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第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第3套答案


2013 年物理竞赛复赛模拟试题—第三套参考解答
题一、 (20 分) 如图一个倾斜角为 ? ? 30? 的斜面上, 有一个质量为 m 半径为 r 的匀质圆筒, 圆筒与地面之间的摩擦系数为 ? ?

3 / 3 。一根长为 r 的轻木棒一端铰接在距离圆心

3 r 3

处的 A 点,另一端通过一块橡皮支撑在斜

坡上。 (1) 若橡皮于斜坡之间摩擦系数足够大,则 OA 与竖直方向夹角处于什么范围,才能保 持系统静止。 (2) 若要求 OA 与竖直方向夹角取到上一问的所有取值,则橡皮于斜坡之间摩擦系数 ? ' 至少为多少? 【解答】

O
? ?

O

A
H

?

?

A

?

? ? arctan ?

B

? ? arctan ?

B

(1)由于 AB 是轻杆,只在两端点受力,所以 AB 对球作用力沿杆方向。 (1 分) 由于球不滑动,所以斜坡对球的支持力和摩擦力的合力与法向(垂直于斜面方向)不大于

? ? arctan ? ? 30?

(2 分)

由于球是力矩平衡的,所以支持力摩擦力合力、重力、杆对球的支持力三力交与一点。 这样 AB 的于过 O 点的重力所在的线的交点只能位于左图中红色阴影区域。 (3 分) 情景一 交点在下端点处。由平面几何可知这时候 A 恰好位于重力线和支持力摩擦力合力所 在直线的交点处(因为 HOA 中恰好 ?OHA ? ?HOA ? 30? ,这样使得 OA ? 于是这个临界情景 OA 与竖直夹角为 ? ? 0? (3 分)

3 r) 3

情景二 交点在无穷远处,这时候三个力都演竖直方向。由平面几何

cos(? ? 30?) ?

r?

3 r 2 ; ? ? 46.6? OA

(4 分)

由此可知 OA 与竖直夹角应位于 ? ?[0, 46.6?] (2)由前一问可知, AB 与法线最大夹角为 60? 联系我们:

(3 分)

因此 B 点摩擦系数不应当小于 ? ' ? tan 60? ? 3

(4 分)

题二、 (24 分)如图有两根光滑的固定细杆,方向水平夹角均为 30? ,斜向下。初始时刻有 两个质量为 m 的小圆 AB 环套在杆上, 距离 O 均为 l 。 用根长度为 l 的不可伸长的细线把 A 和 B 都系在一个质量为 2m 的质点 C 上。重力加速度竖直向下为 g 。 (1) 初态三个 ABC 静止释放,求释放瞬间绳 AC 上的张力。 (2) 初态三个物体静止,给 C 一个向下的冲量 J ,使得 C 的速度变为 v0 。 求 J ,并求此后瞬间绳子拉力 T 。
O

A

B

C

【解答】 (1)由几何关系,可知 AOC, BOC 为等边三角形,各内角均为 60 设 C 加速度 a ,由对称性, a 竖直向下 设 A 加速度 a ' ,由对称性,两绳上张力相等,设其为 T . 以 A 为系 由静止释放时, A、C 无相对速度,故 C 无沿绳方向加速度
O a' A T mg a C a 2ma' 2mg T B

(1 分)

a' cos

?
3

? a cos

?
3

? 0 ? a' ? a

(2 分)

牛顿第二定律

? 2mg ? 2ma ? T ? ?

3 ? 3a ? 2m 2
(1 分)

(3 分)

地面系中,分析 A 受力有
1 ?T ? mg ? ? ma 2 g 4

解得 a ? a ' ?
T? 3 mg 2

(2 分)

(2)设绳的冲量为 I 由速度关联, A、C 沿绳方向速度相等
V A I J I C V0 B

VA cos? ? V0 cos? ? VA ? V0

(1 分)

动量定理
J ? 2I cos? ? 2mV0

I

(1 分)

I cos? ? mV0
mg a'

(1 分) (2 分)

? J ? 4mV0
T V0 a' T V0 a 2mg

T mg

2ma'

设 A 加速度 a ' , C 加速度 a ,由对称性, a 竖直向下沿绳向加速度等于向心加速度,即

? a cos ? ? a cos ? ?
'

3V0 l

?

