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2014年广州市一模数学试题(理科)及参考答案


试卷类型:A

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2014.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、 县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填

写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型 (A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答 案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3
n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6

12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ?

?n ? N ? .
*

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,若 ? m ? i ? ? 3 ? 4i ,则实数 m 的值为
2

A. ?2

B. ?2

C. ? 2

D. 2

2.在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 C ? 2 B ,则 A. 2sin C
2 2

c 为 b
D. 2cos C

B. 2cos B

C. 2sin B

3.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为 数学(理科)试题 A 第 1 页 共 4 页

A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

4.若函数 f ? x ? ? A. ? ?2, 2 ?

x 2 ? ax ? 1 的定义域为实数集 R ,则实数 a 的取值范围为
B. ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ? C. ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ? D. ? ?2, 2?

5.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制 成如图 1 的频率分布直方图.样本数据分组为 ? 50, 60 ? , 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0

频率/组距

? 60, 70 ? , ? 70,80 ? , ?80,90 ? , ?90,100? .若用分层抽
样的方法从样本中抽取分数在 ?80,100? 范围内的数据 16 个, 则其中分数在 ?90,100 ? 范围内的样本数据有 A.5 个 6.已知集合 A ? ? x x ? Z且 B.6 个 C.8 个

50 60 70 80

90 100 分数

图1 D.10 个

? ?

3 ? ? Z ? ,则集合 A 中的元素个数为 2? x ?
B.3 C.4 D.5

A.2

b = a b 成立的一个必要非充分条件是 7.设 a , b 是两个非零向量,则使 a ?
A. a ? b B. a ? b C. a ? ?b ? ? ? 0 ? D. a ? b

8 .设 a , b , m 为整数( m ? 0 ) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记为
1 2 2 20 20 a ? b ? mod m ? .若 a ? C0 20 ? C20 ? 2 ? C20 ? 2 ? ? ? C 20 ? 2 , a ? b ? mod10 ? ,则 b 的值可以是

A.2011

B.2012

C.2013

D.2014

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.若不等式 x ? a ? 1 的解集为 x 1 ? x ? 3 ,则实数 a 的值为 10.执行如图 2 的程序框图,若输出 S ? 7 ,则输入 k k ? N

?

?

. . .

?

*

? 的值为

11.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图 3 所示,则这个四棱锥的体积是 开始 输入 k

5

n ? 0, S ? 0
数学(理科)试题 A 第 2 页 共 4 页
2

y? x 2? nlog ?k

2

1

1



正(主)视图

侧(左)视图

12.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?

? ?

?? ?? 3 ? ? ? ,则 sin ? ? ? ? ? 12 ? 6? 5 ?



13.在数列 ? an ? 中,已知 a1 ? 1 , an ?1 ? ?

1 ,记 S n 为数列 ? an ? 的前 n 项和,则 S2014 ? an ? 1



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在 极 坐 标 系 中 , 直 线 ? ? sin ? ? cos ? ? ? a 与 曲 线

? ? 2 cos? ? 4 sin ? 相交于 A , B 两点,若
C D P E B

AB ? 2 3 ,则实数 a 的值为



15. (几何证明选讲选做题) 如图4, PC 是圆 O 的切线,切点为 C ,直线 PA 与圆 O 交于 A , B 两点, ?APC 的平分线分别交弦 CA , CB 于 D , E

O A 图4

PE 两点,已知 PC ? 3 , PB ? 2 ,则 的值为 PD



三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)

0?. 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? ,
(1)求实数 a 的值; (2)设 g ( x ) ? ? f ( x ) ? ? 2 ,求函数 g ( x) 的最小正周期与单调递增区间.
2

? π ? 3

? ?

17. (本小题满分12分)

数学(理科)试题 A

第 3 页 共 4 页

甲,乙,丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概率是

2 ,甲,丙两人同时不能被聘用的概率是 5

6 3 ,乙,丙两人同时能被聘用的概率是 ,且三人各自能否被聘用相互独立. 25 10
(1)求乙,丙两人各自能被聘用的概率; (2)设 ? 表示甲,乙,丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,求 ? 的分布列 与均值(数学期望) .

