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2013福建高考数学各个课题汇编总结(二)


目录: 1.概率与统计??????1 2.空间几何体??????109 3.曲线与方程??????175

【3 年高考 2 年模拟】第十章

概率与统计第一部分

三年高考荟萃 2012 年高考数学(1)统计
一、选择题 1 . (2012 山东理)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为

此将他们随机编 号为 1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人 中,编号落入区间 ?1, 450? 的人做问卷 A ,编号落入区间 ? 451,750? 的人做问卷 B ,其余 的人做问卷 C .则抽到的人中,做问卷 B 的人数为 ( ) A.7 B.9 C.10 D.15 2 . (2012 四川文) 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况, 对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N ,其中 甲社区有驾驶员 96 人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 ( ) A.101 B.808 C.1212 D.2012 3 . (2012 陕西理)从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计, 统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分 别为 m甲 , m乙 ,则 ( A. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 B. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 C. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 D. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 )

1

4 . (2012 陕西文)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图 所示),则改样本的中位数、众数、极差分别是





A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 D.45,47,53 5 . (2012 山东文) 在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88. 若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应 相同的是 ( ) A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 6 . (2012 江西文)小波一星期的总开支分布图如图 1 所示,一星期的食品开支如图 2 所示, 则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为

( A.30% B.10% C.3% 7 . (2012 湖北文)容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表 分 组 频 数 D.不能确定



[10, 20)

[20,30)

[30, 40)

[40,50)

[50,60)

[60,70)

2

3

4

5

4 (

2 )

则样本数据落在区间 [10, 40) 的频率为 A. 0.35 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.65

8 . (2012 江西理)样本(x1,x2,xn)的平均数为 x,样本(y1,y2,,yn)的平均数为 y( x ? y) .若样 本(x1,x2,xn,y1,y2,,yn)的平均数 z ? ax ? (1 ? a) y ,其中 0<α <

1 ,则 n,m 的大小关系为 2
( )

A.n<m B.n>m C.n=m D.不能确定 9 . (2012 安徽理)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则 A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数





2

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 二、填空题 10 . (2012 浙江文)某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该年级全体 学生中抽取一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为____________. 11 . (2012 山东文)右图是根据部分城市某年 6 月份的平均气 温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气 温 的 范 围 是 [20.5,26.5], 样 本 数 据 的 分 组 为
[20.5, 21.5) , [21.5, 22.5) , [22.5, 23.5) , [23.5, 24.5) , [24.5, 25.5) , [25.5, 26.5] .已知样本中平均气温低于 22.5℃的

城市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个 数为____. 12 . (2012 湖南文)图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运

0 8 9
动员在这五场比赛中得分的方差为_________. 1 0

3 5

图2
(注:方差

s2 ?

1 ?( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2? , 其 中 x 为 ? n?

x1,x2,,xn 的平均数)[来 13 . (2012 湖北文)一支田径运动队有男运动员 56 人,女运动员 42 人.现 用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有 8 人,则抽取的女 运动员有______人. 14. (2012 广东文)(统计)由正整数组成的一组数据 x1 、 x 2 、 x3 、 x 4 ,其平 均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这组数据为_________.(从小 到大排列) 15. (2012 福建文)一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人. 按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为 28 的 样本,那么应抽取女运动员人数是_______. 16 . (2012 天津理)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所.现采用分 层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调査,应从小学中抽取 _______所学校,中学中抽取_____所学校. 17 . (2012 江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法 从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取____名学生.

3

参考答案 一、选择题 1. 【解析】从 960 中用系统抽样抽取 32 人,则每 30 人抽取一人,因为第一组号码为 9,则 第 二 组 为 39, 公 差 为 30. 所 以 通 项 为 an ? 9 ? 30(n ? 1) ? 30n ? 21 , 由

451 ? 30 n ? 21 ? 750 , 即 15

22 21 ? n ? 25 , 所 以 n ? 16,17,?25 , 共 有 30 30

25 ? 16 ? 1 ? 10 人,选 C
2. [答案]B [解析]N= 96 ? 21 ?

96 96 96 ? 25 ? ? 43 ? ? 808 12 12 12

[点评]解决分层抽样问题,关键是求出抽样比,此类问题难点要注意是否需要剔除个体. 3. 解析:直接根据茎叶图判断,选 B 4. A 解析:考查统计中“中位数、众数、极差”有关概念,中位数是指将统计总体当中的 各个 变 量值 按 大小 顺 序 排列 起 来 ,形成 一 个数 列 ,处 于 变量 数列 中 间位 置 的变量 值就称为中位数.当变量值的项数 N 为奇数时,处于中间位置的变量值即为中位数; 当 N 为偶数时,中位数则为处于中间位置的 2 个变量值的平均数.众数是一组数据 中出现次数最多的数值,叫众数,有时众数在一组数中有好几个.简单的说,就是一组数 据中占比例最多的那个数.极差是指总体各单位的标志值中,最大标志值与 最小标 志值之差.中位数和众数不同,中位数不一定在这组数据中.而众数必定在该组数 据. 5. 解析:设 A 样本数据的数据为 x i ,根据题意可知 B 样本数据的数据为 xi ? 2 ,则依据统计 知识可知 A,B 两样本中的众数、 平均数和中位数都相差 2,唯有方差相同,即标准差相同. 答案应选 D. 6. 【答案】C 【解析】本题是一个读图题,图形看懂结果很容易计算.鸡蛋开占食品开支

30 ? 10% , 小 波 一 星 期 的 鸡 蛋 开 支 占 总 开 支 的 百 分 之 化 为 30 ? 40 ? 100 ? 80 ? 50 3 0 %? 1 0 % 3 % ? .
7. B【解析】由频率分布表可知:样本数据落在区间 [10, 40) 内的頻数为 2+3+4=9,样本总数 为 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? 2 ? 20 ,故样本数据落在区间 [10, 40) 内频率为

9 ? 0.45 .故选 B. 20

【点评】 本题考查频率分布表的应用,频率的计算.对于頻数、 频率等统计问题只需要弄 清楚样本总数与各区间上样本的个数即可,用区间上样本的个数除以样本总数就可得到 相应区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查. 8. A 【解析】本题考查统计中的平均数,作差法比较大小以及整体思想. 由统计学知识,可得 x1 ? x2 ??? xn ? nx, y1 ? y2 ? ?? ym ? my ,

x1 ? x2 ? ? ? xn ? y1 ? y2 ? ? ? ym ? ? m ? n ? z ? ? m ? n ? ?? x ? ?1 ? ? ? y ? . ? ?

? ? m ? n ? ? x ? ? m ? n ??1 ? ? ? y ,
4

所以 nx ? my ? ? m ? n ? ? x ? ? m ? n ??1 ? ? ? y . 所以 ?

?n ? ? m ? n ? ? , ? ?m ? ? m ? n ??1 ? ? ? . ?

故 n ? m ? (m ? n)[? ? (1 ? ? )] ? (m ? n)(2? ? 1) . 因为 0 ? ? ?

1 ,所以 2? ? 1 ? 0 .所以 n ? m ? 0 .即 n ? m . 2

【点评】要牢固掌握统计学中一些基本特征:如平均数,中位数,方差,标准差等的求法. 体现考纲中要求会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.来年需要注意频率 分布直方图中平均值,标准差等的求解等. 9. 【解析】选 C

1 1 x甲 ? (4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8) ? 6, x乙 ? (5 ? 3 ? 6 ? 9) ? 6 5 5 1 2 1 2 2 2 甲的成绩的方差为 (2 ? 2 ? 1 ? 2) ? 2 ,乙的成绩的方差为 (1 ? 3 ? 3 ? 1) ? 2.4 5 5

二、填空题 10. 【答案】160 【命题意图】 本题考查了随机抽样中的分层抽样,也是随机抽样中惯考的形式,利用总体 重的个体数比,确定样本中某一个体的样本容量.

4 ? 160 . 7 11. 答案:9 解析:根据题意可知低于 22.5℃的城市的频率为 0.10 ? 0.12 ? 0.22 ,不低于 25.5℃ 的 城 市 的 频 率 为 0.18 , 则 样 本 中 平 均 气 温 不 低 于 25.5℃ 的 城 市 个 数 为 0.18 ? 11 ? 9 . 0.22
【解析】总体中男生与女生的比例为 4 : 3 ,样本中男生人数为 280 ? 另解:最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为 11÷0.22=50,最 右面矩形面积为 0.18×1=0.18,50×0.18=9. 12. 【答案】6.8 【解析】 x ?

1 (8 ? 9 ? 10 ? 13 ? 15) ? 11 , 5

1 s 2 ? ?(8 ? 11) 2 ? (9 ? 11) 2 ? (10 ? 11) 2 ? (13 ? 11) 2 ? (15 ? 11) 2 ? ? 6.8 . ? 5?
【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识,考查分析问题、解决问题的能力. 13. 6【解析】设抽取的女运动员的人数为 a ,则根据分层抽样的特性,有

a 8 ? ,解得 42 56

a ? 6 .故抽取的女运动员为 6 人.
【点评】本题考查分层抽样的应用.本题实际是承接 2012 奥运会为题材,充分展示数学 知识在生活中的应用.分层抽样时,各样本抽取的比例应该是一样的,即为抽样比. 来年 需注意系统抽样的考查或分层抽样在解答题中作为渗透考查. 14.解析:1、1、3、3.由

x1 ? x2 ? x3 ? x4 x ?x ? 2 , 2 3 ? 2 ,可得 x1 ? x4 ? x2 ? x3 ? 4 ,因为 x1 、 4 2

x 2 、 x3 、 x 4 都是正整数,所以只有 1、3 组合或 2、2 组合.若其中有一个是 2、2 组合,
5

不妨设 x1 ? x4 ? 2 ,则由 s ?

1? 2 2 2 2 ? x1 ? 2 ? ? ? x2 ? 2 ? ? ? x3 ? 2 ? ? ? x4 ? 2 ? ? ? 1 可得 ? 4?

? x2 ? 2? ? ? x3 ? 2?
2

2

? 4 ,此时 x 2 、 x3 无解,所以 x1 与 x 4 , x 2 与 x3 都是 1、3 组合,因此这

组数据为 1、1、3、3. 15. 【答案】12 【解析】

98 ? 56 × 28=12 98

【考点定位】此题考查分层抽样的概念和具体做法,明确分层抽样的本质是关键 16. 【答案】18,9 【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为 250 所, 所以应从小学中抽取

150 75 ? 30=18 ,中学中抽取 ? 30=9 . 250 250

17. 【答案】15. 【考点】分层抽样. 【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样.将总体划分为若干个同质层,再在各 层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起 , 分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性 . 因此,由 50 ? 三、解答题 18.解析:(Ⅰ)由 ? 2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04? ?10 ? 1 ,解得 a ? 0.005 . (Ⅱ) 0.05 ? 55 ? 0.4 ? 65 ? 0.3 ? 75 ? 0.2 ? 85 ? 0.05 ? 95 ? 73 . (Ⅲ)这 100 位学生语文成绩在 ?50,60 ? 、?60,70 ? 、?70,80 ? 、?80,90 ? 的分别有 5 人、40 人、30 人、20 人,按照表中所给比例,数学成绩在 ?50,60 ? 、?60,70 ? 、?70,80 ? 、?80,90 ? 的分别有 5 人、20 人、40 人、25 人,共 90 人,所以数学成绩在 ?50,90 ? 之外的人数有 10 人.

3 =15 知应从高二年级抽取 15 名学生. 3?3? 4

2012 年高考数学(2)概率 一、选择题 1 . (2012 辽宁文)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20cm 的概率为 : A. ( )
2

C. 现作一矩形,邻边长

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5

2 . (2012 安徽文)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3

6

个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ( A.



1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

23. (2012 北京文理)设不等式组 ?

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个 ?0 ? y ? 2
( )

点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 A.

? 4

B.

? ?2
2

C.

? 6

D.

4 ?? 4

4 . (2012 辽宁理)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 2 别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm 的概率为 A.

C. 现作一矩形,领边长分 ( ) D.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

4 5

5 .2012 湖北理) ( 如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. 在 扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( A. 1 ? C. )

2 π

B.

1 1 ? 2 π

2 1 D. π π 二、填空题 6 . (2012 浙江文)从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机
(等可能)取两点,则该两点间的距离为

2 的概率是 2

___________. 7 . (2012 江苏)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是____. 三、解答题 18. (2012 辽宁文)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随 机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众日均 收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中

7

有 10 名女性. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关? 非体育迷 体育迷 合 计 男 女 合计 (Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级 体育迷”中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的 概率.

19. (2012 北京文)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、 可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放 情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):
“厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别
2 为 a, b, c ,其中 a ? 0 , a ? b ? c ? 600 .当数据 a, b, c 的方差 S 最大时,写出 a, b, c 的

值(结论不要求证明),并求此时 S 的值. (注:方差 s 2 ? [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,? xn 的平均数)

2

1 n

8

参考答案 一、选择题 1. 【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm,那么矩形的面积为

x(12 ? x) cm2,
由 x(12 ? x) ? 20 ,解得 2 ? x ? 10 .又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm 的概率为
2

2 ,故选 C 3
【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问 题的能力,属于中档题. 2. 【解析】选 B 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球记为 a1 , b1 , b2 , c1 , c2 , c3

从袋中任取两球共有

a1 , b1 ; a1 , b2 ; a1 , c1; a1 , c2 ; a1 , c3 ; b1 , b2 ; b1 , c1; b1 , c2 ; b1 , c3 b2 , c1; b2 , c2 ; b2 , c3 ; c1 , c2 ; c1 , c3 ; c2 , c3
6 2 ? 15 5

15 种;

满足两球颜色为一白一黑有 6 种,概率等于 3. 【答案】D 【解析】题目中 ?

?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 2 ?

表示的区域表示正方形区域,而动点 D 可以存在的位置为正

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此 p ? ,故选 D ? 2? 2 4
【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公 式、概率. 4、 【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm,那么矩形的面积为

x(12 ? x) cm2,
2 由 x(12 ? x) ? 32 ,解得 x ? 4或x ? 8 .又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm 的概率



2 ,故选 C 3

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问 题的能力,属于中档题. 5、 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法. 解析:令 OA ? 1 ,扇形 OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为 S1 ,围成 OC 为 S2 , 作对称轴 OD,则过 C 点. S2 即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面

9

积, S2 ? 面积和 选 A. 二、填空题

S 1 ?1? 1 1 1 ? ?2 .在扇形 OAD 中 1 为扇形面积减去三角形 OAC ?? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2? 2 2 2 8
2

S 2 S1 1 ? ?2 1 1 S ? ?2 2 ? ? ?1? ? ? 2 ? , , S1 ? S 2 ? ,扇形 OAB 面积 S ? ? , 2 2 8 4 4 8 2 16

6. 【答案】

2 5

【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题. 【解析】基本事件的总数为:5 个点中任取 2 个共有 10 种可能,若使两点间的距离为

2 ,则为对角线一半,选择点必含中心,4 个顶点中任取一个点,共有 4 种可能,概 2
率为.P= 7、 【答案】

4 2 = 10 5

3 . 5

【考点】等比数列,概率. 【解析】∵以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列的 10 个数为 1,-3,9,-27,···其中有 5 个负数,1 个正数 1 计 6 个数小于 8, ∴从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于 8 的概率是

6 3 = . 10 5

三、解答题 19. 【答案与解析】 【解析】 (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人,从而 2 ? 2 列 联表如下:
非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 0 合 计 45 55 10

将 2 ? 2 列联表中的数据代入公式计算,得

??3 分
2

n ? n11n22 -n12 n21 ? 100 ? ? 30 ?10-45 ?15 ? 100 = = ? 3.030 n1+ n2+ n+1n+2 75 ? 25 ? 45 ? 55 33 因为 3.030<3.841 ,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.
2

?2=

??6 分

(Ⅱ)由频率分布直方图知, “超级体育迷”为 5 人,从而一切可能的结果所组成的基本事件 空间为

? ={{ a1 , a2 },{ a1 , a3 },{ a1 , b1 },{ a1 , b2 },{ a2 , a3 },{ a2 , b1 },{ a2 , b2 },
{ a3 , b1 },{ a3 , b2 },{ b1 , b2 }}.
10

其中 ai 表示男性, i =1,2,3, bj 表示女性, j =1,2.

? 由 10 个基本事件组成,而且这些基本事件出现是等可能的,
用 A 表示“任选 3 人中,至少有 2 人是女性”这一事件,则 A={{ a1 , b1 },{ a1 , b2 },{ a2 , b1 },{ a2 , b2 },{ a3 , b1 },{ a3 , b2 },{ b1 , b2 }}, 事件 A 由 7 个基本事件组成,∴ P ( A) ?

7 . 10

【点评】 准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。 求概率时列举基本事件一定要做 到不重不漏,此处极容易出错。 20. 【考点定位】此题的难度集中在第三问,基他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不 要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻. (1)厨余垃圾投放正确的概率约为

400 2 “ 厨余垃圾” 箱里厨余垃圾量 = = 400+100+100 3 厨余垃圾总量
(2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与 “ 其 他 垃 圾 ” 箱 里 其 他 垃 圾 量 的 总 和 除 以 生 活 垃 圾 总 量 , 即 P( A ), 约 为

400 240 60 + + =0.7 .所以 P(A)约为 1-0.7=0,3. 1000
(3)当 a ? 600 , b ? c ? 0 时, S 取得最大值.因为 x ?
2

1 (a ? b ? c ) ? 200 , 3

所以 S 2 ? [(600 ? 200) ? (0 ? 200) ? (0 ? 200) ] ? 8000 .
2 2 2

1 3

2011 年高考题统计(一) 一、选择题 1. (四川理 1)有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是

1 A. 6
【答案】B

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

【解析】从 31.5 到 43.5 共有 22,所以

P?

22 1 ? 66 3 。
11

2.(陕西理 9)设(

x1 , y1 )( x2 , y2 ) x y , ,?, n , n )是变量 x 和 y 的 n 个样本点, (

直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图) ,以 下结论中正确的是 A. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 B. x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 D.直线 l 过点 ( x, y ) 【答案】D 3.(山东理 7)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9. 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 4,

?

?

?

?

为 A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 【答案】B 4.(江西理 6)变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)(11.3,2)(11.8,3)(12.5, , , , 4)(13,5) , ;变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5)(11.3,4)(11.8,3)(12.5, , , , 2)(13,1) 1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, , , 系数,则 A.

r

r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关 r2 ? r1

r2 ? r1 ? 0

B.

0 ? r2 ? r1

C.

r2 ? 0 ? r1

D.

【答案】C 5.(湖南理 4)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联 表: 男 爱好 不爱好 总计
2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

K2 ?


n ? ad ? bc ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
0.050 3.841

K2 ?
算得,

110 ? ? 40 ? 30 ? 20 ? 20 ? ? 7.8 60 ? 50 ? 60 ? 50 .
2

P( K 2 ? k )
k

0.010 6.635

0.001 10.828

12

参照附表,得到的正确结论是 A.再犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.再犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】C 二、填空题 6.(天津理 9)一支田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人,若用分层抽样的方法从该队 的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本,则抽取男运动员的人数为___________ 【答案】12 7.(辽宁理 14)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位: 万元) ,调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的

? 回归直线方程: y ? 0.254x ? 0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮
食支出平均增加____________万元. 【答案】0.254 8.(江苏 6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该组数据的方 差 s ? ___
2

【答案】3.2 9.(广东理 13)某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的 身高为_____cm. 【答案】185 三、解答题 10.(北京理 17) 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,无法确 认,在图中以 X 表示。

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望。

s2 ?
(注:方差

1? x ?x ? 1 n?

