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【全国百强校】湖北宜昌市第一中学2015届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题B卷

时间:2015-05-11


试卷类型:B 绝密★启用前

宜昌一中 2015 年高考适应性考试(一)

数 学(理工类)
本试题卷共 4 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。

★ 祝考试顺利★
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出

的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? {x | y ? lg( x2 ? x ? 2)} ,则 A ? CR B ? A. [?1,1] B. [?3, ?1] C. (?1,1] D. [?3, ?1)
2.设复数 z ? ?1 ? i ( i 为虚数单位) ,则

2? z 对应的点位于 z

A.第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 3. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与另外 500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H 0 : “这种血清不能起到预防感
2 冒的作用” ,利用 2×2 列联表计算的结果,认为 H 0 成立的可能性不足 1%,那么 K 的一 个可能取值为 A.6.635 B. 7.897 C. 5.024 D. 3.841 (参考数据) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P(K 2 ? k0 )

k0
4.函数 y ? cos ( x ?
2

3.841

5.024

6.635

7.879

10.83

) 的单调递增区间 2 A. (2k? , 2k? ? ? )k ? Z
C.

?

B. (2k? , 2k? ? 2? )k ? Z D. (k? ?

( k? , k? ? ) k ? Z 2

?

?
2

, k? ? ? ) k ? Z

5. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输出的 S 为

11 ,则判断框中 12

填写的内容可以是 A. n ≤ 8 B. n ? 6 C. n ? 6 D. n ≤ 6 6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某多面体的三视图,则该 多面体的体积为 A.

32 3

B.

64 3

C.

32 3 3

D. 64

7.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五 人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有 A. 84 种 B.78 种 C. 72 种 D.48 种 8 .三棱锥 P ? ABC 中 , 已知 ?APC ? ? BPC ? ? APB ? , 点 M 是 ?ABC 的重心 , 且

?

uu r uur uur uuu r uuu r uu r uuu r PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? 9 ,则 | PM | 的最小值为
A. 2 2 B.

3

6

C.

4 3 3

D. 2

1

试卷类型:B
x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ? 的右顶点为 A, O 为坐标 a 2 b2 原 点 , 以 A 为 圆 心 的 圆 与 双 曲 线 C 的 某 渐 近 线 交 于 两 点 P, Q . 若 uuu r uuu r ?PAQ ? 60? 且 OQ ? 4OP ,则双曲线 C 的离心率为
9.如图,已知双曲线 C :
y

Q O P A x

2 13 7 2 3 C. D. 5 2 3 x ? y ?2 x ? y ?2 ?e ? 2 恒成立,则实 10. 若对 ?x, y ?[0, ??) ,不等式 4ax ? e 数 a 的最大值是
A. 3 B. A.

1 2

B. 2

C. 1

D.

1 4

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请 将答案填在答题卡对应题号 的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. .......
(一)必考题(11—14 题) 11.已知 sin ? ? cos ? ?

2 1 ? tan ? ? ,则 3 2sin 2 ? ? sin 2?

.

12.已知 ( x ? 2) 2015 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ????? a2015 x 2015 ,则 (a0 ? a2 ? a4 ??? ?a2014 )2 ? (a1

?a3 ? a5 ??? ?a2015 )2 ?

.

13.已知函数 f ( x) 是 R 上的减函数,且 y ? f ( x ? 2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称.若

u , v 满足不等式组 ?

? f (u) ? f (v ? 1) ? 0, 2 2 则 u ? v 的最小值为 f ( u ? v ? 1) ? 0, ?


b

14.给定可导函数 y ? f ( x) , 如果存在 x0
3

? ?[a, b] ,使得 f ( x ) ?
0

a

f ( x)dx b?a


成立, 则称 x0 为

函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的“平均值点”. (1) 函数 f ( x) ? x ? 3x 在区间 [?2, 2] 上的平均值点为 (2)如果函数 g ( x) ? 1 ? x 2 ? mx 在区间 [?1,1] 上有两个 “平均值点” , 则实数 m 的取值范围 是 . (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图, AB 是⊙ O 的直径,C , F 是⊙ O 上 C 的两点,OC ⊥ AB , 过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D . 连 结 CF 交 AB 于点 E , OA ? 3, DB ? 3 ,则 DE ? . 16. (选修 4-4: 坐标系与参数方程) 已知直线 3? cos ? ? 4? sin ? ? a ? 0
x ? 1 ? cos ? 与曲线 ? ( ? 为参数) ,有且仅有一个公共点,则正实数 a 的值 ? ? y ? sin ?

A O

E

B

D

F



.

2

试卷类型:B
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若角 B ?
[学优高考网 gkstk]

2b ? 3c cos C ? . cos A 3a

?

6

, BC 边上的中线 AM ?

