2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题及答案

2010 年全国高中数学联赛 甘肃省预赛

2010 年全国高中数学联赛甘肃省预赛于 2010 年 9 月 19 日（星期日）上午 9:00-11:30 在甘肃各地州市同时举行,有九千多名中学生参加了这次预赛. 联 赛预赛由省数学会普及委员会在甘肃省五学科竞赛管理委员会领导下组织出 题， 由各地州市自己组织竞赛和阅卷,并按参加预赛人数的 5% ～ 10%上报参

加 联赛的人选. 最后选拔了近一千名同学参加在省城兰州举行的全国高中数学联 赛. 预赛试题的大部分内容不超出现行《全日制普通高级中学数学教学大纲》 的范围，同时适当涉及到了《高中数学竞赛大纲（2006 年修订试用稿） 》. 试 题结构与新的联赛试题结构相适应，取消了选择题. 预赛试卷包括 8 道填空题 和 4 道解答题，全卷满分 120 分.

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试
一.填空题(每小题 7 分，共 56 分) 1. 已 知 k1 ? k2 ?

题

? kn 是 非 负 整 数 , 满 足 2k1 ? 2k2 ?

? 2kn ? 227 ， 则

k1 ? k2 ?

? kn ?

.

2. 设 a ? 0 ，函数 f ( x) ?| x ? 2a | 和 g ( x) ?| x ? a | 的图像交于 C 点且它们分别与 y 轴交于 A 和 B 点，若三角形 ABC 的面积是 1 ，则 a ? .

3. 已知 Sn 是公差为正数 q 的等差数列的前 n 项之和，如果 最小值, 则 q 的取值范围是 .

S n ? 210 在 n ? 6 时取到 n

4. 已知函数 y ? x3 在 x ? ak 的切线和 x 轴交于 ak ?1 ，如果 a1 ? 1 , 则 lim S n ?
n ??

.

5. 函数 f : R ? R 对于一切 x, y, z ? R 满足不等式

f ( x ? y ) ? f ( y ? z ) ? f ( z ? x) ? 3 f ( x ? 2 y ? z ) ，
则

f (1) ? f (0) ?

；

6. 锐角三角形 ?ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若

b a ? ? 4 cos C ，则 a b

1 1 ? 的最小值是 tan A tan B
7. P 是椭圆 取值范围是

；

x2 y 2 ? ? 1 上的一动点， F1 和 F2 是椭圆的两个焦点，则 PF1 ? PF2 的 12 4

；

8. 用 3 种颜色给立方体的 8 个顶点染色，其中至少有一种颜色恰好染 4 个顶点．则 任一棱的两个端点都不同色的概率是 ；

二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分，第 11、12 题每题 18 分) 9. 已知 sin ? ? sin ? ?

1 1 ， cos ? ? cos ? ? ，求 5 3

1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ?

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的值. 10. 设 a1, a2 ,

, an 是 1, 2,

, n 的一个排列（ n ? 3 ） ，求证：
2 ? n ? 2? 1 ? 2 ? 2 2 an ?2 ? an ?1 ? an n ? n ? 1?? 2n ? 1?
2

1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 a1 ? a2 ? a3 a2 ? a3 ? a4 a3 ? a4 ? a5
. 11.对任意的正整数 n ,证明恒等式

n k 1 ? ? ?k . 4 2 n 2 ? n ? 1 k ?1 k ?1 k ? k ? 1

n

12. 设 S 是一些互不相同的 4 元数组 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 的集合，其中 ai ? 0 或 1 ,

i ? 1, 2,3, 4 ．已知 S 的元素个数不超过15 且满足：
若 (a1 , a2 , a3 , a4 ),(b1 , b2 , b3 , b4 ) ? S ，则

(max{a1 , b1}, max{a2 , b2}, max{a3 , b3}, max{a4 , b4}) ? S
且

(min{a1 , b1}, min{a2 , b2}, min{a3 , b3}, min{a4 , b4}) ? S ．
求 S 的元素个数的最大值．

解
1. 19 提示：

答

227 ? 1 ? 2 ? 32 ? 64 ?128 ? 2 0 ? 2 1 ? 2 5 ? 2 6 ? 2 7 ,
故

k1 ? k2 ?
于是应填 19 .

? kn ? 0 ? 1 ? 5 ? 6 ? 7 ? 19 ，

- 3 -

2.

