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吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习(第4周)阶段测试卷 理

时间:2016-08-19


吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考数学一轮复习(第 4 周)阶段 测试卷 理
(考试范围:集合与简易逻辑、不等式) 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,把正确的代号填在指定位置上. 1.函数 y ? A. (?4, ? 1)

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1]
x

2. 用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值, 设 f ( x ) =min{ 2 , x+2,10-x} (x ? 0),则 f ( x ) 的最大值为 (A)4

(B)5

(C)6

(D)7 )

3.函数 ( f x)= ? A.0 B.1

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0
C.2

的零点个数为 ( D.3

? x 2 ? 4 x, x ? 0 4.已知函数 f ( x) ? ? 若 f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实 2 ?4 x ? x , x ? 0
数 a 的取值范围是 A (??, ?1) ? (2, ??) B (?1, 2) C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

5.已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ?

? ?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ,其中 m ? 0 。若方程 3 f ( x) ? x 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?
) C. ( , )

恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为( A. (

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

4 8 3 3

D. ( , 7)

4 3

6.单位圆中弧 AB 长为 x , f ( x ) 表示弧 AB 与弦 AB 所围成弓形面积的 2 倍。则函数 f ( x ) 的图像是( )

1

C

?1? f? ?x? ? ? f ?1? ? ? f x ? ? 7.已知函数 为R上的减函数,则满足 的实数 x 的取值范围是(
A. ?? 1,1? B. ?0,1? C. ?? 1,0? ? ?0,1? D. ?? ?,?1? ? ?1,?? ?



8. 已知定义域为 R 的函数 ( A. )

f ?x ? 在区间 ?8,?? ? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数,则

f ?6? ? f ?7?

B.

f ?6? ? f ?9?

C.

f ?7? ? f ?9?

D.

f ?7? ? f ?10?

? ? 1 N ? ? x ? Z ? 2 x ?1 ? 4? 2 ? ? ,则 M ? N ? ( ) 9.已知集合 M ? ?? 1,1?,
A. ?? 1,1? B.

?? 1?

C.

?0?

D. ?? 1,0?

? ? ?? 1,1, ,3?
10.设 A.1,3 B.-1,1

? ?

1 ? 2 ?,则使函数 y ? x? 的定义域为R且为奇函数的所有 ? 的值为(
C.-1,3 D.-1,1,3



11.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相 等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的

12.若对任意 x ?R,不等式 A. a<-1

x
B.

≥ax恒成立,则实数a的取值范围是

a

≤1

C.

a

<1

D.a≥1

2

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________. 14. (07湖北)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已 知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小

?1? y?? ? ? 16 ? 时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为
数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:

t ?a

(a为常

(Ⅰ)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式 为 .

(Ⅱ)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那从药物 释放开始,至少需要经过 15.(07 山 东 ) 函 数 小时后,学生才能回到教室.

y ? l oa ? g x ? 3? ?1(a ? 0, a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A, 若 点 A 在 直 线

1 2 ? mx ? ny ? 1 ? 0上,其中 mn ? 0 ,则 m n 的最小值为
16.(07重庆)若函数 f ?x? ?

. 。

2x

2

?2 ax?a

? 1 的定义域为R,则实数 a 的取值范围

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.设 a 为常数,试讨论方程 lg( x ? 1) ? lg(3 ? x) ? lg(a ? x) 的实根的个数。

18.设 a 为实数,函数 求

f ( x) ? 2 x2 ? ( x ? a) | x ? a | . (1)若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)

(不需给出演算步骤)不等式 f ( x) 的最小值;(3)设函数 h( x) ? f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出 ....

h( x) ? 1的解集.

3

1 x 19.例.已知函数 f ( x ) ? ( ) , x∈[-1,1],函数 g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3 的最小值为 h(a). 3
(1) 求 h(a); (2)是否存在实数 m, n,同时满足以下条件: ①m>n>3;②当 h(a)的定义域为 [n,m] 时,值域为 [n2 , m2 ] ?若存在,求出 m,n 的值,否则,说明理由.

20.例. 设 a 为实数, 函数 f ( x) ? x ? x ? a ? 1,x ? R . (1) 讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2) 求 f ( x)
2

的最小值.

