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26届全国物理预赛试题


第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
1-5 9 13 6 10 14 7 11 15 8 12 16

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总分

一、选择题.本题共 5 小题,每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小 题只有一项是正确的,有的小题有多项是正确的.把正确选项前面的英文字

母写 得分 阅卷 复核 在每小题后面的方括号内.全部选对的得 7 分,选对但不全的得 3 分,选错或不 答的得 0 分. 1.图中 a、b 和 c、d 分别是两个平行板电容器的极扳,E 为电池,彼 此相距较远.用导线将 E 的正极与 a、 c 相连,将 E 的负极与 b、d 相连,待电容器充电后,去掉导线.这时已知 a 带的电荷量大于 c 带 的电荷量,称此状态为原始状态.现设想用两根导线分别都从原始状态出发,进行以下两次连接:第一次 用一根导线将 a、c 相连,用另一根导线将 b、d 相连;第二次用一根导线将 a、d 相连,用另一根导线将 b、c 相连,每次连接后都随即移去导线.下面哪种说法是正确的? A.经过第一次连接,a、b 间的电压下降,c、d 间的电压上升 B.经过第一次连接,a、b 间和 c、d 间的电压都不变 C.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压中有一个上升,一个下降 D. 经过第二次连接, a、 b 间的电压和 c、 d 间的电压都下降 [ ] 2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆,串联后接在某一直流电源两端,如图 所示.已知杆 a 的质量小于杆 b 的质量,杆 a 金属的摩尔质量小于杆 b 金属的摩尔质量,杆 a 的电阻大于 杆 b 的电阻,假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自由电子(载流子) .当电流达到稳恒时,若 a、 b 内存在电场,则该电场可视为均匀电场.下面结论中正确的是 A.两杆内的电场强度都等于零 B.两杆内的电场强度都不等于零,且 a 内的场强大于 b 内的场强 C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等 D.a 内载流子定向运动的速度一定大于 b 内载流子定向运动的速度 [ ] 3.一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上.现用手指封住管的上 端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0 表示其体积;然后把玻璃管沿竖直方向提出水面,设此时封 在玻璃管中的气体体积为 V1;最后把玻璃管在竖直平面内转过 900,使玻璃管处于水平位置,设此时封在 玻璃管中的气体体积为 V2.则有 A.V1>V0=V2 B.V1>V0>V2 C.V1=V2>V0 D.V1>V0,V2>V0 [ ] 4.一块足够长的白板,位于水平桌面上,处于静止状态.一石墨块(可视为质点)静止在白板上.石墨 块与白板间有摩擦,滑动摩擦系数为 μ.突然,使白板以恒定的速度 v0 做匀速直线运动,石墨块将在板上 划下黑色痕迹.经过某一时间 t,令白板突然停下,以后不再运动.在最后石墨块也不再运动时,白板上 黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为 g,不计石墨与板摩擦划痕过程中损失的质量)
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A.

2 v0 2? g

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B. v0t

C. v0t ?

1 ? gt 2 2

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D.

2 v0 ?g

[

]

5. 如图 1 所示, 一个电容为 C 的理想电容器与两个阻值皆为 R 的电阻串联后通过电键 K 连接在电动势为 E 的直流电源的两端,电源的内电阻忽略不计,电键 K 是断开的,在 t=0 时刻,闭合电键 K,接通电路, 在图 2 中给出了六种电压 V 随时间 t 变化的图线 a、b、c、d、e、f,现从其中选出三种图线用来表示图 l 所示电路上 1、2、3、4 四点中某两点间的电压随时 间 t 的变化,下面四个选项中正确的是
1