2 提示：由 f ( x ) 和 g ( x) 的图像知三角形 ABC 是底为 a 的等腰直角三角形,故

其面积 1 ?

a2 ，于是 a ? 2 . 应填 2 . 4
n(n ? 1) q ，于是 2 Sn ? 210 q 210 q ? n? ? a1 ? ． n 2 n 2

3. [10,14] 提示：设 an ? a1 ? (n ?1)q ，则 Sn ? na1 ?

由题设知

6q 210 5q 210 7q 210 ? ? min{ ? , ? }， 2 6 2 5 2 7
由此可得 5 ?

q ? 7 ，故 q 的取值范围是 [10,14] ． 2

4.3 提示： 由 y ? x3 知 y? ? 3x2 ，于是 y ? x3 在 x ? ak 的切线方程为
3 2 y ? ak ? 3ak ? x ? ak ? ．

它与 x 轴交于点 (ak ?1 ,0) ，故
3 2 ?ak ? 3ak ? ak ?1 ? ak ? ，

由此可得 ak ?1 ?

2 ak ．又 a1 ? 1 ，故 3

2 1 ? ( )n 3 ? 1 ?3， lim Sn ? lim n ?? n ?? 2 2 1? 1? 3 3
所以应填 3 ． 5. 0 提示：

x ? ? y ? z ? f (0) ? f (0) ? f ? 2x ? ? 3 f ?0? ? f ? 2x ? ? f ?0? ，
x ? y ? ? z ? f (2 x) ? f (0) ? f (0) ? 3 f (2 x) ? f (0) ? f (2 x)
由此得

f (0) ? f ( x) ? f (0) ，

从而

f ( x) ? f (0) ? c （常数）．故应填 0 ．

6.提示：由题设及余弦定理

4ab ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? 2c 2 ， 2ab

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于是

1 1 cos B sin A ? sin B cos A ? ? tan A tan B sin A sin B

?

sin( A ? B) sin C sin 2 C ? sin A sin B sin C sin A sin B sin C

c2 a 2 ? b2 ? ab sin C 2ab sin C 2ab 1 2 ? ? ? 2ab sin C sin C 3 ?
而上式等号成立当且仅当 A ? B ? C

1 1 2 ? ? ． tan A tan B 3
7. [?4, 4] 提示：设 P( x0 , y0 ) ， F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? ，则有

PF1 ? (?c,0) ? ( x0 , y0 ) ? (?x0 ? c, ? y0 ) ， PF2 ? (c,0) ? ( x0 , y0 ) ? (c ? x0 , ? y0 ) ，
于是
2 2 2 2 ? c2 ? y0 ? x0 ? y0 ? c2 ． PF1?PF2 (?x0 ? c, ? y0 )(c ? x0 , ? y0 ) ? x0

注意到 b ? x0 ? y0 ? a ，即有
2 2 2 2
2 2 b2 ? c2 ? x0 ? y0 ? c2 ? a2 ? c2 ，

也即

b2 ? c2 ? PF1?PF2 ? a2 ? c2
（其中 a ? 12, b ? 4, c ? a ? b ? 8 ） ，故有 ?4 ? PF 1?PF 2 ? 4．
2 2 2 2 2

8.

1 35

提示：当其中一种颜色染 4 个顶点时，其余两种颜色可任意染色剩余的 4 个

顶点．于是满足要求的染色方法共有
1 0 1 2 3 C3 ? C84 ? (C4 ? C4 ? C4 ? C4 ) ? 3? 70 ?15 (种)

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若要求任一棱的两个端点都不同色，则一种颜色染 4 个顶点的染法只有 2 种，此时其 余两种颜色仍可任意染色剩余的 4 个顶点．于是这样的染法共有
1 0 1 2 3 C3 ? 2 ? (C4 ? C4 ? C4 ? C4 ) ? 6 ?15 (种)

故所求概率为

6 ?15 1 ? . 3 ? 70 ?15 35

9.

由

sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2

?

1 5 1 3

及
cos ? ? cos ? ? 2 cos
可得 tan

? ??
2

cos

? ??
2

?

? ??
2

?

3 ，于是 5

3 6 5 ? 5 ? 15 . 2 tan ?? ? ? ? ? ? ? ?? 9 16 8 1 ? tan 2 1? 2 25 25 2 tan 2?
注意到

? ??

tan ?? ? ? ? ? ? ?
从而

1 ? cos 2 ?? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ?

1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 15 = . 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 8
10.由柯西不等式容易得到：

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? ? ?

?a12 ?a22 ?a32 ???a22 ?a32 ?a42 ?? ??an2?2 ?an2?1 ?an2 ???? ? ??? a2 ?a12 ?a2 ? a2 ?a12 ?a2 ?
? 1 2 3 2 3 4

?

