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高一数学 2.3 映射的概念


高一数学

2.3

映射的概念 8.15

1.理解映射的概念及表达方法. 2.会判断一个对应是否为映射. 映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空集合,如果按某种对应法则 f,对于 A 中的每一个元素, 在 B 中都有惟一的元素与之对应,那么,这样的单值对应就叫集合 A 到集合 B 的映射.记作 f:A→B. 若集

合 A 有 n 个元素,集合 B 有 m 个元素,则集合 A 到集合 B 的映射有 m 个. 【做一做 1-1】根据对应法则 f:x→2x-1,写出图中给定元素的对应元素. (1)
n

(2)

答案:(1)1 3 5 (2)4 5 6 【做一做 1-2】已知映射 f:A→B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中的元素在映射 f 下的元素,且对任意的 a∈A,在 B 中和它对应的元素是 |a|,则集合 B 中的元素的个数是________. 答案:4 1.怎样理解映射的概念? 剖析:(1)映射定义中的两个集合 A、B 是有先后次序的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射 是不同的. (2)映射是由集合 A、B 以及从 A 到 B 的对应法则 f 所确定的. (3)在一个映射中,在对应法则 f 的作用下,集合 A 中的任何一个元素 a 对应着集合 B 中的元素 b. (4)符号“f: A→B”表示集合 A 到集合 B 的映射, 其中对应法则 f 的具体内容可用汉字 叙述, 如“求正弦”“乘以 2 再加 5”等. 但在专业教材中, 一般用比较抽象的符号来表示. (5)在一个映射中,集合 A、B 可以是数集,也可以是点集或其他集合;集合 A、B 也可 以是同一集合,但在确定的映射中,集合 A、B 的地位一般是不要求对等的. 2.为什么说映射是一种特殊的对应? 剖析:(1)映射也是两个集合 A 与 B 元素之间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的 映射,就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应,而不允许存在“一对

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多”的对应. (2)映射中所允许的“一对一”与“多对一”这两种对应的特点,从 A 到 B 的映射 f: A→B 实际是要求集合 A 中的任一元素都必须对应于集合 B 中惟一的元素.但对集合 B 中的 元素并无任何要求, 即允许集合 B 中的元素在集合 A 中可能有一个元素与之对应, 可能有两 个或多个元素与之对应,也可能没有元素与之对应. 题型一 映射的概念 【例 1】下列对应是不是从 A 到 B 的映射? (1)A=Q,B={x∈Q|x>0},f:x→|x|; * (2)A=B=N ,f:x→|x-2|; 2 (3)A={x∈N|x≥2},B={y∈Z|y≥0},f:x→y=x -2x+1; (4)A={x|x>0},B={y|y∈R},f:x→y=± x. 解:(1)中,当 x=0∈A 时,|x|=0 B,即 A 中的元素 0 按照对应法则在 B 中找不到应 该对应的元素,故(1)不是映射. (2)中,当 x=2∈A 时,|x-2|=0 B,与(1)类似,(2)也不是映射. 2 2 (3)中,因为 y=(x-1) ≥0,所以对任意 x,总有 y≥0;又当 x∈N 时,x -2x+1 必为 2 整数,即 y∈Z.所以当 x∈A 时,x -2x+1∈B,且对 A 中每一个元素 x,在 B 中都有惟一 的 y 与之对应,故(3)是映射. (4)中,任意一个 x 都有两个 y 与之对应,故不是映射. 反思:给定两集合 A、B 及对应法则 f,判断是否是从集合 A 到集合 B 的映射,其基本 方法是利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B 的对应有“多对一”“一对一”及“一对 多”,前两种对应是 A→B 的映射,而后一种不是 A→B 的映射. 题型二 映射的个数问题 【例 2】 已知 M={a, b, c}, N={-2,0,2}, 且从 M 到 N 的映射满足 f(a)>f(b)≥f(c), 试确定这样的映射 f 的个数为__________. 解析:因为从 M 到 N 的映射满足 f(a)>f(b)≥f(c),所以,(1)当 f(a)=2 时,有 f(b)=0, f(b)=-2, f(b)=0, 或 或 f(c)=0 f(c)=-2 f(c)=-2. f(b)=-2, (2)当 f(a)=0 时,有 f(c)=-2. 综上,从 M 到 N 满足 f(a)>f(b)≥f(c)的映射 f 的个数是 4. 答案:4 反思:对于这类有条件的映射问题,求解时要注意考虑周到,注意分情况讨论,切勿遗 漏情况. 【例 3】已知 A={1,2,3,4},B={6,7},则以 A 为定义域,B 为值域的不同函数的个数 为__________. 解析:当 A 中有三个元素对应 B 中元素 6 时,另一个元素必须对应 B 中元素 7,这样可 组成 4 个满足题意的不同函数; 当 A 中有三个元素对应 B 中元素 7 时,另一个元素必须对应 B 中元素 6,这样可组成 4 个满足题意的不同函数; 当 A 中有两个元素对应 B 中元素 6 时,剩下两个元素必对应 7,这样可组成 6 个满足题 意的函数. 所以共可组成 4+4+6=14(个)不同函数. 答案:14 反思:求解此题要特别注意集合 B 必须为函数的值域的特别要求,它实际是要求集合 B 恰好是集合 A 中的所有元素所对应的元素组成的.

