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2014年广西高二数学竞赛初赛试卷及答案


2014 年广西高二数学竞赛初赛试卷及答案 9 月 24 日
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1、设 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数,集合 A ? {x | x2 ? 2[ x] ? 3} , B ? {x | ( B ). A. {1, ? 6} B. {?1, 7} C. {?1, 6} D. {?1, 6, 7}

>1 ? 2 x ? 8} ,则 A B = 8

? x 2 ? 2[ x] ? 3 x ? A B 解:由 ,知 ? ,所以 [ x ] 只可能取 -3,-2,-1,0,1,2. ??3 ? x ? 3
经检验知, [ x ] 只可能取 -1,2, 故 x ? ?1, 7 . 故选 B. 2、已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若实数 λ 满足: 的值为( C ) AB AB ? ? AC ? ? AP,则 则?值为 A.2 B.

3 2

C.3

D.6

解:由 PA ? PB ? PC ? 0 知,点 P 为△ABC 的重心,故有 AB ? AC ? 3 AP ,所以选 C。 3、已知 {an } 是等比数列, a3 ? 2, a6 ? ( D ).

1 ,则 a1a2 ? a 2a 3 ? 4
128 ) 3

? anan? 1 (n ? 1, 2, )的取值范围是

A.[128,168)
解:易知公比 q ?

B.[

64 128 , ) 3 3

C.[16,

D.[32,

128 ) 3

1 1 2 ,所以 a1 ? 8 ,从而数列 {an an?1} 是以 a1a2 ? 32 为首项, q ? 为公比的等比 2 4

数列. 于是,利用前 n 项和公式不难得出

32 ? a1a2 ? a1a2 ? a2 a3 ?
4、 设a ?s i n ( s i n2 0 1 0) , 大小关系是( B ).

? an an ?1 ?

128 .故选 D. 3

s i n ( c b o s2 ?0 1 0) ,

c o s ( s i n2 0 1 0c ) ,? c

d?

o s ( c o s2 0 1 0)

, 则 a,b,c,d 的

A. a ? b ? c ? d

B. b ? a ? d ? c

C. c ? d ? b ? a

D. d ? c ? a ? b

解:因 2010 ? 5 ? 360 ? 180 ? 30 ,所以

a ? sin(? sin 30 ) ? ? sin(sin 30 ) ? 0, b ? sin(? cos30 ) ? ? sin(cos30 ) ? 0
1

c ? cos(? sin 30 ) ? cos(sin 30 ) ? 0, d ? cos(? cos30 ) ? cos(cos30 ) ? 0
又 sin 30 ? cos30 ,故 b ? a ? d ? c . 选 B. 5、若关于 x 的方程 x ? ax ? 1 ? a ? 0 在区间 [2, ??) 上有解,则 a 的取值范围是( D ).
2

5 A. (1, ) 3

2 5 B.[ , ] 3 3

4 C. ( , 2] 3

5 D.[ , ??) 3

解:由原方程,有 a ?

x2 ? 1 2 ? ( x ? 1) ? ? 2 . 令 t ? x ? 1 ? 3 ,则 x ?1 x ?1

a ? f (t ) ? t ?

2 ? 2 (t ? 3) t
5 5 , 即当 a ? 时原方程在区间 [2, ??) 上 3 3

由于 f (t ) 在 [3, ??) 上为单调增函数, 因此 a ? f (3) ? 有解. 故选 D. 6、已知函数 f(x)满足:f(p+q)= f(p) f(q),f(1)= 3,则

f 2 (1) ? f (2) + f 2 (2) ? f (4) + f 2 (3) ? f (6) + f 2 (4) ? f (8) + f 2 (5) ? f (10) 的值为( B ) f (9) f (1) f (3) f (5) f (7 )

A.15 B.30 C.75 D.60 2 3 解法 1:由 f(p+q)= f(p) f(q),f(1)= 3,得 f(2)=3 ,f(3)=3 ,f(4)=34,f(5)=35,f(6)=36,……,从而有
f 2 (1) ? f (2) + f 2 (2) ? f (4) + f 2 (3) ? f (6) + f 2 (4) ? f (8) + f 2 (5) ? f (10) =30。故选 B. f (9) f (1) f (3) f (5) f (7 )

解法 2:由 f(p+q)= f(p) f(q),f(1)= 3,令 f ( x) ? 3 ,从而有
x

f 2 (1) ? f (2) + f 2 (2) ? f (4) + f 2 (3) ? f (6) + f 2 (4) ? f (8) + f 2 (5) ? f (10) =30。故选 B. f (9) f (1) f (3) f (5) f (7 )

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
1、某运动会开了 n 天( n >1) ,共颁发了 m 个奖牌,第一天发出 1 个加上余下的( m -1)个的 第二天发出 2 个加上余下的

1 , 7

1 ;如此继续到 n -1 天,第 n 天发出 n 个,恰好把奖牌发完。则 7

m? n ?