A.a、b、f B.a、e、f C.b、d、e D.c、d、e [ ] 二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结果,不需写出求 得结果的过程. 6. (8 分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标,这严重影响 得分 阅卷 复核 了搜索的速度.现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达” ,它是由数以万计的只有 几厘米或更小的小天线按一定的顺序排列 成的天线阵,小天线发出相干的电磁波,其 初相位可通过电子计算机调节,从而可改变空间干涉极强的方位, 这就起了快速扫描搜索空中各个方向目标的作用.对下面的简单模 型的研究,有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉极强方位 的影响. 图中 a、b 为相邻两个小天线,间距为 d,发出波长为 λ 的相干电磁波.Ox 轴通过 a、b 的中点且垂 直于 a、b 的连线.若已知当 a、b 发出的电磁波在 a、b 处的初相位相同即相位差为 O 时,将在与 x 轴成 θ 角(θ 很小)方向的远处形成干涉极强,现设法改变 a、b 发出的电磁波的初相位,使 b 的初相位比 a 的落后一个小量 φ,结果,原来相干极强的方向将从 θ 变为 θ' ,则 θ-θ'等于 7. (8 分)He 一 Ne 激光器产生的波长为 6.33×10-7m 的谱线是 Ne 原子从激发态 得分 阅卷 复核 能级(用 E1 表示)向能量较低的激发态能级(用 E2 表示)跃迁时发生的;波长为 3.39×10-6m 的谱线是 Ne 原子从能级 E1 向能级较低的激发态能级(用 E3 表示) 跃迁时发生的.已知普朗克常量 h 与光速 c 的乘积 hc=1.24×10-6m·eV.由此可 知 Ne 的激发态能级 E3 与 E2 的能最差为 eV. 8. (8 分)一列简谐横波沿 x 轴负方向传播,传播速度 v=200m/s.已知位于坐标 得分 阅卷 复核 原点(x=0)处的质元的振动图线如图 1 所示.试在图 2 中画出,t=4Oms,时该 简谐波的波形图线(不少于一个波长) .
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2

9. (8 分)图示为某一圆形水 池的示意图(竖直截面) .AB 为池中水面的直径,MN 为水 池底面的直径, O 为圆形池底 的圆心.已知 ON 为 11.4m , AM、BN为斜坡,池中 水深 5.00m,水的折射率为 4 / 3.水的透明度极好,不考虑水的吸收.图中 a、b、c、d 为四个发光点, 天空是蓝色的,水面是平的.在池底中心处有一凹槽,一潜水员仰卧其中,他的眼睛位于 O 处,仰视水 面的最大范围的直径为 AB. (i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为 (ii)四个发光点 a、b、c、d 中,其发出的光能通过全反射到达潜水员眼睛的是 三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后结果的不能得分.有数 值计算的.答案中必须明确写出数值和单位. 10. (19 分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验结果的影响. 得分 阅卷 复核 (i)用“插针法”测量玻璃的折射率时,要先将透明面平行的玻璃砖放置在铺平 的白纸上,然后紧贴玻璃砖的两个透明面,分别画出两条直线,在实验中便以这 两条直线间的距离作为透明面之间的距离.如果由于操作中的误差,使所画的两 条直线间的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离,问这样测得的折射率与实际值相比,是偏大,偏小, 还是相同?试给出简要论证 (ii)在用单摆测量重力加速度 g 时,由于操作失误,致使摆球不在同一竖直平面内运动, 而是在一个水平面内作圆周运动,如图所示.这时如果测出摆球作这种运动的周期,仍用单 摆的周期公式求出重力加速度,问这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比,哪个 大?试定量比较. 得分
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11. (18 分)现有以下器材:电流表一只(量程适当.内阻可忽略不计.带有按钮 开关 K1,按下按钮,电流表与电路接通,有电流通过电流表,电流表显出一定的 读数) ,阻值己知为 R 的固定电阻一个,阻值未知的待测电阻 Rx 一个,直流电源 一个(电动势 ε 和内阻 r 待测) ,单刀双掷开关 K 一个,接线用的导线若干. 试设计一个实验电路,用它既能测量直流电源的电动势 ε 和内阻 r,又能测量待测电阻的阻值 Rx(注 意:此电路接好后,在测量过程中不许再拆开,只许操作开关,读取数据) .具体要求: (i)画出所设计的电路图. (ii)写出测量 ε、r 和 Rx 主要的实验步骤. (iii)导出用已知量和实验中测量出的量表示的 ε、r 和 Rx 的表达式. 得分
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3