2

(2 分)

牛顿第二定律

? 2mg ? 2ma ? T ? ?
'

? 3 3 3 '? ? 2m ? a ? a? ? 2 2 2 ? ? ?

(3 分)

地面系中,分析 A 受力
T cos? ? mg cos? ? ma'

(1 分)

3V0 2 g ? l 4 解得 2 3V g a' ? 0 ? l 4 a??

6mV0 2 3 T ? mg ? l 2

(3 分)

题三、 (26 分)如图所示的平板电容(不考虑边界效应)其中,横截面积为 S ,极板间距为

l ,接在恒压电源 U 0 两极,上极板为正电。一个质量为 m ,电量为 ? q 的粒子被一根长度
为 h 的绝缘的轻绳连在电容器顶端(重力可以忽略) 。初态电荷在水平面内做圆周运动,绳 与竖直方向夹角为 ? 。当电容器下极板缓慢向下拉开一小段距离 ?l 时,假设电荷一直保持 圆周运动(这样电场力可以做功,不考虑角动量的问题) ,求绳子与竖直的夹角变化 ?? 。 提示:高中课内的求导公式: y ? x ; y ' ? nx
n n ?1

其中 n ? ?1 。 y ? cos x; y ' ? ? sin x

O

A

【解答】 极板之间电场强度为

E?


U l U ?l l2

(1 分)

?E ? ?

(3 分)

由于小球做圆周运动,由牛顿第二定律

v2 Eq tan ? ? m h sin ?
?W ? ? Eqh?? ? sin ?
联系我们:

(4 分)

假设摆角发生了变化 ? ? ? ? ?? ,则小球位移 l ?? ,电场力做功为 (8 分)

由于动能定理,动能增量

1 sin 2 ? ?( mv 2 ) ? ?( Eqh ) ? ?W 2 cos ?
化简:

(4 分)

?( Eqh

sin 2 ? 1 1 ? cos ? ) ? ?E ? qh( ? cos ? ) ) ? Eqh?( cos ? cos ? cos ?

1 sin 2 ? ? Eqh( 2 ? 1)sin ??? ? ?E ? qh ? ?2 Eqh sin ??? (3 分) cos ? cos ?
于是有

?? ?

?l sin ? cos ? l 3cos 2 ? ? 1

(3 分)

联系我们:

题四、 (24 分)如图电路中有一个电容 C ,电杆 L ,二极管为理想二极管(即正向导通的时 初始状态电容电压为 U 0 候压降几乎为 0, 反向加电压的时候电流几乎为 0) 。 电势电压为 ? 0 。 (定义左边极板为正) ,初始时刻电流为 0(定义从左向右流动电流为正) 。 (1) 对于 U 0 ? 4? 0 的情况,以电感上的电流 I 横轴,以电容电压 U 为纵轴,画出体系随 时间的变化。 (2)为求体系稳定之后的电容电压 U1 随着初态电压 U 0 的变化关系。

+ q

C

L

a

I
?0 ?0

b
【解答】 (1)观察 ab 两点之间的状态 若右管导通,左管截至,则有 I ? 0 ,此时 U a ? U b ? ? 0 若左管导通,右管截至,则有 I ? 0 ,此时 U a ? U b ? ?? 0 若左管截至,右管截至,则有 I ? 0 ,此时 ?? 0 ? U a ? Ub ? ? 0 对于整个电路写基尔霍夫方程 令电容器电量为 q ? CU ,则有 q ? I 对于 I ? 0 (2 分) (4 分)

q 1 ? LI ? ? 0 ? 0 ,即 q ? ? ( q ? ? 0C ) C LC
类比简谐振动可知,这是一个角频率为 ? ?

