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高三数学一轮复习精析教案15《圆锥曲线方程及性质》


第 33 讲
一.【课标要求】

圆锥曲线方程及性质

1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作 用; 2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、 几何图形及简单性质; 3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质

二.【命

题走向】
本讲内容是圆锥曲线的基础内容,也是高考重点考查的内容,在每年的高考试卷中一 般有 2~3 道客观题,难度上易、中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概念 和性质,从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占 有稳定的较大的比例,且选择题、填空题和解答题都涉及到,客观题主要考察圆锥曲线的 基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法 对于本讲内容来讲,预测 2010 年: (1)1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题,主要是求值问题; (2)可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用,结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三.【要点精讲】
1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两个 定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有
| MF1 | ? | MF2 |? 2a
x
2 2

椭圆的标准方程为:

?

y b

2 2

( ( 或 ? 1 a ? b ? 0 )焦点在 x 轴上)

y a

2 2

?

x b

2 2

( ?1 a ? b ? 0)

a

(焦点在 y 轴上) 。 2 2 2 注:①以上方程中 a, b 的大小 a ? b ? 0 ,其中 c ? a ? b ; ②在
2

x a

2 2

?
2

y b

2 2

? 1和

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 两个方程中都有 a ? b ? 0 的条件,要分清焦点的位置,

只要看 x 和 y 的分母的大小。例如椭圆

x

2

?

y

2

? 1 ( m ? 0 , n ? 0 , m ? n )当 m ? n 时

m

n

表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m ? n 时表示焦点在 y 轴上的椭圆 (2)椭圆的性质 ①范围: 由标准方程
x a
2 2

?

y b

2 2

说明椭圆位于直线 x ? ? a ,y ? ?b | ? 1 知 | x |? a , y |? b ,

所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点 ( x, ? y ) 也在曲线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ? x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴 对称。若同时以 ? x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中 心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;
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③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭 圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,则 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。 同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 A1 (? a, 0) , A2 (a, 0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;在 Rt ?OB2 F2 中, | OB2 |? b ,
| OF2 |? c , | B2 F2 |? a ,且 | OF2 | ?| B2 F2 | ? | OB2 | ,即 c ? a ? c ;
2 2 2
2 2 2

④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e ?

c a

叫椭圆的离心率。∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 ,

且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就 越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点 重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是 双曲线 ( || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ) 。
2 2 2

注意:①(*)式中是差的绝对值,在 0 ? 2a ?| F1 F2 | 条件下; | PF1 | ? | PF2 |? 2a 时 为双曲线的一支 (含 F2 的一支) | PF2 | ? | PF1 |? 2a 时为双曲线的另一支 ; (含 F1 的一支) ; ②当 2a ?| F1 F2 | 时, || PF1 | ? | PF2 ||? 2a 表示两条射线;③当 2a ?| F1 F2 | 时,
|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a 不表示任何图形;④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点, | F1 F2 | 叫做焦

距。 椭圆和双曲线比较:

椭 定 义 方 程 焦 点







线

| PF1 | ? | PF2 |? 2a (2a ?| F1 F2 |)
x a
2 2

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a (2a ?| F1 F2 |)
x a
2 2

?

y b

2 2

?1

x b

2 2

?

y a

2 2

?1

?

y b

2 2

?1

y a

2 2

?

x b

2 2

?1

F ( ? c, 0)

F (0, ? c)

F ( ? c, 0)

F (0, ? c)

注意:如何有方程确定焦点的位置!
(2)双曲线的性质

①范围:从标准方程
2

x a
2

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线

x ? ? a 的外侧。即 x ? a , x ? a 即双曲线在两条直线 x ? ? a 的外侧。

②对称性:双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是 x a
2 2

双曲线的对称轴,原点是双曲线 的中心。

?

y b

2 2

? 1 的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线

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③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的方程里,

对称轴是 x, y 轴,所以令 y ? 0 得 x ? ? a ,因此双曲线和 x 轴有两个交点
A ( ? a,0) A2 ( a,0) ,他们是双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的顶点。

令 x ? 0 ,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点。 1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线 的顶点分别是实轴的两个端点。 2)实轴:线段 A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。 虚轴:线段 B B2 叫做双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长 ④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称 为双曲线的渐近线。从图上看,双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的各支向外延伸时,与这两条直线逐