18. (本小题满分14分) 如图 5,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 是棱 D1 D 的 中点,点 F 在棱 B1 B 上,且满足 B1 F ? 2 FB . (1)求证: EF ? A1C1 ; (2)在棱 C1C 上确定一点 G , 使 A , E , G , F 四点共面,并求 此时 C1G 的长; (3)求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值. 19. (本小题满分14分)

D1 A1

C1 B1

E

D
A
图5

F
B

C

已知等差数列 ?an ? 的首项为 10,公差为 2,等比数列 ?bn ? 的首项为 1,公比为 2, n ? N .
*

(1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设第 n 个正方形的边长为 cn ? min ?an , bn ? ,求前 n 个正方形的面积之和 S n . (注: min ?a, b? 表示 a 与 b 的最小值. )

20. (本小题满分14分) 已知双曲线 E :

3 5 x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左,右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 , 2 5 a 4

点 P 是直线 x ?

???? ? ???? ? a2 QF2 ? 0 . 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 PF2 ? 3

(1)求实数 a 的值; ( 2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1 ,过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点 M , N ,在线段 MN 上取

数学(理科)试题 A

第 4 页 共 4 页

异于点 M , N 的点 H ,满足

PM PN

?

MH HN

,证明点 H 恒在一条定直线上.

21. (本小题满分14分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 e (其中 e 为自然对数的底数) .
2 x

?

?

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 定义: 若函数 h ? x ? 在区间 ? s , t ? ? s ? t ? 上的取值范围为 ? s , t ? , 则称区间 ? s , t ? 为函数 h ? x ? 的 “域 同区间” .试问函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域 同区间” ;若不存在,请说明理由.

数学(理科)试题 A

第 5 页 共 4 页

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 题号 答案 三、解答题: 16.解: (1)因为函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? , 0 ? ,所以 f ? ? 9 2 10 3 11 4 12 13 14 15 1 A 2 B 3 A 4 5 6 C 7 D 8 A D B

2 10

?

2011 2

?1 或 ?5

2 3

? π ? 3

? ?

? ?? ? ? 0 . ------1分 ? 3?

即 sin ? ?

? π? ? π? ? ? a cos ? ? ? ? 0 . ? 3? ? 3?

--------------------------------2 分

即?

3 a ? ? 0 . 解得 a ? 3 . 2 2 ? ?

--------------------------------3 分

(2)由(1)得 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? sin x cos
2

? ?? π? ? ? cos x sin ? ? 2sin ? x ? ? . ----------5 分 3? 3 3? ?

? π ?? π? 2π ? ? ? ? 所以 g ( x) ? [ f ( x)] ? 2 ? ? 2sin ? x ? ? ? ? 2 ? 4sin 2 ? x ? ? ? 2 ? ?2 cos ? 2 x ? ? -----7 分 3 ?? 3? 3 ? ? ? ? ?
2

所以函数 g ( x) 的最小正周期为

2? ?? 2

--------------------------------8 分 --------------------------------9 分 -------------------------------10 分

因为函数 y ? cos x 的单调递减区间为 ? 2k ?, 2k ? ? ?? ? k ? Z ? ,

2? ? 2k ? ? ? ? k ? Z ? 时,函数 g ( x) 单调递增. 3 π π 即 kπ ? ? x ? kπ ? ( k ? Z )时,函数 g ( x) 单调递增. 3 6
所以当 2k ? ? 2 x ? 所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? kπ ?

? ?

π π? , kπ ? ? ? k ? Z ? . 3 6?

--------------------------------12 分

17.解: (1)记甲,乙,丙各自能被聘用的事件分别为 A1 , A2 , A3 , 由已知 A1 , A2 , A3 相互独立,且满足

--------------------------------1分

数学(理科)试题参考答案及评分标准

第 1 页 共 6 页

2 ? ? P ? A1 ? ? 5 , ? 6 ? ?? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ? ? ? ? 25 , ? 3 ? ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? 10 . ?
解得 P ? A2 ? ?

--------------------------------3 分

1 3 1 3 , P ? A3 ? ? .所以乙,丙各自能被聘用的概率分别为 , . -----------5 分 2 5 2 5
--------------------------------6 分

(2) ? 的可能取值为 1,3. 因为 P ?? ? 3? ? P ? A1 A2 A3 ? ? P A1 A2 A3

?

?

? P ? A1 ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? ? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A2 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ? ? ?

2 1 3 3 1 2 6 . ? ? ? ? ? ? ? 5 2 5 5 2 5 25 6 19 所以 P ?? ? 1? ? 1 ? P ?? ? 3? ? 1 ? . ? 25 25
所以 ? 的分布列为

--------------------------------9 分

?
P

1
19 25

3
6 25
---------------------10 分

所以 E? ? 1?

