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高三数学试题四川省成都高新区2013届高三9月统一检测(文)试题

时间:2012-12-08


成都高新区 2013 届高三 9 月统一检测数学(文)试题 (考试时间:9 月 6 日下午 2:00—4:00 总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题 目要求的。 1.若全集 U ? R ,集合 A ? x x ? 2 ? x x ? 0 ,则 C R A 等于 A. x x ? 2

?

? ?

?



) D. ?

?

?
0

B. x x ? 0

?

?
1 2

C. x 0 ? x ? 2

?

?


2. log2 sin 30 的值为 A. 0 B. 1 C. D. ? 1



3.某桔子园有平地和山地共 120 亩,现在要估计平均亩产量,按一定的比例用分层抽样的方法共抽取 10 亩进 行调查,如果所抽山地是平地的 2 倍多 1 亩,则这个桔子园的平地与山地的亩数分别为 ( ) A.45, 75 B.40,80 C.36,84 D.30,90 4.下面为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 ( )

S =0 i =1
DO INPUT x

A. i ? 20 B. i ? 20 C. i ?? 20 D . i ?? 20

S ?S?x i ? i ?1
LOOP UNTIL _____

a ? S / 20
PRINT a END 5.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. ?1 ? i B, ?1 ? i

2 ? z 2 等于 z C. 1 ? i

( D. 1 ? i



6.若等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a3 ? a5 ? 9, 则 a2 ? a4 ? A. 2 B. 4 C. 6 D. 8





7.已知向量 a, b 不共线, c ? k a ? b(k ? R), d ? a ? b ,如果 c ∥d ,那么 A. k ? 1 且 c 与 d 同向; B. k ? 1 且 c 与 d 反向;





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C. k ? ?1 且 c 与 d 同向;

D. k ? ?1 且 c 与 d 反向;

8.已知函数 y ? sin 2 x 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位,得到的图像恰好关于直线 x ? 小值为 A. ( ) D. 以上都不对

?
6

对称,则 ? 的最

5? 12

B.

11? 6

C.

11? 12

9.类比平面几何中的定理 “设 a, b, c 是三条直线,若 a ? c, b ? c ,则 a ∥b ”,得出如下结论:① a, b, c 设 是空间的三条直线,若 a ? c, b ? c ,则 a ∥b ; ② a, b 是两条直线, ? 是平面,若 a ? ? , b ? ? ,则 a ∥b ; 设 ③ ? , ? 是两个平面, m 是直线,若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ∥? ; 设 ④ ? , ? , ? 是三个平面,若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥? ; 设 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 ( C. 3 D. 4 )

10.已知函数 y ? f ( x)(x ? R) 满足 f (? x ? 2) ? f (? x), 当 x ? ?? 1,1? 时, f ( x) ? x ,则

y ? f (x) 与 y ? log x 的交点的个数为
A. 6 B. 4 C. 3 D. 1





2

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成都高新区高 2013 届 2012 年第 9 学月统一检测

数学(文)
(考试时间:9 月 6 日下午 2:00—4:00 总分:150 分)

第Ⅱ 卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.“ x ? 2 ”是 “

1 1 ? ”的 x 2

条件; (填:充分非必要条件;必要非充分条件;充要条件之一。 )

12 . 取 一 个 边 长 为 2a 的 正 方 形 及 其 内 切 圆 , 随 机 向 正 方 形 内 丢 一 粒 豆 子 , 则 豆 子 落 入 圆 内 的 概 率 是 ;

13.如右图为一个几何体的三视图,其中 府视图为正三角形, A1 B1 ? 2, AA1 ? 4 , 则该几何体的体积为______________; 14.给出下列四个命题: ① x ? R, 则 x ? 1 ? 1 ”的逆否命题是真命题; “若
2

② 函数 f ( x) ? ln x ? 2 ? x 在区间 ?1, e? 上不存在零点; ③ p ∨q 为真命题,则 p ∧q 也为真命题; 若
2 ④m ? ?1 ,则函数 y ? log1 ( x ? 2 x ? m) 的值域为 R 。 2

其中真命题是 (填上所有真命题的代号) 15.以下两题任选一题: (若两题都作,按第一题评分) (一) :在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos? 的圆心到直线 ? ?