.

解:设 k 天后,剩下 ak 个奖牌,则第 k 天发出奖牌数为 故 所以

1 k ? (ak ?1 ? k ) 。 7

1 ak ? ak ?1 ? [k ? (ak ?1 ? k )] 7 7 ak ?1 ? k ? ak 。即 6
2

7 7 7 m ? 1 ? a1 ? 1 ? (2 ? a2 ) ? ? 6 6 6 7 7 7 7 ? 1 ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? n ? ( ) n ?1 ? ( ) n an 6 6 6 6
因为 an ? 0 ,所以 m ? 36 ? ( n ? 6)( ) 。又因为 m ? N ,故 n =6, m =36.
n

7 6

2、用 1,2,3,4,5 排成一个五位数,使任意相邻数码之差至少是 2,则这种五位数有 个。 解:填 14. 先排该五位数的中间数,共有以下 14 个数满足要求: 24135,24153,35142,53142,14253,35241,25314,41352,31425,52413,13524,31524,42513,42531. 3、方程 cos(15? ) ? cos(3? ) 在 [0, ? ] 上的根的个数为________. 解:令 x ? 3? ,则 x ? [0,3? ] . 方程变为 cos 5 x ? cos x ,所以 5 x ? 2k? ? x ,即

x?

k? k? (k ? Z ) . 或x? 2 3
当 x 为 ? 的整数倍时,同时满足上面两式且在 [0,3? ] 上的有 4 个值; 当 x 不是 ? 的整数倍时,在 [0,3? ] 上有 3 个值满足 x ?

k? k? ,有 6 个值满足 x ? . 2 3

因此,原方程在 [0, ? ] 上共有 4+3+6=13 个根. 4、在 1 到 2010 的所有正整数中,满足 1 ? 2 ?
2 2

? n2 整除 13 ? 23 ?

? n3 的所有正整数 n 的和





解:填 1,由于有求和公式:

12 ? 2 2 ? ? ? n 2 ?
3 3 3

n(n ? 1)( 2n ? 1) , 6
2

? n(n ? 1) ? 1 ? 2 ??? n ? ? ? ? 2 ?
n(n ? 1)( 2n ? 1) 由题意,得 6

? n(n ? 1) ? ? 2 ? ? (2n ? 1) ? ?

2

3 n(n ? 1). 2

又? (2n ? 1, n) ? 1 , (2n ? 1, n ? 1) ? 1 , ?(2n ? 1) 3, 故仅有解 n ? 1。

a, b, c 分别是角 A, B, C 所对边的边长, 5、 在 ?ABC 中, 若 cos A ? sin A ?
的值是_______. 解:由已知等式,有

a?b 2 ? 0, 则 c cos B ? sin B

3



? 2 2 sin( A ? ) ? ?0, ? 4 2 sin( B ? ) 4 ? ? sin( A ? ) sin( B ? ) ? 1 . 4 4
由正弦函数的有界性及 A, B 为三角形内角可知, sin( A ?

?

A?B?

?
4

, 所以 C ?

?
2

,因此

a?b ? sin A ? sin B ? 2 . c

) ? 1 且 sin( B ? ) ? 1 ,从而 4 4

?

2 2 6、若函数 f ( x ) ? log a ( x ? bx ? 2a ) (a>0 且 a ? 1)是奇函数,则 a ? b =

。 解:填

2 +1. 由奇函数的性质,知 2 2 (舍去负值) , 2

f (0) ? l o g 2a 2 ? 0 ,即 2a 2 ? 1, 解得 a ? a
于是 f ( x) ? log

2 2

( x ? bx2 ? 1)

又 0= f ( x) ? f (? x) = log = log

2 2

( x ? bx2 ? 1) + log

2 2

(? x ? bx 2 ? 1)

2 2

??b ? 1?x

2

?1

?

2 于是 (b ? 1) x ? 0 恒成立,故 b ? 1 .

三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 1 ? m? x ? 2 ? ?a ? 0, a ? 1? , 1 、 已 知 函 数 f ?x ? ? l o g
a

x?3

对 定 义 域 内 的 任 意 x 都 有

( 1)求实数 m 的值; ( 2 )若当 x ? ?b, a ? 时, f ?x ? 的取值范围恰为 f ?2 ? x ? ? f ?2 ? x ? ? 0 成立.

