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椭圆的几何性质(3)


椭圆的几何性质(3)
本课重点: 椭圆中的最值问题 预习引导: 1.圆上小 x2+y2=1 的点到直线 3x+4y-25=0 距离的最小值 为 。 2.椭圆

x2 y2 ? ? 1(a>b>0)的一个焦点 F1 与椭圆上点 P a2 b2
,若 F2 。

的最小距离为 ,最长距离为 是其另一焦点,则|PF

1|·|PF2|的取值范围是 3.F 是椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 的焦点,AB 为过椭圆中心的弦, 10m 5m

2

若△ABF 面积最大值为 30,则 m= 4.椭圆

x y ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 和 F2,AB 是经 25 9


过 F1 的弦,若|AB|=8,则|F2A|+|F2B|= 典例练讲: 例 1.已知 x,y 满足

x2 ? y 2 ? 1 ,求 x+2y 的最大值。 4

例 2.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 内一点 P(-1,1),F 是椭圆的右 4 3

焦点,M 为椭圆上一点。 (1) 当 MP+2MF 取最小值时, 求点 M 的坐标; (2) 当 MP+MF 取最大时,求 M 的坐标。

例 3. (1) 求椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到直线 l: 3x-2y-16=0 4 7

距离的最小值。 (2)已知点 P 在圆 C:x2+(y-4)2=1 上移动,点 Q 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上移动,求 PQ 的最大值。 4

例 4. 已知定点 A(a,0)且 0<a<3, 若点 A 到椭圆 上点的距离最小值为 1,求 a 的值。

x2 y2 ? ?1 9 4

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课后检测: 1. 已知 x2+4y2=1,则 3x+4y 的最大值、最小值分别为 2. 若以椭圆上一点和两焦点为顶点的三角形的最大面积为 1,则此椭圆长轴长的最小值是 3. P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点,F1,F2 为其焦点,则 cos 9 4

∠F1PF2 的最小值为

x2 y2 ? ? 1 上一点,F 是椭圆的右焦点,点 A 25 9 5 (2,1) ,则|PA|+ |PF|的最小值为 4 2 x ? y 2 ? 1 内接矩形面积的最大值为 5. 椭圆 。 4
4. P 为椭圆 6. 若椭圆的短轴长为 1,且两准线间的距离最小,则椭圆 的标准方程为 7. 若直线 y=kx+1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 总有公共点, 则m 的 5 m

取值范围是 。 8.已知椭圆 x2+2y2=98 及点 P(0,5),求点 P 到椭圆上点的距 离的最值。

x2 y2 9.F1、F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的两个焦点,过中 a b
心 O 作直线 l 交椭圆于 A、B 两点, (1)若△ABF2 的面积为

3 bc ,求直线 l 的方程; 2

(2)求△ABF2 面积的最大值。

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)上一点 P 到点 Q 的最 a2 b2 3 大距离为 7 ,离心率为 , 2
10.已知椭圆 (1)求此椭圆的方程; (2)若 M、N 为关于原点为对称的两点,A 为椭圆上异于 M。N 的一点,且 AM、AN 都不垂直于 x 轴,求 kAM·KAN

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