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图像及三角函数模型的简sin(ωx+φ)的


函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
适用学科 适用区域 知识点 教学目标
数学 通用

适用年级 课时时长(分钟)

高三 60

三角函数模型的简单应用 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出 y=Asin(ωx+φ)的图像,了解参数 A、ω、φ 对函数图

像变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.

教学重点 教学难点

y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用 结合三角恒等变形,应用 y=Asin(ωx+φ)的性质解决三角函数的问题.

1

教学过程
一、课堂导入

问题:三角函数模型是怎么应用的?

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二、复习预习
1.由函数 y=sin x 的图象经过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象,如先伸缩,再平移时要把 x 前面的系数提出来. 2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把 ωx+φ 看做一个整体.若 ω<0,要先根据诱导公式进行转化.

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三、知识讲解
考点 1y=Asin(ωx+φ)的有关概念

y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0), x∈[0,+∞)

振幅

周期 2π T= ω

频率 1 ω f=T=2π

相位

初相

A

ωx+φ

φ

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考点 2 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图

x

0-φ ω 0 0

π -φ 2 ω π 2 A

π-φ ω π 0

3π -φ 2 ω 3π 2 -A

2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx +φ)

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考点 3y=Asin(ωx+φ)的图象变换

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四、例题精析
考点一函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 ?1 π? 例 1 已知函数 f(x)=3sin?2x-4?,x∈R. ? ? (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象?

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【规范解答】(1)列表取值: x 1 π 2x-4 f(x) π 2 0 0 3 2π π 2 3 5 2π π 0 7 2π 3 2π -3 9 2π 2π 0

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移4个单位,然后把所有的点的横坐标扩大为原来的 2 倍,再把所有点的纵坐标扩大为 原来的 3 倍,得到 f(x)的图象. 【总结与反思】图象变换:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径:“先平移 后伸缩”与“先伸缩后平移”.
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考点二求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 π 例 2 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,|φ|<2,ω>0)的图象的一部分如图所示,则该函数的解析式为____________.

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1 π π 【规范解答】观察图象可知:A=2 且点(0,1)在图象上,∴1=2sin(ω· 0+φ),即 sin φ=2.∵|φ|<2,∴φ=6. 11 11π π 又∵12π 是函数的一个零点,且是图象递增穿过 x 轴形成的零点,∴ 12 ω+6=2π,∴ω=2. π? ? ∴f(x)=2sin?2x+6?. ? ? 【总结与反思】根据 y=Asin(ωx+φ)+k 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: ①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 A= ②k 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 k= 最高点-最低点 ; 2

最高点+最低点 ; 2

2π ③ω 的确定:结合图象,先求出周期 T,然后由 T= ω (ω>0)来确定 ω; φ φ ④φ 的确定:由函数 y=Asin(ωx+φ)+k 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为-ω(即令 ωx+φ=0,x=-ω) 确定 φ.

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考点三函数 y=Asin(ωx+φ)的应用 例3 设函数 f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数 f ?1 ( x) ,f (4) ? 0 ,则 f ?1 (4) ? ___________。

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2π π 【规范解答】(1)由图象知 A=2,T=8,∵T= ω =8,∴ω=4. π π π π π 又图象经过点(-1,0),∴2sin(-4+φ)=0.∵|φ|<2,∴φ=4.∴f(x)=2sin(4x+4). π π π π π π π π (2)y=f(x)+f(x+2)=2sin(4x+4)+2sin(4x+2+4)=2 2sin(4x+2)=2 2cos 4x. 2 3π π π ∵x∈[-6,-3],∴- 2 ≤4x≤-6, π π 2 ∴当4x=-6,即 x=-3时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; π 当4x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2. 【总结与反思】利用函数的图象确定解析式后,求出 y=f(x)+f(x+2),然后化成一个角的一个三角函数形式,利用整体 思想(将 ωx+φ 视为一个整体)求函数最值.

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五、课堂运用
【基础】 π 1、为得到函数 y=cos(2x+3)的图象,只需将函数 y=sin 2x 的图象( 5π A.向左平移12个单位长度 5π C.向左平移 6 个单位长度 5π B.向右平移12个单位长度 5π D.向右平移 6 个单位长度 )

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π π π 5π 5π 5π 【规范解答】y=cos(2x+3)=sin[2+(2x+3)]=sin(2x+ 6 ).故要得到 y=sin(2x+ 6 )=sin 2(x+12)的图象, 5π 只需将函数 y=sin 2x 的图象向左平移12个单位长度.故选 A

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π 2、已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,且|φ|<2)的部分图象如图所示,则函数 f(x)的一个单调递增区间是( 7π 5π A.[-12,12] π 7π C.[-12,12] 7π π B.[-12,-12] π 5π D.[-12,12]

)

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1 2 5 【规范解答】由函数的图象可得4T=3π-12π,∴T=π,则 ω=2. 5 5 π 又图象过点(12π,2),∴2sin(2× π + φ ) = 2 ,∴ φ =- 12 3+2kπ,k∈Z, π π 5π 取 k=0,即得 f(x)=2sin(2x-3),其单调递增区间为[kπ-12,kπ+12],k∈Z,取 k=0,即得选项 D.

