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第四讲《数学归纳法证明不等式》教案(新人教选修4-5).1


第四讲:数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一, 包含数学归纳法的定义和数学归纳 法证明基本步骤,用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一,在数 列推理能力的考查中占有重要的地位。 本讲主要复习数学归纳法的定义、 数学归纳法证明基本步骤、 用数学归纳法证明不等式 的方法:作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法,以及类

比与猜想、抽象与概 括、从特殊到一般等数学思想方法。 在用数学归纳法证明不等式的具体过程中,要注意以下几点: (1)在从 n=k 到 n=k+1 的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化,也 就是要认清不等式的结构特征; (2)瞄准当 n=k+1 时的递推目标,有目的地进行放缩、分析; (3)活用起点的位置; (4)有的试题需要先作等价变换。 例题精讲 例 1、用数学归纳法证明

1?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

分析:该命题意图:本题主要考查数学归纳法定义,证明基本步骤 证明:

1 1 1 1 1?当 n=1 时,左边=1- 2 = 2 ,右边= 1 ? 1 = 2 ,所以等式成立。
2?假设当 n=k 时,等式成立,

1?


1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2k ? 1 2k k ? 1 k ? 2 2k 。

那么,当 n=k+1 时,

1?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? 2 3 4 2k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?( ? ) 2 3 4 k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 k ? 1 2k ? 2

?

1 1 1 1 1 ? ??? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2(k ? 1)

这就是说,当 n=k+1 时等式也成立。 综上所述,等式对任何自然数 n 都成立。 点评: 数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命题为 P(n)(1)证 . 明当 n 取第一个值 n0 时,结论正确,即验证 P(n0)正确; (2)假设 n=k(k∈N 且 k≥n0) 时结论正确,证明当 n=k+1 时, 结论也正确, 即由 P (k) 正确推出 P(k+1)正确, 根据 (1) ,

(2) ,就可以判定命题 P(n)对于从 n0 开始的所有自然数 n 都正确. 要证明的等式左边共 2n 项,而右边共 n 项。f(k)与 f(k+1)相比较,左边增加两项,右边增加

1 1 一项, 并且二者右边的首项也不一样, 因此在证明中采取了将 k ? 1 与 2 k ? 2 合并的变形方
式,这是在分析了 f(k)与 f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。 练习: 1.用数学归纳法证明 3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 解析:由题意知 n≥3,∴应验证 n=3.答案:C 2.用数学归纳法证明 4
2n

?1 +3n+2 能被 13 整除,其中 n∈N

证明: × (1)当 n=1 时,42 1+1+31+2=91 能被 13 整除 (2)假设当 n=k 时,42k+1+3k+2 能被 13 整除,则当 n=k+1 时, 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2 ?) ∵42k+1·13 能被 13 整除,42k+1+3k+2 能被 13 整除 ∴当 n=k+1 时也成立. 由①②知,当 n∈N*时,42n+1+3n+2 能被 13 整除.

1 1 1 5 ? ??? ? , (n ? 2, n ? N * ) 3n 6 例 2、求证: n ? 1 n ? 2 .
分析:该命题意图:本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。 用数学归纳法证明,要完成两个步骤,这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析, 证明第二步是难点和关键,要充分利用归纳假设,做好命题从 n=k 到 n=k+1 的转化,这个 转化要求在变化过程中结构不变. 证明:

1 1 1 1 5 ? ? ? ? (1)当 n=2 时,右边= 3 4 5 6 6 ,不等式成立.
(2)假设当 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时命题成立,即
*

1 1 1 5 ? ??? ? k ?1 k ? 2 3k 6 .
则当 n ? k ? 1 时,

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? (k ? 1 ) 1 k (? ? ) 2 ? 1 k 3 k ? 3 k ? 3 k ? 3( 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ?( ? ? ? ) k ?1 k ? 2 3k 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 k ? 1 5 1 1 1 1 ? ?( ? ? ? ) 6 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 k ? 1 5 1 1 1 1 ? ?( ? ? ? ) 6 3k ? 3 3k ? 3 3k ? 3 k ? 1 5 1 1 5 ? ? (3 ? ? ) ? . 6 3k ? 3 k ? 1 6
所以则当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由(1)(2)可知,原不等式对一切 n ? 2, n ? N 均成立. ,
*

