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高二(下)12月考数学试题(文)(初稿.附答案)


高二(下)月考数学试题(文)
一,选择题(每题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 60 分) 1.抛物线 y ?
? m? A. ? 0, ? ? 4?

1 2 x (m ? 0) 的焦点坐标是( m
m? ? B. ? 0,? ? 4? ?

)

m? ? m? ? C. ? 0,

? 或 ? 0,? ? 4? ? 4? ?

? 1 ? D. ? 0, ? ? 4m ?

答案:A 2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排列起来,那么第 36 颗珠 子的颜色是( ) ○○○●●○○○●●○○○●●○○…… A.白色 C.白色可能性大 答案 A ). B.极小值-2,极大值 3 D.极小值-1,极大值 3 B.黑色 D.黑色可能性大

3.函数 y ? 1 ? 3x ? x3 有( A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-2,极大值 2

解析 y? ? ?3x2 ? 3 ,令 y? ? 0 得, x ? 1或x ? ?1 , f ?1? ? 3,f (?1) ? ?1 答案 D 4.函数 y ? x4 ? 4x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为( A.72 B.36 C.12 ). D.0

解 析 y? ? 4x3 ? 4,令y? ? 0, 4x3 ? 4 ? 0,x ? 1,当x ? 1时,y? ? 0;当x ? 1时,y? ? 0 得 y极小值 ? y |x ?1 ? 0,而端点的函数值y |x=-2 ? 27,y |x ?3 ? 72,得ymin ? 0. 答案 D 5 .过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 两点,如果

x1 ? x2 ? 6 ,那么 AB 等于(
A.10 解析 答案 B.8

). C.6 D.4

由抛物线的定义得 AB ? x1 ? x2 ? p ? 6 ? 2 ? 8. B

6. 函数 f ? x ? 的定义域为开区间 ? a, b ? , 导函数 f ? ? x ? 在 ? a, b ? 内的图象如图所示,
1

则函数 f ? x ? 在开区间 ? a, b ? 内的极小值点共有(

).

A.1 个 解析 答案

B.2 个

C.3 个

D.4 个

在极小值点附近左负右正,有一个极小值点. A

7.已知 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 图象如下图所示,那么 f ? x ? 的图象最有可能是图 中的( ).

解析 ? x ? (??,-2)时,f ? ? x ? ? 0, 同理 f ? x ? 在 ? ?2,0? 上为增 ? f ? x ? 为减函数 ; 函数, ? 0, ??? 上为减函数. 答案 A 8.已知函数 f ( x) 、g( x) 均为 ? a, b? 上的可导函数, 在 ? a, b? 上连续且 f ? ? x ? ? g? ? x ? , 则 f ? x ? ? g ? x ? 的最大值为 A. f ? a ? ? g ? a ? B. f ? b ? ? g ? b ? C. f ? a ? ? g ? b ? 解析: 设 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? , h? ? x ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ? ? 0 答案 A 9.已知定义在 [?1,1] 上的奇函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) ? 0 , 则满足 f (a) ? f (a ? 1) ? 0 的实数 a 的取值范围是( ) 1 1 1 A. ? ? a ? 0 B. ? ? a ? 2 2 2
2

(

)

D. f ? b ? ? g ? a ?

∴ h ? x ? 在 ? a, b? 上是减函数, h ? x ? 的最大值为 h ? a ? ? f ? a ? ? g ? a ? .

C.

1 ? a ?1 2

D. ?1 ? a ?

1 2

9.答案:C 解:? f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 [?1,1] 上是增函数,又 f ( x) 是奇函数,
? f (a) ? f (a ? 1) ? 0 可化为 f (a) ? ? f (a ? 1) ,即 f (a) ? f (1 ? a) 。

? ?1 ? a ? 1 1 ? 得 ? ?1 ? a ? 1 ? 1 ? ? a ? 1 。故选 C。 2 ?a ? 1 ? a ?

10.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 处有极值 4,则 f (2) ? ( A.6 10.答案:B B.6 或 11 C.11 D.0 或 6

)

2 ? ? f (1) ? 4 ?1 ? a ? b ? a ? 4 解:? 函数 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 4,? ? ,即 ? , 2 ? ? f ?(1) ? 0 ?3 ?1 ? 2a ?1 ? b ? 0

?a ? 3 ?a ? ?2 解得 ? 或 ? 。? f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 9 或 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? 4 。 ?b ? ?9 ?b ? 1
故 f (2) ? 11 或 f (2) ? 6 。 11.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax(a ? 0) 的焦点 F ,且和 y 轴交于点 A , 若 ?OAF ( O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 ? ?4x C. y 2 ? 4x 解析 B. y 2 ? ?8x D. y 2 ? 8x ).

?a ? y 2 ? ax 的焦点坐标为 ? , 0 ? ,过焦点且斜率为 2 的直线方程为 ?4 ?

a a 1 a a y ? 2( x ? ),令x ? 0得y ? ? .? ? ? ? 4, ? a 2 ? 64, ? a ? ?8. 4 2 2 4 2

答案

B
f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 1 , 则 f ? ? x0 ? 等 于 3?x

12. 若 函 数 f ( x) 在 x0 处 可 导 , 且 lim ( ) 2 A. 3

?x ?0

3 C.3 D.2 2 f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) 12.解: ? lim ? lim ?1 ?x?0 ?x?0 3 3?x ? 2?x 2

B.

3

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) 3 2 lim ? 1 ,? lim ? 。 ?x ?0 3 ?x?0 2?x 2?x 2 故选 B。 二、填空题每小题 5 分,共 20 分) ?