?

? ??x
2

2

?x

?

2

2 ? ? ? xn ? x ? ? ,其中 x 为 x1 , x2 ,?? xn ?

?

?

的平均数) 解(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

13

x?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4

方差为

1 35 35 35 35 11 s 2 ? [(8 ? ) 2 ? (8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 4 16
(Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树 棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的结 果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21 事件“Y=17”等价于“甲 组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的结果,因此 P

2 1 ? . (Y=17)= 16 8 P (Y ? 18) ?
同理可得

1 1 1 1 ; P (Y ? 19) ? ; P(Y ? 20) ? ; P(Y ? 21) ? . 4 4 4 8

所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17 18 19 20 21

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

EY=17×P ( Y=17 ) +18×P ( Y=18 ) +19×P ( Y=19 ) +20×P ( Y=20 ) +21×P ( Y=21 )

1 1 1 1 1 =17× 8 +18× 4 +19× 4 +20× 4 +21× 8
=19 11.(辽宁理 19)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种 家和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中, 随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和数学 期望; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上 的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表: 品种甲 品种乙 403 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差; 根据试验结果, 你认为应该 种植哪一品种? 1 2 2 2 2 x1 , x2 ,? ? ?, xn 的的样本方差 s ? n [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ? ? ( xn ? x) ] , 附: 样本数据 其中 x 为 样本平均数. 解: (I)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且

14

P ( X ? 0) ? P ( X ? 1) ?

1 1 ? , 4 C8 70
1 3 C4 C4 8 ? , 4 35 C8

2 2 C4 C4 18 P ( X ? 2) ? ? , 35 C84

P ( X ? 3) ? P ( X ? 4) ?

3 1 C4 C4 8 ? , 4 35 C8

1 1 ? . 4 C8 70

即 X 的分布列为

??????4 分 X 的数学期望为

E( X ) ? 0 ?

1 8 18 8 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2. 70 35 35 35 70 ??????6 分

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x甲 ? (403 ? 397 ? 390 ? 404 ? 388 ? 400 ? 412 ? 406) ? 400, 8 1 S甲 ? (32 ? (?3) 2 ? (?10) 2 ? 42 ? (?12) 2 ? 02 ? 122 ? 62 ) ? 57.25. 8
??????8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 ? (419 ? 403 ? 412 ? 418 ? 408 ? 423 ? 400 ? 413) ? 412, 8 1 2 S乙 ? (7 2 ? (?9) 2 ? 02 ? 62 ? (?4) 2 ? 112 ? (?12) 2 ? 12 ) ? 56. 8
??????10 分 由以上结果可以看出, 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数, 且两品种的样本方差 差异不大,故应该选择种植品种乙.

2011 年高考题 (二)概率 一、选择题 1.(浙江理 9)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机

15

的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率

1 A. 5

2 B. 5

3 C. 5

4 D5

【答案】B 2.(四川理 1)有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是

1 A. 6
【答案】B

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

【解析】从 31.5 到 43.5 共有 22,所以

P?

22 1 ? 66 3 。

3.(陕西理 10)甲乙两人一起去游“2011 西安世园会” ,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览, 每个景点参观 1 小时, 则最后一小时他们同在一个景点的概率 是

1 A. 36

1 B. 9

5 C. 36

1 D. 6

【答案】D 4.(全国新课标理 4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学 参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

1 (A) 3

1 (B) 2

2 (C) 3

3 (D) 4

【答案】A 5. (辽宁理 5) 1, 3, 5 中任取 2 各不同的数, 从 2, 4, 事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”, 事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B︱A)=

1 (A) 8
【答案】B

1 (B) 4

2 (C) 5

1 (D) 2
N ? 2,a 2 ?

6.(湖北理 5)已知随机变量 ? 服从正态分布 < ? <2)= A.0.6 【答案】C B.0.4

,且P( ? <4)= 0.8 ,则P(0

C.0.3

D.0.2

7.(湖北理 7)如图,用 K、

A1 、 A2 三类不同的元件连接成一个系统。当 K 正常工作且 A1 、

A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知 K、 A1 、 A2 正常工作的概率依次为 0.9、
16

0.8、0.8,则系统正常工作的概率为

A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 【答案】B 8.(广东理 6)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队 需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为

1 A. 2

3 B. 5

2 C. 3

3 D. 4

【答案】D 9.(福建理 4)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个 点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于

1 A. 4 1 C. 2
【答案】C 二、填空题

1 B. 3 2 D. 3

10.(湖北理 12)在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期。从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至 少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 。 (结果用最简分数表示)

28 【答案】 145
11.(福建理 13)盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个。 若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_______。

3 【答案】 5
12.(浙江理 15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,

2 假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 3 ,得到乙丙公司面试的概率为 p ,且三个公司是
否让其面试是相互独立的。记 X 为该毕业生得到面试得公司个数。若

P( X ? 0) ?

1 12 ,则随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ?

17

5 【答案】 3
13.(湖南理 15)如图 4,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形。将一颗豆子 随机地扔到该图内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” B 表示事 , 件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ,则 (1)P(A)= _____________; (2)P(B|A)= .

2
【答案】 (1) ?

, (2)

1 4

14.(上海理 9)马老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布律如下表 请小牛同学计算 ? 的数学期望,尽管“! ”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊,但 能肯定这两个“?”处的数值相同。据此,小牛给出了正确答案

E? ?



【答案】2 1 2 x 3 15.(重庆理 13)将一枚均匀的硬币投掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概 ! ? ? P(ε=x) 率__________

11 【答案】 32
16. ( 上 海 理 12 ) 随 机抽 取 9 个 同 学 中 , 至 少有 2 个 同 学 在 同 一 月 出生 的 概 率 是 (默认每月天数相同,结果精确到 0.001 ) 。 【答案】 0.985 17.(江西理 12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,

1 1 若此点到圆心的距离大于 2 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 4 ,则去打篮球;
否则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为

13 【答案】 16
18.(江苏 5)5.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的 两倍的概率为______

1 【答案】 3
三、解答题 19.(湖南理 18)某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据:

18

日销售量(件) 频数

0 1

1 5

2 9

3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变) ,设某天开始营业时有该商品 3 件, 当天营业结束后检查存货,若发现存货少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将 频率视为概率。 (Ⅰ)求当天商品不进货的概率; (Ⅱ)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列和数学期型。 解(I) P ( “当天商品不进货” ? P ( ) “当天商品销售量为 0 件” ? P ( ) “当天商品销售

?
量为 1 件” )

1 5 3 ? ? . 20 20 10

(Ⅱ)由题意知, X 的可能取值为 2,3.

P( X ? 2) ? P ( “当天商品销售量为 1 件” )

?

5 1 ? ; 20 4

P( X ? 3) ? P “当天商品销售量为 0 件” ? P( ( ) “当天商品销售量为 2 件” ? P( ) “当

?
天商品销售量为 3 件” ) 故 X 的分布列为

1 9 5 3 ? ? ? . 20 20 20 4

X

2

3

P

1 4

3 4

X 的数学期望为

EX ? 2 ?

1 3 11 ? 3? ? . 4 4 4

20.(安徽理 20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人 进去,且每个人只派一次,工作时间不超过 10 分钟,如果有一个人 10 分钟内不能完成任务 则撤出,再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率 分别

p? , p? , p? ,假设 p? , p? , p? 互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

(Ⅰ)如果按甲最先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人 被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化? (Ⅱ) 若按某指定顺序派人, 这三个人各自能完成任务的概率依次为 是

q? , q? , q? , q? , q? , q? 其中

p? , p? , p? 的一个排列,求所需派出人员数目 X 的分布列和均值(数字期望) EX ;
? ? p? ? p? ? p? ,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数

(Ⅲ)假定

目的均值(数字期望)达到最小。
19

解: 本题考查相互独立事件的概率计算, 考查离散型随机变量及其分布列、 均值等基本知识, 考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、 合情推理与演绎推理, 分类读者论论 思想,应用意识与创新意识. 解: (I)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是

(1 ? p1 )(1 ? p2 )(1 ? p3 ) ,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,
并等于

1 ? (1 ? p1 )(1 ? p2 )(1 ? p3 ) ? p1 ? p2 ? p3 ? p1 p2 ? p2 p3 ? p3 p1 ? p1 p2 p3 .
(II)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 列为 X P 1 2 3

q1 , q2 , q3 时,随机变量 X 的分布

q1

(1 ? q1 )q2

(1 ? q1 )(1 ? q2 )

所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX 是

EX ? q1 ? 2(1 ? q1 )q2 ? 3(1 ? q1 )(1 ? q2 ) ? 3 ? 2q1 ? q2 ? q1q2 .
(III) (方法一)由(II)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,

EX ? 3 ? 2 p1 ? p2 ? p1 p2 .
根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明:对于

p1 , p2 , p3 的任意排列 q1 , q2 , q3 ,都有

3 ? 2q1 ? q2 ? q1q2 ? 3 ? 2 p1 ? p2 ? p1 p2 , ????????(*)
事实上, ? ? (3 ? 2q1 ? q2 ? q1q2 ) ? (3 ? 2 p1 ? p2 ? p1 p2 )

? 2( p1 ? q1 ) ? ( p 2 ? q 2 ) ? p1 p 2 ? q1q 2 ? 2( p1 ? q1 ) ? ( p 2 ? q 2 ) ? ( p1 ? q1 ) p 2 ? q1 ( p 2 ? q 2 ) ? (2 ? p 2 )( p1 ? q1 ) ? (1 ? q1 )(( p 2 ? q 2 ) ? (1 ? q1 )[( p1 ? p 2 ) ? (q1 ? q 2 )] ? 0.
即(*)成立. (方法二) (i)可将(II)中所求的 EX 改写为 3 ? (q1 ? q2 ) ? q1q2 ? q1 , 若交换前两人的派 出顺序,则变为 3 ? (q1 ? q2 ) ? q1q2 ? q1 , .由此可见,当 q 2 ? q1 时,交换前两人的派出顺 序可减小均值. (ii)也可将(II)中所求的 EX 改写为 3 ? 2q1 ? q2 ? q1q2 ,或交换后两人的派出顺序,

20

则变为

3 ? 2q1 ? q3 ? q1q3 .由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当 q3 ? q2 时,交换 (q1 , q2 , q3 ) ? ( p1 , p2 , p3 ) 时,EX 达到最小. 即完成任务概

后两人的派出顺序也可减小均值. 序综合(i) (ii)可知,当

率大的人优先派出,可减小所需派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的. 21.(北京理 17)以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个 数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示。

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望。

s2 ?
(注:方差

1? x ?x ? 1 n?

?

? ??x
2

2

?x

?

2

2 ? ? ? xn ? x ? ? ,其中 x 为 x1 , x2 ,?? xn ?

?

?

的平均数) 解: (1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

x?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4

方差为

1 35 35 35 35 11 s 2 ? [(8 ? ) 2 ? (8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 4 16
(Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树 棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的结 果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21 事件“Y=17”等价于“甲 组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的结果,因此 P

2 1 ? . 16 8 (Y=17)= P (Y ? 18) ?
同理可得

1 1 1 1 ; P (Y ? 19) ? ; P(Y ? 20) ? ; P(Y ? 21) ? . 4 4 4 8

所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17 18 19 20 21

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

EY=17×P ( Y=17 ) +18×P ( Y=18 ) +19×P ( Y=19 ) +20×P ( Y=20 ) +21×P ( Y=21 )
21

1 1 1 1 1 =17× 8 +18× 4 +19× 4 +20× 4 +21× 8
=19 22.(福建理 19)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,??,8, 其中 X≥5 为标准 A,X≥为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/ 件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合 相应的执行标准 (I)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:

x1
P

5 0.4

6 a

7 b

8 0.1

且 X1 的数字期望 EX1=6,求 a,b 的值; (II)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系 数组成一个样本,数据如下: 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (III)在(I)(II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具 、 可购买性?说明理由.

产品的等级系数的数学 期望 产品的零售价 注: (1)产品的“性价比”= ;
(2) “性价比”大的产品更具可购买性. 解:本小题主要考查概率、 统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识, 考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想,满分 13 分。 解: (I)因为

EX1 ? 6, 所以5 ? 0.4 ? 6a ? 7b ? 8 ? 0.1 ? 6,即6a ? 7b ? 3.2.

又由 X1 的概率分布列得 0.4 ? a ? b ? 0.1 ? 1,即a ? b ? 0.5.

?6a ? 7b ? 3.2, ?a ? 0.3, 解得 ? ? a ? b ? 0.5. ?b ? 0.2. 由?
(II)由已知得,样本的频率分布表如下: 3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1

X2
f

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布列如 下:

X2
P

3 0.3

4 0.2

5 0.2
22

6 0.1

7 0.1

8 0.1

所以

EX 2 ? 3P( X 2 ? 3) ? 4P( X 2 ? 4) ? 5P( X 2 ? 5) ? 6P( X 2 ? 6) ? 7 P( X 2 ? 7) ? 8P( X 2 ? 8)
? 3 ? 0.3 ? 4 ? 0.2 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.1 ? 7 ? 0.1 ? 8 ? 0.1 ? 4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (III)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:

6 ? 1. 因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为 6 4.8 ? 1.2. 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为 4
据此,乙厂的产品更具可购买性。 23.(广东理 17)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的 产品中分别抽出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克) .下表是 乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,且 y≥75 时,该产品为优等品。用上述样本数 据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分 布列极其均值(即数学期望) 。

98 ? 7,5 ? 7 ? 35 解: (1) 14 ,即乙厂生产的产品数量为 35 件。 2 , (2)易见只有编号为 2,5 的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的优等品 5 35 ?
故乙厂生产有大约

2 ? 14 5 (件)优等品,

(3) ? 的取值为 0,1,2。
1 1 C32 C3 ? C2 3 C32 3 1 P(? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? 2 ? 2 5 C5 10 C5 C5 10

所以 ? 的分布列为

23

?
P

0

1

2

3 10

6 10

1 10

?的均值为E? ? 0 ?


3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? ? . 10 5 10 5

24.(辽宁理 19)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种 家和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中, 随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和数学 期望; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上 的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表: 品种甲 品种乙 403 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差; 根据试验结果, 你认为应该 种植哪一品种? 1 2 2 2 2 x1 , x2 ,? ? ?, xn 的的样本方差 s ? n [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ? ? ( xn ? x) ] , 附: 样本数据 其中 x 为 样本平均数. 解: (I)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且

P ( X ? 0) ?

1 1 ? , 4 C8 70

1 3 C4 C4 8 P ( X ? 1) ? ? , 4 35 C8

P ( X ? 2) ?

2 2 C4 C4 18 ? , 35 C84

3 1 C4 C4 8 P ( X ? 3) ? ? , 4 35 C8

P ( X ? 4) ?

1 1 ? . 4 C8 70

即 X 的分布列为

??????4 分 X 的数学期望为

24

E( X ) ? 0 ?

1 8 18 8 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2. 70 35 35 35 70 ??????6 分

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x甲 ? (403 ? 397 ? 390 ? 404 ? 388 ? 400 ? 412 ? 406) ? 400, 8 1 S甲 ? (32 ? (?3) 2 ? (?10) 2 ? 42 ? (?12) 2 ? 02 ? 122 ? 62 ) ? 57.25. 8
??????8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 ? (419 ? 403 ? 412 ? 418 ? 408 ? 423 ? 400 ? 413) ? 412, 8 1 2 S乙 ? (7 2 ? (?9) 2 ? 02 ? 62 ? (?4) 2 ? 112 ? (?12) 2 ? 12 ) ? 56. 8
??????10 分 由以上结果可以看出, 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数, 且两品种的样本方差 差异不大,故应该选择种植品种乙. 25.(全国大纲理 18)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种 保险但不购买甲种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。 解:记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买; (I) P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.3, C ? A ? B, ????3 分 ????6 分

P(C ) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.8.

? ? D ? C, P(D) ? 1 ? P(C) ? 1 ? 0.8 ? 0.2, (II)
X ~ B(100, 0.2) ,即 X 服从二项分布,
所以期望 EX ? 100 ? 0.2 ? 20. ????10 分

????12 分

26. (全国新课标理 19) 某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标越大表明质量越好, 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品. 现用两种新配方 (分别称为 A 配方和 B 配方) 做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) 42 [102,106) 22 [106,110] 8

B 配方的频数分布表

25

指标值分组 频数

[90,94) 4

[94,98) 12

[98,102) 42

[102,106) 32

[106,110] 10

(I)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (II)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2,94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件, 其利润记为 X 单位: . X 的分布列及数学期望. 以 ( 元) 求 ( 试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率) . 解

22 ? 8 =0.3 (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 100 ,所以用 A 配方生
产的产品的优质品率的估计值为 0.3.

32 ? 10 ? 0.42 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 100 ,所以用 B 配方生产
的产品的优质品率的估计值为 0.42 (Ⅱ) B 配方生产的 100 件产品中, 用 其质量指标值落入区间 的频率分别为 0.04, ,054,0.42,因此 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为

?90,94? , ?94,102? , ?102,110?

X P

-2 0.04

2 0.54

4 0.42

X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 27.(山东理 18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B, 丙对 C 各一盘,已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结 果相互独立。 (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; (Ⅱ)用 ? 表示红队队员获胜的总盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? . 解: (I)设甲胜 A 的事件为 D, 乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F,

?? ? ?? ? D, E, F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B,丙不胜 C 的事件。 则
因为 P( D) ? 0.6, P( E ) ? 0.5, P( F ) ? 0.5, 由对立事件的概率公式知

?? ? ? ?? P( D) ? 0.4, P( E) ? 0.5, P( F ) ? 0.5,
红队至少两人获胜的事件有:
26

?? ? ?? ? DEF , DEF , DEF , DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为

?? ?? ?? P ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.55.
(II)由题意知 ? 可能的取值为 0,1,2,3。 又由(I)知 DEF , DEF , DEF 是两两互斥事件, 且各盘比赛的结果相互独立,

??

?? ??

? ???

??? ??? P(? ? 0) ? P(DEF ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.1, 因此 ??? ? ?? ?? ? ??? P(? ? 1) ? P(DEF ) ? P(DEF ) ? P(DEF )

? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.35
P(? ? 3) ? P( DEF ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.15.
由对立事件的概率公式得

P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 0.4,
所以 ? 的分布列为:

?
P

0 0.1

1 0.35

2 0.4

3 0.15

因此 E? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.35 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.15 ? 1.6. 28.(陕西理 20)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用 的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表: 时间(分钟) 10~20 L1 的频率 L2 的频率 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 (Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (Ⅱ) X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数, 用 针对(Ⅰ) 的选择方案, 求 X 的分布列和数学期望。

27

解(Ⅰ)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站” ,Bi 表示事件“乙选择路 径 Li 时,50 分钟内赶到火车站” ,i=1,2.用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,

? P(A1) >P(A2), ?
P(B2) >P(B1),

? 甲应选择 Li ? 乙应选择 L2.

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,

(Ⅱ) 分别表示针对 A,B (Ⅰ) 的选择方案, 甲、 乙在各自允许的时间内赶到火车站, (Ⅰ) 由 知 P( A) ? 0.6, P( B) ? 0.9 ,又由题意知,A,B 独立,

??? ? ? ? ? ? ? P( X ? 0) ? P( AB) ? P( A)P(B) ? 0.4 ? 0.1 ? 0.04 ? ? ? ? ? ? ? ? P( X ? 1) ? P( AB ? AB) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B)
? 0.4 ? 0.9 ? 0.6 ? 0.1 ? 0.42
P( X ? 2) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? 0.6 ? 0.9 ? 0.54
? X 的分布列为
X P 0 0.04 1 0.42 2 0.54

? EX ? 0 ? 0.04 ? 1? 0.42 ? 2 ? 0.54 ? 1.5.
29.(四川理 18)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车 点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费, 超过两小时的收费标准为 2 元 (不足 1 小时 的部分按 1 小时计算) 。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两

1 1 1 1 , , 小时还车的概率分别为 4 2 ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 2 4 ;两人租
车时间都不会超过四小时。 (Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? ;

解: (1)所付费用相同即为 0, 2, 4 元。设付 0 元为

P? 1

1 1 1 1 1 1 ? ? P2 ? ? ? 4 2 8 ,付 2 元为 2 4 8,

付 4 元为

P3 ?

