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四川省雅安市天全中学2015-2016学年高二数学3月月考试题 理


2015-2016 学年度下期天全中学 3 月考 高二数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟; 第 I 卷(选择题) 一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. 若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f ?(? ) 等于( A. sin ? B. cos ? C. 2 sin ? ) D. sin ? ? cos ? ( )

>2. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 A. y=cos 2 x , x ? R C. y ?

B. y=log2 x , x ? R 且 x ? 0 D. y=x3 ? 1, x ? R )

e x ? e? x , x?R 2

3.在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,E, F 分别是 BC, AD 的中点,则 AE ? CF ? ( A. 0 B.

1 2

C.

?

3 4

D.

?

1 2
y

4. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 的图象如右图所示,则有( A . a ? 0, c ? 0 C . a ? 0, c ? 0
3 2

)

B. a ? 0, c ? 0 D. a ? 0, c ? 0 ) o

5. 函数 y = x - 3x - 9x (- 2 < x < 2)有( A.极大值 5 ,极小值 ?27 C.极大值 5 ,无极小值

B.极大值 5 ,极小值 ?11 D.极小值 ?27 ,无极大值

6.在长方体 ABCD - A 1B 1C1D 1 中,下列关于 AC1 的表达中错误的一个是( ) A. AA1 + A1B1 + A1D1 C. AD + CC1 + D1C1

uuur

uuu r uuu r

uuu u r

uuuu r

B. AB + DD1 + D1C1 D.

uu u r

uuur

uuuu r

r uuu r uuuu r 1 uuu ( AB1 + CD1 ) + A1C1 2 7. 函数 y ? f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 y ? f ?( x) 在 ( a, b) 内的图
象如图所示,则函数在开区间 ( a, b) 内有( A.1 个 B .2 个 C.3 个 8. 已知 f ( x) ? A.
3

uuu r

uuuu r

)极大值点。

D.4 个

x ? sin x ,则 f ?(1) ? ( )
B.

1 ? cos1 3

1 sin1 ? cos1 3

C.

1 sin1 ? cos1 3
)

D. sin1 ? cos1

2 9. 若 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 ln x ,则 f ' ( x) ? 0 的解集为 (

1

A . (0,??)

B. (?1,0) ? (2,??)

C. (2,??)

D. ( ?1,0) 成

10.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所 角的正弦值为( A. ) C.

6 3

B.

2 5 5

15 5

D.

10 5

11. f ( x ) 是定义在 (0,??) 上的非负可导函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,对任意正数 a、 b ,若 a ? b , 则必有 ( ) A. af (b) ? bf (a) B. bf (a) ? af (b) C. af (a) ? f (b) ) D. bf (b) ? f (a)

12. 如图, ABCD ? A 的是( 1B 1C1D 1 为正方体,下面结论错误 .. A. BD ∥平面 CB1D1 C. AC1 ? 平面 CB1D1 B. AC1 ⊥ BD

D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 第 II 卷(非选择题)

二、填空题(每题5分,共20分) 13.求定积分:

? ? x ? 1?
1
3 2

2

2

dx ? _________

.

14.已知 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围为 _______.
' 15. 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 R , f ? ?1? ? 2 , 对 任 意 x ? R , f ? x ? ? 2 , 则 f ? x ? ? 2x ? 4 的 解 集 为

_ ________. 16.对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列 ? 和的公式是

? an ? ? 的前 n 项 ? n ? 1?

2

三、解答题(共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 PA 的长为 2,且 PA 与 AB 、 AD 的夹角都等于 60 , M 是 PC 的中点,设 (1)试用 (2)求 表示出向量 的长. ;
0



18.(本小题满分 12 分) 已知曲线 f ( x) = x3 + ax + b 在点 (2, - 6) 处的切线方程是 13x - y - 32 = 0 . (I)求 a , b 的值; (II)如果曲线 y = f ( x) 的某一切线与直线 y = 方程.

