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日照实验高中高二下学期期末复习数学练习十四(选修2-2和2-3)


日照实验高中高二下学期期末复习数学练习十四(选修 2-2 和 2-3)
1、 已知复数 z 满足 (1 ? 2i3 ) z ? 1 ? 2i ,则 z 等于 A.

3 4 ? i 5 5
n

B. ?

3 4 ? i 5 5

C. ?

3 4 ? i

5 5

D.

3 4 ? i 5 5

1? ? 2、 ? 3 x ? ? 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 x? ?
A. 28 B. ? 28 C. 70 D. ? 70

3、已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1 ,f (1)) 处的切线方程是 y ? A.

1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ? 2
D. 5

3 2

B.

5 2

C. 3

ax2 ? 1 4、若函数 f ?x ? ? 在区间 ?0,??? 上单调递增,则实数 a 的取值范围为 x
A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0 D. a ? 0 5、六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲,在平行四边形 ABD 中,有 AC2+BD2=2(AB2+AD2),
2 2 2 那么在图乙中所示的平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC2 1+BD1+CA1+DB1等于

2 A.2(AB2+AD2+AA1 ) B.3(AB2+AD2+AA2 1)

2 C.4(AB2+AD2+AA1 ) D.4(AB2+AD2)

6、已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ??, ??? , f ?( x ) 为 f ( x ) 的导函数,函数 y ? f ?( x) 的图象如图所示,且 f (?2) ? 1 ,

f (3) ? 1 ,则不等式 f ( x 2-6) ? 1 的解集为
A. ? 2,3?

(- 3,- 2)

B. ? 2, 2

?

?

C. ? 2,3?

D. ??, ? 2

?

? ?

2, ??

7、已知结论:“在正三角形 ABC 中,若 D 是边 BC 的中点,G 是三角形 ABC 的重心,则

AG ? 2 ”,若把该结论推广 GD

?

到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体 ABCD 中,若△BCD 的中心为 M,四面体内部一点 O 到四面体各面的距离 都相等。”则

AO ? OM
n

A. 1
?

B.

2

C. 3

D. 4
y

(?? x) 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 n 可能是 8、函数 f ( x) ? ax g
0.5

A. 1 9.若 x∈A 则

B. 2

C. 3

D. 4
x O 0.5 1

1 1 1 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M={-1,0, , ,1, x 3 2
B.16
k

2,3,4}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为 A.15
n

C.28

D.25
8

10.在 (1 ? x) 的展开式中, x 的系数可以表示从 n 个不同物体中选出 k 个方法总数,下列各式的展开式中 x 的系数恰 能表示从重量分别为 1,2,3,…,10 克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个,使其总重量恰为 8 克的方法总数 的选项是 A. (1 ? x)(1 ? x )(1 ? x )…(1 ? x )
2 3 10 2 3 10
www

B. (1 ? x)(1 ? 2 x)(1 ? 3x)…(1 ? 10 x)
2 2 3 2 3 10

C. (1 ? x)(1 ? 2 x )(1 ? 3x )…(1 ? 10 x )

D. (1 ? x)(1 ? x ? x )(1 ? x ? x ? x )…(1 ? x ? x ? x ? …? x )
1

11、若不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? a ? 12、由曲线 y ?

4 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 a

1 与 y=x,x=4 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积是___________ x

13、将一枚均匀的硬币投掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 14、将标号为 1,2,…,10 的 10 个球放入标号为 1,2,…,10 的 10 个盒子内,每个盒内放一个球,则恰好有 3 个 球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.

15、当 a0 , a1 , a2 成等差数列时,有 a0 ? 2a1 ? a2 ? 0; 当 a0 , a1 , a2 , a3 成等差数列时,有 a0 ? 3a1 ? 3a2 ? a3 ? 0; 当

a0 , a1 , a2 , a3 , a4 成等差数列时,有 a0 ? 4a1 ? 6a2 ? 4a3 +a4 ? 0; 由此归纳,当 a0 , a1 , a2 ,
0 1 2 Cn a0 ? Cn a1 ? Cn a2 ? n ? (?1)n Cn an ? 0 .如果 a0 , a1 , a2 ,

, an 成等差数列时,有

, an 成等比数列,类比上述方法归纳出的等式

为 16、设函数 f ( x) ?

.