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12. (18 分)一静止的原子核 A 发生 α 衰变后变成原子核 B,已知原子核 A、原子 核 B 和 α 粒子的质量分别为 mA、mB,和 mα,光速为 c(不考虑质量与速度有关 的相对论效应), 求衰变后原子核 B 和 α 粒子的动能.
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13. (18 分)近代的材料生长和微加工技术,可制造出一种 使电子的运动限制在半导体的一个平面内(二维)的微结构 器件,且可做到电子在器件中像子弹一样飞行,不受杂质原 子射散的影响.这种特点可望有新的应用价值.图 l 所示为 四端十字形.二维电子气半导体,当电流从 l 端进人时,通过控制磁场的作用,可 使电流从 2, 3,或 4 端流出.对下面摸拟结构的研究,有助于理解电流在上述四端 十字形导体中的流动.在图 2 中, a、b、c、d 为四根半径都为 R 的圆柱体 的横截面,彼此靠得很近,形成四个宽度极窄的狭缝 1、2、3、4,在这些狭 缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面 指向纸里.以 B 表示磁感应强度的大小.一个质量为 m、电荷量为 q 的带正 电的粒子,在纸面内以速度 v0 沿与 a、b 都相切的方向由缝 1 射人磁场内,设 粒子与圆柱表面只发生一次碰撞,碰撞是弹性的,碰撞时间极短,且碰撞不改 变粒子的电荷量,也不受摩擦力作用.试求 B 为何值时,该粒子能从缝 2 处 且沿与 b、c 都相切的方向射出. 得分
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4

14. (20 分)如图所示,M1N1N2M2 是位于光滑水平桌面上的刚性 U 型金属导轨, 导轨中接有阻值为 R 的电阻,它们的质量 为 m0.导轨的两条轨道间的距离为 l,PQ 是质量为 m 的金属杆,可在轨道上滑动, 滑动时保持与轨道垂直,杆与轨道的接触是粗糙的,杆与导轨的电 阻均不计.初始时,杆 PQ 于图中的虚线处,虚线的右侧为一匀强 磁场区域,磁场方向垂直于桌面,磁感应强度的大小为 B.现有一 位于导轨平面内的与轨道平行的恒力 F 作用于 PQ 上,使之从静止 开始在轨道上向右作加速运动.已知经过时间 t , PQ 离开虚线的距离为 x,此时通过电阻的电流为 I0,导 轨向右移动的距离为 x0(导轨的 N1N2 部分尚未进人磁场区域) .求在此过程中电阻所消耗的能量.不考虑 回路的自感. 得分
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15. (20 分)图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两个活塞,用轻质刚性细杆连结,活 塞与气缸壁的接触是光滑的、 不漏 气的, M1 是导热的, M2 是绝热的, 且 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍.M1 把一定质量的气体封 闭在气缸的 L1 部分,M1 和 M2 把一定质量的气体封闭在 气缸的 L2 部分,M2 的右侧为大气,大气的压强 P0 是恒定 的. K 是加热 L2 中气体用的电热丝.初始时,两个活塞 和气体都处在平衡状态,分别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中气体的体积.现通过 K 对气体缓慢加热一段时间后停止加热,让气体重新达到平衡态,这时,活塞未 被气缸壁挡住.加热后与加热前比, L1 和 L2 中气体的压强是增大了、减小了还是未变?要求进行定量论 证. 得分
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16. (20 分)一个质量为 m1 的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 高空作圆周运 动,在某处和一个质量为 m2=m1/9 的太空碎片发生迎头正碰,碰撞时间极短,碰 后二者结合成一个物体并作椭圆运动.碰撞前太空碎片作椭圆运动,椭圆轨道的半 长轴为 7500km,其轨道和卫星轨道在同一平面内.已知质量为 m 的物体绕地球作

椭圆运动时,其总能量即动能与引力势能之和 E ? ?G

Mm 2a

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,式中 G 是引力常量,M 是地球的质量,a
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为椭圆轨道的半长轴.设地球是半径 R=6371km 的质量均匀分布的球体,不计空气阻力. (i)试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上. (ii)如果此事件是发生在北级上空(地心和北极的连线方向上) ,碰后二者结合成的物体与地球相碰处的 纬度是多少?
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第 26 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考解答与评分标准
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一、选择题. (共 35 分) 答案: 1.B , D 2.B 3.A 4.A , C 5.A , B 评分标准: 每小题 7 分. 在每小题给出的 4 个选项中, 有的小题只有一项是正确的, 有的小题有多项是正确的. 全 部选对的得 7 分.选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题和作图题.共 32 分,每小题 8 分.按各小题的答案和评分标准给分.
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6.答案与评分标准:

?? (8 分) 2? d

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7.答案与评分标准: 1.59(8 分) 8.答案:

评分标准:8 分.有任何错误都给 0 分. 9.答案与评分标准: (i)97.20 ( 4 分) (ii)c、d(两个都对得 4 分,只填一个且正确得 2 分,有 填错的得 0 分) 10.参考解答: (i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线,以两条虚线代 表玻璃砖的两个透明面, 根据题意, 实线间的距离大于虚线间的距
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6