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题型三 映射的应用 【例 4】为了增加破译密文的难度,有一种密码把英文的明文按两个字母一组分组,如 果最后剩一个字母,则任意添一个字母,拼成一组. 例如 I am your friend 添一个 o,分组为:Ia my ou rf ri en do,得到 9 13 15 18 18 5 4 , , , , , , . 1 25 21 6 9 14 15 其中 9 表示 I 在 26 个英文字母中的序号,1 表示 a 在 26 个英文字母中的序号,依此类 x x′=2x+3y 推,然后用一个公式,比如: ? y y′=x+4y 来进行变换. 9 x′=2×9+3×1=21 21 由 ? = , 1 y′=9+4×1=13 13 21÷26=0 余 21,21 对应字母 u,13÷26=0 余 13,13 对应字母 m,即 Ia 变成 um. 13 将 变成 x′=2×13+3×25=101 除以 26 得余数为 23,即 w; 25 y′=13+4×25=113 除以 26 得余数为 9,即 i. 试按上述方法及变换公式将明文 I am your friend 写成密文. 解:因 26 的倍数除以 26 所得的余数为 0,英文字母中没有与 0 对应的字母,故令与 0 对应的字母为 z. 15 x′=2×15+3×21=93≡15(mod 26) 15 ? = ,即 ou 不变; 21 y′=15+4×21=99≡21(mod 26) 21 18 x′=2×18+3×6=54≡2(mod 26) 2 ? = ,即 rf 变成 bp; 6 y′=18+4×6=42≡16(mod 26) 16 18 x′=2×18+3×9=63≡11(mod 26) 11 ? = ,即 ri 变成 kb; 9 y′=18+4×9=54≡2(mod 26) 2 5 x′=2×5+3×14=52≡0(mod 26) 0 ? = ,即 en 变成 zi; 14 y′=5+4×14=61≡9(mod 26) 9 4 x′=2×4+3×15=53≡1(mod 26) 1 ? = ,即 do 变成 al. 15 y′=4+4×15=64≡12(mod 26) 12 故密文为 umwioubpkbzial. 反思:密码学问题涉及到很多的知识,上面的例题只是一种很简单的形式,也是一类很 好的映射应用问题,解决此类问题既要读懂题意,又要看准对应法则,按照题目的引例进行 计算. 1 下图中表示的是从集合 X 到集合 Y 的对应,其中能构成映射的是__________.

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解析:图象中必须满足对于 x 的每一个值,y 都有惟一的值与之对应. 答案:① * 2 若 A={(x,y)|x∈Z,|x|<2,y∈N ,x+y<3},B={0,1,2},从 A 到 B 的对应关系 f:(x,y)→x+y,说明 f 是 A 到 B 的映射,并画出对应图,指出 B 中的元素 2 与 A 中的哪 个元素对应. 分析:按照映射的定义,对于集合 A 中的每一元素,在集合 B 中都要有惟一的元素与它 对应,但要注意集合 A 中的多个元素是可以对应于 B 中的同一个元素的.

解:集合 A 的元素共有六个,用列举法表示为{(-1,2),(-1,3),(-1,1),(0,1), (0,2),(1,1)}.对应图如下图所示:∵集合 A 中的每一元素,集合 B 中都有惟一的元素与 之对应,∴f 是 A 到 B 的映射. 2 与 A 中对应的元素有三个, 即(-1,3)、(0,2)、(1,1). 3(1)已知集合 A={a1,a2},B={b1,b2},试问从集合 A 到集合 B 的所有不同的映射有 多少个? (2)已知集合 A={a1,a2},B={b1,b2,b3},试问从集合 A 到集合 B 的所有不同的映射 有多少个? 分析:当所给集合中的元素数目不大时,可直接用图示的方法展现所有不同的映射;若 不然,可采用分析的方法解之. 解:(1)用图示的方法可以清楚地看到从 A 到 B 能建立 4 个不同的映射(见下图).

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(2)分 A 中元素对应 B 中同一元素和 A 中元素对应 B 中不同元素两种情况考虑.A 中 2 个元素对应 B 中相同元素的对应有 3 个,这时有 3 个不同的映射;A 中 2 个元素同时对应 B 中 2 个不同的元素的对应有 6 个,这时有 6 个不同的映射.所以,集合 A 到集合 B 的所有不 同的映射一共有 9 个. 已知集合 A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B 是 A 到 B 的映射,规定为:f:x→(x +1,x +1),试求 2在 B 中的对应元素及 ?
2

?3 5? , ? 在 A 中的对应元素. ?2 4?

2 解:由条件知当 x= 2时,x+1= 2+1,x +1=3. 所以 2在 B 中的对应元素为( 2+1,3); 3 x+1= , 2 1 5 再由 2 得 x= , x +1= , 2 4

说明点 ?

1 ?3 5? , ? 在 A 中的对应元素为 . 2 ?2 4?

1 1 0,1, , 1 2 3 的映射是 f:x→ 5 已知集合 A 到集合 B= ,那么集合 A 中的元素最 |x|-1 多有几个?并写出元素最多时的集合 A. 解:∵f 是映射, 1 ∴A 中的每一个元素在 B 中都有惟一元素与它对应,但 ≠0, |x|-1 ∴0 在集合 A 中不存在元素与它对应. 1 当 =1 时,得 x=±2; |x|-1 1 1 当 = 时,得 x=±3; |x|-1 2 1 1 当 = 时,得 x=±4. |x|-1 3 ∴A 中元素最多只能有 6 个, 即 A={-4,-3,-2,2,3,4}.

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2.2.3映射的概念(北师大必修1)

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