渐接近。 ⑤等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: a ? b ; 2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为: y ? ? x ;(2)渐近线互相垂直 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线 为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。 3)注意到等轴双曲线的特征 a ? b ,则等轴双曲线可以设为: x 2 ? y 2 ? ? (? ? 0) , 当 ? ? 0 时交点在 x 轴,当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上 ⑥注意
x
2

?

y

2

? 1与

y

2

?

x

2

? 1 的区别:三个量 a, b, c 中 a, b 不同(互换) c 相同,

16

9

9

16

还有焦点所在的坐标轴也变了。 3.抛物线 (1)抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直 线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。
2 方程 y ? 2 px ? p ? 0 ? 叫做抛物线的标准方程。

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐标是 F( 方程是 x ? ?
p 2

p 2

,0),它的准线



(2)抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛
2 2 2 物线的标准方程还有其他几种形式: y ? ?2 px , x ? 2 py , x ? ?2 py .这四种抛物线

的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:

标准方程

y ? 2 px
2

y ? ?2 px
2

x ? 2 py
2

x ? ?2 py
2

( p ? 0)
l
y

( p ? 0)

( p ? 0)
y F o

( p ? 0)

高考学习网-中国最大高考学习网站 Gkxx.com | 我们负责传递知识! o F l x

x

y

l
F

o

x

图形

焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶 离心率

(

p 2

, 0) p 2

(?

p 2

, 0) p 2

(0,

p 2

) p

(0, ? y?

p 2 p

)

x??

x?

y??

x?0
x轴

x?0
x轴

2 y?0

2 y?0

y轴
(0, 0)

y轴
(0, 0)

(0, 0)

(0, 0)

e ?1

e ?1

e ?1

e ?1

说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性 质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3) 注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离。

四.【典例解析】
题型 1:椭圆的概念及标准方程 例 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是 (?4, 0) 、 (4, 0) ,椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于10 ; (2)两个焦点的坐标分别是 (0, ?2) 、 (0, 2) ,并且椭圆经过点 (? (3)焦点在 x 轴上, a : b ? 2 :1 , c ? b ; (4)焦点在 y 轴上, a ? b ? 5 ,且过点 (? 2, 0) ;
2 2

3 5 , ); 2 2

(5)焦距为 b , a ? b ? 1 ; (6)椭圆经过两点 (?
3 5 , ) , ( 3, 5) 。 2 2
x a
2 2

解析: (1) ∵椭圆的焦点在 x 轴上, 故设椭圆的标准方程为 ∵ 2a ? 10 , c ? 4 ,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 9 , 所以,椭圆的标准方程为
x
2

?

y b

2 2

( , ?1 a ? b ? 0 )

?

y

2

?1。 y a
2 2

25

9 ? x b
2 2

(2)∵椭圆焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义知,
2a ? 3 2 5 2 ( ? ) ? ( ? 2) ? 2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ),

3 2 5 3 1 2 ( ? ) ? ( ? 2) ? 10 ? 10 ? 2 10 , 2 2 2 2

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∴ a ? 10 ,又∵ c ? 2 ,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6 ,
所以,椭圆的标准方程为
y
2

?

x

2

? 1。

10

6
2

(3)∵ c ?

6 ,∴ a ? b ? c ? 6 ,①
2 2 2 2

又由 a : b ? 2 :1 代入①得 4b ? b ? 6 , ∴ b 2 ? 2 ,∴ a 2 ? 8 ,又∵焦点在 x 轴上,

所以,椭圆的标准方程为 (4)设椭圆方程为 ∴
2 b
2

x

2

?
2 2

y

2

? 1。

8
y a
2
2 2

2
? 1,

?

x b

? 1 ,∴ b ? 2 ,

又∵ a 2 ? b 2 ? 5 ,∴ a 2 ? 3 , 所以,椭圆的标准方程为
? ? 1. 3 2 (5)∵焦距为 6 ,∴ c ? 3 , y
2

x

2

∴ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 9 ,又∵ a ? b ? 1 ,∴ a ? 5 , b ? 4 , 所以,椭圆的标准方程为 (6)设椭圆方程为
x
2

x

2

?
2

y

2

?1或

y

2

?

x

2

? 1.