离,如图所示.根据实线位置定出的折射角为 γ,按实际的玻璃砖两透明面的位置即虚线定出的折射角为 γ' ,由图知 γ>γ' (l) 由折射定律 sini=nsinγ (2 ) 令入射角 i 相等,当折射角偏大时,测出的折射率将偏小. (ii)以 l 表示摆长,θ 表示摆线与竖直方向的夹角,m 表示摆球的质量,F 表示摆线对摆球的拉力,
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T 表示摆球作题图所示运动的周期.有

2? Fsin ? ? ml s? in ( T
(2)
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2

)

(l)

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Fcos ? ? mg
由(l) 、 (2)式得

T ? 2?

lcos ? g T ? ? 2? l g

(3)

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而单摆的周期公式为

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即使在单摆实验中,摆角很小,θ< 50,但 cosθ< l,这表示对于同样的摆长 l,摆球在水平面内作圆周 运动的周期 T 小于单摆运动的周期 T' ,所以把较小的周期通过(4)求出的重力加速度的数值将大于 g 的 实际值. 评分标准:本题 19 分. 第(i)小题 9 分.得到(l)式给 4 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 第(ii)小题 10 分.得到(3)式给 5 分,得到正确结论给 5 分.只有结论给 0 分. 11.参考解答: 解法一 (i)电路如右图所示, (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 12. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13 . (iii)由欧姆定律有
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? ? I1R ? I1r
? ? I2r ? I2
RRx R ? Rx

(1)

(2)

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? ? ? ? ? I3 R ? ? ? I 3 ? Rx ? RRx ? r ? ? R?R ? x ? ?
解以上三式得

(3)

??

( I 2 ? I 3) I R 1 I 2 ? I1

(4)
7

r?

( I1 ? I 3 ) R I 2 ? I1 I3 R I 2 ? I3

(5)

Rx ?

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. (4) 、 (5) 、 (6)式各 2 分. 解法二 (i)电路如右图所示. (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 I2. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 13. (iii)由欧姆定律有
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? ? I1 ( R ? Rx ? r )
? ? I2 (R ? r)

(1) (2)

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? ? I3 ( Rx ? r )
解以上三式得

(3)

??

I1 I 3 R I 3 ? I1 I1I 2 ? I I 1 ? 3 I I2 3 R I 2 ( I 3? I ) 1 I3 ( I 2 ? I ) 1 R I 2 ( I 3? I ) 1

(4)

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r?

(5)

Rx ?

(6)

评分标准:本题 18 分. 第(i)小题 9 分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得 0 分. 第(ii)题 3 分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占 1 分. 第(iii)题 6 分. (4) 、 (5) 、 (6)式各 2 分. 12.参考解答: 设 α 粒子速度的大小为 vα,原子核 B 速度的大小为 vB,在衰变过程中动量守恒,有 mαvα+mBvB=0 (1) 衰变过程中能量守恒,有
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mA c 2 ?

1 1 2 m? v?2 ? mB vB 2? m? c ? mB c 2 2

2

(2)

解(l) 、 (2)二式得
8

m? 1 2 mB vB ? (mA ? mB ? m? )c 2 2 m? ? mB mB 1 2 m? v? ? (mA ? mB ? m? )c 2 2 m? ? mB

(3)

(4)

评分标准:本题 18 分. (1)式 4 分, (2)式 8 分, (3) 、 (4)各 3 分. 13.参考解答: 解法一 在图中纸面内取 Oxy 坐标(如图) ,原点在狭缝 l 处,x 轴过缝 1 和缝 3.粒子从缝 1 进人磁场,在洛仑兹力作用下作圆周运动,圆轨道在原点与 x 轴相切,故其圆心必在 y 轴上.若以 r 表示此圆的半径,则圆方程为 x2+(y-r)2=r2 (1) 根据题的要求和对称性可知,粒子在磁场中作圆周运动时应与 d 的柱 面相碰于缝 3、4 间的圆弧中点处,碰撞处的坐标为 x=2R-Rsin450 (2) 0 y=R-R cos45 (3) 由(l) 、 (2) 、 (3)式得 r=3R (4)
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由洛仑兹力和牛顿定律有

2 v0 qv ? m 0 B r

(5)

由(4) 、 (5)式得

B?