(4 分)

1 ,平衡位置在 q ? ?? 0C 的简谐振动。即 LC
(2 分)

q ? ? 0C ? U 0 cos(?t ? ? ) ; I ? q ? ??CU 0 sin(?t ? ? ) C

在 U ? I 图上看,就是一个圆心在 U ? ?? 0 ,横轴与纵轴比为 ?C ? 对于 I ? 0 ,同理有

C 的右半椭圆。 L

q 1 ( q ? ? 0C ) ? LI ? ? 0 ? 0 ,即 q ? ? C LC
在 U ? I 图上看,就是一个圆心在 U ? ? 0 ,横轴与纵轴比为 ?C ?

C 的左半椭圆。 L

初态从 U ? 4? 0 , I ? 0 开始,电流应当往左流,先画左半椭圆,于是得到如图所示结果:

联系我们:

U 4? 0
m ?0

?? 0 n ?2? 0

I

(4 分)

(2) 由前一问想到对于不同的初态电压,图象是往里转的圈圈,直到与 U 轴的交点落在 m, n 点之间为止,以后二极管截至,电压保持稳定。 初态电压为 U 0 ,第一次 I ? 0 时候电压由平面几何可知

? 0 ? u1 ? U 0 ? ? 0 ; u1 ? ?U 0 ? 2? 0 (3 分)
若 u1 不在截至范围则画右半椭圆,第二次 I ? 0 电压由平面几何可知

?? 0 ? u1 ? u2 ? ? 0 ; u2 ? U 0 ? 4? 0 (3 分)
若 u2 不在截至范围则相当于以 U ? u2 为初态继续画图。 由此可以 U1 ? U 2 函数以 4? 0 为 周期的周期函数。故只给出第一个周期的结果,以后平移即可

U 0 ;(0 ? U 0 ? ? 0 ) ? ? U1 ? ? 2? 0 ? U 0 ;(? 0 ? U 0 ? 3? 0 ) , U1 (U 0 ) ? U1 (U 0 ? 4? 0 ) ?U ? 4? ;(3? ? U ? 4? ) 0 0 0 0 ? 0
n

(2 分)

注 1:也可以通过引入取整函数, ?1 等形式化成一个式子,形式不唯一,不做要求。 注 2:做以下类比之后

1 ? k ; U ? F ; ? 0 ? mg ? C 发现整个系统相当于一个弹簧右边接一个物体放在摩擦系数为 ? 的地面上。初态位移相当 于初态电量 q 。以后的事情就是陈题了,任意查阅一本竞赛书有超过一半概率遇到。
q ? x;I ?v;L ?m;

k

m

?

联系我们:

题五、 (20 分)在主光轴轴上顺序放置物体、凸透镜、凹面镜。凸透镜焦距为 F,凹面镜子 半径为 R,其球心位于透镜的主光轴上,到为凸透镜光心距离为 d。发现物体和其通过光学 系统最终成的像重合。分析 F、R、d 不同的时候,物体距离透镜的距离 S。 【解答】

d
R

如图所示,令物体为 S1 ,通过凸透镜成像为 S 2 ,再通过凹面镜成像为 S3 ,再通过凸透镜成 像到 S 4 , S 4 和 S1 重合。 由光路可逆知道 S 2 和 S3 也重合 (5 分)

由凹面镜成像规律知道有两种情景,情景一:成像在凹面顶点,情景一:成像在凹面圆心。 情景一:凸透镜相距 v ? d ? R 。注意 v ? (0, ?)

1 1 1 ? ? S d?R F (d ? R) F (4 分) 得到: S ? d ?R?F 由于 S ? 0 ,所以只有当 d ? F ? R 时才有此解 (1 分) 情景二:凸透镜相距 v ? d 。
由成像公式 注意 v ? (? R, ?) ,因为只需要 d ? R ? 0 就可以满足“顺序放置”

1 1 1 ? ? S d F dF 得到: S ? (4 分) d ?F 由于 S ? 0 ,所以当 d ? F 时,或者 d ? 0 时才有此解 (1 分)
由成像公式 综合以上: 当R?F 时 当 ? R ? d ? 0 时,有一个解 S ? 当 0 ? d ? R ? F 时, S 无解

dF d ?F

(d ? R) F d ?R?F (d ? R) F dF 当 F ? d 时,有两个解 S ? 或者 S ? d ?R?F d ?F 当R?F 时 dF 当 ? R ? d ? F ? R 时,有一个解 S ? d ?F
当 F ? R ? d ? F 时,有一个解 S ? 联系我们:

