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【智博教育原创专题】“一定二动斜率定值”问题解题策略

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“一定二动斜率定值”问题的高等背景与初等解法 以下四个例题,都有类似条件: A 是圆锥曲线 C 上的定点, E , F 是圆锥曲线 C 上的两个动点, 求证直线 EF 的斜率为定值.我们把这类问题简称“一定二动斜率定值”问题,笔者经过仔细分析发 现,这类问题的命题者利用了导数法研究曲线的切线斜率,也就是利用了导数产生的几何背景,本 文利用极限与导数这一高等数学的方法先探求这个定值

,然后利用初等方法给出证明。 x2 y 2 3 【例1】如图 1 ,已知 E , F 是椭圆 ? ? 1上的两个动点, A(1, ) 是椭圆上的定点,如果直线 AE 4 3 2 与 AF 关于直线 x ? 1 对称,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 y 3 A(1, 2 ) O F E 图1 3 A1 (1,2 ) x 3 【高等背景】当 AE 与 AF 的倾斜角都趋近于 90? 时,直线 EF 的斜率就趋向于过 A1 (1, ? ) 的切线斜 2 3 2 ? (? ) y? 2 ?1 x2 y 2 2 x 2 yy? 3 2 ? ?0, 率,在 ? ? 1中,两边对 x 求导有, ? ? 0 ,把 A1 (1, ? ) 代入有: 4 3 4 3 4 3 2 1 1 解得 y? ? 。因此,可以确定所求的定值为 。 2 2 【初等解法】 因为直线 AE 与 AF 关于直线 x ? 1 对称, 所以直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 3 3 3 设直线 AE 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? ,则直线 AF 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) ? ,把 y ? k ( x ? 1) ? 代入 2 2 2 2 2 3 x y 设 E( 注意到 x ? 1 是 x1 ,y 1 ) , F( x , 2 y )2 , ? ? 1得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k )2 ? 12 ? 0 ①, 4 3 2 3 3 4( ? k ) 2 ? 12 4( ? k )2 ? 12 方程①的一个根,由根与系数关系得, x1 ? 2 ,同理可求 x2 ? 2 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 3 k ( x1 ? 1) ? ? [?k ( x2 ? 1) ? ] y1 ? y2 2 2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ,把 x , x 代入上式得 k ? 1 。 kEF ? ? 1 2 EF 2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 【例2】如图 2 ,已知 E , F 是椭圆 x2 y 2 ? ? 1上的两个动点, A( 3, 3) 是椭圆上的定点,如果直线 12 4 AE 与 AF 关于直线 y ? 3 对称,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 A1 (- 3 , 3 ) F E y A( 3 , 3 ) O x 图2 【高等背景】当 AE 与 AF 的倾斜角一个趋近于 180? 时,另一个趋近于 0? 时,直线 EF 的斜率就趋 x2 y 2 x yy ? 向于过 A1 (? 3, 3) 的切线斜率。在 ? ? 1中,两边对 x 求导有, ? ? 0 ,把 A1 (? 3, 3) 代 12 4 6 2 ? 3 3 y? 1 1 入有 ? ? 0 ,解得 y? ? ,因此,可以确定所求的定值为 。 6 2 3 3 2 2 x y 【初等解法】设直线 AE 的方程为 y ? k ( x ? 3) ? 3 ,代入 ? ? 1得: 1