mv0 3qR

(6)

评分标准:本题 18 分. (1) 、 (2) 、 (3)式各 4 分, (4) 、 (5) 、 (6)式各 2 分. 解法二 如图所示,A 为 a、b 两圆圆心的连线与缝 l 的交点,F 为 c、d 两 圆圆心的连线与缝 3 的交点.从 1 缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱 d 的表面发生弹性碰撞后,反弹进人缝 2,这个过程一定对连结 b、d 两 圆圆心的直线 OP 对称,故直线 OP 与 d 圆的交点 C 必是碰度点.由于 粒子在磁场中做圆运动过 A 点, 因此这个轨道的圆心必在过 A 点并垂直 于 AF 的直线 AE 上;同时这个轨道经过 C 点,所以轨道的圆心也一定 在 AC 的垂直平分线 DE 上. 这样 AE 与 DE 的交点 E 就是轨道的圆心, AE 就是轨道的半径 r.过 C 点作 AF 的垂线与 AF 交于 H 点,则

有 由图可知

?A H C ∽? E D A AC r? AD HC
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(1)

H C? R ?

2 R 2 2 R 2
9

(2)

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A H? 2 R ?

(3)

AC ? AH 2 ?HC 2
A D?
由以上各式得 r=3R 由洛仑兹力和牛顿定律有
2 v0 qv B ? m 0 r

(4) (5) (6) (7)

1 AC 2

得到

B?

mv0 3qR

(8)

评分标准:本题 18 分. (1)式 8 分, (2) 、 (3) (4) 、 (5)式各 1 分, (6) 、 (7) 、 (8)式各 1 分. 14.参考解答: 杆 PQ 在磁场中运动时,受到的作用力有:外加恒力 F,方向向右;磁场的安培力,其大小 FB=BIl, 方向向左,式中 I 是通过杆的感应电流,其大小与杆的速度有关;摩擦力,大小为 Fμ,方向向左.根据动 能定理,在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能,即有

WF ? WF ?W B

F ?

1 ? m2 v 2

(1)

式中 v 为经过时间 t 杆速度的大小,WF 为恒力 F 对杆做的功,WF 安为安培力对杆做的功,WFμ 为摩 擦力对杆做的功.恒力 F 对杆做的功 WF=Fx (2) 因安培力的大小是变化的,安培力对杆做的功用初等数学无法计算,但杆克服安培力做的功等于电阻 所消耗的能量,若以 ER 表示电阻所消耗的能量,则有 -WF 安=ER (3) 摩擦力 Fμ 是恒力,它对杆做的功 WFμ=-Fμx (4) 但 Fμ 未知.因 U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动,若其加速度为 a,则有 Fμ=m0a (5) 2 而 a=2x0/t (6) 由(4) 、 (5) 、 (6)三式得

WF? ? ?2m0

x0 x t2

(7)

经过时间 t 杆的速度设为 v,则杆和导轨构成的回路中的感应电动势 ε=Blv (8) 根据题意,此时回路中的感应电流

I0 ?
由(8) 、 (9)式得

?
R

(9)

v?

I0 R Bl

(10)

由(l) 、 (2) 、 (3) 、 (7) 、 (10)各式得
2 2 x0 R 1 I0 ER ? ( F ? 2m0 2 ) x ? m 2 2 t 2 Bl

(11)

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分, (2)式 l 分, (3)式 4 分, (7)式 4 分, (10)式 5 分, (11)式 3 分.
10

15.参考解答: 解法一 用 n1 和 n2 分别表示 L1 和 L2 中气体的摩尔数,P1、P2 和 V1、V2 分别表示 L1 和 L2 中气体处在平衡态 时的压强和体积,T 表示气体的温度(因为 M1 是导热的,两部分气体的温度相等) ,由理想气体状态方 程有 p1V1=n1RT (1) P2V2=n2RT (2) 式中 R 为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象,处在平衡状态时有 p1S1-p2S1+p2S2-p0S2=0 (3) 已知 S2=2S1 (4) 由(3) 、 (4)式得 p1+p2=2p0 (5) 由(l) 、 (2) 、 (5)三式得

n1 p0V2 n2 p1 ? n V1 ? 1 V2 n2 2

(6)

若(6)式中的 V1、V2 是加热后 L1 和 L2 中气体的体积,则 p1 就是加热后 L1 中气体的压强.加热前 L1 中气体的压强则为

n1 p0V 2 0 n2 p10 ? n V10 ? 1 V20 n2 2

(7)