1)

点评:本题在由 n ? k 到 n ? k ? 1 时的推证过程中, (1) 一定要注意分析清楚命题的结构特征, 即由 n ? k 到 n ? k ? 1 时不等式左端项数的增 减情况; (2)应用了放缩技巧:

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 3? ? . 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 3 3k ? 3 3k ? 3 3k ? 3 k ? 1
Sn ? 1 ? 1 1 1 ? ??? , n ? N* 2 3 n ,

例 3、已知,

n S2n ? 1 ? ( n ? 2, n ? N * ) 2 用数学归纳法证明: .
证明:

(1)当 n=2 时,

S 22 ? 1 ?

1 1 1 13 2 ? ? ? 1? ? 1? 2 3 4 12 2 ,∴命题成立.
*

(2)假设当 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时命题成立,即

S 2k ? 1 ?

1 1 1 k ? ??? k ? 1? 2 3 2 2.

则当 n ? k ? 1 时,

S2k ?1 ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? k ? k ? k ? ? ? k ?1 2 3 2 2 ?1 2 ? 2 2

k 1 1 1 k 1 1 1 ? k ? k ? ? ? k ?1 ? 1 ? ? k ?1 ? k ?1 ? ? ? k ?1 2 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 2 2 k 1 k 1 k ?1 ? 1 ? ? 2k ? k ?1 ? 1 ? ? ? 1 ? . 2 2 2 2 2 ? 1?
所以则当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由(1)(2)可知,原不等式对一切 n ? 2, n ? N 均成立. ,
*

点评:本题在由 n ? k 到 n ? k ? 1 时的推证过程中,

1 k ?1 (1)不等式左端增加了 2 项,而不是只增加了“ 2 ”这一项,否则证题思路必然
k

受阻; (2)应用了放缩技巧:

1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ? ? ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1 ? ? ? k ?1 ? 2k ? k ?1 ? . 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 2 2 2
k

练习: 1、证明不等式:

分析 1、数学归纳法的基本步骤: 设 P(n)是关于自然数 n 的命题,若 1° 0)成立(奠基) P(n 2° 假设 P(k)成立(k≥n0),可以推出 P(k+1)成立(归纳),则 P(n)对一切大于等于 n0 的自然数 n 都成立. 2、用数学归纳法证明不等式是较困难的课题,除运用证明不等式的几种基本方法外,经 常使用的方法就是放缩法,针对目标,合理放缩,从而达到目标. 证明: (1)当 n=1 时,不等式成立. (2)假设 n=k 时,不等式成立,即

那么,

这就是说,n=k+1 时,不等式也成立. 根据(1) (2)可知不等式对 n∈N+都成立. 2.求证:用数学归纳法证明 2 ? 2 ? n
n 2

(n ? N * ) .

证明: (1) 当 n=1 时, 2 ? 2 ? 1 ,不等式成立;
1 2

当 n=2 时, 2 ? 2 ? 2 ,不等式成立;
2 2

当 n=3 时, 2 ? 2 ? 3 ,不等式成立.
3 2
k 2 (2)假设当 n ? k (k ? 3, k ? N ) 时不等式成立,即 2 ? 2 ? k .

*

则当 n ? k ? 1 时,

2k ?1 ? 2 ? 2(2k ? 2) ? 2 ? 2k 2 ? 2 ? (k ? 1)2 ? k 2 ? 2k ? 3 ,
∵ k ? 3 ,∴ k ? 2k ? 3 ? (k ? 3)(k ? 1) ? 0 , (*)
2

从而 2 ∴2

k ?1

? 2 ? (k ? 1)2 ? k 2 ? 2k ? 3 ? (k ? 1)2 ,

k ?1

? 2 ? (k ? 1)2 .

即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由(1)(2)可知, 2 ? 2 ? n 对一切 n ? N 都成立. ,
n 2 *

点评: 因为在(*)处,当 k ? 3 时才成立,故起点只证 n=1 还不够,因此我们需注意命题 的递推关系式中起点位置的推移.