1 1 1 ? ? 4 4 16
28

则所付费用相同的概率为

P ? P ? P2 ? P3 ? 1

5 16

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可为 0, 2, 4, 6,8

P(? ? 0) ? P(? P(? P(? P(?

1 8 1 1 1 1 5 ? 2) ? ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 ? 4) ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 2 4 16 1 1 1 ? 8) ? ? ? 4 4 16

分布列

?
P

0
1 8

2

4

6
3 16

8
1 16

5 16

5 16

E? ?

5 5 9 1 7 ? ? ? ? 8 4 8 2 2

30.(天津理 16)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球, 乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各 随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . 解:本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相 互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分 13 分. (I) (i)解:设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件

Ai ? (i ? 0,1, 2,3), 则

P( A3 ) ?

1 C32 C2 1 ? 2? . C52 C3 5

(ii)解:设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则

B ? A2 ? A3 ,又

P( A2 ) ?

2 1 1 1 C32 C2 C2C2 C2 1 ? 2? 2 ? 2? , C52 C3 C5 C3 2

29

且 A2,A3 互斥,所以

P( B) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?

1 1 7 ? ? . 2 5 10

(II)解:由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.

7 2 9 ) ? , 10 100 7 21 1 7 P( X ? 1) ? C2 (1 ? ) ? , 10 10 50 7 49 P( X ? 2) ? ( ) 2 ? . 10 100 P( X ? 0) ? (1 ?
所以 X 的分布列是 X P 0 1 2

9 100

21 50

49 100

E( X ) ? 0 ?
X 的数学期望

9 21 49 7 ? 1? ? 2 ? ? . 100 50 100 5

31.(重庆理 17)某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个 片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望 解:这是等可能性事件的概率计算问题. (I) 解法一: 所有可能的申请方式有 34 种, 恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式 种,从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为
2 C4 ? 22 8 ? . 4 27 3

2 C4 ? 22

解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验.

1 P ( A) ? . 3 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则
从而, 由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知, 恰有 2 人申请 A 片区房源的 概率为

2 8 2 1 P4 (2) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? . 3 3 27
(II)ξ 的所有可能值为 1,2,3.又

3 1 ? , 4 27 3 C 2 (C1C 3 ? C 2 C 2 ) 14 C 2 (24 ? 2) 14 P(? ? 2) ? 3 2 4 4 4 2 ? (或P(? ? 2) ? 3 4 ? ) 27 27 3 3 P(? ? 1) ?

30

P(? ? 3) ?

1 2 1 C3 C4 C2 4 C 2 A3 4 ? (或P(? ? 3) ? 4 4 3 ? ). 9 9 34 3

综上知,ξ 有分布列 ξ P 从而有 1 2 3

1 27

14 27

4 9

E? ? 1 ?

1 14 4 65 ? 2? ? 3? ? . 27 27 9 27

2010 年高考题 一、选择题 1. (2010 全国卷 2 理) 将标号为 1, 3, 5, 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中. (6) 2, 4, 6 若 每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识,考察考生分析问题的能力. 【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封

两个有

种方法,共有

种,故选 B.

2.(2010 全国卷 2 文) (9)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中, 若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种 【答案】 B 【解析】B:本题考查了排列组合的知识 ∵先从 3 个信封中选一个放 1,2 有 3 种不同的选法,再从剩下的 4 个数中选两个放一个信 封有
2 2 C4 ? 6 ,余下放入最后一个信封,∴共有 3C4 ? 18

3.(2010 重庆文) (10)某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值 班,每天安排 2 人,每人值班 1 天 . 若 6 位员工中的甲不值 14 日,乙不值 16 日,则不同 的安排方法共有 (A)30 种 (B)36 种 (C)42 种 (D)48 种 解析:法一:所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日,再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排法 即
2 2 1 2 1 1 C6 C4 ? 2 ? C5C4 ? C4C3 =42

法二:分两类 甲、乙同组,则只能排在 15 日,有 甲、乙不同组,有
2 C4 =6 种排法

1 1 2 C4C3 ( A2 ?1) =36 种排法,故共有 42 种方法

31

4.(2010 重庆理)(9)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不 同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 解析:分两类:甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 2 ? A2 A4 A4 种方法
2 1 4

甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有

2 4 1 1 3 4 A2 ( A4 ? A3 A3 A3 ) 种方法

故共有 1008 种不同的排法 5.(2010 北京理) (4)8 名学生和 2 位第师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为 (A)
8 A8 A92

(B)

8 A8 C92

(C)

8 2 A8 A7

(D)

8 2 A8 C7

【答案】A 6.(2010 四川理) (10)由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六 位偶数的个数是 (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 【答案】C 解析:先选一个偶数字排个位,有 3 种选法 ①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,3
2 A32 A2 =24 个 2 2 A2 A2 =12 个

②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3

算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个 7. ( 2010 天 津 理 ) (10) 如 图 , 用 四 种 不 同 颜 色 给 图 中 的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线 段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法用 (A)288 种 (B)264 种 (C)240 种 (D)168 种 【答案】D 【解析】 本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想, 属于 难题。 B,D,E,F 用四种颜色,则有 B,D,E,F 用三种颜色,则有 B,D,E,F 用两种颜色,则有
4 A4 ?1?1 ? 24 种涂色方法; 3 3 A4 ? 2 ? 2 ? A4 ? 2 ?1? 2 ? 192 种涂色方法; 2 A4 ? 2 ? 2 ? 48 种涂色方法;

所以共有 24+192+48=264 种不同的涂色方法。 【温馨提示】近两年天津卷中的排列、组合问题均处理 压轴题的位置,且均考查了分类讨论思想及排列、组合 的基本方法,要加强分类讨论思想的训练。 8.(2010 天津理) (4)阅读右边的程序框图,若输出 s 的值为-7,则判断框内可填写 (A)i<3? (B)i<4? (C)i<5? (D)i<6?

32

【答案】 D 【解析】 本题 主要考查条件语句与循环语句的基本应用,属于容易题。 第一次执行循环体时 S=1, i=3;第二次执行循环时 s=-2, 第三次执行循环体时 s=-7.i=7, i=5; 所以判断框内可填写“i<6?”,选 D. 【温馨提示】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。 9.(2010 福建文)

10.(2010 全国卷 1 理)(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 【答案】A

11.(2010 四川文) (9)由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位 数的个数是 (A)36 (B)32 (C)28 (D)24 【答案】A 解析:如果 5 在两端,则 1、2 有三个位置可选,排法为 2× 如果 5 不在两端,则 1、2 只有两个位置可选,3×
2 A32 A2 =24 种

2 2 A2 A2 =12 种

共计 12+24=36 种 12.(2010 湖北文)6.现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座,名每同学可自由选择 其中的一个讲座,不同选法的种数是

A. 5

4

B. 6

5

5? 6 ? 5? 4 ? 3? 2 2 C.

D. 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2

13.(2010 湖南理)7、在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)

33

表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两 个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15

14.(2010 湖北理)8、现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活 动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、乙不 会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 A.152 B.126 C.90 D.54 【答案】B
2 3 【解析】分类讨论:若有 2 人从事司机工作,则方案有 C3 ? A3 ? 18 ;若有 1 人从事司机工 1 2 3 作,则方案有 C3 ? C4 ? A3 ? 108 种,所以共有 18+108=126 种,故 B 正确

15.(2010 江西理)6. ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质,重点考查实践意识和创新能力,体现正难 则反。采用赋值法,令 x=1 得:系数和为 1,减去 x 项系数 为 0. 16.(2010 重庆文数) (1) ( x ? 1) 的展开式中 x 的系数为
4
2
4

? 2 ? x ? 展开式中不含 x 项的系数的和为(
8
4

8 C8 20 (?1)8 ? 1 即为所求,答案

(A)4 (C)10 【答案】 B 解析:由通项公式得
2 T3 ? C4 x2 ? 6x

(B)6 (D)20

17.(2010 全国卷 1 文) (1 ? x) (1 ? x ) 的展开式
4 3

x 2 的系数是

(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 【答案】A. 【命题意图】 本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况, 尤其是展开式的通项公式的

34

灵活应用, 以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数, 同时也考查了考生的一些基本 运算能力.
1 3 ? ? 2 (1 ? x) (1 ? x ) ? ?1 ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x ? ?1 ? 3x ? 3x ? x 2 ? ? ? 【解析】 4 3 2 3 4

x 2 的系数是 -12+6=-6
3 18.(2010 全国卷 1 理)(5) (1 ? 2 x ) (1 ? x ) 的展开式中 x 的系数是 3 5

(A) -4 (B) -2 【答案】C

(C) 2

(D) 4

19.(2010 陕西文)4.如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别 为

xA和xB ,样本标准差分别为 sA 和 sB,则 xA > xB ,sA>sB xA < xB ,sA>sB xA > xB ,sA<sB xA < xB ,sA<sB

[B]

(A) (B) (C) (D)

解析:本题考查样本分析中两个特征数的作用

xA <10< xB ;A 的取值波动程度显然大于 B,所以 sA>sB
2.(2010 重庆文) (5)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老 年职工 150 人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样 本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 (A)7 (B)15 (C)25 (D)35 【答案】 B

7
解析:青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 7:5:3,所以样本容量为
7 15

? 15

21.(2010 山东文)(6)在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 (A)92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8

35

答案:B 22.(2010 广东理)7.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3.1),且 P(2 ? X ? 4) =0.6826,则 p(X>4)=( A、0.1588 ) B、0.1587 C、0.1586 D0.1585

P(3 ? X ? 4) ?
7.B.

1 P(2 ? X ? 4) 2 =0.3413,

P( X ? 4) ? 0.5 ? P(2 ? X ? 4) =0.5-0.3413=0.1587.
23.(2010 四川文) (4)一个单位有职工 800 人,期中具有高级职称的 160 人,具有中级职 称的 320 人,具有初级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分 层抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 (A)12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6

40 1 ? 解析:因为 800 20 160 320 200 120 ?8 ? 16 ? 10 ?6 故各层中依次抽取的人数分别是 20 , 20 , 20 , 20
答案:D 24.(2010 山东理) (8)某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须 排在第四位、节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的 编排方案共有 (A)36 种 (B)42 种 (C)48 种 (D)54 种 【答案】B

25.(2010 山东理)

26.(2010 山东理)

36

27.(2010 湖北理)6.将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,??600,采用系统 抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个 营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 住在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区, 三个营区被抽中的人数一次为 A.26, 16, 8, B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9

2 3 28. (2010 辽宁理) (3) 两个实习生每人加工一个零件. 加工为一等品的概率分别为 3 和 4 ,
两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

1 (A) 2

5 (B) 12

1 (C) 4

1 (D) 6

【答案】B 【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率,考查了有关概率的计算问题 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A,则

2 1 1 3 5 ? + ? = P(A)=P(A1)+ P(A2)= 3 4 3 4 12
29.(2010 江西理)一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀 疑大臣作弊,他用两种方法来检测。方法一:在 10 箱子中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 A.

p1 和 p2 ,则

p1 = p2

B.

p1 < p2

C.

p1 > p2

D。以上三种情况都有可能

【答案】B 【解析】 考查不放回的抽球、 重点考查二项分布的概率。 本题是北师大版新课标的课堂作业, 作为旧大纲的最后一年高考,本题给出一个强烈的导向信号。方法一:每箱的选中的概率为

37

1 1 0 1 ? C10 (0.1)0 (0.9)10 ;同理,方法二:每箱的选中的概率为 5 ,总事件的概 10 ,总概率为 1 4 1 ? C50 ( )0 ( )5 5 5 ,作差得 p1 < p2 。 率为
30.(2010 安徽文) (10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方 形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是

3 (A) 18

4 (A) 18

5 (A) 18

6 (A) 18

【答案】C 【解析】正方形四个顶点可以确定 6 条直线,甲乙各自任选一条共有 36 个基本事件。两条 直线相互垂直的情况有 5 种(4 组邻边和对角线)包括 10 个基本事件,所以概率等于. 【方法技巧】对于几何中的概率问题,关键是正确作出几何图形,分类得出基本事件数,然 后得所求事件保护的基本事件数,进而利用概率公式求概率. 31.(2010 北京文){1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b, 则 b>a 的概率是

4 (A) 5

3 (B) 5

2 (C) 5

1 (D) 5

【答案】D 32.(2010 广东理)8.为了迎接 2010 年广州亚运会,某大楼安装 5 个彩灯,它们闪亮的顺 序不固定,每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪 亮的颜色各不相同.记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且 仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒。如果要实现所有不同的闪烁,那 么需要的时间至少是( ) A、 1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 D.1190 秒 【答案】C 每次闪烁时间 5 秒, 5×120=600s, 共 每两次闪烁之间的间隔为 5s, 5× 共 (120-1) =595s. 总 共就有 600+595=1195s. 33.(2010 湖北理)4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事 件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是

5 A 12

B

1 2

7 C 12

3 D 4

34.(2009 山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品 频率/组距
38

0.150 0.125 0.100 0.075 0.050

净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98) ,[98,100), [100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且 小于 104 克的产品的个数是 ( ). A.90 B.75 C. 60 D.45 答案 A 解析 产品净重小于 100 克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,设样本容量为 n ,

36 ? 0.300 则 n ,所以 n ? 120 ,净重大于或等于 98 克并且小于
104 克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本 中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120×0.75=90.故选 A. 【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中 有关的数据.

5 ?1 ? 0.618 35.(2009 四川卷文)设矩形的长为 a ,宽为 b ,其比满足 b ∶ a = 2 ,这种
矩形给人以美感,称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机 抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本: 甲批次:0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次:0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结论是 A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 B.乙批次的总体平均数与标准值更接近 C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 答案 A 解析 甲批次的平均数为 0.617,乙批次的平均数为 0.613 36.(2009 宁夏海南卷理)对变量 x, y 有观测数据理力争( 散点图 1;对变量 u ,v 有观测数据( 点图可以判断。

x1 , y1 ) (i=1,2,?,10) ,得

u1 , v1 ) (i=1,2,?,10),得散点图 2. 由这两个散

39

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 答案 C 解析 由这两个散点图可以判断,变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关,选 C.

5 ?1 ? 0.618 37.(2009 四川卷文)设矩形的长为 a ,宽为 b ,其比满足 b ∶ a = 2 ,这种
矩形给人以美感,称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机 抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本: 甲批次:0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次:0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结论是 A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 B.乙批次的总体平均数与标准值更接近 C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 答案 A 解析 甲批次的平均数为 0.617,乙批次的平均数为 0.613 备考提示 用以上各数据与 0.618(或 0.6)的差进行计算,以减少计算量,说明多思则少 算。 38.(2009 陕西卷文)某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工 人数是老年职工人数的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取 的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为 A.9 B.18 C.27 D. 36 答案 B 解析 由比例可得该单位老年职工共有 90 人,用分层抽样的比例应抽取 18 人. 39.(2009 福建卷文)一个容量 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表
组别

(0,10]
12

(20, 20]
13

(20,30)
24

(30, 40)
15

(40,50]
16

(50,60]
13

(60,70]
7

频数

则样本数据落在 (10, 40) 上的频率为 A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52
40

D. 0.64

答案 C 解析 由题意可知频数在

?10,40? 的有:13+24+15=52,由频率=频数 ? 总数可得 0.52.

40.(2009 上海卷理)在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有 发生在规模群体感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人” 。根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是 A.甲地:总体均值为 3,中位数为 4 B.乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 C.丙地:中位数为 2,众数为 3 D.丁地:总体均值为 2,总体方差为 3 答案 D 解析 根据信息可知,连续 10 天内,每天的新增疑似病例不能有超过 7 的数,选项 A 中, 中位数为 4,可能存在大于 7 的数;同理,在选项 C 中也有可能;选项 B 中的总体方差大于 0,叙述不明确,如果数目太大,也有可能存在大于 7 的数;选项 D 中,根据方差公式,如 果有大于 7 的数存在,那么方差不会为 3,故答案选 D. 二、填空题

n ? ? 1 2 3 ??? n ? 2 n ? 1 ? ? n 1 ? ? 2 3 4 ??? n ? 1 ? 3 4 5 ??? n 1 2 ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? n ? 3 n ? 2 n ? 1? ? 中, 34.(2010 上海文)12.在 n 行 m 列矩阵 ?

a (i , j ? 1, 2 n ) ??? , a ? a 2 2 ? a 3 3? ? ? ? ?a 9 9 ? 记位于第 i 行 第 j 列的数为 ij 。当 n ? 9 时 , 1 1
45 解析: 。

a11 ? a22 ? a33 ? ??? ? a99 ? 1+3+5+7+9+2+4+6+8=45

35.(2010 上海文)5.将一个总数为 A 、 B 、 C 三层,其个体数之比为 5:3:2。若用分层 抽样方法抽取容量为 100 的样本,则应从 C 中抽取 20 个个体。

解析:考查分层抽样应从 C 中抽取

100 ?

2 ? 20 10

36.(2010 浙江理)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、 “肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且 不重复. 若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一 人. 则不同的安排方式共有______________种(用数字作答). 解析: 本题主要考察了排列与组合的相关知识点, 突出对分类讨论思想和数学思维能力的考 察,属较难题 37.(2010 江西理)将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博 会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有 种(用数字作答) 。 【答案】 1080 【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识,重点考查化归转化和应用知识的意识。先分

41

2 2 1 1 C6 C4 C2C1 两个两人组 2 两个一人组 2 A2 A2 ,再全排列得: 组,考虑到有 2 个是平均分组,得 2 2 1 1 C6 C4 C2C1 4 ? 2 ? A4 ? 1080 2 A2 A2

38.(2010 天津理)甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图,中间 一列的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10 天甲、乙 两人日加工零件的平均数分别为 和 。

【答案】24,23 【解析】本题主要考查茎叶图的应用,属于容易题。

19 ? 18 ? 20 ? 2 ? 21 ? 22 ? 23 ? 31? 2 ? 35 ? 24 10 甲加工零件个数的平均数为 19 ? 17 ? 11 ? 21 ? 22 ? 24 ? 2 ? 30 ? 2 ? 32 ? 23 10 乙加工零件个数的平均数为
【温馨提示】茎叶图中共同的数字是数字的十位,这事解决本题的突破口。 39.(2010 全国卷 1 文)(15)某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中 共选 3 门, 若要求两类课程中各至少选一门, 则不同的选法共有 种.(用数字作答) 答案 15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思 想. 【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有
1 2 2 1 C3C4 + C3 C4 ? 18 ? 12 ? 30 种. 3 3 3 C7 ? C3 ? C4 ? 30 1 2 C3C4 种不同的

1 C32C4 种不同的选法.所以不同的选法共有

【解析 2】:

a ( x ? )9 x 的展开式中 x3 的系数是 ?84 ,则 a ? 40.(2010 全国卷 2 理) (14)若
【答案】1 【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法. 【解析】展开式中 x 的系数是
3



3 C9 (?a)3 ? ?84a3 ? ?84,?a ? 1 .

42

1 (1 ? x ? x 2 )( x ? )6 x 的展开式中的常数项为_________. 41.(2010 辽宁理) (13)
【答案】-5 【命题立意】本题考查了二项展开式的通项,考查了二项式常数项的求解方法

1 ( x ? )2 r r 6? 2 r 3 x 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C6 (?1) x ,当 r=3 时,T4 ? ?C6 ? ?20 ,当 【解析】
r=4 时,
4 T5 ? ?C6 ? 15 ,因此常数项为-20+15=-5

42.(2010 全国卷 2 文)(14)(x+1/x)9 的展开式中,x3 的系数是_________ 【答案】84 【解析】 :本题考查了二项展开式定理的基础知识

1 Tr ?1 ? C9r x 9? r ( ) r 3 x ,∴ 9 ? 2r ? 3, r ? 3 ,∴ C9 ? 84 ∵

(2 ?
43.(2010 四川理) (13)
3 C6 23 (?