7 ,求 ?ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分)

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且首项 a1 ? 3, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) .
n (Ⅰ)求证: S n ? 3 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)若 ?an ? 为递增数列,求 a1 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练,每人投 10 次, 投中的次数统计如下表: 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 乙班 6 4 5 8 7 9 9 7 8 7

(Ⅰ )从统计数据看,甲乙两个班哪个班成绩更稳定(用数据说明)? (Ⅱ ) 若把上表数据作为学生投篮命中率, 规定两个班级的 1 号和 2 号两名同学分别代表自己 的班级参加比赛, 每人投篮一次, 将甲、 乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 X 和 Y , 试求 X 和 Y 的分布列和数学期望.

3

试卷类型:B
20.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , ?BAC ? 90? , AB ? 2, AC ? 6 , 点 D 在线 1 段 BB1 上,且 BD ? BB1 , A1C AC1 ? E . 3 (Ⅰ)求证:直线 DE 与平面 ABC 不平行; 7 (Ⅱ) 设平面 ADC1 与平面 ABC 所成的锐二面角为 ? , 若c , 求 AA1 的长; o s ?? 7 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设平面 ADC1 平面 ABC ? l ,求直线 l 与 DE 所成的 角的余弦值.

21.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的下顶点为 P(0, ?1) , P 到焦点的距离为 2 . a 2 b2 (Ⅰ)设 Q 是椭圆上的动点,求 | PQ | 的最大值; uur uu u r (Ⅱ) 若直线 l 与圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 相切, 并与椭圆 C 交于不同的两点 A、 B. 当O AO B ? ??, 2 3 且满足 ? ? ? 时,求 ? AOB 面积 S 的取值范围. 3 4
已知椭圆 C :

22.(本小题满分 14 分) 若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ?

f ?(1) 2 x ? 2 ?e ? x 2 ? 2 f (0) x , 2

x 1 g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a , a ? R . 2 4 (Ⅰ)求函数 f ( x) 解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 单调区间; (Ⅲ)若 x 、 y 、 m 满足 | x ? m |?| y ? m | ,则称 x 比 y 更接近 m .当 a ? 2 且 x ? 1 时,试 e x ?1 比较 和 e ? a 哪个更接近 ln x ,并说明理由. x

4

试卷类型:B

宜昌一中 2015 年高考适应性考试(一)数学(理) 评 分 标 准
1 A 卷 B 卷 11. C A 2 B C 3 A B 13. 4 A C 5 C D 6 D B 7 A D 8 A D 15. 3 3 9 C B 16. 2 1 0 D A

?

9 5

12.

1

1 2

14. (1) ? 3,0 ;(2) [ ?

? ?

, ] 4 4

17.解: (I)由正弦定理及

2b ? 3c cos C 2sin B ? 3 sin C cosC ? 得 ? cos A cos A 3a 3 sin A

整理得 2sin B cos A ? 3sin( A ? C) ? 3sin B ??????????????3 分 又 sin B ? 0 ,所以 cos A ? 又 A ? (0, ? ) ,所以 A ? (II)由 B ?

?
6

3 2

????????????????????????6 分

?
6

,A?

?
6

,知 a ? b
2

b2 b ? ?7 2? 1 4 ?ACM 中,由余弦定理得 cos 求得 b ? 2 ??10 分 ? ?? 2 3 b 2 1 3 所以 ?ABC 的面积 S?ABC ? ? 2 ? 2 ? ???????????12 分 ? 3 2 2
18. 解: (I)因为 an?1 ? Sn?1 ? Sn ,所以 Sn?1 ? 2Sn ? 3n ??????????????1 分

Sn ?1 ? 3n?1 ?2 Sn ? 3n 且 a1 ? 3 ? 0
所以
n

????????????????????????4 分

所以 {Sn ? 3n } 是以 a1 ? 3 为首项,以 2 为公比的等比数列。 (II)由(I)得, Sn ? 3 ? (a1 ? 3) ? 2
n?1

???????6 分

,所以 Sn ? (a1 ? 3) ? 2
*

n?1

? 3n

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (a1 ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 若 ?an ? 为递增数列,则 an?1 ? an 对 n ? N 恒成立

????????????8 分

当 n ? 2 时, (a1 ? 3) ? 2n?1 ? 2 ? 3n ? (a1 ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1

3 [12 ? ( ) n ? 2 ? a1 ? 3] ? 0 对 n ? 2 , n ? N * 恒成立 2 则 a1 ? ?9 ????????????????????????????????10 分
即2
n?2

又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 所以 a1 的取值范围是 (?9,3) ? (3, ??) . ???????????????????12 分
2 2 19.解:(Ⅰ)两个班数据的平均值都为 7,甲班的方差 s1 ? 2 ,乙班的方差 s2 ?