19 6 37 . ? 3? ? 25 25 25

----------------------12 分

18. (1)证明:以点 D 为坐标原点, DA , DC , DD1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系, 则 A ? a, 0, 0 ? , A1 ? a, 0, a ? , C1 ? 0, a, a ? , E ? 0, 0, -------------------------------1分

1 ? 1 ? ? a ? , F ? a, a, a ? ,-------------------2分 2 ? 3 ? ? z ???? ? ??? ? ? 1 ? D1 所以 A1C1 ? ? ?a, a, 0 ? , EF ? ? a, a, ? a ? . ---------------3分 C1 6 ? ? A1 ???? ? ??? ? B1 E 2 2 因为 A C ?EF ? ?a ? a ? 0 ? 0 ,
1 1

? ?

所以 A1C1 ? EF .

?????

??? ?

所以 EF ? A1C1 . -----------------------4分

D

F
B

C

y

(2)解:设 G ? 0, a, h ? ,因为平面 ADD1 A1 ? 平面 BCC1 B1 ,

A x 平面 ADD1 A1 ? 平面 AEGF ? AE ,平面 BCC1B1 ? 平面 AEGF ? FG ,
--------------------------------5分

所以 FG ? AE . (

所以存在实数 ? ,使得 FG ? ? AE . 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 6 页

??? ?

??? ?

因为 AE ? ? ? a, 0,

??? ?

? ?

? ? 1 ? ??? 1 ? a ? , FG ? ? ?a, 0, h ? a ? , 2 ? 3 ? ?

所以 ? ?a, 0, h ?

? ?

1 ? 1 ? 5 ? a ? ? ? ? ?a, 0, a ? . 所以 ? ? 1 , h ? a .--------------------------7分 3 ? 2 ? 6 ?

所以 C1G ? CC1 ? CG ? a ?

5 1 1 a ? a . 故当 C1G ? a 时, A , E , G , F 四点共面.----8分 6 6 6
? ? 1 ? ??? 1 ? a ? , AF ? ? 0, a, a ? . 2 ? 3 ? ?
----------------------------9分

(3)解:由(1)知 AE ? ? ?a ,0,

??? ?

? ?

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 AEF 的法向量,

??? ? ? ?n?AE ? 0, 则 ? ??? ? n ? AF ? 0. ? ?

1 ? ?ax ? az ? 0, ? ? 2 即? ?ay ? 1 az ? 0. ? 3 ?

取 z ? 6 ,则 x ? 3 , y ? ?2 .

所以 n ? ? 3, ?2, 6 ? 是平面 AEF 的一个法向量. 而 DD1 ? ? 0, 0, a ? 是平面 ABCD 的一个法向量, 设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? ,

--------------------------------11分 --------------------------------12分

???? ?

???? ? n?DD1 则 cos ? ? ???? ? n ?DD1

--------------------------------13分

?

0 ? 3 ? 0 ? ? ?2 ? ? a ? 6 32 ? ? ?2 ? ? 62 ? a
2

?

6 . 7
6 . 7
--------------------------------14分

故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为

19.解: (1)因为等差数列 ?an ? 的首项为10,公差为2, 所以 an ? 10 ? ? n ? 1? ? 2 , 即 an ? 2n ? 8 . --------------------------------1 分

因为等比数列 ?bn ? 的首项为 1,公比为 2, 所以 bn ? 1? 2
n ?1



即 bn ? 2

n ?1



--------------------------------2 分

(2)因为 a1 ? 10 , a2 ? 12 , a3 ? 14 , a4 ? 16 , a5 ? 18 , a6 ? 20 ,

b1 ? 1 , b2 ? 2 , b3 ? 4 , b4 ? 8 , b5 ? 16 , b6 ? 32 .
易知当 n ? 5 时, an ? bn . 下面证明当 n ? 6 时,不等式 bn ? an 成立. 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 6 页 --------------------------------3 分

①当 n ? 6 时, b6 ? 2

6 ?1

? 32 ? 20 ? 2 ? 6 ? 8 ? a6 ,不等式显然成立.

②假设当 n ? k ? k ? 6 ? 时,不等式成立,即 2k ?1 ? 2k ? 8 . 则有 2 ? 2 ? 2
k k ?1

? 2 ? 2k ? 8 ? ? 2 ? k ? 1? ? 8 ? ? 2k ? 6 ? ? 2 ? k ? 1? ? 8 .