21..已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,求 实数 a 的取值范围。

4

22. (07上海)

a f ?x ? ? x 2 ? ( x ? 0, a ? R) x 已知函数
(1)判断函数 (2)若

f ?x ? 的奇偶性;

f ?x ? 在区间 ?2,?? ? 是增函数,求实数 a 的取值范围。

5

0 高三理科数学阶段质量检查试题参考答案

3.解:当 x ? 0 时,令 x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?3 ;
2

当 x ? 0 时,令 ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? 100 ,所以已知函数有两个零点,选 C。 4.解:由已知,函数在整个定义遇上单调递增的故 f (2 ? a 2 ) ? f (a) ,等价于 a ? a ? 2 ? 0 ,
2

解得 ? 2 ? a ? 1 答案 C 5.解: y ? m 1 ? x , x ? ? ?1,1? 的图象为椭圆上半部分, y ? 1 ? x ? 2 , x ? ?1,3? 的图象为两条线
2


2 根据 f ( x ) 的周期 T=4 可知其图象, 由方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解, 则 3m 1 ? ( x ? 4) ? x 有







(9m2 ? 1) x2 ? 72m2 x ? 135m2 ? 0
15 ; 3













? ? (?72m2 )2 ? 4 ? (9m2 ? 1) ?135m2 ? 0 解 得 m ? (9m2 ? 1) x2 ?144m2 x ? 63? 9m2 ? 0 无解,所以

3m 1 ? ( x ? 8) 2 ? x 无 解 即

? ? (?144m2 )2 ? 4 ? (9m2 ? 1) ? 63? 9m2 ? 0 解得 m ? 7 。故

15 ?m? 7 3

6.解:法一:定量分析。可列出 f ( x) ? x ? sin x ,知 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? x ,

f ( x) 图像在 y ? x 下方; ? ? x ? 2? 时, f ( x) ? x , f ( x) 图像在 y ? x 上方。
选D 法二:定性分析。当 x 从 0 增至 2? 时, f ( x ) 变化经历了从慢到快,从快到慢的 过程,选 D 法三:观察 f ( x ) 满足: f (? ? t ) ? f (? ? t ) ? 2 f (? ) ,故 f ( x ) 图像以 ?? , ? ? 为对称中心。选 D 7.C 8.D 9.B 10.A 11.A 12.B

13.解:因为定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 4) ? f (? x ) ,所以 , 由

6

f ( x) 为奇函数,

所以函数图象关于直线 x ? 2 对称且 f (0) ? 0 ,由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 知 f ( x ? 8) ? f ( x) , 所以函数是以 8 为周期的周期函数, 又因为 f ( x) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f ( x) 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示, 那么方程 f ( x) =m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,不妨设 x1 ? x2 ? x3 ? x4 由对称性知 x1 ? x2 ? ?12

x3 ? x4 ? 4 所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?12 ? 4 ? ?8 答案:-8
0 ? t ? 0.1 ?10t, ? t ?0.1 y??? 1 ? t ? 0.1 ? , ?? 16 ? ? ? 14.

0.6

15.8 16.

?? 1,0?

?x ? 1 ? 0 ?3 ? x ? 0 ?a ? ? x 2 ? 5 x ? 3 ? 17. 解 : 原 方 程 等 价 于 ? 即 ? 构 造 函 数 1 ? x ? 3 a ? x ? 0 ? ? ? ?( x ? 1)(3 ? x) ? a ? x
y ? ? x 2 ? 5x ? 3 (1 ? x ? 3) 和 y ? a ,作出它们的图像,易知平行于 x 轴的直线与抛物线的交

13 时,原方程有一解;②当 3 ? a ? 13 时,原方程有两解; 点情况可得:①当 1 ? a ? 3 或 a ? 4
4

13 时,原方程无解。 ③当 a ? 1 或 a ? 4
18.解:(1)若

f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?
2 2

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x) min

2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 2 ?? a ? ? 2a f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? ? 3 ? 3

7

当 x ? a 时, f ( x) ? x2 ? 2ax ? a 2 , f ( x) min ? ?

??2a 2 , a ? 0 ? f (?a), a ? 0 ? ?? 2 ? ? f (a), a ? 0 ? 2a , a ? 0

综上 f ( x)min

(3) x ? (a, ??) 时, h( x) ? 1 得 3x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 , ? ? 4a2 ? 12(a2 ? 1) ? 12 ? 8a2
2 2

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3

当a ? ?

6 6 6 6 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ;当 ? 时,△>0, 或a ? ?a? 2 2 2 2

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 (x ? )( x ? ) ? 0 讨论得:当 a ? ( 2 , 6 ) 时,解集为 (a, ??) ; 得: ? ? 3 3 2 2 ?x ? a ?

当 a ? (? 当 a ? [?