14 ,?5 分 5

5

试卷类型:B
因为甲班的方差较小,所以甲班的成绩比较稳定.???????????????6 分 (Ⅱ) X 可能取 0,1,2

P ( X ? 0) ?

2 1 1 3 1 3 3 1 2 1 1 ? ? , P ( X ? 1) ? ? ? ? ? , P( X ? 2) ? ? ? , 5 2 5 5 2 10 5 2 5 2 2
0 1 2

所以 X 分布列为:

X
P 数学期望 EX ? 0 ?

1 5

1 2

3 10
?????????????9 分

1 1 3 11 ? 1? ? 2 ? ? . 5 2 10 10

Y 可能取 0,1,2 3 1 3 2 4 8 3 4 2 1 14 P(Y ? 0) ? ? ? , P(Y ? 1) ? ? ? ? ? , P (Y ? 2) ? ? ? , 5 5 25 5 5 25 5 5 5 5 25 所以 Y 分布列为: 0 1 2 Y 3 14 8 P 25 25 25
数学期望 EY ? 0 ?

3 14 8 6 ? 1? ? 2 ? ? . 25 25 25 5

??????????12 分

20. 解:依题意,可建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AA1 ? h ,则
h? h? ? ? B ? 2,0,0 ? , C ? 0,6,0 ? , D ? 2,0, ? , A1 ? 0,0, h ? , C1 ? 0,6, h ? , E ? 0,3, ? . 3? 2? ? ? h? h ? DE ? n1 ? ? ?2,3, ? ? ? 0, 0,1? ? ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 6 6 ? ? ∴ 直线 DE 与平面 ABC 不平行.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ)设平面 ADC1 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,则

.......................2 分

(Ⅰ)证明:由 AA1 ? 平面 ABC 可知 n1 ? ? 0,0,1? 为平面 ABC 的一个法向量. ∴

? h? h ? ?n2 ? AD ? ? x, y, z ? ? ? 2,0, 3 ? ? 2 x ? 3 z ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · 5分 ? ? ? ?n ? AC ? ? x, y, z ? ? ? 0,6, h ? ? 6 y ? hz ? 0 1 ? 2

取 z ? ?6 ,则 x ? y ? h ,故 n2 ? ? h, h, ?6? . · · · · · · · · · · · · · 6分 ∴ cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ? 解得 h ? 6 3 . ∴ AA1 ? 6 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 (Ⅲ) 在平面 BCC1 B1 内, 分别延长 CB、C1 D , 交于点 F , 连结 AF , 则直线 AF 为平面 ADC1 与平面 ABC 的交线. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 BF BD 1 1 1 1 ∵ BD //CC1 , BD= BB1 = CC1 ,∴ ? ? .∴ BF ? CB , 2 3 3 FC CC1 3 1 1 ∴ AF ? AB ? BF ? AB ? CB ? ? 2,0,0? ? ? 2, ?6,0? ? ? 3, ?3,0? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2
n1 ? n2 6 7 = ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 7 n1 n2 1 ? 2h ? 36

6

试卷类型:B
h? ? 由(Ⅱ)知, h ? 6 3 ,故 DE ? ? ?2,3, ? ? ?2,3, 3 , 6? ?

?

?

∴ ∴ 21.解:

cos ? AF , DE ??

AF ? DE AF DE

?

?15 3 2?4

??

5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 .· 8

直线 l 与 DE 所成的角的余弦值为 ?

5 5 2 ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 8 8

(1)易知椭圆的方程为 设 Q ( x, y ) ,

x2 ? y 2 ? 1 ??????????????????????2 分 2

PQ ? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2(1 ? y 2 ) ? ( y ? 1) 2 ? ?( y ? 1) 2 ? 4(?1 ? y ? 1) .
∴当 y ? 1 时, PQ max ? 2 . ????????????????5 分

(2)依题结合图形知的斜率不可能为零,所以设直线 l 的方程为 x ? my ? n ( m ? R ).∵直 线 l 即 x ? my ? n ? 0 与圆 O: x ? y ? 1 相切,
2 2

∴有:

|n| m ?1
2

? 1得 n 2 ? m 2 ? 1 .?????????????????????6 分
? x ? my ? n
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

又∵点 A、B 的坐标( x1 , y1 )、( x2 , y 2 )满足: ? 消去整理得 (m ? 2) y ? 2mny? n ? 2 ? 0 ,
2 2 2

n2 ? 2 2mn y y ? , . 1 2 m2 ? 2 m2 ? 2 2 2 2 2 2 2 其判别式 ? ? 4m n ? 4(m ? 2)(n ? 2) ? 8(m ? n ? 2) ? 8 ,
由韦达定理得 y1 ? y 2 ? ? 又由求根公式有 y1、 2 ?
? ?