3

1 6 ) x 的展开式中的第四项是

.

解析:T4=

3

1 3 160 ) ?? x x

160 【答案】- x 2 44.(2010 四川文)(13)(x- x )4 的展开式中的常数项为______________(用数字作答) 2 r C4 x 4?r (? )r x 解析:展开式的通项公式为 Tr+1=
取 r=2 得常数项为 C42(-2)2=24 【答案】24
4 45.(2010 湖北文)11.在 (1 ? x ) 的展开中, x 的系数为______。

2 10

【答案】45
2 10 【解析】 (1 ? x ) 展开式即是 10 个(1-x2)相乘,要得到 x4,则取 2 个 1-x2 中的(-x2) 2 2 2 4 相乘,其余选 1,则系数为 C10 ? (? x ) ? 45x ,故系数为 45.

46.(2010 湖北理)11、在(x+ 【答案】6

4

3y ) 20 的展开式中,系数为有理数的项共有_______项。
20? r r ( 4 3y)r ? C20 ( 4 3)r x20?r yr (0 ? r ? 20) 要使系

【解析】 二项式展开式的通项公式为 Tr ?1 ? C20 x
r

43

数为有理数,则 r 必为 4 的倍数,所以 r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种,故系数为有 理数的项共有 6 项. 47.(2010 安徽卷)

48. (2010 安徽文) (14) 某 地 有 居 民 100 000 户,其中普通家庭 99 000 户,高收入家庭 1 000 户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取 990 户,从高收入家 庭中以简单随机抽样方式抽取 l00 户进行调查, 发现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住 房,其中普通家庭 50 户,高收人家庭 70 户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认 为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 . 【答案】 5.7% 【解析】该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭可以估计有:

99000 ?

50 70 ? 1000 ? ? 5700 990 100 户, 所以所占比例的合理估计是 5700 ? 100000 ? 5.7% .

【方法总结】本题分层抽样问题,首先根据拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占的比例,得 出 100 000 户,居民中拥有 3 套或 3 套以上住房的户数,它除以 100 000 得到的值,为该地 拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的合理估计. 49.(2010 浙江文) (11)在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是

【答案】45 46 50. (2010 北京理) (11) 机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据 绘制成频率分布直方图(如图) 。由图中数据可知 a = 。 若要从身高在[ 120 , 130) [130 , , 140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140 ,150]内的学生

从某小学随

44

中选取的人数应为 。 【答案】0.030 3 51.(2010 福建文)14. 将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图。若 第一组至第六组数据的频率之比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27, 则 n 等于 。 【答案】60 【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为 2 x,3x, 4 x, 6 x, 4 x, x ,则

2 x ? 3x ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x ? 1 ,解得

x?

1 2 3 4 , , 20 ,所以前三组数据的频率分别是 20 20 20 ,

2n 3n 4n ? ? 故前三组数据的频数之和等于 20 20 20 =27,解得 n=60。
【命题意图】本小题考查频率分布直方图的基础知识,熟练基本公式是解答好本题的关键。 52.(2010 江苏卷)4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量, 从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度 (棉花纤维的长度是 棉花质量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其频 率分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有____根在 棉花纤维的长度小于 20mm。 【解析】考查频率分布直方图的知识。 100×(0.001+0.001+0.004)×5=30 53.(2010 上海文)从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机 抽取 2 张,则“抽出的 2 张 均为红桃”的概率为 (结果用最简分数表示) 。 3 51 【答案】
2 C13 3 ? 2 51 解析:考查等可能事件概率“抽出的 2 张均为红桃”的概率为 C52

54. (2010 湖南文) 在区间[-1,2]上随即取一个数 x, x∈[0,1]的概率为 则



1 【答案】 3
【命题意图】本题考察几何概率,属容易题。 55.(2010 辽宁文)三张卡片上分别写上字母 E、E、B,将三张卡片随机地排成一行, 恰好排成英文单词 BEE 的概率为 。

1 【答案】 3
解析: 题中三张卡片随机地排成一行,共有三种情况: BEE , EBE , EEB ,

1 . ?概率为: 3
45

56.(2010 重庆文)加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为

1 1 1 70 、 69 、 68 ,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为____________ .
解析:加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得

p ? 1?
加工出来的零件的次品率

69 68 67 3 ? ? ? 70 69 68 70

57.(2010 重庆理) (13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至

16 多命中一次的概率为 25 ,则该队员每次罚球的命中率为____________. 1? p2 ?
解析:由

16 3 p? 25 得 5

58.(2010 湖北文)13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9.则服用这咱新药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为_______(用数字作答) 。 【答案】0.9744
3 3 1 【解析】分情况讨论:若共有 3 人被治愈,则 P ? C4 (0.9) ? (1 ? 0.9) ? 0.2916 ; 4 1 若共有 4 人被治愈,则 P2 ? (0.9) ? 0.6561 ,故至少有 3 人被治愈概率 P ? P ? P2 ? 0.9744

59.(2010 湖南理)11.在区间

上随机取一个数 x,则

的概率为

60.(2010 湖南理)9.已知一种材料的最佳入量在 110g 到 210g 之间。若用 0.618 法安排 实验,则第一次试点的加入量可以是 g

61.(2010 安徽理)15、甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以

A1, A2 和 A3 表示由甲罐取

46

出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球 是红球的事件,则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号) 。

① ④

P ? B? ?

2 5;



P ? B | A1 ? ?

5 11 ;

③事件 B 与事件

A1 相互独立;

A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件; ⑤ P ? B? 的值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中哪一个发

生有关 【答案】②④ 【解析】易见

A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件,而
5 5 2 4 3 4 9 ? ? ? ? ? ? 10 11 10 11 10 11 22 。

P( B) ? P ? B | A1 ? ? P ? B | A2 ? ? P ? B | A3 ? ?

【方法总结】本题是概率的综合问题,掌握基本概念,及条件概率的基本运算是解决问题的 关键.本题在

A1 , A2 , A3 是 两 两 互 斥 的 事 件 , 把 事 件 B 的 概 率 进 行 转 化

P( B)? P B| 1 ?A? ?

? P |B? 2

?? A

P |?3B A

,可知事件 B 的概率是确定的.

62.(2010 湖北理)14.某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?
P

7 x

8 0.1

9 0.3

10 y

已知 ? 的期望 E ? =8.9,则 y 的值为

.

【答案】0.4 【解析】由表格可知: x ? 0.1 ? 0.3 ? y ? 9, 7 x ? 8 ? 0.1 ? 9 ? 0.3 ? 10 ? y ? 8.9 联合解得 y ? 0.4 . 63.(2010 福建理)13.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连 续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都 是 0.8 ,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概 率等于 。 【答案】0.128

C4 ? 0.82 ? 0.2 =0.128 。 【解析】由题意知,所求概率为 5
2

【命题意图】本题考查独立重复试验的概率,考查基础知识的同时,进一步考查同学们的分 析问题、解决问题的能力。 64.(2010 江苏卷) 3、盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,

47

两只球颜色不同的概率是_ __. 【解析】考查古典概型知识。
p? 3 1 ? 6 2

三、简答题 53.(2010 湖南文) (本小题满分 12 分) 为了对某课题进行研究, 用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中, 抽取若干人组成 研究小组、有关数据见下表(单位:人)

求 x,y ; 若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这二人都来自高校 C 的概率。

54.(2010 陕西文) (本小题满分 12 分) 为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行出样检查,测得身高 情况的统计图如下:

( (

)估计该校男生的人数; )估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率;
48



) 从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高在 185~190cm

之间的概率。 解 ( ( )样本中男生人数为 40 ,由分层出样比例为 10%估计全校男生人数为 400。

)有统计图知,样本中身高在 170~185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人,样本容量

为 70 , 所以样本中学生身高在 170~185cm 之间的频率 校学生身高在 170~180cm 之间的概率 ( )样本中身高在 180~185cm 之间的男生有 4 人,设其编号为 样本中身高在 185~190cm 之间的男生有 2 人,设其编号为 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为:

故有 f 估计该

故从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15,求至少有 1

人身高在 185~190cm 之间的可能结果数为 9,因此,所求概率 55.(2010 辽宁文) (本小题满分 12 分) 为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积, 200 只家兔做实验, 选 将这 200 只家 兔随机地分成两组。每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B。下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果。 (疱疹面积单位: mm )
2

(Ⅰ)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

49

(Ⅱ)完成下面 2 ? 2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积 与注射药物 B 后的疱疹面积有差异” 。

K2 ?
附:

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

解: (Ⅰ)

图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频 率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间, 而注射药物 B 后的疱疹面 积的中位数在 70 至 75 之间, 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面 积的中位数。 (Ⅱ)表 3 疱疹面积小于 70mm 注射药物 A 注射药物 B
a ? 70 c ? 35
2

疱疹面积不小于 70mm
b ? 30 d ? 65

2

合计
100 100

50

合计
2

105

95

n ? 200

200? (70 ? 65 ? 35 ? 30) 2 K ? ? 24.56 100? 100? 105? 95
2 由于 K ? 10.828 ,所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B

后的疱疹面积有差异”. 56.(2010 辽宁理) (18) (本小题满分 12 分) 为了比较注射 A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做试验,将这 200 只家兔随机地分成两组,每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B。 (Ⅰ)甲、乙是 200 只家兔中的 2 只,求甲、乙分在不同组的概率; (Ⅱ)下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果.(疱疹面积单位:mm2) 表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表

(ⅰ)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

(ⅱ)完成下面 2×2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积 与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.

表 3:

51

解: (Ⅰ)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为
99 2C198 100 P ? 100 ? C200 199

??4 分

(Ⅱ) (i)

图Ⅰ注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频 率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间, 而注射药物 B 后的疱疹面积的 中位数在 70 至 75 之间, 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的 中位数。 ??8 分 (ii)表 3:

200 ? (70 ? 65 ? 35 ? 30) 2 K ? ? 24.56 100 ?100 ?105 ? 95
2

由于 K2>10.828, 所以有 99.9%的把握认为 “注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱 疹面积有差异” 。 ??12 分 57. (2010 安徽文) (本小题满分 13 分) 某市 2010 年 4 月 1 日—4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸 入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (Ⅰ) 完成频率分布表; (Ⅱ)作出频率分布直方图; (Ⅲ)根据国家标准,污染指数在 0~50 之间时,空气质量为优:在 51~100 之间时,为良; 在 101~150 之间时,为轻微污染;在 151~200 之间时,为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.

52

【命题意图】本题考查频数,频率及频率分布直方图,考查运用统计知识解决简单实际问题 的能力,数据处理能力和运用意识. 【解题指导】 (1)首先根据题目中的数据完成频率分布表,作出频率分布直方图,根据污染 指数,确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数。

(Ⅲ)答对下述两条中的一条即可:

1 该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平, 占当月天数的 15 , 26 天处于良的水平, 有 13 14 占当月天数的 15 ,处于优或良的天数共有 28 天,占当月天数的 15 。说明该市空气质量基
本良好。

1 轻微污染有 2 天,占当月天数的 15 。污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 天, 17 加上处于轻微污染的天数,共有 17 天,占当月天数的 30 ,超过 50%,说明该市空气质量有
待进一步改善。 【规律总结】在频率分布表中,频数的和等于样本容量,频率的和等于 1,每一小组的频率 等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中,小矩形的高等于每一组的频率/组距, 它们与频数成正比,小矩形的面积等于这一组的频率.对于开放性问题的回答,要选择适当 的数据特征进行考察,根据数据特征分析得出实际问题的结论. 58. (2010 天津文) (18) (本小题满分 12 分)

有编号为

A A1 A 2 , ,? 10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm) ,得到下面数据:

53

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品。 (Ⅰ)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率。本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的 基本事件数及事件发生的概率等基础知识, 考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实 际问题的能力。满分 12 分 【解析】 (Ⅰ)解:由所给数据可知,一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中,随机抽取

6 3 一个为一等品”为事件 A,则 P(A)= 10 = 5 .
(Ⅱ) (i)解:一等品零件的编号为 机抽取 2 个, 所有可能的结果有:

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 .从这 6 个一等品零件中随

?A1, A2?,?A1, A3?,?A1, A4? , ?A1, A5?,?A1, A6? , ? A2 , A3? ,

? A2 , A4?,?A2 , A5? , ?A2 , A6?,?A3 , A4?,?A3 , A5? , ?A3 , A6?,?A4 , A5?,?A4 , A6? , ? A5 , A6? 共
有 15 种. (ii)解: “从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等” (记为事件 B)的所有可 能结果有:

?A1, A4?,?A1, A6?,?A4 , A6? , ?A2 , A3?,?A2 , A5?,?A3 , A5? ,共有 6 种.

6 2 ? 所以 P(B)= 15 5 .
59. (2010 广东理)17.(本小题满分 12 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情 况, 随即抽取该流水线上 40 件产品作为样本算出 他们的重量(单位:克)重量的分组区间为 (490,

495?

, (495,

500?

,??(510,

515?



由此得到样本的频率分布直方图,如图 4 所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量. (2) 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件, 设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件 产品合格的重量超过 505 克的概率.

54

60. (2010 湖北文)17.(本小题满分 12 分) 为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况, 从这个水库中多个不同位置捕捞出 100 条鱼, 称得每条鱼的质量(单位:千克) ,并将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示) (Ⅰ)在答题卡上的表格中填写相应的频率; (Ⅱ)估计数据落在(1.15,1.30)中的概率为多少; (Ⅲ) 将上面捕捞的 100 条鱼分别作一记号后再放回水库, 几天 后再从水库的多处不同位置捕捞出 120 条鱼, 其中带有记号的鱼 有 6 条,请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数。

61. (2010 湖南理) (本小题满分 12 分) 图 4 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频率分布直方图 (Ⅰ)求直方图中 x 的值 (II)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样) ,求月均用 水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望。

55

62. (2010 安徽理)21、 (本小题满分 13 分) 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出 n 瓶外观相 同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘 之后,再让其品尝这 n 瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试。根据一轮测 试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。 现设 n ? 4 ,分别以 排序时的序号,并令

a1 , a2 , a3 , a4 表示第一次排序时被排为 1,2,3,4 的四种酒在第二次

X ? 1? a1 ? 2 ? a2 ? 3 ? a3 ? 4 ? a4



则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述。 (Ⅰ)写出 X 的可能值集合; (Ⅱ)假设

a1 , a2 , a3 , a4 等可能地为 1,2,3,4 的各种排列,求 X 的分布列;
56

(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有 X ? 2 , (i)试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立) ; (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由。

63.(2010 浙江理)(本题满分 l4 分)如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落 A 或 B 或 C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方 式进行促销活动,若投入的小球落到 A,B,C,则分别设为 l,2,3 等奖. (I) 已知获得 l, 3 等奖的折扣率分别为 50%, 2, 70%, 90%. 记随变量 ? 为获得 k(k=1,2,3) 等奖的折扣率,求随机变量 ? 的分布列及期望 E? ; (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动, 记随机变量? 为获得 1 等奖或 2 等奖的 人次,求 P(? ? 2) . 解析:本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念,同 时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。 (Ⅰ)解:由题意得ξ 的分布列为
ξ p 50% 70% 90%

3 16

3 8

7 16

3 3 7 3 则Ε ξ = 16 ×50%+ 8 ×70%+ 16 90%= 4 .
57

3 3 9 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 16 + 8 = 16 . 9 由题意得η ~(3, 16 ) 9 9 1701 C 则 P(η =2)= ( 16 )2(1- 16 )= 4096 .
2 3

64.(2010 全国卷 2 理) (本小题满分 12 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流能通过 T1,T2, T3 的概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知 T1, T2,T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999. (Ⅰ)求 p; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (Ⅲ) ? 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的元件个数,求 ? 的期望.

【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期 望,考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】

58

【点评】概率与统计也是每年的必考题,但对考试难度有逐年加强的趋势,已经由原来解答 题的前 3 题的位置逐渐后移到第 20 题的位置,对考生分析问题的能力要求有所加强,这应 引起高度重视. 65.(2010 全国卷 2 文) (本小题满分 12 分)
1 1

如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T ,T 2 ,T 3 ,T 4 ,电源能通过 T , T 2 ,T 3 的概率都是 P,电源能通过 T 4 的概率是 0.9,电源能否通过各元件相互独立。已知
1

T ,T 2 ,T 3 中至少有一个能通过 电流的概率为 0.999。 (Ⅰ)求 P; (Ⅱ) 求电流能在 M 与 N 之间通过 的概率。

【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率, (1)设出基本事件,将要求事件用基本事件的来表示,将 T1,T2,T3 至少有一个能通过电 流用基本事件表示并求出概率即可求得 p。 (2)将 MN 之间能通过电流用基本事件表示出来,由互斥事件与独立事件的概率求得。 66.(2010 江西理) (本小题满分 12 分) 某迷宫有三个通道, 进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。 首次到达此门, 系统会随机 (即

59

等可能)为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3 号通道, 则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过 的通道,直至走完迷宫为止。令 ? 表示走出迷宫所需的时间。 求 ? 的分布列; 求 ? 的数学期望。 【解析】 考查数学知识的实际背景, 重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、 随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 必须要走到 1 号门才能走出, ? 可能的取值为 1,3,4,6

P (? ? 1) ?

1 3



1 1 1 P(? ? 3) ? ? ? 3 2 6



1 1 1 P(? ? 4) ? ? ? 3 2 6



1 1 2 1 P(? ? 6) ? A2 ( ? ) ?1 ? 3 2 3
分布列为:

?
P

1

3

4

6

1 3

1 6

1 6

1 3



2



1 1 1 1 7 E? ? 1? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 3 6 6 3 2 小时

67.(2010 重庆文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 在甲、 乙等 6 个单位参加的一次 “唱读讲传” 演出活动中, 每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2,??,6) ,求: (Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率; (Ⅱ)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

60

68.(2010 北京理)(17)(本小题共 13 分)

4 某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 5 ,第二、第
三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同课程是否取得优秀成绩相互 独立。记ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0 1 2 3

p

6 125

a

d

24 125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的值; (Ⅲ)求数学期望 E ξ 。 解:事件

Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩” i =1,2,3,由题意知 ,
P ( A1 ) ? 4 5 , P( A2 ) ? p , P( A3 ) ? q

(I)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ ? ? 0 ”是对立的,所以该 生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是

1 ? P(? ? 0) ? 1 ?
(II)由题意知

6 119 ? 125 125 ,

1 6 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? (1 ? p)(1 ? q) ? 5 125 4 24 P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? pq ? 5 125
pq ?
整理得

6 125 , p ? q ? 1 p? 3 2 q? 5, 5.

由 p ? q ,可得

(III)由题意知

a ? P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )
4 1 1 (1 ? p)(1 ? q) ? p(1 ? q) ? (1 ? p)q 5 5 =5

61

?