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【巩固】 π? ? ?π? ?π? ?π π? 1、已知 f(x)=sin?ωx+3? (ω>0),f?6?=f?3?,且 f(x)在区间?6,3?上有最小值,无最大值,则 ω=______. ? ? ? ? ? ? ? ?

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π π 6+3 π π? π π 3π ?π ω+3?=-1,∴ ω+ =2kπ+ 【规范解答】依题意,x= 2 =4时,y 有最小值,∴sin?4· 4 3 2 (k∈Z). ? ? 14 π π π ?π π? ∴ω=8k+ 3 (k∈Z),因为 f(x)在区间?6,3?上有最小值,无最大值,所以3-4<ω,即 ω<12,令 k=0, ? ? 14 得 ω= 3 .

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π? ? 2、已知函数 f(x)=- 2sin ?2x+4?+6sin xcosx-2cos2x+1,x∈R. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π? ? (2)求 f(x)在区间?0,2?上的最大值和最小值. ? ?

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π? π π ? 【规范解答】(1)f(x)=- 2sin 2x· cos 4- 2cos 2x· sin 4+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=2 2sin?2x-4?. ? ? 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= 2 =π. 3π? ? ?3π π? ?3π? ?π? (2)因为 f(x)在区间?0, 8 ?上是增函数,在区间? 8 ,2?上是减函数.又 f(0)=-2,f? 8 ?=2 2,f?2?=2,故函数 f(x) ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? 在区间?0,2?上的最大值为 2 2,最小值为-2. ? ?

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【拔高】 π π 1、已知函数 f(x)=sin(2x+6)+sin(2x-6)-cos 2x+a(a∈R,a 为常数). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)若函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后,得到函数 g(x)的图象关于 y 轴对称,求实数 m 的最小值.

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π π π 【规范解答】(1)f(x)=sin(2x+6)+sin(2x-6)-cos 2x+a= 3sin 2x-cos 2x+a=2sin(2x-6)+a. 2π π π π ∴f(x)的最小正周期为 2 =π,当 2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2(k∈Z), π π 即 kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z)时,函数 f(x)单调递增, π π 故所求函数 f(x)的单调增区间为[kπ-6,kπ+3](k∈Z). π (2)函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后得 g(x)=2sin[2(x+m)-6]+a 要使 g(x)的图象关于 y 轴对称, π π 只需 2m-6=kπ+2(k∈Z). kπ π π 即 m= 2 +3(k∈Z),所以 m 的最小值为3.

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π 2、已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<2)的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; π? ? π? ? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?

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?11π 5π? 【规范解答】(1)由题设图象知,周期 T=2? 12 -12?=π, ? ? 2π ?5π ? ? 5π ? ?5π ? + φ ? ? 6 +φ?=0. 所以 ω= T =2.因为点?12,0?在函数图象上,所以 Asin?2× = 0 ,即 sin ? ? ? 12 ? ? ? π 5π 5π 4π 5π π 又因为 0<φ<2,所以 6 < 6 +φ< 3 .从而 6 +φ=π,即 φ=6. π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin6=1,解得 A=2. π? ? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?. ? ? π ? π? π ? π? π? ?1 ? 3 ? ? ? ? x-12?+ ?-2sin?2?x+12?+ ?=2sin 2x-2sin? ?2x+3?=2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2x? (2)g(x)=2sin?2? 6 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2 ? π? ? =sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x-3?. ? ? π π π π 5π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z,得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. π 5π? ? 所以函数 g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ?

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课程小结
1.函数 y=Asin(ωx+φ)的图像 (1)用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图像应注意的问题. π 3π 用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的图像关键是点的选取,一般令 ωx+φ=0, ,π, ,2π,即可得到所画图像的关键点坐标.其中的 2 2 T 横坐标成等差数列,公差为 . 4 (2)图像变换. ①平移变换 (ⅰ)沿 x 轴平移,按“左加右减”法则;(ⅱ)沿 y 轴平移,按“上加下减”法则. ②伸缩变换 1 (ⅰ)沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 倍(纵坐标 y 不变); ω (ⅱ)沿 y 轴伸缩时,纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的 A 倍(横坐标 x 不变). 2.确定 y=Asin(ωx+φ)的解析式的步骤 (1)首先确定振幅和周期,从而得到 A 与 ω;
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φ - ,0?作为突破口.要注意从图像的升降情况找准第一个零点的位置,同时要 (2)确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的第一零点? ω ? ? 利用好最值点.具体如下: π “第一点”(即图像上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=0;“第二点”(即图像的“峰点”)为 ωx+φ= ;“第三点”(即图像下降时与 x 轴的交点) 2 3π 为 ωx+φ=π;“第四点”(即图像的“谷点”)为 ωx+φ= ;“第五点”为 ωx+φ=2π. 2 3.函数 y=Asin(ωx+φ)的图像的对称问题 π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图像关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+ ,k∈Z)成轴对称图形,也就是说过波峰或波谷处且与 x 轴垂直的 2 直线为其对称轴. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图像关于点(xj,0)(其中 ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形,也就是说函数图像与 x 轴的交点(平衡位置点)是 其对称中心. 4.三角函数模型的应用及解题步骤 (1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. (3)利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.
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