25 ? y

16

25

16

? 1 ( m, n ? 0 ),

m

n

3 2 5 2 ? (? ) ( ) ? 2 ? 2 ?1 ? 由? m 得 m ? 6, n ? 10 , n ?3 5 ? ? ?1 ?m n

所以,椭圆方程为

y

2

?

x

2

? ?1.

10

6

点评:求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义,还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间 的关系

例 2.(1)(06 山东)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0),且长轴 长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 。 (2)(06 天津理,8)椭圆的中心为点 E (?1 0) ,它的一个焦点为 F (?3, ,相应于 , 0) 焦点 F 的准线方程为 x ? ?
7 2

,则这个椭圆的方程是(



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a
2

?

5 2

2 2 , a ? 5, b ? 1 ,则这个椭圆的方程是

( x ? 1) 5

2

? y ? 1 ,选 D。
2

c

点评:求椭圆方程的题目属于中低档题目,掌握好基础知识就可以。 题型 2:椭圆的性质

例 3.(1)(06 山东理,7)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦 点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为(
(A) 2 (B)
2 2
x a
2 2


(D)
2 4

(C)

1 2

(2)(2009 全国卷Ⅰ理)设双曲线 +1 相切,则该双曲线的离心率等于( A. 3 B.2

?

y b

2 2

? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x

2

) C. 5
'

D. 6

【解析】设切点 P ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 y |x ? x ? 2 x0 .
0

由题意有

y0 x0

? 2 x0 又 y0 ? x0 ? 1
2

2 解得: x0 ? 1,?

b a

? 2, e ?

b 2 1? ( ) ? a

5.

【答案】C
点评:本题重点考查了椭圆和双曲线的基本性质。

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例 4.(1)((2009 全国卷Ⅰ理)已知椭圆 C :
??? ?

x

2

? y ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,
2

2

点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | =( A.
2

??? ?

???? ?

) D. 3

B. 2

C. 3

【解析】过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意
??? ? ??? ? 2 2 2 2 ? ? ? AF |? | FA ? 3FB ,故 | BM |? .又由椭圆的第二定义,得 | BF |? 2 3 3 3

2 .故选

A 【答案】A
2 2 2 2

(2)(2009 浙江理)过双曲线

x a

?

y b

? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直

线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? 率是 ( A. 2 ) B. 3 C. 5

??? ?

? 1 ??? BC ,则双曲线的离心 2

D. 10

【解析】对于 A ? a, 0 ? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C,
? a ab ? a ab B? , ,? ) 则有 ? , C( a ?b a ?b ? a?b a?b?
2 2

2 2 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? 2a b 2a b ab ab ? 2 2 BC ? ( 2 ,? 2 ), AB ? ? ? , 因 ? , 2 AB ? BC ,? 4a ? b ,? e ? 2 2 a ?b a ?b ? a?b a?b ?

5.

【答案】C
题型 3:双曲线的方程 例 5. (1)已知焦点 F1 (5, 0), F2 ( ?5, 0) ,双曲线上的一点 P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值等 于 6 ,求双曲线的标准方程; (2)求与椭圆
x
2

?

y

2

? 1 共焦点且过点 (3 2,

2) 的双曲线的方程;
9

25

5

(3) 已知双曲线的焦点在 y 轴上, 并且双曲线上两点 P , P2 坐标分别为 (3, ?4 2), ( , 5) , 1
4

求双曲线的标准方程。
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解析:(1)因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0) ,

∵ 2a ? 6, 2c ? 10 ,∴ a ? 3, c ? 5 ,∴ b 2 ? 52 ? 32 ? 16 。 所以所求双曲线的方程为 (2)椭圆
x a
2 2

x

2

?

y

2

? 1;

9
x
2

16

?
2

y

2

? 1 的焦点为 (2 5, 0), ( ?2 5, 0) ,可以设双曲线的方程为
2

25

5

?

y b

2 2

? 1 ,则 a ? b ? 20 。

又∵过点 (3 2, 2) ,∴

18 a
2

?