37 125

b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3)

58 = 125
E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2P(? ? 2) ? 3P(? ? 3)

9 =5
69.(2010 四川理) (本小题满分 12 分) 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内
1 印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 6 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮

料。 (Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (Ⅱ)求中奖人数ξ 的分布列及数学期望 Eξ . 解: (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么
1 P(A)=P(B)=P(C)= 6
?( ) C P( A?B? )=P(A)P( B )P( C )= 6 6 1 5 2 ? 25 216

25 216 ??????????????6 分 答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为

(2)ξ 的可能值为 0,1,2,3

1 5 C3k ( ) k ( )3? k 6 6 P(ξ =k)= (k=0,1,2,3)
所以中奖人数ξ 的分布列为
ξ P 0
125 216

1
25 72

2
5 72

3
1 216

125 25 5 1 Eξ =0× 216 +1× 72 +2× 72 +3× 216 =

1 2 ??????????????????12 分

70.(2010 天津理) (18).(本小题满分 12 分)

2 某射手每次射击击中目标的概率是 3 ,且各次射击的结果互不影响。
(Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率 (Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率; (Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射

62

击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记 ? 为射手射击 3 次后的总的分数,求 ? 的分布列。 【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件 和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力,满分 12 分。

? 2? B ? 5, ? (1)解:设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X ~ ? 3 ? .在 5 次射击中,恰
有 2 次击中目标的概率

40 ? 2? ? 2? P( X ? 2) ? C5 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 243
2

2

2

(Ⅱ)解:设“第 i 次射击击中目标”为事件

Ai (i ? 1, 2,3, 4,5) ; “射手在 5 次射击中,有 3

次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A ,则

P( A) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 )
? 2? ?1? 1 ? 2? 1 ?1? ? 2? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? 3 ? 3? 3 ? 3? ? 3? = ? 3? ? 3?
8 = 81
(Ⅲ)解:由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3,6
3 2 3 2 3

1 ?1? P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27

3

P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A 2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )
2 ?1? 1 2 1 ?1? 2 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 ?3? 3 9 = 3 ? 3?
P(? ? 2) ? P( A1 A2 A3 ) ? 2 1 2 4 ? ? ? 3 3 3 27
2 2 2 2

8 ? 2? 1 1 ?1? ? ? ? ? ?? ? ? P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 27 8 ?2? ? ? ? P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? 3 ? 27
所以 ? 的分布列是
3

63

71.(2010 广东文) (本小题满分 12 分) 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观 众,相关的数据如下表所示: 文艺节目 20 至 40 岁 大于 40 岁 总计 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100

72.(2010 福建文)18. (本小题满分 12 分) 设平顶向量

am = ( m , 1), bn = ( 2 , n ),其中 m, n ? {1,2,3,4}.

(I)请列出有序数组( m,n )的所有可能结果; (II)记“使得

am ? ( am - bn )成立的( m,n ) ”为事件 A,求事件 A 发生的概率。

64

73.(2010 全国卷 1 理)(本小题满分 12 分) 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3. 各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望.

74.(2010 四川文) (本小题满分 12 分) 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内
1

印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 6 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮 料。 (Ⅰ)求三位同学都没有中奖的概率; (Ⅱ)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.

65

75.(2010 山东理)

3 1 2 1 1 2 3 1 1 11 ? ? + ? ? ? ? P(? =4)= 4 2 3 4 2 3 4 2 3 = 24 ,
所以 ? 的分布列为

?

2

3

4

66

P (? )

1 8
2? 1 10 11 10 3? 8 + 24 +4 ? 24 = 3 。

10 24

11 24

数学期望 E? =

【命题意图】 本题考查了相互独立事件同时发生的概率、 考查了离散型随机变量的分布列以 及数学期望的知识,考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。 76.(2010 福建理)

?
P

0

1

4

9

1 6

1 3

1 3

1 6

1 1 1 1 19 0 ? ? 1? ? 4 ? ? 9 ? ? 6 3 3 6 6 。 所以 E? =
77.(2010 江苏卷)本小题满分 10 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率为 20%;乙产品的一等品 率为 90%,二等品率为 10%。生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若是二等品 则亏损 1 万元; 生产 1 件乙产品, 若是一等品则获得利润 6 万元, 若是二等品则亏损 2 万元。 设生产各种产品相互独立。 记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列; 求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。
67

[解析] 本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解能力。满分 10 分。 解: (1)由题设知,X 的可能取值为 10,5,2,-3,且 P(X=10)=0.8×0.9=0.72, P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=2)=0.8×0.1=0.08, P(X=-3)=0.2×0.1=0.02。 由此得 X 的分布列为: X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 -3 0.02

(2)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4 ? n 件。

由题设知 4n ? (4 ? n) ? 10 ,解得 又 n ? N ,得 n ? 3 ,或 n ? 4 。

n?

14 5 ,

3 3 4 所求概率为 P ? C4 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8192

答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。

第二部分 两年模拟题 全国各地市 2012 年模拟试题:统计与概率 【2012 三明市普通高中高三上学期联考文】在样本的频率分布直方图中,共有 11 个小长方

1 形,若中间一个小长方形的面积等于其它 10 个小长方形的面积和的 4 ,且样本容量为 160,
则中间一组的频数为 A.32 B.0.2 C.40 D.0.25 【答案】A 【解析】本题主要考查样本的频率分布直方图、频数概念、频数与频率的区别. 属于基础知 识、基本运算的考查.

1 频率等于长方形的面积,所有长方形的面积等于 1,中间长方形的面积等于 S,则 S= 4
1 x 1 ? (1-S),S= 5 ,设中间一组的频数为 x ,则 160 5 ,得 x ? 32
【2012 金华十校高三上学期期末联考文】分别写有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片,从这 4 张 卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

【答案】 D 【解析】本题主要考查基本事件的概念、古典概型的 计算公式. 属于基础知识、基本运算 的考查.
68

从写有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,有 12, 13,14,23, 24,34 共 6 种,取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的取法有 12,14,23,34 共 4 种,取

4 2 ? 出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是 6 3
【2012 武昌区高三年级元月调研文】通过随机询问 110 名性别不同的行人,对过马路是愿 意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查,得到如下的列联表:

n(ad ? bc)2 110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 K ? K2 ? ?~ 7.8. (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) ,算得 60 ? 50 ? 60 ? 50 由
2

附表:

参照附表,得到的正确结论是( ) A.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关” 【答案】A 【解析】 本题主要考查列联表以及独立性检验的简单方法. 属于基础知识、 基本方法的考查.

K2 ?

110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 ?~ 7.8. 60 ? 50 ? 60 ? 50

P( K 2 ? 6.635) ? 0.01 ? 1 ? 99%

∴有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关” 【2012 年西安市高三年级第一次质检文】某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4, 5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如下表:

则以上两组数据的方差中较小的一个为 A. B. C. D.2

,则 =

【答案】A 【解析】本题主要样本的数字特征. 属于基础知识、基本运算的考查.

1 2 x甲=7,S2甲= [(6 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (8 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ] ? 5 5

69

1 6 x乙=7,S2甲= [(6 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (6 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ] ? 5 5
两组数据的方差中较小的一个为 【 2012

2 , =5
{ ( , 已 知 ? ? x y )x ? y ? | 6x ? , y,, 0? 0 }

粤 西 北 九 校 联 考 理 】

A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} ,若向区域 ? 上随机投一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为

(
1 A. 3

)
2 B. 3 1 C. 9 2 9 D.

【答案】D 【解析】属于几何概型, ? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} 的面积为 18,

A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} 的面积为 4,

P?

4 2 ? 18 9

【2012 韶关第一次调研理】某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18

秒 之间,将测试结果分成五组:每一组

?13,14) ;第二组 ?14,15) ,?,第五组 ?17,18? .右图

是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好, 则 该班在这次百米测试中成绩良好的人数是__________. 【答案】 27 , 【解析】成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒的频率为 0.54,所以良好人数=0.54 ? 50=27 【2012 深圳中学期末理】袋中装有 m 个红球和 n 个白球, m ? n ? 4 ,现从中任取两球,若取 出的两球是同色的概率等于取出的两球是异色的概率,则满足关系 m ? n ? 40 的数组

?m, n? 的个数为
70

A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】记“取出两个红球”为事件 A, “取出两个白球”为事件 B, “取出一红、一白两球” 为
2 2 2 2 1 1 2 事 件 C , 则 P? A? ? C m / C m? n , P?B? ? C n / C m?n , P?C ? ? C m C n / C m? n 。 依 题 意 得 :

P? A? ? P?B ? ? P?C ?

2 2 2 1 1 ,得 C m ? C n ? C m ? C n 。所以 m ? n ? ?m ? n? ,由 m ? n ? 4 , m ? n ? 40 ,得

9 ? m ? n ? 40。解得 ?m, n ? ? ?6,3?, ?10,6?, ?15,10?, ?21,15? ,故符合题意的数组 ?m , n ? 有 3 个。
2 【2012 深圳中学期末理】 如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? ),且 P ?3 ? ? ? ?1 ) ( =0.4, P ? ? 1 ) 则(

= . 【答案】0.1
2 【解析】解析:如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? ),且 P( ?3 ? ? ? ?1 )=0.4,

? P( ?3 ? ? ? ?1 )=
2

?(

?1 ? (?1)

?

) ? ?(

?3 ? (?1)

?

2 2 ) ? 0.5 ? ?(? ) ? ?( ) ? 0.5

?

?



?( ) ? 0.9 1 ? ?( ) ? 1 ? ?( ) ? 0.1 ? ? ∴ ? , ∴P( ? ? 1 )= 。 【2012 浙江宁波市期末文】200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,

1 ? (?1)

2

则时速超过 60km/h 的汽车数量为(



(A)65 辆 (B)76 辆(C)88 辆 (D)辆 95 【答案】B 【解析】由频率分布直方图可知时速超过 60km/h 的概率为 0.28+0.10=0.38,故估计汽车数 量为 200 ? 0.38=76 ,选 B。 【2012 浙江宁波市期末文】连掷骰子两次 (骰子六个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6 )得到 的点数分别记为 a 和 b ,则使直线 3 x ? 4 y ? 0 与圆 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? 4 相切的概率
2 2



.

1 【答案】 18

71

【 解 析 】 连 掷 骰 子 两 次 总 的 试 验 结 果 有 36 种 , 要 使 直 线 3 x ? 4 y ? 0 与 圆

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 4 相切, 则

| 3a ? 4b | ?2 5 , 即满足 | 3a ? 4b |? 10 , 符合题意的 ( a, b) 由 P? 1 18 。

(6, 2),(2, 4) 2 个,由古典概型概率计算公式可得所求概率为

【2012 安徽省合肥市质检文】在正四面体的 6 条棱中随机抽取 2 条,则其 2 条棱互相垂直 的概率为 ( )

3 A. 4

2 B. 3

1 C. 5

1 D. 3

【答案】C 【解析】总的取法有 15 种,由正四面体的性质可知,对棱垂直,故互相垂直的有 3 种,所

1 求概率为 5 ,选 C。

【2012 吉林市期末质检文】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考 试成绩进行分析,抽取了总成绩介于 350 频率/组距 分到 650 分之间的 10000 名学生成绩,并 a 0.004 根据这 10000 名学生的总成绩画了样本的 0.003 频率分布直方图(如右图) ,则总成绩在 0.002 0.001 [400,500)内共有 A. 5000 人 B. 4500 人 C. 3250 人 350 400 450 500 【答案】B

总成绩 (分)
550 600 650

D. 2500 人

【 解 析 】 由 频 率 分 布 直 方 图 可 求 得 a ? 0 . 0 0 5 故 [ 400 , 500 ) 对 应 的 频 率 为 ,

(0.005 ? 0.004) ? 50 ? 0.45 ,相应的人数为 4500 人。
【2012 江西南昌市调研文】一个容量为 20 的样本数据,分组情况及各组的频数如下: (10,20],2 ; (20,30],3 ; (30,40],4; (40,50],5 ; (50,60],4; (60,70],2 .则样本数据 在(-∞,30)上的频率为 ( )

【答案】D

5 1 ? 【解析】由题可知数据在(-∞,30)上的有 5 个,故所求频率为 20 4 ,选 D.
【2012 广东佛山市质检文】某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽 出 100 名司机,已知抽到的司机年龄都在 ?
20, 45 ?
72

岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情

况残缺的频率分布直方图如图所示, 利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年

龄的中位数大约是( A. 31.6 岁 B. 32.6 岁 C. 33.6 岁 D. 36.6 岁 【答案】C



,25 【解析】 由频率分布图可知 [25,30) 的频率应为 0.2,又 [20 )
频率为 0.35,由中位数的计算可得 x ? 33.57 ,故选 C。

的频率为 0.05,[30,35) 的

【2012 广东佛山市质检文】某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团) 合唱社 高一 高二 45 15 粤曲社 30 10 书法社

a
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查, 按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人,结果合唱社被抽出 12 人,则这三个社团人数共有_______________. 【答案】 150

12 30 ? x ,解得 x ? 150 。 【解析】由分层抽样的比例可知 60
【2012 北京海淀区期末文】甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位: °C )用茎 叶图记录如下,根据茎叶图可知,两城市中平均温度较高的城市是_____________,气温波 动较大的城市是____________.

73

【答案】乙,乙

【解析】由茎叶图的数据可得

x甲 ?

9 ? 18 ? 17 ? 17 ? 13 ? 22 ? 16 6 ,

x乙 ?

12 ? 14 ? 17 ? 20 ? 24 ? 27 ? 19 6 ;

s 2甲 ? s 2乙 ?


(9 ? 16)2 ? (18 ? 16)2 ? (17 ? 16)2 ? (17 ? 16)2 ? (13 ? 16)2 ? (22 ? 16)2 100 ? 6 6 (?7)2 ? (?5)2 ? (?2)2 ? 12 ? 52 ? 82 168 ? 2 2 6 6 ,显然有 x甲 ? x乙 ,s 甲 ? s 乙 ,填乙,乙。
2012 广 东 韶 关 市 调 研 文 】 已 知

? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0}, A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} ,若向区域 ?
上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为( )

1 A. 9
【答案】B

2 B. 9

1 C. 3

4 D. 9

1 1 S? ? ? 6 ? 6 ? 18 S A ? ? 4 ? 2 ? 4 2 2 【解析】分别画出两个集合表示的区域可知 , ,由几何

P?
概型概率计算可得

SA 4 2 ? ? S? 18 9 ,选 B。

【2012 广东韶关市调研文】某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒 之间,将测试结果分成五组:每一组

?13,14) ;第二组 ?14,15) ,?,第五组 ?17,18? .右图

是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好, 则

74

频率 组距 0.38 0.32

0.16

0.08 0.06 O

该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于_______ 人. 【答案】 27 ,

13

14

15

16

17

18



___

19题 图

【解析】由频率分布直方图可知成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒所对应的频率为

0.16 ? 0.38 ? 0.54 ,故对应的人数有 50 ? 0.54 ? 27 人。
【2012 金华十校高三上学期期末联考文】某个容量为 N 的样本频率分布直方图如右图所示, 已知在区间

? 4,5? 上频数为 60,则 N=



【答案】 200 【解析】本题主要考查频率分布直方图及频数的概念. 属于基 础知识、基本运算的考查. 组距为 1,在区间

? 4,5? 上频率为 ? 4,5? 上频数为 60

1-0.4-0.15-0.10-0.05=0.3, 在区间

60 ? 0.3 ? N ? 200 N
【2012 唐山市高三上学期期末统一考试文】考古学家通过始祖鸟化石标本发现,其股骨长 度 x (cm)与肱骨长度 y(cm)线性回归方程为 y ? 1.197 x ? 3.660 ,由此估计,当肌骨长度 为 50cm 时,肱骨长度的估计值为 cm. 【答案】 56.19 【解析】本题主要考查线性回归方程的概念和运算. 属于基础知识、基本运算的考查. 将 y ? 50 代入 y ? 1.197 x ? 3.660 ,得 x ? 56.19

?

?

?

【2012 年西安市高三年级第一次质检文】甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只 要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获 得冠军的概率为_______

3 【答案】 4
【解析】本题随机事件的概率和概率的乘法公式 . 属于基础知识、基本运算的考查. 因为符合条件的有“甲第一局就赢”和“乙赢一局后甲再赢一局”由于两队获胜概率相同,

75

1 1 1 1 1 3 即为 2 ,则第一种的概率为 2 ,第二种情况的概率为 2 × 2 = 4 ,由加法原理得结果为 4 。
【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】经调查某地若干户家庭的年收入 x (万元)和 年饮食支出

y (万元)具有线性相关关系,并得到 y 关于 x 的线性回归直线方程:

? y =0.245 x +0.321,由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 l 万元,年饮食支出平均增
加 万元. 【答案】 0.245 【解析】本题主要考查回归直线的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

? x 变为 x +1, y =0.245( x +1)+0.321=0.245 x +0.321+0.245
因此家庭年收入每增加 l 万元,年饮食支出平均增加 0.245 万元. 【2012 武昌区高三年级元月调研文】有一根长为 1 米的细绳子,随机从中问将细绳剪断,

1 则使两截的长度都大于 8 米的概率为
3 【答案】 4



【解析】本题主要考查几何概型的计算. 属于基础知识、 基本运算的考查. 如图, 将细绳八等份, C,D 分别是第一个和最后一个等份 点,则在线段 CD 的任意位置剪断得到的两截细绳长度都

6 1 1 3 P? 8 ? 1 4 大于 8 米。由几何概型的计算公式,两截的长度都大于 8 米的概率为
【2012 唐山市高三上学期期末统一考试文】 为了检测某批棉花的质量, 质检人员随机抽取 6 根,其平均纤维长度为 25mm。用 根棉花的纤维长度如下表:

X n (n ? 1, 2,3, 4,5,6) 表示第 n 根棉花的纤维长度,且前 5

(1)求 X6 及这 6 根棉花的标准差 s; (2)从这 6 根棉花中,随机选取 2 根,求至少有 1 根的长度在区间(20,25)内的概 率。 【解析】 本题主要考查随机抽样、 样本数据的数字特征及古典概型计算公式. 属于基础知识、 基本运算的考查. 解: (Ⅰ)由题意, 20+26+22+20+22+X6 =25,X6=40. 6 ?2 分

76

(20-25)2+(26-25)2+(22-25)2+(20-25)2+(22-25)2+(40-25)2 s2= =49, 6 s=7. ?5 分 (Ⅱ)从这 6 根棉花中,随机选取 2 根用无序数组(Xi,Xj)(i,j=1,2,3,4,5,6,i ≠j)表示,可能出现的结果为 (X1,X2),(X1,X3),(X1,X4),(X1,X5),(X1,X6), (X2,X3),(X2,X4),(X2,X5),(X2,X6), (X3,X4),(X3,X5),(X3,X6), (X4,X5),(X4,X6), (X5,X6); 2 根的长度都不在区间(20,25)内的结果为 (X1,X2),(X1,X4),(X1,X6), (X2,X4),(X2,X6), (X4,X6). ?9 分 6 2 2 根的长度都不在区间(20,25)内概率 P= = , 15 5 至少有 1 根的长度在区间(20,25)内的概率为 1-P= 3 . ?12 分 5

【2012 年西安市高三年级第一次质检文】某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路 口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯 的概率都是 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. (I )求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (II)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 2min 的概率. 【解析】

【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】某工科院校对 A,B 两个专业的男女生人数进 行调查,得到如下的列联表:

(I) 从 B 专业的女生中随机抽取 2 名女生参加某项活动, 其中女生甲被选到的概率是多少? (II)能否在犯错误的概率不超过 0. 的前提下, 05 认为工科院校中“性别”与“专业”有关 系呢?

