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数学(人教a版)必修5配套课件:3.4.3 基本不等式的实际应用(数学备课大师网 为您整理) (25)

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3.3.2 简单的线性规划问题(一)

【学习目标】 1.了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函 数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2.掌握线性规划问题的图解法,会用图解法求目标函数的 最大值、最小值. 3.训练数形结合、化归等常用思想,培养和发展数学应用 意识.

线性规划相关概念
名称 约束条件 意义 关

于变量 x,y 的不等式(方程)组 欲求最大值或最小值的关于变量 x,y 的函数解析式 线性约束条件 的解(x,y) 满足______________ 可行解 组成的集合 由所有________ 最大值 或_________ 最小值 的可行解 使目标函数取得_________

线性约束条件 关于 x,y 的一次不等式(或方程)组成的平面区域

目标函数
可行解 可行域 最优解

线性目标函数 关于 x,y 的一次解析式

线性约束 条件下求线性目标函数的最大值或最 在____________ 线性规划问题 小值问题

?x-y≥6, ? ?2x+y<9, ?x≥1 ? y 的值,使 z=x+3y 取到最大值或最小值,其中__________

?x-y≥6, ? 练习 1: 已知 x, y 满足约束条件?2x+y<9, ?x≥1, ?

分别确定 x,

z=x+3y 为线性目标函数. 为可行域,___________

?x≥0, ? 练习 2:已知实数 x,y 满足?y≤1, ?x-2y+1≤0, ?

求 2x+y 的

线性规划问题 满足不等式组的解(x,y) 最大值,这个问题就是_____________.
?1 ? 可行解 叫做____________ , 如?2,1?是一组可行解, 由所有可行解组成 ? ?

的集合即不等式组所表示的平面区域(如图

可行域 易知,当 x=1, 332 中阴影部分)是________.
y=1 时,目标函数 z=2x+y 取最大值 3,

最优解 故(1,1)是这个规划问题的________.

图 3-3-2

【问题探究】
1.z=x2+y2-3 是线性目标函数吗? 答案:不是,因为 x,y 的系数是 2. 2.线性目标函数的最优解只有唯一一个吗? 答案:不是,最优解可能有无数个.

题型 1 线性目标函数的最值
?x-4y≤-3, ? 【例 1】 已知变量 x,y 满足?3x+5y≤25, ?x≥1, ?

求 z=2x+y

最大值和最小值.

思维突破:把z 看成直线在y 轴上的截距,先画出可行域, 再求z 的最值. 解:作出不等式组所表示的可行域,如图 D11.

图 D11 设直线l0:2x+y=0,直线 l:2x+y=z,则z 的几何意义

是直线y=-2x+z 在y 轴上的截距.显然,当直线越往上移动时,
对应在y 轴上的截距越大,即z 越大;当直线越往下移动时, 对应在y 轴上的截距越小,即z 越小.

作一组与直线l0平行的直线系l,上下平移,可得:

当直线 l 移动到直线 l2 时,即过点 A(5,2) 时, zmax = 2×5 + 2 =12;
当直线 l 移动到直线 l1 时,即过点 B(1,1) 时, zmin = 2×1 + 1 =3. 本题中,z=2x+y 变形为 y=-2x+z,z 代表直 线在 y 轴上的截距,所以越向上平移,z 越大,反之则越小,解

决这种题目,首先要搞清 z 的几何意义. 一般地,对目标函数 z=ax+by,若 b>0,则纵截距与z 同
号,因此,纵截距最大时,z 也最大;若 b<0,则纵截距与z 异 号,因此,纵截距最大时,z 反而最小.

【变式与拓展】
?x-y+3≥0, ? 1.(2013 年广东)已知变量 x,y 满足约束条件?-1≤x≤1, ?y≥1, ?

则 z=x+y 的最大值是_________.

解析:画出可行域如图D13 所示的阴影部分,线性目标 函数 z=x+y 在点C 处取得最大值,易求得点C(1,4),故zmax =5.

图D13 答案:5

题型 2 已知线性目标函数的最值求参数
?y≥1, ? 【例 2】 已知实数 x,y 满足?y≤2x-1, ?x+y≤m, ?

如果目标函数 z

=x-y 的最小值为-1,那么实数 m=( A.7
C.4

)

B.5
D.3

思维突破:本题属逆向思维类型题,使用数形结合的方法. 画出x,y 满足的可行域,可得直线y=2x-1 与直线x+y=m 的交点使目标函数z=x-y 取得最小值.

? ?x=m+1, ? 3 ? ?y=2x-1, 解析:? 解得? ? ?x+y=m, ? 2m-1 y= 3 , ? ? m+1 2m-1 代入 x-y=-1,得 3 - 3 =-1?m=5.
答案:B

【变式与拓展】 2.在如图 3-3-3 所示的可行域内,目标函数 z=x+ay 取得

最大值的最优解有无数个,则 a 的一个可能值是( D )

图 3-3-3 A. -3
1 1-2 -a= ,a=1. 5-4

B.3

C. -1

D.1

解析:分析知“目标函数与直线 BC 重合时 z 最大”,故

?x-y+5≥0, ? 3.已知 x,y 满足?x≤3, ?x+y+k≥0, ? -6,则常数 k=( D ) A.2 C.3 10 B.9 D.0

且 z=2x+4y 的最小值为

解析:画图后知:当 x=3 时 z=2x+4y 取最小值-6.

? ?3≤x≤10, ? 5 【例 3】 若 x,y 满足不等式组?y≥2, ? ? ?9≤x+y≤14,

求 z=

-3x-2y的最值.
易错分析:直线在 y 轴上的截距与目标函数z=-3x-2y

取值的关系上出错.直线ax+by=z 往右(或往左)平移时,z 随之
增大(或减小),只有当a>0 时,才能成立.当a<0 时,可利用换 元将 a 变为大于 0.

解:作出约束条件表示的可行域,如图 D12 中的阴影部分,则点 A(10,4),B(3,6). 令 p=3x+2y, 作直线 l:3x+2y=0, 当直线 l 右移过点 B(3,6)时,pmin=21; 当直线 l 继续右移过点 A(10,4)时,pmax=38. 图D12

又 z=-p,
故 zmax=-21,zmin=-38.

[方法· 规律· 小结] 解简单线性规划问题的基本步骤: (1)画图:画出线性约束条件所表示的平面区域; (2)定线:令 z=0,得到一过原点的直线; (3)平移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平 移的方法找出与可行域有公共点且截距最大或最小的直线; (4)求最优解;

(5)求最值.


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