设加热后,L1 中气体体积的增加量为△V1,L2 中气体体积的增加量为△V2,因连结两活塞的杆是刚 性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 △V1=△V2=△V (8) 加热后,L1 和 L2 中气体的体积都是增大的,即△V > 0 .[若△V< 0,即加热后,活塞是向左移动的, 则大气将对封闭在气缸中的气体做功,电热丝又对气体加热,根据热力学第一定律,气体的内能增加,温 度将上升,而体积是减小的,故 L1 和 L2 中气体的压强 p1 和 p2 都将增大,这违反力学平衡条件(5)式] 于是有 V1=V10+△V (9) V2=V20+△V (10) 由(6) 、 (7) 、 (9) 、 (10)四式得

n1 p0 (V 1 0? V 2 )? 0V n2 p1 ? p 1 0? n n [V10 ? ?V ? 1 (V20 ? ?V )](V10 ? 1 V20 ) n2 n2 2

(11)

由(11)式可知,若加热前 V10=V20,则 p1=p10,即加热后 p1 不变,由(5)式知 p2 亦不变;若加热 前 V10<V20,则 p1< p10,即加热后 P1 必减小,由(5)式知 P2 必增大;若加热前 V10>V20, 则 p1> p10, 即加热后 p1 必增大,由(5)式知 p2 必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(5)式得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(11)式得 8 分,最后结论得 6 分. 解法二
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11

设加热前 L1 和 L2 中气体的压强和体积分别为 p10、p20 和 V10、V20,以 pl、p2 和 V1、V2 分别表示加 热后 L1 和 L2 中气体的压强和体积,由于 M1 是导热的,加热前 L1 和 L2 中气体的温度是相等的,设为 T0, 加热后 L1 和 L2 中气体的温度也相等,设为 T.因加热前、后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡 状态,注意到 S2=2S1,力学平衡条件分别为 p10+p20=2p0 (1) p1+p2=2p0 (2) 由(l) 、 (2)两式得 p1-p10=- (p2-p20) (3) 根据理想气体状态方程,对 L1 中的气体有

p1V1 T ? p10V10 T0
对 L :中的气体有

(4)

p2V2 T ? p20V20 T0
由(4) 、 (5)两式得

(5)

p1V1 pV ? 2 2 p10V10 p20V20
(6)式可改写成

(6)

( 1?

p1 ? p1 0 V ? V1 0 ) (? 1 1 ? ) p1 0 V1 0

(? 1

p? p 2 p 20

20

V? V )? (1 2 V 20

20

) (7)

因连结两活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有 V1-V10=V2-V20 把(3) 、 (8)式代入(7)式得

(8)

( 1?

p1 ? p1 0 V ? V1 0 ) (? 1 1 ? ) p1 0 V1 0

(? 1

p? 1 p p 20

10

V ? V )? (1 1 V 20

10

) (9)

若 V10=V20,则由(9)式得 p1=p10,即若加热前,L1 中气体的体积等于 L2 中气体的体积,则加热后 L1 中气体的压强不变,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强亦不变. 若 V10<V20,则由(9)式得 p1< p10,即若加热前,L1 中气体的体积小于 L2 中气体的体积,则加热后 L1 中气体的压强必减小,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必增大. 若 V10>V20,则由(9)式得 p1> p10,即若加热前, L1 中气体的体积大于 L2 中气体的体积,则加热 后 L1 中气体的压强必增大,由(2)式可知加热后 L2 中气体的压强必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(l)式和(2)式或得到(3)得 3 分,得到(8)式得 3 分,得到(9)式得 8 分,最后结论得 6 分. 16.参考解答: (i) 图 1 为卫星和碎片运行轨道的示意图. 以 v1 表示碰撞前卫星作圆周运 动的速度,以 M 表示地球 E 的质量,根据万有引力定律和牛顿定律有
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G

Mm1 v12 ? m 1 ( R ? h)2 R?h
12

(1)

式中 G 是引力常量.由(l)式得

v1 ?

GM R GM ? R?h R?h R

(2)

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以 v2 表示刚要碰撞时太空碎片的速度, 因为与卫星发生碰撞时, 碎片到地心的距离等于卫星到地心的 距离,根据题意,太空碎片作椭圆运动的总能量

Mm2 Mm2 1 2 m2 v2 ?G ? ?G 2 R?h 2a
式中 a 为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得

(3)

v2 ?