?1,??? ,求实数 a, b 的值.
解: (1)由 f ? x ? ? log a

1 ? m? x ? 2 ? 及 f ?2 ? x ? ? f ?2 ? x ? ? 0 可得: x?3
,解之得: m ? ?1 .

loga

1 ? m??2 ? x ? ? 2? 1 ? m??2 ? x ? ? 2? ? loga ?0 ?2 ? x ? ? 3 ?2 ? x ? ? 3

当 m ? 1 时,函数 f ?x ? 无意义,所以,只有 m ? ?1 .--------------------------------------10 分

4

(2)当 m ? ?1 时, f ? x ? ? log a

x ?1 ,其定义域为 x?3

?? ?,1? ? ?3,??? . ?b, a? ? ?? ?,1? 或 ?b, a? ? ?3,??? .
①若 ?b, a ? ? ?3,??? ,则 3 ? b ? a .为研究 x ? ?b, a ? 时 f ?x ? 的值域,可考虑 f ? x ? ? log a

x ?1 在 x?3

?3,??? 上的单调性.
下证 f ?x ? 在 ?3,??? 上单调递减.任取 x1 , x2 ? ?3,??? ,且 x1 ? x 2 ,则

x1 ? 1 x2 ? 1 3?x2 ? x1 ? ? ? ?0 x1 ? 3 x2 ? 3 ?x1 ? 3??x2 ? 3?
又 a ? 1 ,所以, loga

x1 ? 1 x ?1 ,即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? . ? loga 2 x1 ? 3 x2 ? 3

所以,当 ?b, a ? ? ?3,??? , f ?x ? 在 ?3,??? 上单调递减------------------------------------------15 分 由题:x ? ?b, a ? 时, f ?x ? 的取值范围恰为 ?1,??? , 所以, 必有 b ? 3且f ?a ? ? 1 , 解之得:a ? 2 ? 3 (因为 a ? 3 ,所以舍去 a ? 2 ? 3 ) ②若 ?b, a ? ? ?? ?,1? ,则 b ? a ? 1 .又由于 a ? 0, a ? 1 ,所以, 0 ? a ? 1 . 此时,同上可证 f ?x ? 在 ?? ?,1? 上单调递增(证明过程略) .所以, f ?x ? 在 ?b, a ? 上的取值范围应 为 ? f ?b?, f ?a ?? ,而 f ?a ? 为常数,故 f ?x ? 的取值范围不可能恰为 ?1,??? .所以,在这种情况下,a , b 无解.综上,符合题意的实数 a , b 的值为 a ? 2 ? 3 , b ? 3 。---------------------------------------20 分 2、如右图,过点 P 任作⊙ O 的两条割线 PAB、PCD, 直线 AD与BC 交于 Q ,弦 DE // PQ, BE 交 直线 PQ 于 M , 求证: OM ? PQ.

D

E

C P A
证明:由∠ PCB ? ∠ DEB ? ∠ PMB,

O Q M B
5

得 P、B、M、C 四点共圆。

------------5 分

由 QP ? QM ? QC ? QB ? QA ? QD, 得 P、A、M、D 四点共圆.----------------10 分 连接 MD, 则∠ EDM ? ∠ PMD ? ∠ PAD ? ∠ DEM ----------------------------15 分 于是

MD ? ME, 又 OD ? OE, 所以 OM ? DE ,则 OM ? PQ ---------------------20 分

3、证明:方程 6(6a2 ? 3b2 ? c2 ) ? 5n2 有唯一一组整数解. 证明:易知 a ? b ? c ? n ? 0 是方程的一组整数解.-------------------------5 分 而对于方程的任一组整数解 (a, b, c, n) ,显然 6 | n . 令 n ? 6n1 ,则

6a2 ? 3b2 ? c2 ? 30n12 ,知 3 | c ,令 c ? 3c1 ,代入得 2a2 ? b2 ? 3c12 ? 10n12 .
因此,只要证明方程 2 x2 ? y 2 ? 3z 2 ? 10w2 没有使 w ? 0 的整数解,否则,将有一组这种 解使 w 取最小正值.-----------------------------------------------------10 分

因 y 2 ? 3z 2 为偶数,所以 y与z 同奇偶,但若 y与z 同为奇数, 则 y2 ? z 2 ? 1(mod8), 2x ? 0或2(mod8),10w2 ? 0或2(mod8) ,从而

2x2 ? y 2 ? 3z 2 ? 4或6(mod8) ,不可能等于 10 w2 ,因此, y与z 同为偶数.---------15 分
令 y ? 2 y1 , z ? 2 z1 ,代入得 x2 ? 2 y12 ? 6z12 ? 5w2 ,于是同理可证, x与w 必同为偶数. 令 x ? 2 x1 , w ? 2w1 ,代入得 2x12 ? y12 ? 3z12 ? 2w12 ,但 0 ? w1 ? w ,即 w 不可能有最小正值, 矛盾. 故原方程有唯一一组整数解.------------------------------------20 分

6


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