这说明当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 综合①②可知,不等式对 n ? 6 的所有整数都成立. 所以当 n ? 6 时, bn ? an . 所以 cn ? min ?an , bn ? ? ?
2n?2 ? ?2 , 则 cn ? ? 2 ? ?4 ? n ? 4 ? , 当 n ? 5 时, 2

--------------------------------4 分

? 2n ?1 , ? 2n ? 8,

n ? 5, n ? 5.

--------------------------------5 分

n ? 5, n ? 5.

--------------------------------6 分

Sn ? c12 ? c2 2 ? c32 ? ? ? cn 2 ? b12 ? b2 2 ? b32 ? ? ? bn 2

? 20 ? 22 ? 24 ? ? ? 22n?2 ?
当 n ? 5 时,

1 ? 4n 1 n ? ? 4 ? 1? . 1? 4 3

--------------------------------8 分

Sn ? c12 ? c2 2 ? c32 ? ? ? cn 2 ? ? b12 ? b2 2 ? ? ? b5 2 ? ? ? a6 2 ? a7 2 ? ? ? an 2 ?

----------------------9 分 ----------------------10 分

?

1 5 2 4 ? 1? ?4 ?? 6? 4 ?? 7 ? ? ? ? 3
2

? ?4 ? ? ? ? n ? ? 4 ?
2 2

?341 ? ? 4? 2 6 ? ?

7 ?? ? n 2 ??

?

8? 6? ? 7 ? n? ?

?

n 1 ?6 ? ? ?

5

----------------------11 分

2 2 2 2 2 2 ? ? 341 ? 4 ? ??1 ? 2 ? ? ? n ? ? ?1 ? 2 ? ? ? 5 ? ? ? 32 ? 6 ? 7 ? ? ? n ? ? 64 ? n ? 5 ?

n? 1 ? n ? n ? 1?? 2 ?? ?341 ? ? 4 6 ?

? 5 ? ?5 ?

? 32

?

6 ? n ?? n ? 2

?5 ?

6? 4 ? ?n

5 ----------------------12 分
----------------------13 分

?

4 3 242 n ? 18n2 ? n ? 679 . 3 3
n ? 5,

?1 n ? 4 ? 1? , ? ?3 综上可知, S n ? ? ? 4 n3 ? 18n 2 ? 242 n ? 679, ? 3 ?3
20. (1)解:设双曲线 E 的半焦距为 c ,

----------------------14 分

n ? 5.

?c 3 5 , ? ? 由题意可得 ? a 5 ?c 2 ? a 2 ? 4. ?

解得 a ?

5 .

----------------------2 分

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第 4 页 共 6 页

(2)证明:由(1)可知,直线 x ?

a2 5 ?5 ? ? ,点 F2 ? 3, 0 ? .设点 P ? , t ? , Q ? x0 , y0 ? , 3 3 ?3 ?

QF2 ? 0 ,所以 ? 3 ? , ?t ?? 因为 PF2 ? ? 3 ? x0 , ? y0 ? ? 0 .
所以 ty0 ?

???? ? ???? ?

? ?

5 3

? ?

4 ? x0 ? 3? . 3

----------------------3 分

因为点 Q ? x0 , y0 ? 在双曲线 E 上,所以
2 y0 ? t y0 y0 ? ty0 ? ? ? 5 x0 5 2 x0 ? x0 ? x0 3 3

x0 2 y0 2 4 2 ? ? 1 ,即 y0 2 ? ? x0 ? 5? . ----------------4 分 5 4 5
----------------5 分

所以 k PQ ? kOQ

4 2 4 x0 ? 5? ? ? x0 ? 3? ? 4 3 ?5 ? . 5 5 x0 2 ? x0 3 4 所以直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 . 5
(3)设点 H ? x, y ? ,且过点 P ?
2 2 2

-----------------6 分

?5 ? ,1? 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , ?3 ?
2

2 则 4 x1 ? 5 y1 ? 20 , 4 x2 ? 5 y2 ? 20 ,即 y1 ?