2 b
2

? 1。

综上得, a 2 ? 20 ? 2 10, b 2 ? 2 10 ,所以

x

2

20 ? 2 10

?

y

2

? 1。

2 10

点评:双曲线的定义;方程确定焦点的方法;基本量 a, b, c 之间的关系。 (3)因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为
y a
2 2

?

x b

2 2

? 1(a ? 0, b ? 0) ①;

∵点 P , P2 在双曲线上,∴点 P , P2 的坐标适合方程①。 1 1
? ( ?4 2) 2 32 ? 2 ?1 ? 2 a b 9 ? 将 (3, ?4 2), ( , 5) 分别代入方程①中,得方程组: ? 9 2 4 ? 25 ( ) ? 2 ? 42 ? 1 b ?a

1 ?1 ? 2 ?a 1 1 ? 16 将 2 和 2 看着整体,解得 ? , 1 1 a b ? ? ? b2 9 ?
2 2 ? a ? 16 y x ? ∴? 2 即双曲线的标准方程为 ? ? 1 。 16 9 ?b ? 9 ?

2

点评:本题只要解得 a , b 即可得到双曲线的方程,没有必要求出 a, b 的值;在求解 的过程中也可以用换元思想,可能会看的更清楚
2 2

例 6.已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,且焦距与虚轴长之比为 5 : 4 , 则双曲线的标准方程是____________________.

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解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,则焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距 与虚轴长之比为 5 : 4 ,即 c : b ? 5 : 4 ,解得 c ? 5, b ? 4 ,则双曲线的标准方程是
x
2

?

y

2

? 1;

9

16

点评:本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘 双曲线几何性质,数形结合,更为直观简捷 题型 4:双曲线的性质 例 7.(1)(2009 安徽卷理)下列曲线中离心率为 A.
x
2

6 2

的是 D. x
2

?

y

2

?1

B. x
6 2
c a
2 2

2

?

y

2

?1

C. x
2 2

2

2

4

?

y

2

?1

4

2

?

y

2

?1

4

6

4

10

【解析】由 e ? 【答案】B



?

3 2

,1 ?

b a

?

3 b 1 , 2 ? ,选 B. 2 a 2

2

(2)(2009 江西卷文)设 F1 和 F2 为双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若

F1,F2 , P (0, 2b) 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为

A.

3 2

B. 2
?
6 c 2b 3 3

C.

5 2

D.3
c a

【解析】由 tan
【答案】B

?

?

2 2 2 2 有 3c ? 4b ? 4(c ? a ) ,则 e ?

? 2 ,故选 B.

(3) (2009 天津卷文) 设双曲线 则双曲线的渐近线方程为( ) A. y ? ? 2 x B . y ? ?2 x

x a

2 2

?

y b

2 2

焦距为 2 3 , ? 1( a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,

C.y ? ?
c ?b
2 2

2 2

x

D. y ? ?

1 2

x

【解析】由已知得到 b ? 1, c ? 3 , a ? 故渐近线方程为 y ? ?
b a x?? 2 2

?

2 ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,

x

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【答案】C 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力 和推理能力。
2 2 2 2 2

例 8. (1)(2009 湖北卷理)已知双曲线

x

?

y

? 1 的准线过椭圆

x

?

y b

? 1 的焦点,

2

2

4

则直线 y ? kx ? 2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是( A. K ? ? ? , ? 2 2
? ?
2? ? 2 ?
a
2

)
1? ? ?1 ? ? ?

?

1 1?

B. K ? ? ??, ? ? ? ? , ?? ? 2 2
?

?

C. K ? ? ?
?

?

2 2

,

D. K ? ? ??, ?
? ?
?? 2 2
? 3 所以方程是

?

? 2 ? 2? , ?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

【解析】易得准线方程是 x ? ? 所以 c 2
? a ? b ? 4 ? b ?1
2 2 2

? ?1 x
2

b

即 b2
2

?

y

2

?1

4

3

联立 y ? kx ? 2 可得 【答案】A

3x +(4k +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得
2

A.

(2)(2009 四川卷文、理)已知双曲线

x

2

?

y b

2 2

2

? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、

F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 P ( 3 , y 0 ) 在双曲线上.则 PF1 · PF2 =(

)

A. -12

B.

-2

C.

0

D. 4

2 2 【解析】 由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线, ∴双曲线方程是 x ? y ? 2 ,

于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),且 P ( 3 ,1) 或 P ( 3 ,?1) .不妨去 P ( 3 ,1) , 则 PF1 ? (?2 ? 3 ,?1) , PF2 ? (2 ? 3 ,?1) . ∴ PF1 · PF2 = (?2 ? 3 ,?1)(2 ? 3 ,?1) ? ?(2 ? 3 )(2 ? 3 ) ? 1 ? 0 【答案】C

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x y (3)(2009 全国卷Ⅱ理)已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且 a b

2

2

斜率为 3 的直线交 C 于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
m

(

)

A.