77

K2 ?
注:

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

【解析】本题主要考查集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. (Ⅰ)设 B 专业的 4 名女生为甲、乙、丙、丁,随机选取两个共有(甲,乙)(甲,丙) , , (甲,丁)(乙,丙)(乙,丁)(丙,丁)6 种可能,?????2 分 , , , 其中选到甲的共有 3 种可能,?????4 分

P?
则女生甲被选到的概率是

3 1 ? 6 2 .?????6 分

K2 ?
(Ⅱ)根据列联表中的数据

100 ? (12 ? 46 ? 4 ? 38)2 ? 4.762 16 ? 84 ? 50 ? 50 ,???9 分

由于 4.762 ? 3.841 ,因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为工科院校中“性别”与 “专业”有关系.????12 分 【2012 江西师大附中高三下学期开学考卷文】为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况, 拟采用分层抽样的方法从 A、B、C 三个区中抽取 6 个工厂进行调查.已知 A、B、C 区中分别 有 18,27,9 个工厂. (1)求从 A、B、C 区中应分别抽取的工厂个数; (2)若从抽得的 6 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比,求这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。 【解析】本题主要考查分层抽样、古典概型的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

6 1 解:(1)工厂总数为 18+27+9=54,样本容量与总体中的个体数的比为 54 = ,所以从 A,
9 B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,1. (2)设 A1,A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂,B1,B2,B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂,C1 为 在 C 区中抽得的 1 个工厂. 在这 7 个工厂中随机地抽取 2 个, 全部可能的结果有: (A1, A2), (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1), (B1,B2),(B1,B3),(B1,C1), ,(B2,B3),(B2,C1), ,(B3,C1)共 15 种. 随机地抽取的 2 个工厂至少有 1 个来自 A 区(记为事件 X)的结果有:(A1,A2),(A1,B1), (A1,B2),(A1,B3),(A1,C1), ,(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1)共 9 种.所

9 3 ? 以这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率为 P(X)= 15 5 .
答: (1)从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,1. (2)这 2 个工厂中至少有 1

3 个来自 A 区的概率为 5 .
【2012 三明市普通高中高三上学期联考文】已知集合 A ? ?? 2,0,2?, B ? ?? 1,1? .
78

(Ⅰ)若

M ? ? x, y) x ? A, y ? B? (

,用列举法表示集合 M ;

(Ⅱ)在(Ⅰ)中的集合 M 内,随机取出一个元素 ( x, y ) ,求以 ( x, y ) 为坐标的点位于区

域 D:

?x ? y ? 2 ≥ 0 ? ?x ? y ? 2 ≤ 0 ? y ≥ ?1 ?

内的概率.

【解析】本题主要考查的;二元一次不等式(组)与平面区域、古典概率的计算公式

P ( A) ??

m n 的简单运用,属于基础试题.解题的关键是要准确、全面的找出公式中的 m,n

的值,古典概型及其概率计算公式. 解: (Ⅰ)M={(-2,-1)(-2,1)(0,-1)(0,1)(2,-1)(2,1)}. , , , , , (Ⅱ)记“以(x,y)为坐标的点位于区域 D 内”为事件 A. 集合 M 中共有 6 个元素,即基本事件总数为 6,区域 D 含有集合 M 中的元素 4 个,

P( A) ??
所以

4 2 2 ? 6 3 .故以 ( x, y ) 为坐标的点位于区域 D 内的概率为 3 .

【2012 武昌区高三年级元月调研文】2011 年武汉电视台问政直播节日首场内容是“让 交通更顺畅” .A、B、C、D 四个管理部门的负责人接受问政,分别负责问政 A、B、C、D 四 个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下.为了 了解市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价,对每位现场市民都进行了问卷调 查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取 20 份进行统计,统计结果如下面表格所示:

(I)若市民甲选择的是 A 部门,求甲的调查问卷被选中的概率; (11) 若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出 2 人进行电视访谈, 求这两人中 至少有一人选择的是 D 部门的概率. 【解析】本题主要考查了条形图、概率的基本事件、古典的概念以及计算在实际问题中的应 用. 属于中等题。考查了识图能力基础知识、基本运算、转换能力. 解:(Ⅰ)由条形图可得,分别负责问政 A, B, C , D 四个管理部门的现场市民代表共有 200 人,其中负责问政 A 部门的市民为 40 人.

20 ?
由分层抽样可得从 A 部门问卷中抽取了

40 ?4 200 份.

设事件 M =“市民甲被选中进行问卷调查”,
79

P( M ) ?
所以

4 ? 0.1 40 .
?????????

答:若甲选择的是 A 部门,甲被选中问卷调查的概率是 0.1 .

(6 分) (Ⅱ)由图表可知,分别负责问政 A,B,C,D 四部门的市民分别接受调查的人数为 4,5, 6,5. 其中不满意的人数分别为 1,1,0,2 个 . 记对 A 部门不满意的市民是 a ; B 部门不满意的市民是 b ; D 部门不满意的市民是 c, d . 对 对 设事件 N=“从填写不满意的市民中选出 2 人,至少有一人选择的是 D”. 从填写不满意的市民中选出 2 人,共有(a,b)(a,c)(a,d)(b,c)(b,d)(c,d) , , , , , 共 6 个基本事件; 而事件 N 有(a,c)(a,d)(b,c)(b,d)(c,d)共 5 个基本事件, , , , ,

P( N ) ?
所以

5 6.

5 答:这两人中至少有一人选择的是 D 的概率是 6 .
【2012 山东青岛市期末文】已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1.
2

(Ⅰ)设集合

P ? ?1,2,3?



Q ? ??1,1, 2,3, 4?

,分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a

和 b ,求函数 y ? f (x) 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率;

(Ⅱ)设点 ( a, b) 是区域

?x ? y ? 8 ? 0 ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

内的随机点,

记 A ? { y ? f ( x) 有两个零点,其中一个大于 1 ,另一个小于 1 } ,求事件 A 发生的概率.

2 【解析】 (Ⅰ)∵函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为

x?

2b , a

要使 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上为增函数,
2

2b ? 1, 即2b ? a 当且仅当 a ? 0 且 a

????????????2 分 ????????4 分

若 a ? 1 则 b ? ?1 ,若 a ? 2 则 b ? ?1,1 若 a ? 3 则 b ? ?1,1 记 B ? { 函数

y ? f ? x?

在区间

?1, ??? 上是增函数 }
80

则事件 B 包含基本事件的个数是 1+2+2=5,∴

P ? B? ?

5 1 ? 15 3 ??6 分

(Ⅱ)依条件可知试验的全部结果所构成的区域为

? ?a ? b ? 8 ? 0? ? ? ? ? ? ?( a, b) | ? a ? 0 ? ? ?b ? 0 ? ? ? ?



1 S? ? ? 8 ? 8 ? 32 2 其面积

??????????????8 分

? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ? a ?b ?8 ? 0 ? ? ? ? a?0 ? ? ? a?0 ? ? ? ? ? ? A ? ?? a, b ? ? ? ? ?? a, b ? ? ? b?0 ? ? b?0 ? ? ? ? ? ? f ?1? ? 0 ? ? ?a ? 4b ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 事件 A 构成的区域:

?a ? b ? 8 ? 0 31 9 ? ( , ), a ? 4b ? 1 ? 0 ,得交点坐标为 5 5 ????????????10 分 由?
S 961 1 1 31 961 P( A) ? A ? ? S A ? ? (8 ? ) ? ? S? 1280 ??12 分 2 4 5 40 ,∴事件 A 发生的概率为
?x ? 1 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
y

【2012 吉林市期末质检文】 记不等式组



1 ·

示的平面区域为 M. (Ⅰ)画出平面区域 M,并求平面区域 M 的面积;

1 O·

x

( (Ⅱ)若点 a, b) 为平面区域 M 中任意一点,
求直线 y ? ax ? b 的图象经过一、二、四象限的概率.

3 1 A(? , ) B 2 2 、 (1,3) 【解析】Ⅰ) ( 如图, △ABC 的内部及其各条边就表示平面区域M, 其中 、
C(1, 2) ? ,
(3 分)

1 5 25 ? ?5? 4 ∴平面区域 M 的面积为 2 2

(5 分)

(Ⅱ)要使直线 y ? ax ? b 的图象经过一、二、四象限,则
a ? 0,b ? 0 ,

(6 分) A
81

(b) y B 1 ·

O· C

1

x(a)

( ( 又点 a, b) 的区域为 M,故使直线 y ? ax ? b 的图象经过一、二、四象限的点 a, b) 的区
域为第二象限的阴影部分 1 1 2 ? ? ?1 7 2 2 P? ? 25 25 4 故所求的概率为 (8 分)

(10 分)

【2012 江西南昌市调研文】某工厂师徒二人各加工相同型号的零件,是否加工出精品均互 不影响。 已知师傅加工一个零件是精品的概率为 , 师徒二人各加工 2 个零件都是精品的概 率为 . (1)求徒弟加工 2 个零件都是精品的概率; (2)若师徒二人各加工这种型号的零件 2 个,求徒弟加工该零件的精品数多于师傅的概率 【解析】 (1)设徒弟加工 1 个零件是精品的概率为 p1,

2 2 2 1 1 ? p1 ? 得p12 ? , 9 4 则3 3 1 所以徒弟加工 2 个零件都是精品的概率是 4 ??????????????6 分
(2)设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为

p2 ,

由(1)知,

p1 ?

1 2

1 4 师父加工两个零件中,精品个数为 0 个,1 个的概率分别为 9 , 9 : 2 1 徒弟加工两个零件中,精品个数为 1 个,2 个的概率分别为 4 , 4 : 1 2 4 1 1 1 7 p2 ? ? ? ? ? ? ? 9 4 9 4 9 4 36 ?????????12 分 所以
【2012 广东佛山市质检文】文科班某同学参加广东省学业水平测试,物理、化学、生物获 得等级 A 和获得等级不是 A 的机会相等, 物理、 化学、 生物获得等级 A 的事件分别记为

W1



W2



W3

,物理、化学、生物获得等级不是 A 的事件分别记为

W1



W2



W3

.

(1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的所有可能结果(如三 科成绩均为 A 记为

?W1 ,W2 ,W3 ? ) ;
82

(2)求该同学参加这次水平测试获得两个 A 的概率; (3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件,使该事 件的概率大于 85% ,并说明理由. 【解析】 (1)该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的可能结果有 8 种, 分别为

(W1 ,W2 ,W3)、(W1 , W2 ,W3)、(W1 , W2 ,W3)、(W1 , W2 ,W3)、(W1 , W2 ,W3)、
???????4 分 、 、 三个,

(W1 , W2 ,W3) (W1 , W2 , W3) (W1 , W2 ,W3) 、 、 ;
(2)由(1)可知,有两个 A 的情况为

(W1 , W2 ,W3) (W1 , W2 , W3) (W1 , W2 , W3)

P?
从而其概率为

3 8

???????8 分

(3)方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件概率大于

85% ,

???????10 分

理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件有如下七种 情况:

(W1 , W2 ,W3) W1 , W2 , W3) W1 , W2 , W3) W1 , W2 ,W3) W1 , W2 ,W3) W1 , W2 , W3) ( ( ( ( (
、 、 、 、 、



(W1 , W2 ,W3)

P?

,概率是

7 ? 0.875 ? 85% 8 .

???????12 分

方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个 A 的事件概率大于

85% ,

???????10 分

理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件有如下七种 情况:

( ( ( ( ( (W1 ,W2 ,W3) W1 , W2 ,W3) W1 , W2 ,W3) W1 , W2 ,W3) W1 , W2 ,W3) W1 , W2 ,W3)
、 、 、 、 、



(W1 , W2 , W3)

P?

,概率是

7 ? 0.875 ? 85% 8 .

????????12 分

【2012 河南郑州市质检文】第 30 届夏季奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行,当地某 学校招募了 8 名男志愿者和 12 名女志愿者。 将这 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图 (单位: cm) 若身高在 180cm 以上 : (包括 180cm) 定义为 “高个子” 身高在 180cm 以下 , (不包括 180cm) 定义为“非高个子”. (Ⅰ)求 8 名男志愿者的平均身高和 12 名女志愿者身高的中位数; (Ⅱ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2

83

人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?

【解析】 (Ⅰ)8 名男志愿者的平均身高为

168 ? 176 ? 177 ? 178 ? 183 ? 184 ? 187 ? 191 ? 180.5(cm) 8 ;?3 分
12 名女志愿者身高的中位数为 175. ????6 分 (Ⅱ)根据茎叶图,有“高个子”8 人, “非高个子”12 人,

5 1 ? 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 20 4 , 8?
所以选中的“高个子”有

1 ?2 4 人,设这两个人为 A,B;

12 ?
“ 非高个子”有

1 ?3 4 人, 设这三个人 C,D,E. ??8 分

从这五个人 A,B,C,D,E 中选出两个人共有: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C), ( B,D ) , ( B,E ) , ( C,D ) , ( C,E ) , ( D,E ) 十 种 不 同 方 法; ????10 分 其中至少有一人是“高个子”的选法有: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D), (B,E)七种.

7 因此,至少有一人是“高个子”的概率是 10 .????12 分
【2012 北京海淀区期末文】为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教 育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段, 参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决 赛. (Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (Ⅱ)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率. 【解析】基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙, 丙乙甲”. ???????????????2 分 (Ⅰ)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A ,事件 A 包含的基本事件 有“甲乙丙,乙甲丙” ,则 ????????????4 分

P ? A? ?

2 1 ? 6 3.

84

1 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为 3 .
???????????????7 分 (Ⅱ)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件 B ,事件 B 包含的基本事件 有“甲乙丙,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲” ,则???????????????10 分

P ? B? ?

4 2 ? 6 3.

2 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为 3 .
???????????????13 分 【2012 广东韶关市调研文】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行 了问卷调查得到了如下的列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

(1)用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人,其中男生抽多少人? (2)在上述抽取的6人中选2人,求恰有一名女生的概率. (3)为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关,计算出 K ? 8.333 ,你有多大的把握认为是
2

否喜欢打蓝球与性别有关? 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

6 1 ? 【解析】 (1)在喜欢打蓝球的学生中抽6人,则抽取比例为 30 5 1 20 ? ? 4 5 ∴男生应该抽取 人?????????????.4分
(2)在上述抽取的 6 名学生中, 女生的有 2 人,男生 4 人。女生 2 人记 A, B ;男生 4 人

( ( ( ( 为 c, d , e, f ,则从 6 名学生任取 2 名的所有情况为: ( A, B) 、 A, c) 、 A, d ) 、 A, e) 、 A, f ) 、 ( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、 ( B, f ) 、 (c, d ) 、 (c, e) 、 (c, f ) 、 ( d , e) 、 (d , f ) 、 (e, f ) 共 15
种情况,其中恰有 1 名女生情况有:

85

( A, c) 、 ( A, d ) 、 ( A, e) 、 ( A, f ) 、 ( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、 ( B, f ) ,共 8 种情况,
P?
故上述抽取的6人中选2人,恰有一名女生的概率概率为
2 2 (3)∵ K ? 8.333 ,且 P(k ? 7.879) ? 0.005 ? 0.5% ,

8 15 . ???????.8分

那么,我们有 99.5% 的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系的???.12分

2011 届高三模拟题 题组一 一、选择题 1. (贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理)甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五 的 5 天中参加某项志愿者活动, 要求每人参加一天且每天至多安排一人, 并要求甲安排在另 外两位前面,不同的安排方法共有( ) A. 20 种 B. 30 种 C. 40 种 D. 60 种 答案 A. 2. (湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考理)某电视台连续播放 6 个广告,其中有 3 个不 同的商业广告, 两个不同的奥运宣传广告, 一个公益广告, 要求最后播放的不能是商业广告, 且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放, 两个奥运宣传广告也不能连续播放, 则不同的播 放方式的种数是 ( ) A.48 B.98 C.108 D.120 答案 C. 3. (湖北省孝感市 2011 届高三第一次统一考试理)2010 年广州亚运会期间,某国代表团计 划在比赛全部结束后,顺便从 7 个他们最喜爱的中国城市里选择 5 个进行游览.如果 M、N 为必选城市,并且在游览过程中必须按先 M 后 N 的次序经过 M、N 两城市(游览 M、N 两城市 的次序可以不相邻) ,则他们可选择的不同游览线路有 ( ) A.120 种 B.240 种 C.480 种 D.600 种 答案 D. 4. (浙江省菱湖中学 2011 届高三上学期期中考试理)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学 一起参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其 他三项工作,丙、丁、戊都能胜四项工作,则不同安排方案的种数是 ( ) A. 152 B.126 C. 90 D. 54 答案 B. 5. (浙江省嘉兴一中 2011 届高三 12 月月考题文)右图是某小组在一次测验中的 数学成绩的茎叶图,则中位数是 (A)81 (B)82 (C)83 (D)87 ( ) 答案 C.

86

6. (浙江省嘉兴一中 2011 届高三 12 月月考题文) 已知 将数列

an ? 5n ,

{an } 的各项依次从上到下、从左到右排成如图三角形数

? 表,其中第 i 行有 2i ? 1 (i ? 1,2,3,?) 个数,则第 10 行第 8 个
数是

(A)581

(B)589

(C )588

(D)590

答案 B. 7. (浙江省杭州宏升高复学校 2011 届高三上学期第三次月考文)某篮球队甲、乙两名运动 员练习罚球,每人练习 10 组,每组罚球 40 个.命中个数的茎叶图如下.则下面结论中错误 的一个是( ) (A) 甲的极差是 29 (B)乙的众数是 21 (C) 甲罚球命中率比乙高 (D) 甲的中位数是 24 答案 D. 8. (浙江省杭州宏升高复学校 2011 届高三第一次模拟考试试题理) 从编号为 1,2,3,4 的四个不同小球中取三个不同的小球放入编号 为 1,2,3 的三个不同盒子,每个盒子放一球,则 1 号球不放一号盒 子且 3 号球不放 3 号盒子的放法总数为( ) A.10 B.12 C.14 D.16 答案 C. 9. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷) 10 种不同的作物种子 从 中选出 6 种放入 6 个不同的瓶子中展出,如果甲、乙两种种子不能放入第 1 号瓶内,那么不 同的放法共有( ) A. 答案 C. 10. (北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题)已知随机变量 , A. 答案 D. B. ,则 C. ( ) D. 服从正态分布
2 C10 A84 种

B.

1 5 C9 A9 种

C.

1 5 C8 A9 种

D.