3.求证: e

2m

? 3m ,其中 m ? 1 ,且 m ? N ? .

分析:此题是 2004 年广东高考数学试卷第 21 题的适当变形,有两种证法 证法一:用数学归纳法证明. (1)当 m=2 时, e ? 2 ? 3 ? 2 ,不等式成立.
4 4 2k (2)假设 m ? k (k ? 2, k ? N ) 时,有 e ? 3k ,

*

则 e

2( k ?1)

? e2 k ? e2 ? 3k ? e2 ? 6k ,

∵ k ? 2 ,∴ 6k ? 3(k ? 1) ? 3k ? 3 ? 0 ,即 6k ? 3(k ? 1) . 从而 e
2( k ?1)

? 6k ? 3(k ? 1) ,
2m 即 m ? k ? 1 时,亦有 e ? 3m .

由(1)和(2)知,对 m ? 1, m ? N 都成立. 证法二:作差、放缩,然后利用二项展开式和放缩法证明.

?

e 2 m ? 3m ? (1 ? 1) 2 m ? 3m
0 1 2 ? C2 m ? C2 m ? C2 m ? 3m

2m(2m ? 1) ? 3m 2 ? 1 ? 2m ? m ? 3m ? 1 ? 2m ? ?0
? 2m ∴当 m ? 1 ,且 m ? N 时, e ? 3m .

( m ? 1 ? 2m ? 1 ? 1)

例 4、 (2005 年江西省高考理科数学第 21 题第(1)小题,本小题满分 12 分)

{a } 已知数列 n 的各项都是正数, 且满足 :
证明

a 0 ? 1, a n ?1 ?

1 a n , (4 ? a n ), n ? N . 2

an ? an?1 ? 2, n ? N ;

求数列

{an } 的通项公式 a .
n

分析: 近年来高考对于数学归纳法的考查, 加强了数列推理能力的考查。 对数列进行了考查, 和数学归纳法一起,成为压轴题。 解: (1)方法一 用数学归纳法证明:

1°当 n=1 时,

a 0 ? 1, a1 ?

1 3 a0 (4 ? a0 ) ? , 2 2



a0 ? a1 ? 2 ,命题正确.

2°假设 n=k 时有

ak ?1 ? ak ? 2.
1 1 ak ?1 (4 ? ak ?1 ) ? ak (4 ? ak ) 2 2



n ? k ? 1时, ak ? ak ?1 ?

1 1 ? 2(ak ?1 ? ak ) ? (ak ? 1? ak )(ak ? 1 ak ) ? (ak ? ? ak )(4 ? ak ? ?1 ak ). ? 1 2 2


ak ?1 ? ak ? 0,

4 ? ak ?1 ? ak ? 0,

?ak ? ak ?1 ? 0.



ak ?1 ?

1 1 ak (4 ? ak ) ? [4 ? (ak ? 2) 2 ] ? 2. 2 2

∴ n ? k ? 1 时命题正确. 由 1°、2°知,对一切 n∈N 时有 方法二:用数学归纳法证明:

an ? an?1 ? 2.

1°当 n=1 时,

a 0 ? 1, a1 ?

1 3 a0 (4 ? a0 ) ? , 2 2 ∴ 0 ? a0 ? a1 ? 2 ;

2°假设 n=k 时有

ak ?1 ? ak ? 2 成立,

f ( x) ?
令 所以由假设有:

1 x(4 ? x) 2 , f (x) 在[0,2]上单调递增,

f (ak ?1 ) ? f (ak ) ? f (2),

1 1 1 a k ?1 (4 ? a k ?1 ) ? a k (4 ? a k ) ? ? 2 ? (4 ? 2), 2 2 即2
也即当 n=k+1 时 所以对一切

ak ? ak ?1 ? 2 成立,

n ? N , 有ak ? ak ?1 ? 2 .
a n ?1 ? 1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 2 2

(2)下面来求数列的通项: 所以

2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2) 2

令bn ? an ? 2, 则
n ?1 1 2 1 1 2 1 1 22 1 2n bn ? ? bn ?1 ? ? ( ? bn ?2 )2 ? ? ? ( ) 2 bn ?1 ? ? ? ?( )1?2???2 bn 2 2 2 2 2 2

1 n bn ? ?( ) 2 ?1 , 2 又 bn=-1,所以 1 n 即an ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 2 .
点评: 本题问给出的两种方法均是用数学归纳法证明,所不同的是:方法一采用了作差比较法;方 法二利用了函数的单调性.