6 5

B.
x
2

7 5

C.

5 8

D.

9 5

【解析】设双曲线 C: 2 ?
a

y b

2 2

? 1 的右准线为 l ,过 A、B 分 别作 AM ? l 于 M , BN ? l 于

N , BD ? AM 于D ,由直线 AB 的斜率为 3 ,知直线 AB 的倾斜角
60???BAD ? 60?,| AD |? 1 2 | AB | ,

由双曲线的第二定义有
??? ? ??? ? ? ??? ? 1 1 ??? (| AF | ? | FB |) ? | AB |? (| AF | ? | FB |) . e 2 2 ??? ? ??? ? 1 5 6 又? AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? . e 2 5 | AM | ? | BN |?| AD |? 1

【答案】A 题型 5:抛物线方程 例 9.(1))焦点到准线的距离是 2; (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0, ? 2),求它的标准方程 解析:(1)y 2 =4x,y 2 = ? 4x,x 2 =4y,x 2 = ? 4y;

方程是 x 2 = ? 8y。 点评:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数 p,因此 只要给出确定 p 的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线 方程给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定, 则所求的标准方程就会有多解。 题型 6:抛物线的性质
2 例 10.(1)若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的右焦点重合,则 p 的值

6

2

为( ) A. ?2

B. 2

C. ?4 ) (C) y ? ?2

D. 4

2 (2)抛物线 y ? 8 x 的准线方程是(

(A) x ? ?2

(B)

x ? ?4

(D) y ? ?4 )

2 (3)(2009 湖南卷文)抛物线 y ? ?8 x 的焦点坐标是(

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A.(2,0)
x

B.(- 2,0)
2

C.(4,0)

D.(- 4,0)

解析:(1)椭圆

?

y

2

? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y ? 2 px 的焦点为(2,0),
2

6

2

则 p ? 4 ,故选 D; (2)2p=8,p=4,故准线方程为 x=-2,选 A; (3)【解析】由 y 2 ? ?8 x ,易知焦点坐标是 (?
p 2 , 0) ? ( ?2, 0) ,故选 B.

【答案】B 点评:考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。 例 11.(1)(全国卷 I)抛物线 y ? ? x 2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值 是( ) A.
4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

(2)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)。 (3)对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值 范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,2 ] C.[0,2] D.(0,2)

能使这抛物线方程为 y2=10x 的条件是
2

.(要求填写合适条件的序号)

解析:(1)设抛物线 y ? ? x 上一点为(m,-m2),该点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距 离为 ,选 A; 3 3 5 (2)答案:②,⑤ 解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定⑤。 (3)答案:B 解析:设点 Q 的坐标为(
y0 4
2

| 4m ? 3m ? 8 |
2

,当 m=

2

时,取得最小值为

4

,y0),

由 |PQ|≥|a|,得

y02+(

y0 4

2

-a)2≥a2.

整理,得:y02(y02+16-8a)≥0, ∵y02≥0,∴y02+16-8a≥0.

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即 a≤2+

y0 8

2

恒成立.而 2+

y0 8

2

的最小值为 2.

∴a≤2.选 B。 点评:抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。

五. 【思维总结】
在复习过程中抓住以下几点: (1)坚持源于课本、高于课本,以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》. 并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定,其实质是精通课本,而本章考题大 多数是课本的变式题,即源于课本,因此掌握双基、精通课本是关键; (2)在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧,椭圆、双曲线、 抛物线的定义揭示了各自存在的条件、 性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、 焦半径、 准线、 离心率有关量的关系问题,若能用定义法,可避免繁琐的推理与运算; (3)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1),F 为抛物线的焦点,对于四种抛物线 的焦半径公式分别为(p>0):
y ? 2 px : PF ? x1 ?
2

p 2 p 2

; y ? ?2 px : PF ? ? x1 ?
2

p 2 p 2

x ? 2 py : PF ? y1 ?
2

; x ? ?2 py : PF ? ? y1 ?
2

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