???? ? ???? ? ? PM ? ? PN , ? ? ? ,则 ? ???? 设 ? ???? . PN HN ? ? MH ? ? HN .
PM MH

4 2 4 x1 ? 5? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5? . ? 5 5
--------------------------------------------8 分

?? 5 5 ? ? ? ?? x1 ? , y1 ? 1? ? ? ? x2 ? , y2 ? 1 ? , 3 3 即 ?? ? ? ? ?? x ? x , y ? y ? ? ? ? x ? x , y ? y ? . 1 1 2 2 ?

5 ? ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? , ? ? 整理,得 ? y1 ? ? y2 ? 1 ? ? , ? x1 ? ? x2 ? x ?1 ? ? ? , ? ? ? y1 ? ? y2 ? y ?1 ? ? ? .

① ② ③ ④

------------------------------------12 分 --------------------------------------------10 分

5 ? 2 2 2 2 ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? x , 由①×③,②×④得 ? ? y12 ? ? 2 y2 2 ? ?1 ? ? 2 ? y. ?
将 y1 ?
2



4 2 4 x1 ? 5? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5? 代入⑥, ? 5 5

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第 5 页 共 6 页

4 x12 ? ? 2 x2 2 得y? ? ?4. 5 1? ? 2
将⑤代入⑦,得 y ?



4 x ? 4 . 所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ?12 ? 0 上. ------------------8 分 3

21.解: (1)因为 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 e , (苏元高考吧:www.gaokao8.net)
2 x

?

?

x 2 x x 所以 f ?( x) ? (2 x ? 2)e ? ( x ? 2 x ? 1)e ? x ? 1 e ? ( x ? 1)( x ? 1)e .
2 x

?

?

------------------1 分

当 x ? ?1 或 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,即函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? . 当 ?1 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,即函数 f ( x) 的单调递减区间为 ? ?1,1? . 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? ,单调递减区间为 ? ?1,1? . -----------3 分 (2)假设函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上存在“域同区间” [ s, t ] (1 ? s ? t ) , 由(1)知函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是增函数, 所以 ? ------------------4 分

? f ( s ) ? s, ? f (t ) ? t.

即?
2 x

?( s ? 1) 2 ? e s ? s,
2 t ? (t ? 1) ? e ? t.

-----------------------------------5 分

也就是方程 ( x ? 1) e ? x 有两个大于 1 的相异实根. 设 g ( x) ? ( x ? 1) e ? x ( x ? 1) ,则 g ?( x) ? ( x ? 1)e ? 1 .
2 x 2 x

-----------------------------------6 分 -----------------------------------7 分

2 x 设 h ? x ? ? g ?( x) ? ( x ? 1)e ? 1 ,则 h? ? x ? ? x ? 2 x ? 1 e .-----------------------------------8 分
2 x

?

?

因为在 (1, ??) 上有 h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.------------------------------9 分 因为 h ?1? ? ?1 ? 0 , h ? 2 ? ? 3e ? 1 ? 0 ,
2

即存在唯一的 x0 ? ?1, 2 ? ,使得 h ? x0 ? ? 0 .

-----------------------------------10 分

当 x ? ?1, x0 ? 时, h ? x ? ? g ? ? x ? ? 0 ,即函数 g ( x) 在 ?1, x0 ? 上是减函数; 当 x ? ? x0 , ?? ? 时, h ? x ? ? g ? ? x ? ? 0 ,即函数 g ( x) 在 ? x0 , ?? ? 上是增函数.-------------11 分 因为 g ?1? ? ?1 ? 0 , g ( x0 ) ? g (1) ? 0 , g (2) ? e ? 2 ? 0 ,
2

所以函数 g ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上只有一个零点.
2 x

-----------------------------------12 分

这与方程 ( x ? 1) e ? x 有两个大于 1 的相异实根相矛盾,所以假设不成立.----------------13 分 所以函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上不存在“域同区间” . -----------------------------------14 分

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2014年广州市一模数学试题(理科)及参考答案

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2014年广州市一模数学试题(理科)及参考答案

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2014年广州市一模数学试题(理科)

试卷类型:A 2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科) 2014.3 ...置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔涂改液...

2014年广州市一模数学试题(理科)含答案

若存在,求出所有符合条件的“域 同区间” ;若不存在,请说明理由. 2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案...

2014年广州市一模理科数学试题及答案(WORD版)

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2015年广州一模数学(理科)试题及参考答案

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2014年广东省广州市一模数学(文科)试题及答案

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2014年广州市一模理科数学试题(含详细解答WORD版)

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2014广州一模理科数学试卷及答案详解

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