{a } 本题也可先求出第( 2)问,即数列 n 的通项公式

1 n an ? 2 ? ( ) 2 ?1 2 ,然后利用函数

1 x f ( x ) ? 2 ? ( ) 2 ?1 2 的单调性和有界性,来证明第(1)问的不等式.但若这样做,则无形
当中加大了第(1)问的难度,显然不如用数学归纳法证明来得简捷. 练习: 1.试证明:不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列,当 n>1,n∈N*且 a、b、c 互不相等 时,均有:an+cn>2bn. 分析:该命题意图:本题主要考查数学归纳法证明不等式,考查的知识包括等差数列、等比 数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 技巧与方法:本题中使用到结论:(ak-ck)(a-c)>0 恒成立(a、b、c 为正数),从而 ak+1+ck+1 >ak· k· c+c a.

b 证明:(1)设 a、b、c 为等比数列,a= q ,c=bq(q>0 且 q≠1)

1 bn n n ∴an+cn= q +bnqn=bn( q +qn)>2bn
an ? cn a?c 2 (2)设 a、b、c 为等差数列,则 2b=a+c 猜想 >( 2 )n(n≥2 且 n∈N*)
下面用数学归纳法证明:

a2 ? c2 a?c 2 ?( ) 2 2 2 2 2 ①当 n=2 时,由 2(a +c )>(a+c) ,∴ ak ? ck a?c k ?( ) , 2 2 ②设 n=k 时成立,即 a k ?1 ? c k ?1 1 ? 2 4 (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) 则当 n=k+1 时,

1 1 k+1 k+1 k k > 4 (a +c +a · · 4 (ak+ck)(a+c) c+c a)= a?c a?c a?c >( 2 )k· 2 )=( 2 )k+1 (
根据①、②可知不等式对 n>1,n∈N*都成立. 二.基础训练

一、选择题 1.已知 f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N,都能使 m 整除 f(n),则最大的 m 的值为( ) A.30 B.26 C.36 D.6 解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整除. 证明:n=1,2 时,由上得证,设 n=k(k≥2)时, f(k)=(2k+7)·3k+9 能被 36 整除,则 n=k+1 时, f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1 ?-(2k+7)·3k =(6k+27)·3k-(2k+7)·3k - =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k 2 ?(k≥2) ? f(k+1)能被 36 整除 ∵f(1)不能被大于 36 的数整除,∴所求最大的 m 值等于 36. 答案:C 二、填空题

1?
2.观察下列式子:

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 3 4 ?则可归纳出_________. 2 3 2 3 4

1?
解析:

1 3 1 2 ?1 ? 1 ? 即1 ? ? 2 2 2 1?1 2 (1 ? 1)

1?

1 1 5 1 1 2? 2 ?1 ? 2 ? ,即1 ? ? ? 2 2 2 3 2 ?1 2 3 (1 ? 1) (2 ? 1) 1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? ? 2 2 n ?1 2 3 (n ? 1) (n∈N*)

归纳为 ? 1

答案 : 1 ?

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? ? 2 2 n ?1 2 3 (n ? 1) (n∈N*)

3a n 1 an ? 3 3.已知 a1= 2 ,an+1= ,则 a2,a3,a4,a5 的值分别为_________,由此猜想 an=_________.