1 5 C8 A8 种

11. (北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题)一组抛物线 中 为 2,4,6,8 中任取的一个数, 为 1,3,5,7 中任取的一个数, 从这些抛物线中任意抽取两条, 它们在与直线 ( )

,其

交点处的切线相互平行的概率是

87

A. B. C. D. 答案 B. 12.(湖南省长沙市第一中学 2011 届高三第五次月考理)形如 45132 这样的数称为“波浪 数”,即十位数字,千位数字均比它们各自相邻的数字大,则由 1、2、3、4、5 可构成的数 字不重复的五位“波浪数”的概率为( ) 1 3 A. B. 6 20 11 2 C. D. 120 15

答案 D. 解:当十位与千位是 4 或 5 时,共有波浪数为 A2A3=12 个.当千位是 5,十位是 3 时,万位 2 3 只能是 4,此时共有 2 个波浪数.当千位是 3,十位是 5 时,末位只能是 4.此时共有 2 个波 12+2+2 2 浪数.故所求概率 P= = . A5 5 15 13. (浙江省嘉兴一中 2011 届高三 12 月月考题文)国庆阅兵中,某兵种 A,B,C 三个方阵 按一定次序通过主席台,若先后顺序是随机排定的,则 B 先于 A,C 通过的概率为

( A)

1 6

(B )

1 3

(c )

1 2

(D)

2 3





答案 B. 14. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷)抛掷两个骰子,则两个 骰子点数之和大于 4 的概率为 13 8 7 5 A. 18 B. 9 C. 12 D. 6 答案 D. 15. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷) 某人射击一次击中的概

3 率为 5 ,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 81 A. 125 54 B. 125 36 C. 125 27 D. 125

答案 A. 16. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷)样本 4,2,1,0,?2 的标准差是 A.1 答案 B. B.2 C.4 D. 2 5

(2 x ?
18. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷)已知

2 9 ) 2 展开

21 式的第 7 项为 4 ,则实数 x 的值是( )

88

1 A. 3 ?
答案 A.

B.-3

1 C. 4

D.4

二、填空题 19. (湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考理)将正奇数排列如下表,其中第 i 行第 j 个 数表示成

aij (i ? N * , j ? N * ), 例如a32 ? 9, aij ? 2009,

则i ? j



答案 60 20. (浙江省嵊州二中 2011 届高三 12 月月考试题理)有 8 个人乘 1,2,3 号车出去旅游, 若每车至少 2 人,则有 种不同的乘坐方法. 答案 2940. 21.(河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文)200 辆汽车经过某一雷达地区,时 速频率分布直方图如图所示,则时速超过 60 km/h 的汽车数量为_____ __ _。

答案 76. 22. 浙江省杭州宏升高复学校 2011 届高三上学期第三次月考文) ( 《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所 全月应纳税所得额 得不超过 2000 元的部分不必纳税,超过 2000 元的部分为全月应 不超过 500 元的部分 纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算: 超过 500 元至 2000 元的部分 某人一月份应交纳此项税款 135 元,则他的当月工资、薪金的税 超过 2000 元至 5000 元的部分 后所得是 元. ?? 答案 3600. 23. (浙江省嘉兴一中 2011 届高三 12 月月考题文)某校有学生 l485 人,教师 l32 人,职工 33 人.为有效防控甲型 HINl 流感,拟采用分层抽样的方法,从以上人员中抽取 50 人进行 相关检测,则在学生中应抽取_______人. 答案 45. 24. (浙江省杭州宏升高复学校 2011 届高三上学期第三次月考文)从某市参加高中数学建 模竞赛的 1008 份试卷中随机抽取一个容量为 54 的样本, 考查竞赛的成绩分布, 将样本分成 6 组,绘成频率分布直方图如图所示,从左到右各小组的小矩形的高的比为 1:1:4:6:4: 2. 据此估计该市在这次竞赛中,成绩高于 85 分的学生总人数为 人.

税率 5% 10% 15% ?

答案 224.

89

25. (浙江省诸暨中学 2011 届高三 12 月月考试题文)某地区有农民家庭 1500 户,工人家庭 401 户,知识分子家庭 99 户,现用分层抽样的方法从所有家庭中抽取一个容量为 n 的样本, 已知从农民家庭中抽取了 75 户,则 n= _. 答案:100. 26. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷)观察新生婴儿的体重, 其频率分布 直方图如图所示,则新生婴儿体重在 频率/组距 ? 2700, 3000? 的频率为 __________. 0.001

答案 0.3

.

27. (浙江省嵊州二中 2011 届高三 12 月月考试题理) 水库的蓄水量随时间而变化, 现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米) O 2400 2700 3000 3300 3600 3900 关于 t 的近似函数关系式为 体重
1 ? 2 ?? ?t ? 14t ? 40 ? e t ? 60, 0 ? t ? 10 V ?t ? ? ? ?4 ? t ? 10 ?? 3t ? 4 ? ? 60,10 ? t ? 12 ? ,该水库的蓄水量小于 60 的时期称为枯水期.

以 i ? 1 ? t ? i 表示第 i 月份( i ? 1, 2,3,?,12 ) ,则同一年内是枯水期的月份数是_ 答案 5 . 28. (北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题) 是___________。 答案 1890. 的展开式中,



的系数

a ( x 2 ? )5 x 的展开式中,x 的系数 29. (湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考理)在二项式
是-10,则实数 a 的值为 答案 1. 。

1 2 x ? )8 2 展开式的第 3 项为 56, 30.(湖北省孝感市 2011 届高三第一次统一考试理)若(
则 n ??

lim( x ? x 2 ? ? ? x n )

=



答案:1.

( x2 ?
31. (浙江省菱湖中学 2011 届高三上学期期中考试理) 在

1 10 ) 2 x 的二项展开式中,x11

90

的系数是___________ 答案:15. 32.(浙江省杭州宏升高复学校 2011 届高三第一次模拟考试试题理)

1 1 ?1 ? x ? ?1 ? ? 的展开式中, 含 的项的系数为 ? ? x ? x? 在 ▲
3

3

答案 15. 三、简答题 33. (北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理)某车间甲组 10 名工人,其中 4 名女工 人,乙组 5 名工人,其中 3 名女工人,现采用分层抽样方法,从甲乙两组中共抽取 3 名工人 进行技术考核 求从甲乙两组各抽取的人数 求从甲组抽取的 2 人中恰有 1 名女工的概率 用 X 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 X 的分布列及数学期望 答案 解: (1)甲组 2 人,乙组 1 人
1 1 C6 C 4 8 ? 2 15 (2) C10

(3) X 可能取值为 0,1,2,3

P( X ? 0) ?

2 1 C 4 C3 2 ? 2 1 C10 C5 25

1 1 1 2 1 C6 C4 C3 ? C4 C2 28 P( X ? 1) ? ? 2 1 75 C10 C5 1 1 1 2 1 C6 C4 C2 ? C6 C3 31 ? 2 1 75 C10 C5 2 1 C6 C 2 2 ? 2 1 C10 C5 15

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?
分布列为

X P

0

1

2

3

2 25 8 5

28 75

31 75

2 15

EX ?

34. (贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理) (12 分)袋中有同样的球 5 个,其中 3 个 红色, 2 个黄色,现从中随机且不返回地摸球,每次摸 1 个,当两种颜色的球都被摸到时,

91

即停止摸球,记随机变量 ? 为此时已摸球的次数,求:. (1)随机变量 ? 的概率分布; (9 分) (2)随机变量 ? 的数学期望与方差. (3 分)

答案 解答:(1)随机变量 ? 可取的值为 2, 3, 4,

P (? ? 2) ?

1 1 1 C2C3C2 3 ? ; 1 1 C5 C4 5

P (? ? 3) ?

1 1 P22C3 ? P32C2 P 3C 1 3 1 ? ; P (? ? 4) ? 1 31 2 1 ? ; 1 1 1 1 C5 C4 C 3 10 C5 C4 C3C2 10

得随机变量 ? 的概率分布律为:

x
P (? ? x )

2
3 5

3
3 10

4
1 10

3 3 1 5 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 10 10 2 ; (2)随机变量 ? 的数学期望为:
随机变量 ? 的方差为:

3 3 1 9 D? ? (2 ? 2.5) 2 ? ? (3 ? 2.5) 2 ? ? (4 ? 2.5) 2 ? ? 5 10 10 20

35.(江苏省句容、六合、高淳三地 10-11 学年高一上学期期中联考) (本题满分 14 分)某 省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车 作为交通车,已知该车每次拖 4 节车厢,一日能来回 16 次,如果每次拖 7 节车厢,则每日 能来回 10 次.若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,每节车厢能载乘客 110 人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数 答案 解:设每日来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意 y ? kx ? b 当 x=4 时 y=16 当 x=7 时 y=10 得下列方程组: 16=4k+b 10=7k+b 解得:k= ? 2 b=24

?

y ? ?2 x ? 24

6′

由题意知,每日挂车厢最多时,营运人数最多,设每日营运 S 节车厢 则 S ? xy ? x(?2x ? 24) ? ?2x ? 24x ? ?2( x ? 6) ? 72
2 2

S ? 72 此 时 y=12 , 则 每 日 最 多 运 营 人 数 为 110 × 72=7920( 人 ) 所 以 当 x ? 6 时 , max
12′ 答: 这列火车每天来回 12 次,才能使运营人数最多。 每天最多运营人数为 7920. 14′

92

36. (北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题) (本小题满分 13 分) 甲和乙参加智力答题活动,活动规则:①答题过程中,若答对则继续答题;若答错则停 止答题;②每人最多答 3 个题;③答对第一题得 10 分,第二题得 20 分,第三题得 30 分,

答错得 0 分。已知甲答对每个题的概率为 (1)求甲恰好得 30 分的概率;

,乙答对每个题的概率为



(2)设乙的得分为 ,求 的分布列和数学期望; (3)求甲恰好比乙多 30 分的概率.

答案 (I) 甲恰好得 30 分, 说明甲前两题都答对, 而第三题答错, 其概率为 (II) 的取值为 0,10, 30,60.







, 的概率分布如下表: 0 10 30 60

(III)设甲恰好比乙多 30 分为事件 A,甲恰好得 30 分且乙恰好得 0 分为事件 B1, 甲恰好得 60 分且乙恰好得 30 分为事件 B2,则 A= 为互斥事件.

.

所以,甲恰好比乙多 30 分的概率为 37.(福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理)(本题满分 13 分) 某学校数学兴趣小组有 10 名学生,其中有 4 名女同学;英语兴趣小组有 5 名学生,其中有 3 名女学生,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从数学兴趣小组、英语 兴趣小组中共抽取 3 名学生参加科技节活动。 (1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数; (2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有 1 名女学生的概率;
93

(3)记 ? 表示抽取的 3 名学生中男学生数,求 ? 的分布列及数学期望。 答案 38.(本题满分 13 分) 解(1)抽取数学小组的人数为 2 人;英语小组的人数为 1 人;????????2 分

p?
(2)

1 1 C6 ? C 4 8 2 C10 = 15 ;

?????????5 分

p(? ? 0) ?
(3)

2 C1 ? C1 3 C 2 2 28 C4 3 2 ? ? p(? ? 1) ? 6 2 4 ? ? 4 ? ? 2 2 C10 5 25 , C10 5 C10 5 75 ,

2 1 1 2 C6 3 C6 ? C4 2 31 C6 2 2 p(? ? 2) ? 2 ? ? ? ? p(? ? 3) ? 2 ? ? 2 C10 5 C10 5 75 , C10 5 15 。

? ? 的分布列为:
?
p
0 1 2 3

2 25

28 75

31 75
?????????13 分

2 15

E? ? 0 ?

2 28 31 2 8 ? 1? ? 2? ? 3? ? 25 75 75 15 5 .

39. (广东省中山市桂山中学 2011 届高三第二次模拟考试文) (13 分) 今年国庆节期间, 上海世博会中国馆和美国馆异常火爆,10 月 1 日中国馆内有 2 个广东旅游团和 2 个湖南旅 游团,美国馆内有 2 个广东旅游团和 3 个湖南旅游团 . 现从中国馆中的 4 个旅游团选出其 中一个旅游团,与从美国馆中的 5 个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换. (1)求互换后中国馆恰有 2 个广东旅游团的概率; (2)求互换后中国馆内广东旅游团数的期望. 答案 3.(本题满分 13 分) 解. (Ⅰ)令 A ? { 互换后中国馆恰有 2 个广东旅游团 } , ①互换的都是广东旅游团,则此时中国馆恰有 2 个广东旅游团事件

A1 的概率

P( A1 ) ?

1 1 C2C2 1 ? . 1 1 C 4 C5 5 ---2 分

②互换的都是湖南旅游团,则此时中国馆恰有 2 个广东旅游团事件
P( A2 ) ?
1 1 C2C3 3 ? . 1 1 C4C5 10 ----4 分

A2 的概率



A ? A1 ? A2 , A1, A2 互斥,则

P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?

1 3 1 ? ? . 5 10 2 ----------5 分

94

1 答:互换后中国馆恰有 2 个广东旅游团的概率为 2 .-----------------------------6 分
(Ⅱ)设互换后中国馆内广东旅游团数为 ? ,则 ? 的取值为 1, 2,3 ------------------7 分

P(? ? 1) ?

1 1 C2C3 3 ? 1 1 C4C5 10 ,

1 P(? ? 2) ? 2,

P(? ? 3) ?

1 1 C2C2 1 ? 1 1 C4C5 5

所以 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

3 10

1 2

1 5

E? ?
所以

3 10

?1 ?

1 2

?2?

1 5

?3?

19 10

.
12 分

19 . 答:互换后中国馆内广东旅游团数的期望 10 -----13 分
40. (广西北海二中 2011 届高三 12 月月考试题理) (本题满分 12 分)在本次考试中共有 12 道选择题,每道选择题有 4 个选项,其中只有一个是正确的。评分标准规定:‘每题只 选一项,答对得 5 分,不答或答错得 0 分。’某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定 有 9 道题的答案是正确的,而其余题中,有 1 道题可判断出两个选项是错误的,有一道可以 判断出一个选项是错误的,还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生: (Ⅰ)选择题得 60 分的概率; (Ⅱ)选择题所得分数 ? 的数学期望 答案解: (1)得分为 60 分,12 道题必须全做对.在其余的 3 道题中,有 1 道题答对的概率

1 1 1 为 2 ,有 1 道题答对的概率为 3 ,还有 1 道答对的概率为 4 , P?
所以得分为 60 分的概率为:

1 1 1 1 ? ? ? . 2 3 4 24 ,。。。5 分 。。。

(2)依题意,该考生得分的范围为{45,50,55,60}. ,。。。6 分 。。。 得分为 45 分表示只做对了 9 道题,其余各题都做错,

所以概率为

P? 1

1 2 3 6 1 ? ? ? ? . 2 3 4 48 4 ,。。。7 分 。。。 P2 ? 1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 ,。。。8 分 。。。 P3 ? 6 . 24 ,。。。9 分 。。。

得分为 50 分的概率为:

同理求得得分为 55 分的概率为:

95

得分为 60 分的概率为: 所以得分 ? 的分布列为

P4 ?

1 . 24 ,。。。10 分 。。。

?
P

45

50

55

60

1 4

11 24

6 24

1 24

1 11 6 1 605 E? ? 45 ? ? 50 ? ? 55 ? ? 60 ? ? 4 24 24 24 12 。。。 数学期望 。。。12 分
41. (湖北省南漳县一中 2010 年高三第四次月考文)(本小题满分 12 分) 不透明盒中装有 10 个形状大小一样的小球,其中有 2 个小球上标有数字 1,有 3 个小 球上标有数字 2,还有 5 个小球上标有数字 3.取出一球记下所标数字后放回,再取一球记 下所 标数字,共取两次.设两次取出的小球上的数字之和为 ξ . (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列; (Ⅱ)求随机变量 ξ 的期望 Eξ . 答案 (Ⅰ)由题意知随机变量 ξ 的取值为 2,3,4,5,6.

P(? ? 2) ?

2 2 1 2 3 3 2 3 ? ? P(? ? 3) ? ? ? ? ? 10 10 25 , 10 10 10 10 25 , 2 5 5 2 3 3 29 3 5 5 3 3 ? ? ? ? ? ? P(? ? 5) ? ? ? ? ? 10 10 10 10 10 10 100 , 10 10 10 10 10 , 5 5 1 ? ? 10 10 4
2 3 4 5 6

P(? ? 4) ? P (? ? 6) ?

所以随机变量 ξ 的分布列为

?
P

1 25

3 25

29 100

3 10

1 4

(Ⅱ)随机变量 ξ 的期望为

E? ? 2 ?

1 3 29 3 1 23 ? 3? ? 4? ? 5? ? 6? ? 25 25 100 10 4 5

42. (湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考理) (本题满分 12 分) 在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中, 两人一对一比赛规则如一上: 若某人某次 投篮命中,则由他继续投篮,否则由对方接替投篮,现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛,

1 1 , . 甲和乙每次投篮命中的概率分别是 3 2 两人共投篮 3 次,且第一次由甲开始投篮,假设每
人每次投篮命中与否均互不影响。 (I)求 3 次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率; (II)若投篮命中一次得 1 分,否则得 0 分,用 ? 表示甲的总得分,求 ? 的分布列和数
96

学期望。 答案

43. (湖北省孝感市 2011 届高三第一次统一考试理) (本小题满分 12 分) 袋子中装有大小形状完全相同的 m 个红球和 n 个白球, 其中 m, 满足 m>n≥2 且 m+n≤l0 m, n ( n∈N+) ,若从中取出 2 个球,取出的 2 个球是同色的概率等于取出的 2 个球是异色 的概率. (I)求 m,n 的值; (Ⅱ)从袋子中任取 3 个球,设取到红球的个数为 f,求 f 的分布列与数学期望. 答案

44.(湖南省长沙市第一中学 2011 届高三第五次月考理)(本小题满分 12 分) 若盒中装有同一型号的灯泡共 12 只,其中有 9 只合格品,3 只次品.

97

(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次,每次取一只灯泡,求 2 次取到次品的概 率; (2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正 品则用它更换已坏灯泡, 若是次品则将其报废(不再放回原盒中), 求成功更换会议室的已坏 灯泡前取出的次品灯泡只数 X 的分布列和数学期望. C1 1 3 答案 解:(1)每次取到一只次品的概率 P1= = , C12 4 1 1 1 9 则有放回连续取 3 次,其中 2 次取得次品的概率 P=C2( )2·(1- )= .(5 分) 3 4 4 64 (2)依题知 X 的可能取值为 0、1、2、3.(6 分) 9 3 且 P(X=0)= = , 12 4 3 9 9 P(X=1)= × = , 12 11 44 3 2 9 9 P(X=2)= × × = , 12 11 10 220 3 2 1 9 1 P(X=3)= × × × = .(8 分) 12 11 10 9 220 则 X 的分布列如下表: X P (10 分) 3 9 9 1 3 EX=0× +1× +2× +3× = .(12 分) 4 44 220 220 10 45. (江苏省南京市九校联合体 2011 届高三学情分析试卷) (本小题满分 14 分)某兴趣小组 欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日 期 1 月 10 日 10 22 2 月 10 日 11 25 3 月 10 日 13 29 4 月 10 日 12 26 5 月 10 日 8 16 6 月 10 日 6 12 0 3 4 1 9 44 2 9 220 3 1 220

昼 夜 温 差 x(°C) 就诊人数 y(个)

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回 归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (Ⅰ)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率;(5 分) (Ⅱ)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性 回归方程 y ? bx ? a ;(6 分) (Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认 为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3 分)

?

98

b?
(参考公式:

? x y ? nx y ? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 n i i

n

n

?x
i ?1

?

i ?1

i

i

2

i

? nx

2

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? bx
)

2

答案 (本小题满分 14 分)解:(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件 A.因为从 6 组数据中 选 取 2 组数据共有 15 种情况,每种情况都是等可能出现的 ????????(2 分) 其中,抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种 ????????(3 分)

所以

P?A ? ?

