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高中数学联赛培训题(12)

时间:2013-10-16


高中数学联赛培训题(十二)
姓名: 一、选择题(每小题 6 分) : 1.已知非零实数 x, y, z 成等差数列, x ? 1 、 y 、 z 与 x 、 y 、 z ? 2 分别都成等比 数列,则 y 的值等于( A.8 B.16 C.12 D.20 ) ) 成绩:

2. 8 次射击,命中 3 次,其中恰有 2 次连续命中的情形的种数为( A.15 B.30 C.48 D.60

3.已知椭圆

x2 ? ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1 、 F2 ,过右焦点 F2 作倾斜角为 的弦 2 4

AB ,则 ?ABF1 的面积是( )
A.

2 2 3

B.

4 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

4.一个半径为 a 的半球内切于顶角为 90? 的圆锥,半球的底面在圆锥的底面内,则

V半球 : V圆锥 等于( )
A.

2 :2

B. 2 : 1

C. 2 : 2

D.1 : 2

5.点 ( x, y ) 在直线 3x ? 4 y ? 1上移动,点 (u, v) 满足 u ? vi ? 则 u, v 满足的关系式是( A. u ? v ? 3u ? 4v ? 0
2 2

1 ( u, v ? R ) , x ? yi


2 2

B. u ? v ? 3u ? 4v ? 0 D. (u ? ) ? (v ? 2) ?
2 2

C. u ? v ? 1
2 2

3 2

25 4

6.若 函 数 f (x) 和 g (x) 在 R 上 有 定义 ,且 f ( x ? y) ? f ( x) g ( y) ? g ( x) f ( y) ,

f (?2) ? f (1) ? 0 ,则 g (1) ? g (?1) 等于( )
A. 2 B.1 C. 0 D. ? 1

二、填空题(每小题 9 分) : 7.函数 y ? ax ? bx ? c 的图象是开口向下的抛物线, a, b, c 各不相等,且都在集合
2

A ? {n n ? 5, n ? Z } 中取值,则这些抛物线中通过点 (0,?1) 的有

条。
1

8.已知 ? ? ? ? 15? ,则

1 ? tg? ? tg? ? tg?tg? ? 1 ? tg? ? tg? ? tg?tg?
2 2



9.若关于 x 的不等式 9 ? x ? ?a x 的解集的长度为

15 ,则 a 的值是 4



10.在圆内接四边形 ABCD 中, ?A ? 60? , AB 、 BC 、 CD 、 DA 依次组成等 差数列,且公差 d ? 3 ? 13 。则 AB ? 11.设 x, y ? R ? ,且 。

19 98 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值是 x y



12. ?ABC 中, A 、 B 、 C 所对的边分别为 a, b, c , c ? 10 , 在 若 ? ? ?

cos A b 4 ? ? , cos B a 3

P 为 ?ABC 的内切圆上的动点, d 为 P 到顶点 A 、 B 、 C 的距离的平方和,则
d min ? d max ?


三、解答题(每小题 20 分) : 13.设复数 z1 , z 2 ,?, z10 为等比数列。已知 z1 ? 1 , z 2 ? z10 ? 1 。求 z1 的模和辐角。

2

14.如图,已知在抛物线 y ? x 2 上有一个正方形的三个顶点 A, B, C 。求这种正方形 面积的最小值。

3

15.已知一个数列的各项是 1或 2 。首项为 1 ,且在第 k 个 1 和第 k ? 1 个1 之间有 2 k ?1 个 2 。即 1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,? 。 1) 求该 数列 前 1999 项的和 ( (2)是否存在正整数 n ,使得数列的前 n 项的和 S n ? 2001 ?若 n 存在,求出 S1999 ;

n 的值;若 n 不存在,证明你的结论。

4


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