1 3? 3a1 2 ? 3 ? 3 同理, 3.解析 : a2 ? ? a1 ? 3 1 ? 3 7 2 ? 5 2 3a2 3 3 3 3 3 3 3 a3 ? ? ? , a4 ? ? , a5 ? ? , 猜想an ? a2 ? 3 8 3 ? 5 9 4?5 10 5 ? 5 n?5
3 3 3 3 答案 : 、 、 、 7 8 9 10 3 n?5

三、解答题

1 1 1 13 ? ??? ? 2n 24 . 4.若 n 为大于 1 的自然数,求证: n ? 1 n ? 2
证明:(1)当 n=2 时,

1 1 7 13 ? ? ? 2 ? 1 2 ? 2 12 24 1 1 1 13 (2)假设当 n=k 时成立,即 ? ? ?? ? k ?1 k ? 2 2k 24 1 1 1 1 1 1 1 则当n ? k ? 1时, ? ??? ? ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 k ? 1 13 1 1 1 13 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 24 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 24 2k ? 1 2k ? 2 13 1 13 ? ? ? 24 2( 2k ? 1)( k ? 1) 24

1 1 1 13 ? ??? ? 2n 24 所以:对于 n∈N ,且 n>1 时,有 n ? 1 n ? 2
*

5.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=145. (1)求数列{bn}的通项公式 bn;

(2)设数列{an}的通项 an=loga(1+

1 bn

)(其中 a>0 且 a≠1)记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,试比较

1 Sn 与 3 logabn+1 的大小,并证明你的结论.
?b1 ? 1 ?b ? 1 ? ?? 1 ? 10(10 ? 1) d ? 145 ?d ? 3 ?10b1 ? 2 (1)解:设数列{bn}的公差为 d,由题意得 ? ,∴bn=3n-2
(2)证明:由 bn=3n-2 知

1 1 Sn=loga(1+1)+loga(1+ 4 )+?+loga(1+ 3n ? 2 ) 1 1 =loga[(1+1)(1+ 4 )?(1+ 3n ? 2 )] 1 1 1 3 3n ? 1 , 于是,比较 Sn 与 3 logabn+1 ? 的大小 ? 比 较(1+1)(1+ 4 ) ? 而 3 logabn+1=loga 1 3 (1+ 3n ? 2 )与 3n ? 1 的大小.
3 3 3 取 n=1,有(1+1)= 8 ? 4 ? 3 ?1 ? 1

1 3 ) ? 8 ? 3 7 ? 3 3? 2 ?1 4 取 n=2,有(1+1)(1+ 1 1 3 * 推测:(1+1)(1+ 4 )?(1+ 3n ? 2 )> 3n ? 1 ( )
①当 n=1 时,已验证( )式成立.
*

1 1 3 * ②假设 n=k(k≥1)时( )式成立,即(1+1)(1+ 4 )?(1+ 3k ? 2 )> 3k ? 1
1 1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3k ? 1(1 ? ) 4 3k ? 2 3(k ? 1) ? 2 3k ? 1 则当 n=k+1 时,

?

3k ? 2 3 3k ? 1 3k ? 1

?(

3k ? 2 3 3k ? 1) 3 ? (3 3k ? 4 ) 3 3k ? 1 (3k ? 2) 3 ? (3k ? 4)(3k ? 1) 2 9k ? 4 ? ? ?0 2 (3k ? 1) (3k ? 1) 2
3

?

3k ? 1 (3k ? 2) ? 3 3k ? 4 ? 3 3(k ? 1) ? 1 3k ? 1

1 1 1 从而(1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3(k ? 1) ? 1 * 4 3k ? 2 3k ?1 ,即当 n=k+1 时,( )式成立
由①②知,( )式对任意正整数 n 都成立.
*

1 1 于是,当 a>1 时,Sn> 3 logabn+1 ?,当 0<a<1 时,Sn< 3 logabn+1 ?
6.设实数 q 满足|q|<1,数列{an}满足:a1=2,a2≠0,an·an+1=-qn,求 an 表达式,又如果 n?? S2n <3,求 q 的取值范围. 解:∵a1·a2=-q,a1=2,a2≠0,

lim

9 ∴q≠0,a2=- 2 ,
∵an·an+1=-q ,an+1·an+2=-q ?
n n+1

两式相除,得

an 1 ? an? 2 q

,即 an+2=q·an

1 n 于是,a1=2,a3=2·q,a5=2·q ?猜想:a2n+1=- 2 q (n=1,2,3,?)
n

?2 ? q k ?1 n ? 2k ? 1时( k ? N ) ? ? 1 k ?? q n ? 2k时( k ? N ) 综合①②,猜想通项公式为 an= ? 2
下证:(1)当 n=1,2 时猜想成立 k-1 (2)设 n=2k-1 时,a2k-1=2·q 则 n=2k+1 时,由于 a2k+1=q·a2k-1 ? k ∴a2k+1=2·q 即 n=2k-1 成立. 可推知 n=2k+1 也成立.

