1 3 ×= . 2 8


高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第...

高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第2节 空间两条直线的位置关系_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 2 节 空间两条直线的位置关系 【基础...

高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第...

高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第8节 平面与平面垂直的...如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 定理: 文字语言 判定...

高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第...

高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第5节 平面与平面平行的判定与性质_数学_高中教育_教育专区。第 5 节 平面与平面平行的判定与性质 【基础...

高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第...

高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第7节 直线与平面垂直的判定与性质_数学_高中教育_教育专区。第 7 节 直线与平面垂直的判定与性质 【基础...

空间点线面之间位置关系知识点总结

空间点线面之间位置关系知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中空间点线面之间...2.3.2 平面与平面垂直的判定 1二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半...

空间中点线面的位置关系测试题

空间点线面的位置关系测试题_数学_高中教育_教育专区。空间中点、线、面的位置关系一、 选择题: 1.下面推理过程,错误的是( )(A) l // ? , A ? l ?...

空间点线面题型证明

2012 春季高一数学 第二讲考点一:点线共面的证明方法 空间点、线、面的位置关系 常用方法: (1)纳入平面法:先确定一个平面,然后证明有关的点和线在这个平面上...

高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结

高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结_教育学_高等教育_教育专区。中国...2.3.2 平面与平面垂直的判定 1二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半...

高三-空间点线面位置关系

高三-空间点线面位置关系_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学复习 辅导讲义 学员编号: 学员姓名: 年级: 高三 辅导科目: 数学 课时数:3 学科教师: 授课...

空间点线面的位置关系教案

空间点线面的位置关系教案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三文科复习教案 空间点线面的位置关系(一)教学目标: 1. 知识与技能 (1) 理解空间直线、平面位置...