(2 分)

(d ? R) F dF 或者 S ? d ?R?F d ?F (d ? R) F 当 0 ? d ? F 时,有一个解 S ? d ?R?F (d ? R) F dF 当 F ? d 时,有两个解 S ? 或者 S ? (2 分) d ?R?F d ?F
当 F ? R ? d ? 0 时,有两个解 S ? 若全部分类正确,且不等号正确再给 1 分,否则只给相应分类的答案分。

题六、 (26 分) 如图建立柱坐标系。 以质点到 x ? y 平面的距离为 z , 以质点到 z 轴距离为 ? , 以质点在 x ? y 平面的投影与 x 轴夹角为 ? 。 在 z 轴上有无穷长的稳恒电流 I , 其在 ( ? ,? , z ) 点产生的磁场大小为 B ?

?0 I 。初始时刻有一个质量为 m ,电量为 q 的粒子在 ( r0 ,0,0) 的 2??

位置, 沿着 y 方向以速度 v0 出射, 粒子只有受到洛仑兹力的作用。?0 ? 4? ? 10?7 m ? T/A 。 (1) 粒子绕着 z 轴的角动量是否守恒?动能是否守恒? (2) 写出粒子沿 z 轴动量定理,并计算出当粒子运动到 z 轴距离为 ? 时的沿 z 轴动量 p z 提示:

d ln x 1 ? dx x
6

(3) 对于 q / m ? 5.0 ? 10 C/kg , I ? 0.50A , v0 ? 1.0m/s ,求出粒子距离 z 轴可能的最 远距离 ? m 与 r0 的比求 ? m /r0 。

z

?

?
x
【解答】

z
y

v0

? ? z z 则所受洛伦兹力为 (1) 设某一时刻粒子速度为 V ? ? ? ? ???
F ? qV ? B
? ? ?? ? ?M I ? ? q? ? ? ? ?? ? ? z z??? 0 ? ? ? ? ? 2?? ? ? ? ? M I z M I ? 0 0 ? q?? ?? ? 2?? 2?? ?

?

?

? z? ? ?

联系我们:

故粒子不受切向力,角动量守恒. 洛伦兹力不做功,故动量守恒
.. qM 0 I ? (2) ? mz 2?? .

(3 分) (2 分)
.

qM 0 I ? Fz ? 2??
Fz ?t ? m?Vz

(3 分)

qM o I ?? ? m?Vz 2??

(1 分) (1 分)

qM 0 I ? ln ? ? m?Vz 2? qM 0 I ? ln ?Vz ? 2? m r0 ?
Pz ? qM 0 I ? ln r0 2?

(3 分) (1 分) (3 分) (3 分)

(3)达到最远时,应有 V? ? 0 角动量守恒, V? ? ? V0 r0
1 1 动能守恒, m ?V? 2 ? Vz 2 ? ? mV02 2 2 qM 0 I ?m 由(2)结论, Vz ? ln r0 2? m


1

?m
r0
?

? ? ,代入数值得
1 2 ? ln ? ? ? 1 4

?

2

(4 分)
?

数值法解得, ? ? 7.249

?m
r0

? 7.249

(2 分)

题七、 ( 20 分 ) 用 一 个 速 度 为 0.8c 的 质 子 撞 击 一 个 固 定 的 ? 介 子 。 已 知 质 子 质 量

mp ? 0.981GeV , ? 介子质量为 m? ? 0.135GeV 。
(1) 以入射质子的动量方向为 x 方向,以 p x 为横轴,以 p y 为纵轴,画出出射质子可能 的动量范围。 (2) 求出射质子的最大偏转角。 【解答】 (1)方法 1: 设碰撞前质子动量为 P0 ,能量为 E0 m pV p 4 则 P0 ? ? mpC 2 3 Vp 1? 2 C