1 k 设 n=2k 时,a2k=- 2 q ,则 n=2k+2 时,由于 a2k+2=q·a2k ?, 1 k 所以 a2k+2=- 2 q +1,这说明 n=2k 成立,可推知 n=2k+2 也成立.
综上所述,对一切自然数 n,猜想都成立.

?2 ? q k ?1 当n ? 2k ? 1时(k ? N ) ? ? 1 k ?? q 当n ? 2k时(k ? N ) 这样所求通项公式为 an= ? 2

S2n=(a1+a3?+a2n-1)+(a2+a4+?+a2n)

1 2 n =2(1+q+q +?+q ?)- 2 (q+q +?+q )
2

n-1

?

2(1 ? q n ) 1 q(1 ? q n ) 1 ? q n 4 ? q ? ? ?( )( ) 1? q 2 (1 ? q) 1? q 2
n

1? qn 4 ? q lim q ? 0, 故 lim S 2 n 1 ? q )( 2 ) n?? n?? 由于|q|<1,∴ = (
4?q 2 2(1 ? q) <3,并注意 1-q>0,|q|<1 解得-1<q<0 或 0<q< 5 依题意知

三.巩固练习 1. (06 年湖南卷. 理 .19 本小题满分 14 分)

0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ), n ? 1, 2,3,?. a 已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,数列{ n }满足:
1 an ?1 ? an 3 0 ? an?1 ? an ? 1;(ⅱ) 6 证明:(ⅰ ) .
证明: (I) .先用数学归纳法证明

0 ? an ? 1 ,n=1,2,3,…

(i).当 n=1 时,由已知显然结论成立.

(ii).假设当 n=k 时结论成立,即

0 ? ak ? 1 .因为 0<x<1 时

f ' ( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数. 又 f(x)在[0,1]上连续,
从而

f (0) ? f (ak ) ? f (1),即0 ? ak ?1 ? 1 ? sin1 ? 1 .故 n=k+1 时,结论成立. 0 ? an ? 1 对一切正整数都成立.

由(i)、(ii)可知,

又因为 0 ? an ? 1 时, an?1 ? an ? an ? sin an ? an ? ? sin an ? 0 , 所以 an?1 ? an ,综上所述 0 ? an?1 ? an ? 1 .

1 g ( x) ? sin x ? x ? x3 6 , 0 ? x ? 1 .由(I)知,当 0 ? x ? 1 时, sin x ? x , (II) .设函数

x2 x2 x 2 x2 2 x g ( x) ? cos x ? 1 ? ? ?2sin ? ? ?2( ) ? ? 0. 2 2 2 2 2 从而
'

所以 g (x)在(0,1)上是增函数. 又 g (x)在[0,1]上连续,且 g (0)=0,

1 g (an ) ? 0, 即sin an ? an ? an 3 ? 0 6 所以当 0 ? x ? 1 时,g (x)>0 成立.于是 . 1 an ?1 ? an 3 6 故 .
点评:不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇,综合考查运用不 等式知识解决 问题的能力, 在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点. 需要灵活运用各分 支的数学知识. 2. ( 05 年辽宁卷.19 本小题满分 12 分)

f ( x) ?
已 知函 数

x?3 ( x ? ?1). {a a ? 1, an?1 ? f (an ) , 数 列 {bn } 满 足 x ?1 设 数列 n }满 足 1

bn ?| an ? 3 |, S n ? b1 ? b2 ? ?? bn (n ? N * ).
( 3 ? 1) n bn ? 2 n?1 ; (Ⅰ )用数学归纳法证明 Sn ? 2 3 . 3

(Ⅱ )证明

分析:本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识,考查运用数学归纳法解决有关 问题的能力

x ? 0时, f ( x) ? 1 ?
(Ⅰ)证明:当 所以

2 ? 1. x ?1

因为 a1=1,

a n ? 1(n ? N*).
bn ? ( 3 ? 1) n . 2 n ?1

下面用数学归纳法证明不等式

(1)当 n=1 时,b1= 3 ? 1 ,不等式成立,

(2)假设当 n=k 时,不等式成立,即

bk ?