2GM GM 2R R GM ? ? ? R?h a R?h a R

(4)

卫星和碎片碰撞过程中动量守恒,有 m1v1-m2v2=(m1+m2)v (5) 这里 v 是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得

v?

m1v 1? m v 2 m1 ? m2

2

(6)

由(2) 、 (4) 、 (6)三式并代人有关数据得

GM v?0.7520 R

(7)

结合物能否撞上地球,要看其轨道(椭圆)的近地点到地心的距离 rmin,如果 rmin<R,则结合物就撞 上地球.为此我们先来求结合物轨道的半长轴 a '.结合物的总能量

?G

M (m1 ? m 2) 1 M (m 1 ? m )2 ? (m1 ? m2 )v 2 ? G 2a? 2 R?h

(8)

代人有关数据得 a '=5259km (9) 结合物轨道的近地点到地心的距离 rmin=2 a '-(R+h)=3347km<R (10) 据此可以判断,结合物最后要撞上地球. (ii)解法一 在极坐标中讨论.取极坐标,坐标原点在地心处,极轴由北极指向南极,如 图 2 所示.碰撞点在北极上空,是椭圆轨道的远地点,结合物轨道的椭圆方程

r?

p 1 ? e cos ?

(11)

式中 e 是偏心率,p 是椭圆的半正焦弦,远地点到地心的距离 rmax=R+h (12) 由解析几何有

e?

rm a x? r 2a?

min

(? 0 . 3 6 3 5 )

(13)

在轨道的近地点,r=rmin,θ=0,由(11)式得 p=rmin(1+e)(=4563km) 或有 p=rmax (1-e) 在结合物撞击地球处;r= R,由(11)式有

(14) (15)

R?

p 1 ? e c o? s
13

(16)



cos ??

p?R eR

(17)

代人有关数据可得 cosθ=-0.7807 (18) 0 θ=141.32 (19) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准:本题 20 分. 第(i)小题 12 分. (1)或(2) 、 (3)或(4) 、 (5)或(6)式各 2 分, (8)式 3 分, (10)式 3 分. 第(ii)小题 8 分. (11) 、 (12) 、 (13) 、 (14)或(15) 、 (16)或(17)式各 l 分, (19)式 2 分(答 0 0 案在 141 到 142 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 l 分. 解法二 在直角坐标中讨论.取直角坐标系,以椭圆的对称中心为坐标原点 O, x 轴通过近地点和远地点并由 远地点指向近地点,如图 3 所示.结合物轨道的椭圆方程是

x2 y 2 ? ?1 a ? 2 b? 2

(20)

式中 a' 、b'分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴.远地点到地心 的距离 rmax=R+h (21) 根据解析几何,若 c 为地心与坐标原点间的距离, c= rmax-a'(=1912km) (22) 而

b? ? a?2 ? c2

(23)

注意到 a'由(9)式给出,得 b'=4899km (24) 结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点,设该处的坐标为 xp 和 yp,则有 xp=Rcosθ+c (25) yp=Rsinθ (26) 式中 θ 为从地心指向撞击点的矢经与 x 方向的夹角.因撞击点在结合物的轨道上,将(24) 、 (25)式 代入轨道方程(20)式,经整理得
2 ? 2? a ? 2) c o ? R2 ( b s ? 2 ?2 ?2 ? b 2c R c ?o ?s ? a b2 ? a2? R

0 (27)

引人以下符号并代人有关数据得
11 ? 2? a ? 2) ? ? ? R2 ( b ( ? 148 ?4 1 0 km )
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? ? 2b?2 c R (? 5 8 4 ? 6 1110 km )
ht

?2b ? 2? a ?2( ? ? b?2 c2 ? a R2? 5 4 6 5 ? 1 01 1k m)
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代入(27)式得

?co2 s ?? ? c o ? s? ?? 0
解得

(28)

cos ??

?? ? ?2 ? 4 ?? 2?
14

(29)

舍掉不合理的答案,得

cosθ=-0.7807 (30) θ=141.320 (31) 0 这是在北纬 51.32 . 评分标准: (20) 、 (21) 、 (22) 、 (23)或(24) 、 (27)式各 l 分, (31)式 2 分(答案在 1410 到 1420 之间的都给 2 分) ,正确指出纬度给 1 分.
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15


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