? 2mn ? ? . 2(m 2 ? 2)
3n 2 ? 2m 2 ? 2 m 2 ? 1 ? 2 .????????9 分 m2 ? 2 m ?2

∵ ? = OA? OB = x1 x2 ? y1 y 2 ? (my1 ? n)(my2 ? n) ? y1 y2

? (m 2 ? 1) y1 y 2 ? m n( y1 ? y 2 ) ? n 2 ?

? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 | OA || OB | sin ?AOB ? OA ? OB ? (OA? OB) 2 2 2 1 1 1 ? | x1 y 2 ? x 2 y1 | ? | (my 1 ? n) y 2 ? (my 2 ? n) y1 |? | n( y 2 ? y1 ) | 2 2 2

S ?AOB ?

?

1 ? m2 ?1 m2 ? 1 1 | n|? 2 ? 2? .???????11 分 ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 m ?2 ( m ? 2) m ?2 m ?2

m2 ? 1 1 m2 ? 1 2 3 ? 2 ? 1 ,且 ? ? 2 ∵ 2 ∈[ , ]. 3 4 m ?2 m ?2 m ?2 6 2 ∴ S ?AOB ? 2 ? ? ? (1 ? ? ) ∈[ , ].?????????????????13 分 3 4
22. 2 x ?2 解: (Ⅰ) f '( x) ? f '(1)e ? 2x ? 2 f (0) ,所以 f '(1) ? f '(1) ? 2 ? 2 f (0) ,即 f (0) ? 1 .

7

试卷类型:B
f ?(1) ?2 ? e ,所以 f '(1) ? 2e2 , 2 所以 f ( x) ? e2 x ? x 2 ? 2 x .
又 f (0) ? (Ⅱ)

??????????????4 分

f ( x) ? e 2 x ? 2 x ? x 2 , x 1 1 1 ? g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? e x ? x 2 ? x ? x 2 ? (1 ? a ) x ? a ? e x ? a ( x ? 1) 2 4 4 4
???????5 分
x

.

? g ?( x) ? e ? a , ①当 a ≤ 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 R 上单调递增; x ? ②当 a ? 0 时,由 g ( x) ? e ? a ? 0 得 x ? ln a ,

??????6 分

∴ x ? ? ??,ln a ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; x ? ? ln a, ??? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单 调递增. 综上,当 a ≤ 0 时,函数 g ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) ;当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的单调 递增区间为 ? ln a, ??? ,单调递减区间为 ? ??,ln a ? . (Ⅲ)解:设 p ( x) ? ??????8 分

e ? ln x, q ( x) ? e x ?1 ? a ? ln x , x

e 1 ? ? 0 ,? p( x) 在 x ? [1, ??) 上为减函数,又 p(e) ? 0 , x2 x ? 当 1 ? x ? e 时, p( x) ? 0 ,当 x ? e 时, p( x) ? 0 . 1 1 q '( x) ? e x ?1 ? , q ''( x) ? e x ?1 ? 2 ? 0 , x x ? q '( x ) 在 x ? [1, ??) 上为增函数,又 q '(1) ? 0 , ? x ? [1, ??) 时, q '( x) ? 0 ,? q( x) 在 x ? [1, ??) 上为增函数, ? q( x) ? q(1) ? a ? 2 ? 0 . e x ?1 ①当 1 ? x ? e 时, | p ( x) | ? | q( x) |? p( x) ? q( x) ? ? e ? a , x e e x ?1 x ?1 设 m( x) ? ? e ? a ,则 m '( x) ? ? 2 ? e ? 0 ,? m( x ) 在 x ? [1, ??) 上为减函数, x x ? m( x) ? m(1) ? e ? 1 ? a , e a ? 2 ,? m( x) ? 0 ,? | p( x) |?| q( x) | ,? 比 e x ?1 + a 更接近 ln x . x p '( x) ? ?
②当 x ? e 时,

e | p( x) | ? | q( x) |? ? p( x) ? q( x) ? ? ? 2 ln x ? e x ?1 ? a ? 2 ln x ? e x ?1 ? a , x 2 x ?1 2 x ?1 x ?1 设 n( x) ? 2ln x ? e ? a ,则 n '( x) ? ? e , n ''( x) ? ? 2 ? e ? 0 , x x 2 ? n '( x ) 在 x ? e 时为减函数,? n '( x) ? n '(e) ? ? ee ?1 ? 0 , e ? n( x) 在 x ? e 时为减函数,? n( x) ? n(e) ? 2 ? a ? ee?1 ? 0 , e ? | p( x) |?| q( x) | ,? 比 e x ?1 + a 更接近 ln x . x e x ?1 综上:在 a ? 2, x ? 1 时, 比 e + a 更接近 ln x . ?????????????14 分 x
8

试卷类型:B

9


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