1 x + 3 垂直,求切点坐标与切线的 4

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD⊥PD,底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3,BC=6,点 E 在棱 PA 上且 PE=2EA.. (1) 求证:PC∥平面 EBD; (2)求二面角 A-BE-D 的余弦值.

P

E

C D A

B

3

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x , g ( x) ? ?6 x ( a ? R ) . (Ⅰ)若 x=3 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 x ? [1,a]上的最小值和最大值; (Ⅱ)若 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? ? 0, ?? ? 时是增函数,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD ,且
?

PA ? AD ? DC ?

1 , AB ? 1, M 是 PB 的中点. 2

(Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角的余弦值; (Ⅲ)求二面角 M ? AC ? B 的正弦值.

22.(本题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx(a ? 0) . 2

(I)若 a ? ?2时, 函数h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围;
2 (II)若 a = 2, b = 1 ,若函数 y ? g ( x) ? 2 f ( x) ? x ? k 在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 k 的取值

范围.

4

高二数学 3 月月考 (理科)参考答案 一.ABDDC BBBCD 二.13. 19/ 3 三.解答题 DA 14. a ? ?3或a ? 6 15.

? ?1, ???

16. 2

n ?1

?2

1 7.解: (1)∵

是 PC 的中点,∴

(2)

. 18. 解: (I)∵

x (II) ∵切线与直线 y=- +3 垂直, 4 ∴切线的斜率 k=4. 2 设切点的坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=3x0+1=4, ∴x0=±1,
?x0=1, ? ∴? ?y0=-14, ? ?x0=-1, ? 或? ?y0=-18. ?

切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14.
第 18 题解图(1)

19 法一:(1) 如图(1)所示,连 AC 交 BD 于 G,连结 EG, ∵ AG ? AD ? 1 , 又 AE ? 1 ,∴ AG ? AE , ∴PC∥EG, GC BC 2 EP 2 GC EP 又 EG ? 平面 EBD, PC ? 平面 EBD,∴PC∥平面 EBD.?………6 分 (2) 作 AH⊥BE 于 H,连结 DH,∵DA⊥平面 HBD,∴DH⊥BE, ∴∠AHD 即为二面角 A-BE-D 的平面角,?
5

?

在△ABE 中,BE=

5 ,AH= AB ? AE ? sin 45? ? 3
BE 5

5,

∴DH = DA2 ? AH 2 ? 32 ? (

3 3 5)2 ? 30 , 5 5

∴cos∠AHD=

AH 6 , ? DH 6

即二面角 A-BE-D 的余弦值为

6 . …………12 分 6

法二:(1)如图(2)所示以 B 为原点建立空间直角坐标系, 则 P(0,0,3), A(3,0,0), C(0,-6,0), D(3,-3,0), 由 PE=2EA 得 E(2,0,1), 则 BE =(2,0,1), BD =(3,-3,0), CP =(0,6,3), 设平面 EBD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则

??? ?

??? ?

??? ?

第 19 题解图 (2)

第 18 题解图 (2)

?

??? ? ? ? ?2 x ? z ? 0 ? BE ?n ? (2, 0,1)?( x, y, z ) ? 0 , 即? , ? ? ? ??? x ? y ? 0 BD ? n ? (3, ? 3, 0) ? ( x , y , z ) ? 0 ? ? ? ? 令 x ? y ? 1, 则 z ? ?2 , ∴ n ? (1,1, ?2) 。
∴ CP ?n ? 6 ? 2 ? 3 ? 0 , ∴ CP ? n , ∴PC∥平面 EBD.………6 分 (2) 由 (1) 得 平 面 EBD 的 一 个 法 向 量 为 n ? (1,1, ?2) , 显 然 , 平 面 ABE 的 一 个 法 向 量 为
?? ? ?? ?? ? m? n 1 6, m ? (0,1,0) ,∴ cos ? m, n ?? ?? ? ? ? m?n 6 6

??? ? ?

??? ? ?

?

