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2.2.3直线与平面平行的性质定理

时间:2017-09-01


高中数学必修 2

B区高一数学

复习
1. 直线和平面有哪几种位置关系? 平行、相交、在平面内
2.直线与平面平行的判定方法: ⑴定义法; ⑵判定定理.

如果平面外的一条直线和平面内 的一条直线平行,那么这条直线和这 个平面平行.

思考 思考:
(1)如果一条

直线和一个平面平行,那么这条

直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
a a

b

b α

α

平行

(2)什么条件下,平面?内的直线与直线a平 行呢?
若“共面”必平行,换 句话说,若过直线 的某一 a 平面与平面?相交,则直线 就和这条交线平行 a .

异面

已知 : a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b 求证:a // b

证明: ?? ? ? ? b,? b ? ? 又 ? a // ? ? a与b无公共点 又? a ? ? , b ? ? ? a // b

一、直线与平面平行的性质定理:
一条直线和一个平面平行,则过这条直线的 任一平面与这个平面的交线与该直线平行。 符号表示: a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b
该定理作用: “线面平行?线线平行” 这是找平行线的重要依据.

a // b
β a

关键:寻找平面与平面的交线。

α

b

例题示范 例1:已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面。 a b 第一步:将原题改写成数学 符号语言 如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α. 第二步:分析:怎样进行平 行的转化?→如何作辅助平 面? 第三步:书写证明过程
?

练习
1.已知直线AB平行于平面α ,经过AB的两个平面和平面α相交

于直线a,b. 求证:a ∥ b. A
B

β

A

B

α

a

b

α

C

D

2.如图,已知AB ∥平面α ,AC ∥ BD,且AC、BD与α分别相交 于点C,D. 求证:AC=BD. 证明:∵AC ∥ BD ∴AC与BD确定一个平面β ,与平面α相交于CD. 又∵AB ∥平面α ,∴AB ∥ CD 又由AC ∥ BD,得 ABDC是平行四边形. ∴AC=BD

例3、 如图所示的一块木料中,棱BC//平面A'B'C'D', (1) 要经过面A'B'C'D'内的一点P和棱BC将木料锯开, 应该怎样画线? (2) 所画的线和平面ABCD是什么位置关系?
分析 :1 ? ? BC ? 面BCC'B' ? ? B'C'//BC A' 面BCC'B' ? 面A'B'C'D'=B'C'? ? 2 设过点P和BC的面PBC BC // 面A'B'C'D'
D' C' P D

C B' B

与面A'B'C'D'的交线为EF. ? ? BC ? 面PBC ? ? EF//B'C' 面PBC ? 面A'B'C'D'=EF? ? BC // 面A'B'C'D'
A

例 如图所示的一块木料中,棱BC//平面A'B'C'D', (1) 要经过面A'B'C'D'内的一点P和棱BC将木料锯开, 应该怎样画线? (2) 所画的线和平面ABCD是什么位置关系?
解:(1) 在平面A'C'内,过点P作直线EF,使EF ∥ B'C',并分别 交棱A'B',C'D'于点E,F. 连接BE,CF. D' 则EF,BE,CF就是应画的线.
(2)因为棱BC平行于平面A'C' , 平面BC'与平面A'C'交于B'C', A' 所以,BC ∥ B'C'. 由(1)知,EF ∥ B'C' , 所以EF ∥ BC,因此EF ∥ BC, A EF不在平面AC,BC在平面AC上, 从而EF ∥平面AC.BE,CF显然都 与面AC相交.
F

C' C

P D
E

B' B

练习.ABCD是平行四边形,点P是平面
ABCD外一点,M是PC的中点,在DM 上取一点G,过G和AP作平面交平面 BDM于GH. 求证:AP//GH 提示:连结AC 交BD于O,连 结OM
A G D H O B C P M

1. 判断下列命题是否正确?

(1)若直线l∥平面α,则l与平面α内的 (√) 任意直线都不相交. (2) 设a、b为异面直线,过直线a且与 直线b平行的平面有且只有一个.
b

(√)

a

课堂练习

2、选择题:
(1)直线a//平面α,平面α内有n条互相平行的 直线,那么这n条直线和直线a( C ) (A)全平行 (B)全异面 (C)全平行或全异面 (D)不全平行或不全异面
(2)直线a//平面α,平面α内有n条交于一点的 直线,那么这n条直线和直线a 平行的 ( B ) (A)至少有一条 (B)至多有一条 (C)有且只有一条 (D)不可能有

课堂小结:
1.直线与平面平行的性质定理 a∥b. a b

性质定理的运用.
⑴判定定理. 线线平行 ⑵性质定理. 线面平行 线面平行 线线平行

2.判定定理与性质定理展示的数学思想方法:

3.要注意判定定理与性质定理的综合运用


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