(1 分)

联系我们:

E0 ?

mpC 2 1? V
2 p 2

5 ? mpC 2 3

(1 分)

C 设碰撞后质子 x 方向动量为 Px , y 方向动量为 Py

由动量守恒, ? 介子 x 方向动量 ? D0 ? Px ? , y 方向动量 ? Py 又有:
2 4 2 2 2 2 4 EP ? C 2 PP2 ? m2 p c ? C ? Dx ? P y ? ? mp c

(2 分)

(1 分) (1 分)

2 2 2 4 2 ? 2? 2 4 ? C2 P ? m? E? c x? ?P y ? ? m? c ? C ?? D0 ? P ? 由能量守恒 (2 分) E p ? E? ? E0 ? m? c2 2


2 4 2 ? 2 4 c2 ? Dx D ? Px ? ? Py2 ? ? m? c ? E0 ? m? c 2 ? Py2 ? ? m2 pc ? c ?? 0 ? 2

(1 分)

两边同时除以 c 2 ,有
2 ? Py ? ? Py ? 5 ? D0 ? Px ? ? Py ? 2 2 ? ? ? m ? ? ? ? p ? c ? ? ? c ? ? m? ? 3 m p ? m? c c ? ? ? ? ? ? ? ? 代入数值,进一步化简得 2 2 2

? Px ? 1.09 ? ? Py ? ? 0.22 ? ? ? 0.15 ? ? 1 (单位为 GeV / c ) ? ? ? ? 方法 2(四维动量) 1 u 设后心速度为 u ,令 ? ? , ? ? c 1 ? u 2 / c2

2

2

(6 分)

质心系中, PP'0 ? ? Pp 0 ? ?? E p 0 / c
' P ?0 ? ? P ? 0 ?? E? 0 c 4 Pp 0 ? m p c , 3 5 E p0 ? mp c2 3 2 P ? 0 ? 0, E? o ? m? c
' 质心系中,有 Pp' 0 ? P ?0 ? 0

(2 分) (2 分) (1 分) (1 分)

5 m p ? m? 3 得 Pp' 0 ? 0.1481GeV / c
Px' ? Py' ? Pp' 0
2 2 2

解得

??

4 mp 3

? 0.7390 , ? ?

1 1? ? 2

? 1.4843

(1 分)

质心系中,碰撞前后应动量大小不变,有 (1 分)
' Px ? ?? E p /c

地面系中,
Px ? ? P ? ?? E c
' x ' p

即P ?
' x

?

(2 分) Py ? Py' (2 分)

(1 分)

' 其中 E p c ? ? E c ? ?? Pp 0 ? 0.9921GeV c

联系我们:

' ? P ? ?? E p / c ? ? Py ? 有? x ? ' ? ?1 ? ' ? ? ? ? ? ? Pp 0 ? ? ? Pp 0 ?

2

2

? P ? 1.09 ? ? Py ? 即? x ? ?1 ? ?? ? 0.22 ? ? 0.15 ? 图像如下,为一椭圆:
Py(GeV/c)

2

2

(2 分)

0.15

图像 1
0.87 1.09

Px(GeV/c)

(2)最大偏转角正切值为 求

Py Px
1分

Py Px

最大值,即求过原点与椭圆切线切点

设切线 y ? kx 则方程

? x ? 1.09 ? ? kx ? ? ? ?? ? ?1 ? 0.22 ? ? 0.15 ?


2

2

只有一个根

? 1 1.092 k 2 ? 2 2 ? 1.09 x ? x? ? ?1 ? 0 ? 2 2 ? 2 0.15 ? 0.22 0.222 ? 0.22

有一个根


? 1 ? k 2 ? ? 1.092 ? 2 ? 1.09 ? ? 4?? ? ? ? 1? ? 0 ? 2 ? 2 2 ? ? 2 0.15 ? ? 0.22 ? 0.22 ? ? 0.22 ? 解得 k ? 0.14 tan ? ? k , 故最大偏转角为 8 . (3 分)
2

联系我们:


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