?
3

( ? ? R) 的距离是 _____ ; (二) :已知函数


f ( x) ? m? | x ? 2 |, m ? R ,当不等式 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 ?? 2,2?时,实数 m 的值为

3

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三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16. (本题满分 12 分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率直方图(如图) , 其中,上学所需时间的范围是 ?0,100? ,样本数据分组为 ?0,20? , ?20,40? , ?40,60? , ?60,80? , ?80,100? 。 (Ⅰ )求直方图中 x 的值; (Ⅱ )如果上学所需时间不小于 1 小时的学生中可以申请在学校住宿,请估计学校 600 名新生中有多少名学生可以住宿。

17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos

2

?x
2

? cos( ?x ?

?
3

), (其中 ? ? 0) 的最小正周期为 ? 。

(Ⅰ )求 ? 的值,并求函数 f (x) 的单调递减区间; (Ⅱ )在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) ? ?

1 , c ? 3, 2

?ABC 的面积为 6 3 ,求 ?ABC 的外接圆面积。

4

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18. (本题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PA ⊥ 底面 ABCD , PA ? AB ? 点 E 是棱 PB 的中点。 (Ⅰ )求点 D 到平面 PBC 的距离; (Ⅱ 若 AD ? 3 ,求二面角 A ? EC ? D 的平面角的余弦值 。 )
[学

6,

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19. (本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 1 ? (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )已知数列 ?bn ? 的通项公式 bn ? 2n ? 1 ,记 Cn ? an bn ,求数列 ?C n ? 的前 n 项和 Tn 。

1 a n (n ? N ? ) 2

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20.(本题满分 13 分) 为了保护环境,某工厂在政府部门的支持下,进行技术改进: 把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,

?1 3 ? x ? 640, x ? ?10,30? 该处理成本 y(万元) 与处理量 x (吨) 之间的函数关系可近似地表示为:y ? ? 25 , ? x 2 ? 40x ? 1600 x ? ?30,50? , ?
且每处理一吨二氧化碳可得价值为 20 万元的某种化工产品。 (Ⅰ x ? ?30,50? 时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,则国家至 )当 少需要补贴多少万元,该工厂才不亏损? (Ⅱ 当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少。 )

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21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? 2)e x (a ? R) (Ⅰ )当 a ? 0 时,求函数 f (x) 的图像在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ )若函数 y ? f (x) 为单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ )当 a ? ?

5 时,求函数 f (x) 的极小值。 2

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成都高新区高 2013 届 2012 年第 9 学月统一检测

数学(文)参考答案及评分标准
(考试时间:9 月 6 日上午 9:00—11:00 总分:150 分)

三、解答题:

9

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?ABC 的外接圆半径等于

a 7 7 3 ? ? 2 sin A 3 3
49? 3
……… (12 分)

则 ?ABC 的外接圆面积等于

10

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1 1 (1 ? n?1 ) 2 1 1 3 ? Tn ? 2[ ? 2 ? 9 ? ?2n ? 1? ? n?1 ] . 1 3 3 3 1? 3 2n ? 2 ? Tn ? 2 ? (n ? N ? ) . n 3

…………(12 分)

20.解: )当 x ? ?30,50?时,设该工厂获利为 S ,则 (Ⅰ

S ? 20x ? ( x 2 ? 40x ? 1600 ? ?( x ? 30) 2 ? 700 )
所以当 x ? ?30,50?时, S ? 0, 因此,该工厂不会获利

……(2 分)

所以国家至少需要补贴 700 元,才能使工厂不亏损 ……(4 分) (Ⅱ )由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:

? 1 2 640 x ? , x ? ?10,30? y ? 25 ? x P( x) ? ? ? x ? 1600 x? ? 40, x ? ?30,50? ? x ?

……(6 分)

2 x / x 2 21.解: )当 ? 0 .时, f ( x) ? ( x ? 2)e , f ( x) ? e ( x ? 2 x ? 2), (Ⅰ

f (1) ? 3e, f / (1) ? 5e ,? 函数 f (x) 的图像在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为
y ? 3e ? 5e( x ? 1), 即 5ex ? y ? 2e ? 0
……………(4 分)

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