5 1 ? 15 3

????????????????(5 分) ?????????(7 分)

(Ⅱ)由数据求得 x ? 11, y ? 24

b?
由公式求得

18 7 30 7

??????????????(9 分)

a ? y ? bx ? ?
再由

????????????????(10 分)

? ? 18 x ? 30 y y 7 7 所以 关于 x 的线性回归方程为 ? ? 150 | 150 ? 22 |? 2 y x ? 10 时, 7 , 7 (Ⅲ)当 ; ? ? 78 | 78 ? 14 |? 2 y 7 , 7 同样, 当 x ? 6 时,

??????????? (11 分)

??????????? (12 分)

??????????????(13 分)

所以,该小组所得线性回归方程是理想的. ??????????????(14 分) 46. (浙江省杭州宏升高复学校 2011 届高三上学期第三次月考文) (本题 14 分)从装有编号 分别为 a,b 的 2 个黄球和编号分别为 c,d 的 2 个红球的袋中无放回地摸球, 每次任摸一球, 求: (Ⅰ)第 1 次摸到黄球的概率; (Ⅱ)第 2 次摸到黄球的概率. 答案 (本题 14 分) (Ⅰ)第 1 次摸球有 4 个可能的结果:a,b,c,d,其中第 1 次摸到黄球的结果包括:a,b,

2 ? 0. 5 故第 1 次摸到黄球的概率是 4 .

4分

(Ⅱ)先后两次摸球有 12 种可能的结果: (a,b) (a,c) (a,d) (b,a) (b,c) (b,d) (c, a) (c,b) (c,d) (d,a) (d,b) (d,c) ,其中第 2 次摸到黄球的结果包括: (a,b)(b,

6 ? 0.5 a)(c,a) (c,b) (d,a) (d,b) ,故第 2 次摸到黄球的概率为 12 .
99

10 分 47.(浙江省杭州宏升高复学校 2011 届高三第一次模拟考试试题理) (本小题满分 14 分) 某商场“十.一”期间举行有奖促销活动,顾客只要在商店购物满800 元就能得到一次摸奖 机会.摸奖规则是:在盒子内预先放有 5 个相同的球,其中一个球标号是0,两个球标号都是 40,还有两个球没有标号。顾客依次从盒子里摸球,每次摸一个球(不放回) ,若累计摸 到两个没有标号的球就停止摸球,否则将盒子内球摸完才停止.奖金数为摸出球的标号之和 (单位:元) ,已知某顾客得到一次摸奖机会。 (Ⅰ)求该顾客摸三次球被停止的概率; (Ⅱ)设 ? (元)为该顾客摸球停止时所得的奖金数,求 ? 的分布列及数学期望 E? .
1 1 2 C2C3 A2 1 P( A) ? ? ??5分 3 A5 5 答案:解(Ⅰ)记“顾客摸球三次被停止”为事件 A,则 2 1 2 A2 C2 A2 1 ? 3 ? A52 A5 6

0、 80 (Ⅱ)??的可能值为: 40、 ??6分
P(? ? 40) ?

P(? ? 0) ?

1 1 3 1 1 1 2 C 2C2 A3 C 3C1 A4 1 C2C2 A2 C2C2 A3 1 ? ? P(? ? 80) ? 2 4 3 ? 3 2 4 ? ??9分 3 5 A5 A54 3, A5 A5 2

?
P

0

40

80

????12分
1 6 1 3 1 2

1 1 1 160 ? E? ? 0? ? 40? ? 80? ? (元) 14分 ?? 6 3 2 3
48.(河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文) (本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

(I)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (II)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? 下面的临界值表供参考:

p( K 2 ? k )
P

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

100

K2 ?
(参考公式: 答案

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 其中 n ? a ? b ? c ? d )

题组二 一、选择题 1. (浙江省桐乡一中 2011 届高三理)从 2009 名学生中选取 50 名学生参加数学竞赛,若采 用下面的方法选取: 先用简单随机抽样从 2009 人中剔除 9 人, 剩下的 2000 人再按系统抽样 的方法抽取 50 人,则在 2009 人中,每人入选的概率 50 1 (A)不全相等 (B)均不相等 (C)都相等,且为 2009 (D)都相等,且为 40 答案 C. 2. (河北省唐山一中 2011 届高三文)某班选派 6 人参加两项公益活动,每项活动最多安排 4 人,则不同的安排方法有 ( ) A.50 种 B.70 种 C.35 种 D.55 种 答案 D. 3. (山东省实验中学 2011 届高三文理)某企业有职工 150 人,其中高级职称 15 人,中级职 称 45 人,一般职员 90 人,现抽取 30 人进行分层抽样,则各职称人数分别为( A. 5,10,15 C. 3,9,18 B. 5,9,16 D. 3,10,17 )

答案 C. 4.(福建省四地六校联考 2011 届高三文) 将 n2(n≥3)个正整数 1,2,3,?,n2 填入 n×n 方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做 n 阶幻方,记 f(n)为 n 阶幻方对角线上数的和。如下表所示 8 3 4 1 5 9 6 7 2 ( )

就是一个 3 阶幻方,可知 f(3)=15,则 f(n)=

101

1 A. n(n2+1) 2 1 C . n2(n2+1) 2

B.

1 n2(n+1)-3 2 D.n(n2+1)

答案 A. 5. (成都市玉林中学 2010—2011 学年度)在重庆召开的“市长峰会”期间,某高校有 14 名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开 幕式当天不同的排班种数为
12 4 C14 C12C84 3 A3 C.

A.

12 4 C14 A12 A84

B.

12 4 C14 C12C84

D.

12 4 3 C14 C12C84 A3

答案 C. 6.(福建省福州八中 2011 届高三文) 在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在正 方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是

1 A. 4
答案 C.

1 B. 8

? C. 4

? D. 8

7. (河北省唐山一中 2011 届高三文) 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡 片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( )

1 A. 3

1 B. 2

2 C. 3

3 D. 4

答案 B. 8.(广东省河源市龙川一中 2011 届高三理) 在区间[0, ? ]上随机取一个数 x,则事件“ sin x ? 3 cos x ? 1 ”发生的概率为( )

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

答案 C. 9. (浙江省桐乡一中 2011 届高三上学期第一次月考试题文)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,有 S 8 ? S 3 ? 10 ,则 S11 的值为( (A)12 答案 C. (B)18 (C)22 (D)44 )

102

二、选择题 10.为激发学生学习的兴趣,老师上课时在黑板上写出三个集合:

A ? {x |

? x ?1 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0}, C ? {x | log 1 x ? 1} x 2 ;然后叫甲、乙、丙三位

同学到讲台上,并将“ ? ”中的数告诉了他们,要求他们各用一句话来描述,以便同学们能 确定该数,以下是甲、乙、丙三位同学的描述: 甲:此数为小于 6 的正整数;乙:A 是 B 成立的充分不必要条件; 丙:A 是 C 成立的必要不充分条件 若老师评说这三位同学都说得对,则“ ? ”中的数为 。 答案 1. 11. (浙江省桐乡一中 2011 届高三文)从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则 甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为 (用数字作答) . 答案 49. 12(福建省四地六校联考 2011 届高三文) .正整数 m 的三次幂可拆分成几个连续奇数的和, 如右图所示,若 m 的“拆分数”中有一个数是 2009, 则 m 的值为 答案 45. .
3

13 ? 1 23 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ? ? ?

13. (2011 嘉禾一中)某单位青年、中年、老年职员的人数之比为 10:8:7,从中抽取 200 2 名职员作为样本,若每人被抽取的概率为 0.2,则该单位青年职员的人数为____________. 0 答案 400, 0 14. (2011 嘉禾一中)从颜色不同的 5 个球中任取 4 个放入 3 个不同的盒子中,要求每个 9 盒子不空,则不同的方法总数为____________. (用数字作答) 0 答案 180, 4 15. (成都市玉林中学 2010—2011 学年度)某校有高中生 1200 人,初中生 900 人,老师 120 0 人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本;已知从初中生中抽取人数 1 为 60 人,那么 n = 。 答案.148。 解: 1200 : 900 :120 ? x : 60 : y ? x ? 80, y ? 8 ? n ? 80 ? 60 ? 8 ? 148 16. (江苏泰兴市重点中学 2011 届理)某商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额 不超过 500 元,不享受任何折扣,如果顾客购物总金额超过 500 元,则超过 500 元部分享受 一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算: 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过 200 元的部分 超过 200 元的部分
103

5% 10%

某人在此商场购物获得的折扣金额为 35 元,则他购物实际所付金额为 答案 915. 17. (江苏省泰州中学 2011 年高三文)如图是某学校学生体重 的频率分布直方图,已知图中 从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ,第 2 小组 的频数为 10 ,则抽取的学生人数是 .



答案 40. 18. (山东省实验中学 2011 届高三数学文理)从某项综合能力 测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准差为_______.
分数 人数 5 20 4 10 3 30 2 30 1 10

2 10 5 。 答案
19. (广东省广州东莞五校 2011 届高三理)某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查, 选用分层抽样法抽取一个容 量为 200 的样本.已知女生比男生少抽了 10 人,则该校的女生人数应是 人. 答案 760. 20. (江苏泰兴 2011 届高三文)已知等差数列

?an ? ,满足 a2 ? 3, a5 ? 9 ,若数列 ?bn ? 满足

b1 ? 3, bn?1 ? abn
答案 2 ? 1
n

,则

?bn ?

的通项公式

bn ?

(2 x ?

1 x

)6

21. (浙江省桐乡一中 2011 届高三理)二项式 答案 -192 。

展开式中含 x2 项的系数是

三、简答题 22.(2011 嘉禾一中) (本小题满分 12 分)从甲地到乙地一天共有 A、B 两班车,由于雨雪 天气的影响,一段时间内 A 班车正点到达乙地的概率为 0.7,B 班车正点到达乙地的概率 为 0.75。 (1)有三位游客分别乘坐三天的 A 班车,从甲地到乙地,求其中恰有两名游客正点到 达的概率(答案用数字表示) 。 (2)有两位游客分别乘坐 A、B 班车,从甲地到乙地,求其中至少有 1 人正点到达的概 率(答案用数字表示) 。 答案 解: (1)坐 A 班车的三人中恰有 2 人正点到达的概率为
2

P3(2)= C 3 0.72×0.31 = 0.441 ????????(6 分) (2)记“A 班车正点到达”为事件 M, 班车正点到达冶为事件 N “B
104

则两人中至少有一人正点到达的概率为 P = P(M·N)+ P(M· N )+ P( M ·N) = 0.7 ×0.75 + 0.7 ×0.25 + 0.3 ×0.75 = 0.525 + 0.175 + 0.225 = 0.925 (12 分) 23. (四川成都市玉林中学 2010—2011 学年度) (本题满分 12 分)甲、乙两同学投球命中的

4 3 概率分别为 5 和 5 ,投中一次得 2 分,不中则得 0 分.如果每人投球 2 次,求:
(Ⅰ) “甲得 4 分,并且乙得 2 分”的概率; (Ⅱ) “甲、乙两人得分相等”的概率.

192 244 答案 解: (1) 625 ;(2) 625 .
24. (江苏泰兴 2011 届高三理) (本小题满分 10 分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着 如下六个定义域为 R 的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x) =cosx,f6(x)=2. (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函 数的概率; (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的 卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望. 答案 (1)记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,由题

P( A) ?
意知

C32 1 ? . 2 C6 5

????????????4 分

(2)ξ 可取 1,2,3,4.

P(? ? 1) ?

1 C3 1 C1 C1 3 ? , P(? ? 2) ? 3 ? 3 ? 1 1 1 C6 2 C6 C5 10 ,

1 1 1 1 1 1 1 C3 C 2 C3 C3 C2 C1 C3 3 1 P(? ? 3) ? 1 ? 1 ? 1 ? , P(? ? 4) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? C6 C5 C 4 20 C6 C5 C 4 C3 20 ;??????8

分 故 ξ 的分布列为 ξ P 1 2 3 4

3 3 10 20 1 3 3 1 7 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? . 2 10 20 20 4
7 . 答:ξ 的数学期望为 4

1 2

1 20

????????????10 分

25. (浙江省桐乡一中 2011 届高三理) (本小题满分 14 分)某研究机构准备举行一次数学新
105

课程研讨会,共邀请 50 名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ? ,求随机 变量 ? 的变分布列和数学期望. 答案 解: (1)从 50 名教师随机选出 2 名的方法数为 选出 2 人使用版本相同的方法数为 故 2 人使用版本相同的概率为:
2 C50 ? 1225 .

2 2 2 2 C20 ? C15 ? C5 ? C10 ? 350.

P?

350 2 ? . 1225 7 ??????????5 分

P(? ? 0) ?
(2)∵

2 C15 3 ? 2 C 35 17 ,

P(? ? 1) ?

1 C 2 C15 60 20 ? 2 119 C 35

P(? ? 2) ?

C2 38 20 ? 2 C 35 119

∴ ? 的分布列为

?
P

0

1

2

??????10 分

3 17

60 119

38 119

E? ?


3 60 38 136 8 ?0? ?1 ? ?2 ? ? 17 119 119 119 7 ????????12 分

136 ( 119 可以不扣分)
26. (四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月文) (12 分)某种出口产品的关税税率 t、市
(1? kt )( x ?b ) 场价格 x(单位:千元)与市场供应量 p(单位:万件)之间近似满足关系式: p ? 2 ,
2

其中 k, b 均为常数。当关税税率为 75%时:若市场价格为 5 千元,则市场供应量约为 1 万件; 若市场价格为 7 千元,则市场供应量约为 2 万件。 (1)试确定 k、b 的值;

106

?x (2)市场需求量 q(单位:万件)与市场价格 x 近似满足关系式: q ? 2 , p ? q 时,市场

价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过 4 千元时,试确定关税税率的最大值。

?1 ? 2(1?0.75k )(5?b)2 ?(1 ? 0.75k )(5 ? b) 2 ? 0 ? ? ? (1?0.75k )(7 ?b ) 2 (1 ? 0.75k )(7 ? b) 2 ? 1 ? 答案 解:(1) ?2 ? 2 即?



?k ? 1 ? ?b ? 5


1

25 x ? 10 ? (1 ? t )( x ? 5) 2 ? ? x ( x >0) ∴ x 在(0,4]上单减 (2)p=q 时, 41 f ( x) ? 4 且 ∴ x ? 4 时,关税税率最大值 500%。 27. (浙江省桐乡一中 2011 届高三文) (本小题满分 14 分)某高校最近出台一项英语等级考 试规定;每位考试者两年之内最多有 4 次参加考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取证 书,不再参加以后的考试,否则就一直考到第 4 次为止。如果小明决定参加等级考试,设他 每次参加考试通过的概率依次为 0.5,0.6,0.7,0.9, (1)求小明在两年内领到证书的概率;

t ? 1?

(2)求在两年内小明参加英语等级考试次数 ? 的分布列和 ? 的期望. 答案 (1)小明在两年内领到证书的概率为 P=1-(1-0.5)(1-0.6)(1-0.7)(1-0.9)= 0.994. (2) ? 的取值分别为 1,2,3,4.

? ? 1 ,表明小明第一次参加英语等级考试就通过了,故 P( ? ? 1 )=0.5.
? ? 2, 表明小明在第一次考试未通过, 第二次通过了, P(? ? 2) ? (1 ? 0.5) ? 0.6 ? 0.30. 故
ξ =3,表明小明在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故 P(? ? 3) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? 0.7 ? 0.14. ξ =4,表明小明第一、二、三次考试都未通过,故 P(? ? 4) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.7) ? 0.06. ∴小明实际参加考试次数ξ 的分布列为: ξ P 1 0.5 2 0.30 3 0.14 4 0.06

∴ξ 的期望 Eξ =1×0.5+2×0.30+3×0.14+4×0.06=1.76. 28. 山西省四校 2011 届高三文) (满分 12 分)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元, 1 每生产 x 千件,需另投入成本为C(x) 当年产量不足 80 千件时,C(x)= x2+10x(万元) ;当 3 10000 年产量不小于 80 千件时,C(x)=51x+ -1450(万元) .通过市场分析,若每件售价为 500 x 元时,该厂当年生产该产品能全部销售完. (Ⅰ)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一产品的生产中所获利润最大,最大利润是多少 答案 (12 分)

107

? 1 2 * ?? 3 x ? 40x ? 250 (0 ? x ? 80, x ? N ) ? ? L( x) ? ? ?1200? ( x ? 10000), ( x ? 80, x ? N * ) ? x ? 解. (Ⅰ) ?????6 分
1 0 ? x ? 80, x ? N *时, L( x) ? ? ( x ? 60) 2 ? 950 3 (Ⅱ)当

L ∴当 x ? 60时, L( x)取得最大值 (60) ? 950?????8 分
当 x ? 80, x ? N 时
*

? L( x) ? 120 ? ( x ?
x?
∴当且仅当

10000 10000 ) ? 1200? 2 x ? ? 1200? 200 ? 1000 x x

10000 ,即x ? 100时, L( x)取得最大值 L(100 ) ? 1000 ? 950 . x ???11 分

时 综上所述,当 x ? 100 L( x)取得 最大值 1000,即年产量为 100 千件时,该厂在这一商品
的生产中所获利润最大?????12 分 29. (河北省唐山一中 2011 届高三文)(本题满分 12 分) 甲、乙两位乒乓球选手,在过去的 40 局比赛中,甲胜 24 局.现在两人再次相遇. ⑴打满 3 局比赛,甲最有可能胜乙几局,说明理由; ⑵采用“三局两胜”或“五局三胜”两种赛制,哪种对甲更有利,说明理由.(注: 计算时,以频率作为概率的近似值.“三局两胜”就是有一方胜局达到两局时, 就结束比赛; “五局三胜”就是有一方胜局达到三局时,就结束比赛)

24 ? 0 .6 答案 解:比赛一局,甲胜的概率约为 p= 40 .????????????1 分
⑴甲胜 k(k=0,1,2,3)局的概率为 则
k P3 (k ) ? C3 p k (1 ? p) 3?k .??????2 分

P3 (0) ? 0.0064 P3 (1) ? 0.288

P3 (2) ? 0.432 P3 (3) ? 0.216,??????????????5 分
因为甲 P3(2)最大,所以甲最有可能胜两局;??????????6 分 ⑵三局两胜制: 甲胜的概率为 P1= P2 (2) ? P2 (1) ? 0.6 ? 0.648,??????8 分 五局三胜制:

108

甲胜的概率为 P2=

P3 (3) ? P3 (2) ? 0.6 ? P4 (2) ? 0.6 ? 0.683,

??????????????11 分 因为 P2>P1,所以采用“五局三胜制”对甲有利. ?????12 分

2013 高考数学试题分类汇编——立体几何
一、选择题 1、 (2010 浙江理数) (6)设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的 是 (A)若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? (C)若 l //? , m ? ? ,则 l //m (B)若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? (D)若 l //? , m//? ,则 l //m

解析:选 B,可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其 中的公理和判定定理,也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察,属中档题

2、 (2010 全国卷 2 理数) (11)与正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A1D1 所 在直线的距离相等的点 (A)有且只有 1 个 (C)有且只有 3 个 【答案】D 【解析】直线 上取一点,分别作 垂直于 于 则 分别 作 定理可得,PN⊥ PM⊥ ,垂足分别为 M,N,Q,连 PM,PN,PQ,由三垂线 ;PQ⊥AB,由于正方体中各个表面、对等角全等,所以 ,∴PM=PN=PQ,即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的距 离相等所以有无穷多点满足条件,故选 D. (B)有且只有 2 个 (D)有无数个

3、 (2010 全国卷 2 理数) (9)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的
109

体积最大时,它的高为 (A)1 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察椎体的体积,考察告辞函数的最值问题. (B) 3 (C)2 (D)3

【解析】设底面边长为 a,则高

所以体积





,则

,当 y 取最值时,

,解得 a=0 或 a=4

时,体积最大,此时

,故选 C.

4、 (2010 陕西文数) 8.若某

2013福建高考数学各个课题汇编总结(三)

2013福建高考数学各个课题汇编总结(三) 本文档总结了近年来全国高考数学各个课题...2 y ? 2 ? 0 2.(2013?黄山市第一次质量检测)已知 M ( x0 , y0 ) ...

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