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导数的四则运算法则导学案

时间:2013-02-27


导数的四则运算法则导学案
复习回顾 1. 常见函数的导数公式: (默写)

(kx ? b)? ? _________

C ? ? ____

( x ? )? =_____________ (a x )? ? _______ (loga x)? ? ______
(e x )? ? _______

___ _
(sin? )? =____________
2 求下列函数函数的导数 (1) f ( x) ? x ?5 (2) f ( x ) ?

(ln x)? ? _________ (cos? )? ? ________

x x

(3)

?? ? y ? sin ? ? x ? ?2 ?

(4) y ? sin

?
3

(5) y ? cos(2? ? x)

(6) y ? 4 x

(7) y ? log3 x

【自主探 究】 导数的加减法运算法则: 1. ? f ( x ) ? g ( x )?? ? 2. ? f ( x) ? c?? ? 导数的乘除法运算法则 1 .

? f ( x) g ( x)?? ?




? 2. ? f ( x) ? ? ? g ( x) ? ? ?

? 3. ?kf (x)? ?



说明: 1.导数的加法与减法法则 两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差) ,即 (u ? v)? ? u ? ? v? ,和(差) 函数求导法则由两个可以推广到 n 个。 2.导数的乘法、除法法则:
1

①两个函数积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个 函数的导数的和,即 (uv)? ? u ?v ? uv? 。若 c 为常数,则 (cu)? ? u ?c ? uc? ? 0 ? cu ? ? cu ? 。由以上两个 法则可知: au( x) ? bv( x) ? au ?( x) ? bv?( x) , a, b 为常数。 ②两个函数商的 导数,等于分子的导数与分母的积减去分母的导数与分子的积,再除以分母
? 的平方。即 y ? ? ? u ? ? u ?v ? uv ? ? ? v2 ?v?

【合作探究】 例 1 求下列函数的导数 (1) f ? x ? ? 2x5 ? 3x4 ? 4x3 ? 5x2 ? x ? 9 (2) f ? x ? ? x sin x

(3) y ? sin 2 x

(4)

y ? tan x

(5) y=

1 ·cosx x

x (6) y ? 2e sin x ? 3x

2

(7) y ? e ln x
x

(8) y

? a x ? ln x

例 2 求下列函数的导数 (1) y ? x ? sin x
2

(2) y ? x ?
3

3 2 x ? 6x ? 2 2

(3) y ? (2x ? 1)

2

(4) y ? (2 x ? 3)(3x ? 2)
2

2

(5) s (t ) ?

t2 ?1 t

(6) y ?

x ?1 x ?1

例 3(1)求曲线 y ?

1 ? x 上一点 P ( 4,? 7 ) 处的切线方程 x 4

(2)求过点 P(1,1)且与曲线 y=

1 ? 1 相切的直线方程。 x2

/ (3)设 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) 求 f (0) 。

当堂检测 一、求下列函数的导数 (1) y ? 2 x ? 3x ? 5x ? 4
3 2

(2) y ? x ? x ? 3x
7 6

5

(3)

y ? x ? x ?1

(4)

y= (3x ? 2) ? x ? 5?
2

(5) y= (5x ? 7) ?3x ? 8?
3

(6)

y?

sin x x
3

(7)

y?

x x2 ? 1

(8)y= x ?

x

(9)

y ? x?

1 x

(10) y ? x ? sin

x x cos 2 2

(11) y ? loga x ? e x 2 求曲线 y ? x 3 ? 3x ? 8在x ? 2处的切线方程。

(12) y ? 2 x ? x 2

x2 ? 3 ln x 的一条切线的斜率为 1 ,求切点的坐标. 3. 已知曲线 y ? 4 2

4.已知 f ? x ? ? ( x ?1)( x ? 2)( x ? 3) 则 f ? (1) ? 5.设 y ? aex ? b ln x ,且 f ? (1) = e, f ?(?1) ? 1 ,则 a ? b ?
e

6.已知曲线 y ? f ( x) ? 5 x ,求: (1)曲线与直线 程。

y ? 2 x ? 4 平行的切线的方程。 (2)过点 P(0,5) 且与曲线相切的直线的方

7 已知抛物线

y ? ax2 ? bx ? c 通过点 P(1,1) 且在点 Q(2,?1) 处与直线 y ? x ? 3 相切,求
4

实数 a, b, c 的值。


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