∴二面角 A-BE-D 的余弦值为
2

6 . …………12 分 6

20.(I) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 3 , 由题意得 f ?(3) ? 0 ,则 a ? 4 , …………………2 分 ……4 分

当 x ? (1,3), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? (3, 4), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增 ,

f ( x)min ? f (3) ? ?18 ; f ( x)max ? f (1) ? ?6 .
3

……………………………… 5 分 …………………………… 6 分
2

(II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? ax ? 3x , 由题意得, h?( x) ? 3x ? 2ax ? 3 ? 0 在 ? 0, ?? ? 恒成立,即
2

6

1? 3? 1? ? a ? ? x ? ? 在 ? 0, ?? ? 恒成立, 而 ? x ? ? ? 2 2? x? x ?min 分 ?
所以, a ? 3 . …………………………12 分

21.(本小题满分 12 分 ,文科 2 个问各 6 分)

以 A 为坐标原点, AD 长为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系, 则各点坐标为

1 1 1 1 1 1 A(0, 0, 0), B(0,1, 0), C ( , , 0), D( , 0, 0), P(0, 0, ), M (0, , ) . 2 2 2 2 2 4
( Ⅰ ) 证 明 : 因

??? ? ??? ? ???? 1 ???? 1 AP ? (0, 0, ), DC ? (0, , 0), 故 AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 2 2
由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC ? 面 PAD .又 DC 在面

PCD 内,故面 PAD ⊥面 PCD .

……………………4 分

(Ⅱ)解:因 AC ? ( , , 0), PB ? (0,1, ? ),

????

1 1 2 2

??? ?

1 2

???? ? ? 1 2 ??? 5 ???? ??? 故 | AC |? ,| PB |? , AC ? PB ? , 所以 2 2 2 ???? ??? ? ???? ??? ? ……7 分 AC ? PB 10 ? ? cos ? AC , PB ?? ???? ??? . 5 | AC | ? | PB |
所以,AC 与 PC 所成角的余弦值为

10 5 …………………8 分
??? ? 1 2 ………………9 分

(Ⅲ)解:易知平面 ACB 的一个法向量 AP ? (0, 0, ),

? ???? ? ? ? ? ?n?AM ? 0 设平面 MAC 的一个法向量 n ? ( x, y, z), 则 ? ? ???? ,不妨取 n ? (1, ?1, 2), …10 分 ? ? n?AC ? 0
设二面角 M ? AC ? B 的平面角为则 ? ,则 cos ? ?

6 . 3

所以 sin ? ? 1 ? cos

2

??

3 . 3 ……………………………………12 分

7

22.(本小题 满分 12 分) (Ⅰ) 则:h ?( x) ? ? h( x) ? ln x ? x2 ? bx, 且函数h( x)定义域为(0, ??) , 成立,

1 ? 2 x ? b ? 0对x ? (0, ??) 恒 x

…………… 2 分

?b ?

1 1 ? 2 x,? x ? 0,? ? 2 x ? 2 2 , x x

(当且仅当 x ?

2 1 时,即 x ? 时,取等号) , 2 x

?b ? 2 2

……………………………… 6 分

? a [1,3]上 (II)函数 k(x ) ? g ( x) ? 2 f ( x) ? x2 在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程 k = x ? 2 ln x,在 k
恰有两个相异实根. 令 ? ( x) ? x ? 2 ln x, 则? ?( x) ? 1 ?

2 , x

…………………… 8 分

当x ? ?1, 2 ?时, ? ?( x) ? 0, 当x ? ? 2,3?时, ? ?( x) ? 0,

? ( x)在[1, 2]上是单调递减函数, 在 ? 2,3? 上是单调递增函数.故? ( x)min ? ? (2) ? 2 ? 2 ln 2.
……………………10 分

又? (1) ? 1, ? (3) ? 3 ? 2ln 3,?? (1) ? ? (3), ? 只需?(2)<a ? ?(3), ? ? 2? ? k ? ? ?3?
只需 故 2-2ln2<a ? 3-2ln3 …………………………12 分 …………………………14 分

8


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