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 2 ,? ) 时,解集为 (a, ] ?[ , ??) ; 2 2 3 3
2 2 a ? 3 ? 2a 2 , ] 时,解集为 [ , ??) . 2 2 3
1 3
x 2

19.解:(1)因为-1≤x≤1, 设( ) ? t , 则g ( x) ? u (t ) ? t ? 2at ? 3,

?1 ? 其中t ? ? ,3? , u (t ) ? (t ? a) 2 ? 3 ? a 2 . ?3 ?

1 1 28 2 1 若a ? 时则ymin ? h(a) ? u ( ),? h(a) ? ? a, 若 ? a ? 3时则ymin ? h(a) ? u (a), 3 3 9 3 3 2 ? h(a) ? 3 ? a , 若a ? 3时则ymin ? h(a) ? u (3),? h(a) ? 12 ? 6a,
? 28 2a ?9 ? 3 ? ? 综合得 : h(a ) ? ?3 ? a 2 ? ?12 ? 6a ? ? 1 (a ? ) 3 1 ( ? a ? 3). 3 ( a ? 3)

(2)因为 m>n>3,故 h(a)=12-6a,且 h(a)在(3,+∞)上单调递减,假设 h(a)定义域为[n,m],值
2 2 ? ? ? h( n) ? m ?12 ? 6n ? m ,即 ? . 域为 [n , m ] ,则有 ? 2 2 ? h ( m) ? n ?12 ? 6m ? n ? ?

2

2

两式相减得 6(m-n)=(m-n)(m+n),

又 m>n>3,所以 m+n=6. 这与“m>n>3 ? m+n>6”矛盾,故满足条件①②的实数 m,n 不存在.
2 20.解:(1)当 a ? 0 时,函数 f (?x) ? (?x) ? ?x ?1 ? f ( x) ,此时 f ( x ) 为偶函数; 2 2 当 a ? 0 时, f (a) ? a ? 1 , f (?a) ? a ? 2 a ?1 , f (?a) ? f (a) , f (?a) ? ? f (a) .

此时函数 f ( x ) 既不是奇函数,也不是偶函数;

8

3 ; 4 1 1 3 1 若 a ≤ ? ,则函数 f ( x ) 在 ?a, ? ?? 上的最小值为 f (? ) ? ? a ,且 f (? ) ≤ f (a) . 2 2 4 2 1 若 a ? ? ,则函数 f ( x ) 在 ? a, ? ∞? 上单调递增,从而,函数 f ( x) 在 ? a, ? ∞? 上的最小值为 2
②当 x ≥ a 时,函数 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?
2 2

1 2

f (a) ? a2 ? 1 .
综上,当 a ≤ ?

1 3 1 1 时,函数 f ( x ) 的最小值是 ? a ,当 ? ? a ≤ 时,函数 f ( x ) 的最小值是 2 4 2 2

a2 ? 1 ,
当a ?

1 3 时,函数 f ( x ) 的最小值是 ? a . 2 4 3 不在区间[-1,1]上。当 a≠0 时,函数 f ( x) 2

21.解:当 a=0 时,函数为 f ( x) =2x -3,其零点 x=

在 区 间 [-1 , 1] 分 为 两 种 情 况 : ① 函 数 在 区 间 [ ─ 1 , 1] 上 只 有 一 个 零 点 , 此 时

a? ( ? 3a ? ) 0 ?? ? 4 ? 8 ? f (1 ?) a ? ( a5? ) ( ? 1) ? f (? 1 )

0

?? ? 4 ? 8a(?3 ? a) ? 0 ?3? 7 ? 或? 解得 1≤a≤5 或 a= 1 2 ?1 ? ? ?1 ? 2a ?
a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ②函数在区间[─1, 1]上有两个零点, 此时 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a ? 5 或 a<

a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 或? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

?3? 7 综上所述,如果函数在区间[─1,1]上有零点,那么实数 a 的取值范围 2

为(-∞,

?3 ? 7 ]∪[1, +∞) 2
9

22.解:(1)当 a ? 0 时, f ?x ? ? x 为偶函数;当 a ? 0 时,
2

f ?x ? 既不是奇函数也不是偶函数.

(2)设 x2

? x1 ? 2 ,

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? x12 ?

a a 2 ? x2 ? x1 x2

?

x1 ? x2 ?x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? a? x1 x2 ,

由 x2 要使

? x1 ? 2 得 x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? 16 , x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 f ?x ? 在区间 ?2,?? ? 是增函数只需 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ,

10


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