( 3 ? 1) k . 2 k ?1

bk ?1 ?| ak ?1 ? 3 |?
那么

( 3 ? 1) | ak ? 3 | 1 ? ak

?

3 ?1 ( 3 ? 1) k ?1 bk ? . 2 2k

所以,当 n=k+1 时,不等也成立。 根据(1)和(2) ,可知不等式对任意 n∈N*都成立。

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,

bn ?

( 3 ? 1) n . 2 n ?1 ( 3 ? 1) 2 ( 3 ? 1) n ??? 2 2 n?1

所以

S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 3 ? 1) ?

3 ?1 n ) 1 2 2 ? ( 3 ? 1) ? ? ( 3 ? 1) ? ? 3. 3 ?1 3 ?1 3 1? 1? 2 2 1? (
n ? N ? , Sn ? 2 3. 3 )

故对任意

3.(05 年湖北卷.理 22.本小题满分 14 分) 已知不等式

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中 n 为大于 2 的整数, [log2 n] 表示不超过 2 3 n 2
设 数 列 {an } 的 各 项 为 正 , 且 满 足

log2 n 的 最 大 整 数 .
a1 ? b(b ? 0), an ?

nan?1 , n ? 2,3,4,? n ? an?1

(Ⅰ)证明 a n ?

2b , n ? 3,4,5,? 2 ? b[log2 n]

(Ⅱ)猜测数列 {an } 是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明) ; 分析:本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.

n ? 2时,0 ? an ?
(Ⅰ)证法 1:∵当

nan?1 1 n ? an?1 1 1 ,? ? ? ? , n ? an?1 an nan?1 an?1 n

1 1 1 ? ? , a a n?1 n 即 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?, ? ? . a2 a1 2 a3 a2 3 an an?1 n 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? . an a1 2 3 n

于是有

所有不等式两边相加可得

1 1 1 ? ? [log2 n]. a a1 2 由已知不等式知,当 n≥3 时有, n

a1 ? b,?


2 ? b[log2 n] 1 1 1 ? ? [log2 n] ? . an b 2 2b

an ?

2b . 2 ? b[log2 n]

f ( n) ?
证法 2:设

1 1 1 ? ??? 2 3 n ,首先利用数学归纳法证不等式

an ?

b , n ? 3,4,5,?. 1 ? f (n)b

a3 ?
(i)当 n=3 时, 由 知不等式成立.

3a 2 3 3 b ? ? ? . 3 2 ? a1 3 ? a2 1 ? f (3)b ?1 3? ?1 a2 2a1

ak ?
(ii)假设当 n=k(k≥3)时,不等式成立,即

b , 1 ? f (k )b

a k ?1 ?


(k ? 1)a k k ?1 k ?1 ? ? 1 ? f (k )b (k ? 1) ? a k (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? ?1 ak b

?

(k ? 1)b ? (k ? 1) ? (k ? 1) f (k )b ? b

b 1 ? ( f (k ) ? 1 )b k ?1

?

b , 1 ? f (k ? 1)b

即当 n=k+1 时,不等式也成立.

an ?
由(i)(ii)知, 、

b , n ? 3,4,5,?. 1 ? f (n)b

an ?
又由已知不等式得 (Ⅱ)有极限,且 n ? ?

b 1 1 ? [log2 n]b 2

?

2b , n ? 3,4,5,?. 2 ? b[log2 n]

lim a n ? 0.

2b 2 2 1 ? ,令 ? , 2 ? b[log2 n] [log2 n] [log2 n] 5 (Ⅲ)∵
则有 log2 n ? [log2 n] ? 10, ? n ? 2
10

? 1024 ,

1 an ? . 5 故取 N=1024,可使当 n>N 时,都有


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