13.一物体做直线运动,其路程与时间 t 的关系是 S ? 3t ? t 2 则 t ? 1 时的瞬时速度 为 解: S ? ? 3 ? 2t ?S ?
t ?1

? 3? 2 ?1

14. 曲 线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 6x ? 10 的 切 线 中 , 斜 率 最 小 的 切 线 方 程 为 。

14.答案: 3x ? y ? 11 ? 0

? ? 3? 6 ? 6 ? 3 , 解: 此时, 切点为 ? ?1, ?14? , ymin ? y? ? 3x2 ? 6x ? 6 , ? 当 x ? ?1 时,
切线方程为 y ?14 ? 3? x ? 3? ,即 3x ? y ? 11 ? 0 。 15.等差数列 ?an ? 中,有 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2,且n ? N * ) ,类比以上结论,在等 比数列 ?bn ? 中类似的结论是________.
2 答案 bn ? bn?1 ? bn ?1 (n ? 2,且n ? N * )

16.设 x ? ?2与x ? 4 是函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点,则常数 a ? b 的值 为________. 解析 ? f ? ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? b ,
2a ? ?2 ? 4 ? ? ? ?a ? ?3 ? 3 ? a ? b ? ?3 ? 24 ? 21. ?? ?? b b ? ? 24 ? ??2 ? 4 ? ? 3 ?

答案 21 三、解答题
?5 ? 17.(本题满分 10 分)求抛物线 y ? x2 过点 ? , 6 ? 的切线方程. ?2 ? 2 [解] 设此切线在抛物线上的切点为 ? x0 , x0 ? ,则

y? |x? x0 ? 2x0

4

2 x0 ?6 2 ? ? 2 x0 即 x0 ? 5x0 ? 6 ? 0 ,解得 x0 ? 2,或x0 ? 3. 5 x0 ? 2

即切线经过抛物线 y ? x2 上的点 ? 2, 4? , ?3,9? . 故切线方程分别为
y ? 4 ? 4( x ? 2),y ? 9 ? 6( x ? 3) ,

即 4 x ? y ? 4 ? 0,或6 x ? y ? 9 ? 0 为所求的切线方程. 18.(本小题满分 12 分)边长为 a 的正方形铁皮,四角各截去边长为 x 的正方形后 折成一只无盖的盒子, 问 x 等于多少时,盒子的容积最大?最大容积是多少? 18.解:设铁盒的容积为 V,则 a 由 x ? 0 及 a ? 2x ? 0 , 得0 ? x ? 。 令 V ? ? 12x 2 ? 8ax ? a 2 ? 0 , V ? x?a ? 2x?2 , 2 a a a a a a V ? ? 0; V?? 0。 得 x ? (舍去)或 x ? 。 而 ? x ? 时, ? 0 ? x ? 时, ?x? 6 2 6 6 2 6 2 3 a 。 时, V最大 ? 27 19. (本小题满分 12 分)如图所示,已知直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4x 相交 于 A,B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线的弧 AOB 上求一点 P ,使得 ?ABP 的面积最大.

19.解:如图,由于 AB 为定值, ?ABP 的面积最大,只要点 P 到 AB 的距离最 大即可, 则只要点 P 是抛物线的平行于 AB 的切线的切点,设 P , (x,y)

1 ? 由图知点 P 在 x 轴下方的图象上,则 y ? ?2 x ,那么 y? ? ?2 x ? ? , x
1 1 1 ?? , 由于 k AB ? ? , 所以 ? 解得 x ? 4 , 那么 y ? ?2 x ? ?4 , 所以 P . (4, 4) 2 2 x
5

?

?

20、 (本题满分 12 分)已知 f ? ? x ? 是一次函数,且 x2 f ? ? x ? ? (2x ?1) f ? x ?= 1 对任 意 x ? R 恒成立,求 f ? x ? 的解析式. 20、解:由 f ? ? x ? 为一次函数可知 f ? x ? 为二次函数. 设 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,则 f ? ? x ? ? 2ax ? b . 把 f ? x ? , f ? ? x ? 代入方程 x2 f ? ? x ? ? (2x ?1) f ? x ?= 1 中得: …………4 分

x2 (2ax ? b) ? (2x ?1)(ax2 ? bx ? c) ? 1,即 (a ? b) x2 ? (b ? 2c) x ? c ?1 ? 0 ……8 分 要使方程对任意 x 恒成立,则需有 a ? b,b ? 2c,c ? 1 ? 0 , 解得 a ? 2,b ? 2,c ? 1, 所以 f ? x ? ? 2x2 ? 2x ?1. …………12 分
21. (本题满分 12 分)已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 ,求抛物线的方程. 解 设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px ,

? y 2 ? 2 px 则? 消去 y ,得 ? y ? 2x ?1

4x2 ? (2 p ? 4) x ?1 ? 0,设A( x1, y1 ),B( x2 , y2 )
x1 ? x2 ? p?2 1 ,x1 x2 ? . 2 4
2

1 ? p?2? AB ? 1 ? 22 ? ? ? ? 4 ? ? 15 4 ? 2 ?

p ? ?2或6.? y 2 ? ?4x或y 2 ? 12x.
22.(本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? lnx ,若 f ? x ? ? 1 在区间 ?1, ?? ? 内恒 成立,求实数 a 的取值范围. 解 由 f ? x ? ? 1 ,得 ax ? lnx ? 1 ? 0 .
1 ? ln x 在区间 ?1, ?? ? 内恒成立. x
1 ? ln x ln x ,则 g ? ? x ? ? ? 2 , x x

即a ?

设 g ? x? ?

? x ? 1? g? ? x ? ? 0.
∴ g ? x? ?
1 ? ln x 在区间 ?1, ?? ? 内单调递减. x

? g ? x ? ? g ?1? ? 1
6



1 ? ln x ? 1 在区间 ?1, ?? ? 内恒成立,? a ? 1. x

7


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