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a >1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性;(Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围 17、甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从 6 道备选题中一次性抽取 3 道题独立作答,然 后由乙回答剩余 3 道题,每人答对其中 2 题就停止答题,即为闯关成功。已知 6 道备选题中,甲能答对其中的 4 道题, 乙答对每道题的概率都是

2 。 (Ⅰ )求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (Ⅱ )设乙答对题目的个数为? ,求? 的方差; 3

(Ⅲ )设甲答对题目的个数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望. 18、某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是 灯时停留的时间都是 2min. (Ⅰ )求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;

1 ,遇到红 3

(Ⅱ )求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望. 19、已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 3x ? (a ? 1) ln x , g ( x) ? ax , h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 3x ,其中 a ? R 且 a ? 1 . 2

(1)求函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的最小值; (2)当 a ? 3 时,求函数 h( x) 的单调区间及极值; (3)若对任意的 x1 , x2 ? (0, ??), x1 ? x2 ,函数 h( x) 满足

h( x1 ) ? h( x2 ) ? ?1 ,求实数 a 的取值范围. x1 ? x2

20、某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区.B 肯定是受 A 感染的.对于 C,因为难以断定他是受 A 还 是受 B 感染的,于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是

1 2

.同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是

1 .在这种假定之下,B、C、D 中 3

直接 受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并求 X 的均值(即数学期望). .. 21、设 x1 , x2 是

a 3 b ?1 2 x ? x ? x ? a, b ? R, a ? 0 ? 的两个极值点, f ? x ? 的导函数是 y ? f ? ? x ? 3 2 (Ⅰ )如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,求证: f ? ? ?2? ? 3; (Ⅱ )如果 x1 ? 2, x2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围; f ? x? ?

(Ⅲ )如果 a

?2

,且 x2

? x1 ? 2, x ? ? x1, x2 ? 时,函数 g ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? x ? x2 ? 的最小值为 h ? a ?

,求 h

? a ? 的最大值。

2

日照实验高中高二下学期期末复习数学练习十四(选修 2-2 和 2-3)答案
BACAC ACAAA 11. (??,0) ? {2} 12.

1 ? ln 4 2

13.

11 32

14. 240

15.

a0Cn ? a1? Cn ? a2Cn ?

0

1

2

? an( ?1)

n

n Cn

?1 .

16、解: (I) f ?( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a)

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (??,2) 是增函数; 当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函数。 (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

4 1 f (2a) ? (2a) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3 3

f (0) ? 24a

?a ? 1 ? 由假设知 ? f ( 2 a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ? ?24a ? 0.

解得 1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6)
17、解: (Ⅰ )设事件 A:甲、乙至少有一人闯关成功
2 1 C2 C4 1 3 128 2 1 2 2 [( ) ? C3 ( ) ]? 3 C6 3 3 3 135

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?
(Ⅱ )由题意? (Ⅲ ) ? ? 1, 2

4分

2 2 1 2 (3, ) ,所以 D (? ) ? 3 ? ? ? 3 3 3 3

7分

P(? ? 1) ?

1 C4 1 ? 3 C6 5

P(? ? 2) ?

1 2 3 C2 C4 ? C4 4 ? 3 C6 5

所以 ? 的分布列为:

?

1

2

P

1 5

4 5
10 分 12 分

E( ? )=9/5

18、 (Ⅰ )设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第
3

二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件 A 的概率为 P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? (Ⅱ )由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”( k ? 0,1,2,3,4) ,

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 . ? 3 ? 3 27

?1? ? 2? ∴P ?? ? 2k ? ? C ? ? ? ? ? 3? ? 3?
4 k

k

4? k

? k ? 0,1, 2,3, 4? ,

∴ 即 ? 的分布列是

?
P

0

2

4

6

8

32 8 8 1 27 81 81 81 16 32 8 8 1 8 ? 2? ? 4? ? 6? ? 8? ? . ∴? 的期望是 E? ? 0 ? 81 81 27 81 81 3 a ?1 a ?1 ? x? ? 3 ,其中 x ? 0 .…………………1 分 19、解: (I) f ?( x) ? x ? 3 ? x x a ?1 ? 3≥2 a ? 1 ? 3 ,…………………2 分 因为 a ? 1 ,所以 a ? 1 ? 0 ,又 x ? 0 ,所以 x ? x
当且仅当 x ?

16 81

a ? 1 时取等号,其最小值为 2 a ? 1 ? 3 .…………………3 分
1 2 2 ( x ? 1)( x ? 2) x ? 2 ln x ? 3x , h?( x) ? x ? ? 3 ? .…5 分 2 x x

(II)当 a ? 3 时, h( x) ?

x, h?( x), h( x) 的变化如下表:

x
h?( x) h( x )

(0, 1)

1
0

(1, 2)

2
0

(2, +?)

?
?

?
5 2

?
?

?

?

2 ln 2 ? 4

…………………6 分 所以,函数 h( x) 的单调增区间是 (0, 1) , (2, +?) ;单调减区间是 (1, 2) .…………………7 分 函数 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值 ? (III)由题意, h( x) ? 不妨设 x1 ? x2 ,则由 令 F ( x ) ? h( x ) ? x ?