?

? 2 ? 1 ? ? n?2 2 2 2 an ? 2 ? an ?1 ? an ? ?

?

?

从而有

1 1 ? 2 ? 2 2 2 2 a ? a2 ? a3 a2 ? a3 ? a4
2 1

?

a

2 n ?2

1 2 2 ? an ?1 ? an

?

2 3(a12 ? a2 ?

(n ? 2) 2 2 2 2 2 ? an ) ? 2(a12 ? an ) ? (a2 ? an ?1 )

(n ? 2) 2 ? 2 2 3(a12 ? a2 ? ? an ) ? (n ? 2) 2 1 n(n ? 1)(2n ? 1) 2

2(n ? 2)2 ? n(n ? 1)(2n ? 1)
11.证明：
n n k k k ? ? ? ? ? 4 2 4 2 2 2 2 2 k ?1 k ? k ? 1 k ?1 k ? 2k ? 1 ? k k ?1 (k ? 1) ? k n

??

k 1 n 1 1 ? [? ( 2 ? 2 )] 2 2 2 k ?1 k ? 1 ? k k ? 1 ? k k ?1 ( k ? 1 ? k )(k ? 1 ? k )

n

1 1 1 n2 ? n 1 n2 ? n ? (1 ? 2 )? ? 2 n ?1? n 2 n2 ? 1 ? n n2 ? 1 ? n 2

?

n 1 ?k . n 2 ? n ? 1 k ?1

12. 显然所有可能的 4 元数组有 16 种．因为至少有一个那样的 4 元数组不在 S 中， 所以 (1, 0, 0, 0) ， (0,1, 0, 0) ， (0, 0,1, 0) 和 (0, 0, 0,1) 中至少有一个不在 S 中，若不然由题 中条件可推出所有那样的 4 元数组都在 S 中，不妨设 (1,0,0,0) ? S ． 此时由题中条件又知 (1,1, 0, 0) ， (1, 0,1, 0) 和 (1, 0, 0,1) 中至少有 2 个不能在 S 中，不

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妨设 (1,1, 0, 0) 和 (1, 0,1, 0) 不在 S 中．此时又可知 (1,1,1, 0) 和 (1, 0, 0,1) 不能同时在 S 中，不妨设 (1,1,1, 0) 不在 S 中．于是 S 的元素个数不超过 16 ? 4 ? 12 个． 现在设 S 是所有可能的 16 个 4 元数组中去掉 (1, 0, 0, 0) ， (1,1, 0, 0) ， (1, 0,1, 0) 和

(1,1,1, 0) 后所成的集合，我们要证 S 满足题中条件，从而 S 的元素个数最大值为12 ．
任取 (a1 , a2 , a3 , a4 ),(b1 , b2 , b3 , b4 ) ? S . （1）若 a1 ? b1 ? 0 或 a4 ? 1 或 b4 ? 1，则显然

(max{a1, b1}, max{a2 , b2}, max{a3 , b3}, max{a4 , b4})
不 等 于 上 述 去 掉 的 4 个 4 元 数 组中 任 何 一 个 ， 从 而 属 于 S ． 又

( m ia n 1 {b 1 ,

},a m n 2 ib 2 {

, a} m }, min{ 3 ,b 3 i n { a4, b4

,

})

（2）若 a1 ? 1 或 b1 ? 1 且 a4 ? b4 ? 0 ，则

(max{a1, b1}, max{a2 , b2}, max{a3 , b3}, max{a4 , b4}) ? (1, max{a2 , b2}, max{a3 , b3},0) ，
由此推出 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 或 (b1 , b2 , b3 , b4 ) 不属于 S ，这种情况不会出现．类似地有： （3）若 a1 ? 0 或 b1 ? 0 或 a4 ? b4 ? 1 ，则显然

(min{a1 , b1}, min{a2 , b2}, min{a3 , b3}, min{a4 , b4})
不等于上述去掉的 4 个 4 元数组中任何一个，从而属于 S ． （4）若 a1 ? b1 ? 1 且 a4 ? 0 或 b4 ? 0 ，则

(min{a1, b1}, min{a2 , b2}, min{a3 , b3}, min{a4 , b4}) ? (1, min{a2 , b2}, min{a3 , b3},0) ，
由此推出 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 或 (b1 , b2 , b3 , b4 ) 不属于 S ，这种情况也不会出现． 综上所述， S 是满足题目要求的，故 S 的元素个数最大值就是 12 ．

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