5 ,在 x ? 2 处取得极小值 2 ln 2 ? 4 .…………………7 分 2

1 2 x ? (a ? 1) ln x ? ax(a ? 1) . 2

h( x1 ) ? h( x2 ) ? ?1 得 h( x1 ) ? x1 ? h( x2 ) ? x2 .…………………8 分 x1 ? x2
1 2 x ? (a ? 1) ln x ? ax ? x ,则函数 F ( x) 在 (0, ??) 单调递增. …………9 分 2

F ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ? 1 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? ≥0 在 (0, ??) 恒成立. …………10 分 x x
4

即 G( x) ? x2 ? (a ?1) x ? a ?1 ≥0 在 (0, ??) 恒成立.因为 G (0) ? a ?1 ? 0, 因此,只需 ? ? (a ?1)2 ? 4(a ?1)≤0 .解得 1 ? a≤5 . 故所求实数 a 的取值范围为 1 ? a≤5 . …………………14 分 20. 解:随机变量 X 的分布列是 X P X 的均值为 EX ? 1? 1 2 3

a ?1 ? 0 ,…………12 分 2

1 3
1 1 1 11 ? 2 ? ? 3? ? 3 2 6 6

1 2

1 6

附:X 的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是 ① A—B—C—D ② A—B—C └D ③ A—B—C └D ④ A—B—D └C

1 : 6
⑤ A—C—D └B ⑥

在情形① 和② 之下,A 直接感染了一个人;在情形③ 、④ 、⑤ 之下,A 直接感染了两个人;在情形⑥ 之下,A 直接感染了 三个人。 21、 (I)证明: f ? ? x ? ? ax ? ?b ?1? x ? 1
2

x1 , x2 是方程 f ? ? x ? ? 0 的两个根

1分 2分

由 x1 ? 2 ? x2 ? 4 且 a ? 0 得 ?

?1? ? ? ?3? ? ? 2? 得 4a ? 2b ? 0 ? f ? ? ?2? ? 4a ? 2 ?b ?1? ?1 ? 4a ? 2b ? 3 ? 3

? ? f ? ? 2? ? 0 ? ? 4a ? 2b ? 1 ? 0 ?? ? ? f ? ? 4? ? 0 ? ?16a ? 4b ? 3 ? 0

?1? ? 2?

3分

b ?1 ? x1 ? x2 ? ? ? ? a (Ⅱ )解:由第(1)问知 ? 由 x1 ? x2 ? 0 ,两式相除得 ? x ?x ? 1 1 2 ? a ? x ?x 1 1 1 1 即b ? ? ? 4分 ? ? b ? 1? ? 1 2 ? ? ?1 x1 ? x2 x1 x2 x1 x2 1 ① 当 0 ? x1 ? 2 时,由 x1 ? x2 ? ? 0 ? x2 ? 0 ? x2 ? x1 ? 2 即 x2 ? x1 ? 2 a 1 1 5分 ?b ? ? ? ? 1 , x1 ? ? 0, 2? x1 x1 ? 2 1 1 1 1 ? 1? x ? 0 ? ,则 ? ? ? x ? ? 2 ? 令函数 ? ? x ? ? ? ? ?0 x x?2 x ? x ? 2 ?2

?? ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数
1 1 1 1 ? 当 x1 ? ? 0, 2? 时, b ? ? ? x1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? ,即 b ? 4 2 4 4 ② 当 ?2 ? x1 ? 0 时, x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 2 即 x2 ? x1 ? 2
5

7分

1 1 ? ? 1, x1 ? ? ?2, 0 ? x1 x1 ? 2 1 1 ? 1? x ? 0 ? 则同理可证? ? x ? 在 ? ??,0? 上是增函数 令函数? ? x ? ? ? ? x ? x ? 2? 7 9分 ? 当 x1 ? ? ?2,0? 时, b ? ? ? x1 ? ? ? ? ?2 ? ? 4 1? ?7 ? ? 综① ② 所述, b 的取值范围是 ? ??, ? ? ? , ?? ? 10 分 4? ?4 ? ? (Ⅲ )解: f ? ? x ? ? 0 的两个根是 x1 , x2 ,? 可设 f ? ? x ? ? a ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ?b ? ? 2? ? ? g ? x ? ? a ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? 2 ? x ? x2 ? ? a ? x ? x2 ? ? x ? x1 ? ? 10 分 a? ? 2 x ? ? x1, x2 ? ? x ? x2 ? 0, x ? x1 ? 0 又 a ? 2 ? x ? x1 ? ? 0 a 2? 2? ? ? ? g ? x ? ? a ? x ? x2 ? ? x ? x1 ? ? ? a ? x2 ? x ? ? x ? x1 ? ? a? a? ? ?
2? ? ? x2 ? x1 ? a ? 1 2 1 ? a? ? ? a (1 ? ) ? a ? ? 2 2 a a ? ? ? ? 1 g(x) ? ?( a ? ? 2) a x ? x2 1 2 1 ? ? x1 ? 1 ? 当且仅当 x2 ? x ? x ? x1 ? ,即 x ? 1 时取等号 a 2 a a 1 1 ? h ? a ? ? ?(a ? ? 2) ? a ? 2 ? 当 a ? 2 时, h? ? a ? ? ?(1 ? 2 ) ? 0 a a
2

? h ? a ? 在 ? 2, ??? 上是减函数
9 2

? h ? a ?max ? h ? 2 ? ? ?

14 分

6


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